НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ТИПА «ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ» - КРАЕВОЕ КРУЧЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНКИ

Полный текст

Введение Как известно[1, 2], для создания приближенных методов расчета пластин и оболочек, учитывающих трехмерность напряженного состояния, последнее час- то представляют в виде суммы внутреннего напряженного состояния и погра- ничного слоя. Под первым слагаемым подразумевается напряженное состояние, которое с известной степенью приближенности можно строить при помощи классической теории. В результате какого-либо уточнения последней появляет- ся пограничный слой - самоуравновешенное напряженное состояние, затухаю- щее, на основании принципа Сен-Венана, при удалении от края на расстояние, соизмеримое с толщиной пластинки или оболочки. Одним из возможных путей построения математически обоснованной тео- рии пластинок и оболочек, т. е. теории, позволяющей сколь угодно точно ап- проксимировать решение трехмерной задачи теории упругости, является при- менение асимптотических методов, приводящих, в конечном итоге, к представ- лению решения в виде рядов, расположенных по степеням малого параметра h?- относительной полутолщины пластинки и оболочки. Применяя метод прямого асимптотического интегрирования дифференци- альных уравнений трехмерной задачи теории упругости, А.Л. Гольденвейзер[3] свел задачу определения напряженного состояния изгибаемой изотропной пря- моугольной пластинки постоянной толщины к построению трех итерационных процессов. Первый из них - основной итерационный процесс, начальное при- ближение эквивалентно классической теории, определяет медленно затухающее или внутреннее напряженное состояние пластинки. Два других вспомогатель- ных итерационных процесса определяют быстро затухающие при удалении от края напряженные состояния, эквивалентные напряженным состояниям краево- го скручивания и краевой плоской деформации, определяемым решениями краевых задач, описываемыми гармоническим и бигармоническим уравнениями со специфическими граничными условиями. Решение этих краевых задач связа- но с математическими трудностями, не позволяющими применить эти результа- ты в практике инженерных расчетов. В связи с этим, в работах [1, 2, 4] с помощью вариационно- асимптотиче- ского метода построена приближенная теория расчета НДС прямоугольных пластинок из композиционных материалов, круглых пластинок и круговой ци- линдрической оболочки из изотропного материала постоянной и переменной толщины. На основании расчетов тонких пластинок и оболочек установлено, что вблизи жестко защемленного края дополнительные напряжения краевой плоской деформации одного порядка с максимальными значениями наиболь- ших напряжений. Кроме того, существенное значение приобретают поперечные нормальные и касательные напряжения, что очень важно при оценке прочности авиационных конструкций из слоистых композиционных материалов. С помощью этой теории разработан расчетный аппарат оценки прочности переходных зон конструкций, разностенных стыков, а также непрерывных со- единений [5, 6] (фланцевых, сварных) при наличии в них дефектов в виде на- чальных трещин. Однако в этой приближенной теории не учитывается напря- женное состояние краевого кручения типа «пограничный слой». В связи с этим, в данной работе ставится задача о дополнении приближен- ной трехмерной теории расчета НДС прямоугольных пластинок самоуравно- вешенным быстро затухающим НДС - кручением жестко защемленного края. Дана окончательная формулировка краевой задачи для расчета НДС типа «по- гранслой», идентичного деформации краевого кручения, и дано ее решение способом приведения к задаче Дирихле. Постановка задачи Пусть прямоугольная пластинка из изотропного материала нагружена по- перечной распределенной нагрузкой q(x,y). Введем ортогональную систему ко- ординат xyz (рис. 1) таким образом, чтобы оси x и y, лежащие в срединной плос- кости пластинки, совпадали с главными направлениями упругости. Рис.1. Прямоугольная пластинка Обозначив через a, b, 2h длину, ширину и толщину пластинки соответст- венно, отнесем ее к безразмерной системе координат связанной с сис- темой (x,y,z) равенствами: (1) В продольном направлении наряду с координатой будем применять, где это надо, координату (2) которая, очевидно, связана с координатой зависимостью , (3) где . Для определенности будем полагать, что край пластинки жестко за- щемленный, а остальные края могут быть любыми и нагруженными краевыми внешними нагрузками типа распределенных перерезывающих сил или изги- бающих моментов Будем интегрировать систему дифференциальных уравнений трехмерной задачи теории упругости (4) Здесь и в дальнейшем символ означает, что имеет место второе соот- ношение, которое получается из приведенного заменой на и на- оборот. На плоскостях пластинки должны выполняться граничные условия: . (5) Кроме граничных условий (5) будем использовать соотношение: при , (6) которое вытекает из (5) и третьего уравнения (4). Пусть есть любое из напряжений или перемещений, которое будем зада- вать в виде: , (7) где - целое число, различное для разных напряжений и перемещений и s = k, n, c. Следует отметить, что этими индексами обозначаются компоненты НДС, относящиеся к классической теории, краевых плоской деформации и скручива- ния соответственно. Кроме того, при окончательном определении указанных компонентов необходимо учитывать асимптотику каждого НДС, определяемого множителем h-p. Если выбрать р в разложении (7) следующим образом: для ; (8) для ; для ; для , то можно показать [1], что соответствующее решение эквивалентно классиче- ской теории изгиба пластинок не только в смысле тождества дифференциаль- ных уравнений, но и в смысле тождества граничных условий на боковых краях пластинки. Далее полагаем, что основное НДС пластинки, соответствующее классической теории, определено. Обратимся к построению краевых задач, при помощи которых можно на- ходить дополнительные по отношению к классической теории НДС, сколь угодно быстро затухающие при удалении от края . Рассмотрим два типа граничных условий на краю (9) (10) которые моделируют жестко защемленный край пластинки. В работе [1] для граничных условий (9) доказано, что с точностью до вели- чин порядка h* можно пренебречь краевым кручением, а для граничных усло- вий (10) - краевой плоской деформацией. Тогда задача определения краевого напряженного состояния трактуется как задача суперпозиции трех состояний, одно из которых соответствует решению классической теории, другие - допол- нительные, отвечают решению плоской деформации для граничных условий (9) и краевого кручения для граничных условий (10). Применяя прием растяжения масштаба по толщине пластинки, а также в продольном направлении по формуле (2), принимаем в дальнейшем, что ско- рость изменения искомых величин по переменным не слишком велика. Следует отметить, что в дальнейшем учитывается тот факт, что перемещения дополнительных НДС малы [1] в сравнении с перемещениями, отвечающими классической теории. Пусть число в разложении (7) принимает следующие значения: Тогда для определения величин ?n получим систему уравнений, соответст- вующую краевой плоской деформации. В работе [1] приведены основные соот- ношения и граничные условия для этой краевой задачи в прямоугольной пла- стинке из композиционного материала, а также пример расчета. Краевое кручение. Пусть число p в разложении (7) принимает следующие значения: (11) Тогда в соответствии с асимптотическим методом для определения вели- чин ?с в (7) имеем систему дифференциальных уравнений: (12) В системе уравнений(12) основной является система уравнений, из которой определяются Она представляет собой систему дифференциаль- ных уравнений задачи о кручении призматических стержней (с осью, проходя- щей вдоль оси y). Построение этого решения сводится к интегрированию гармонического уравнения. Действительно, первые три уравнения системы (26) можно выпол- нить, положив (13) где - гармоническая функция переменных , т.е. имеет место уравнение: (14) Остальные уравнения из системы (12) будут также выполняться, если по- ложить (15) Система уравнений (12) определяет компоненты НДС краевого кручения, имеющие порядок на единицу меньше, чем компоненты НДС в формуле (13). По этой причине ими в суммарном НДС пластинки будем пренебрегать. Очевидно, что величины, определяемые выражениями (13), должны удов- летворять однородным граничным условиям (5), если потребовать, при (16) Можно показать, что уравнение (14) имеет единственное решение, которое удовлетворяет условию (16), а также обладает свойством затухания: ? = 0 при (17) и на жестко защемленном краю удовлетворяет второму из граничных условий (10), которое приводится к виду при (18) Преобразуем граничное условие (18), учитывая выражение для , соот- ветствующее классической теории, и первую из формул (13),принимая во вни- мание асимптотики (8), (11). Находим: (19) Представим искомую функцию ? в виде: , (20) и подставляя ее в условие (19), окончательно находим: откуда следует , (21) (22) Рассматриваемую краевую задачу приведем к решению задачи Дирихле для прямоугольника. Согласно [7]введем новые переменные (23) Тогда граничные условия (16), (17) перепишутся в виде при ; при ; при . Далее, применяя известную схему решения задачи, находим: или при переходе к старым переменным по формулам (21), имеем: Подставляя эту функцию в аппроксимацию (20) и учитывая равенство (21), окончательно находим: (24) Определим дополнительные касательные напряжения краевого кручения, используя для этого соотношение (13) и выражение (24). Находим: (25) Касательное напряжение ?xyk основного напряженного состояния при изгибе пластинки равно , а его максимальное значение в заделке составляет: . Графики изменения искомых напряжений(25) по толщине пластинки на жестко защемленном краю ?1 = 0 в произвольном сечении ?1 = const показаны на рис. 2, где индекс «1» соответствует выражению , индекс «2» - , индекс «3» - . При построении графиков в рядах выражений (25) удерживались только первые два слагаемых. Рис.2. Графики изменения касательных напряжений по толщине пластинки Иллюстрации на рис. 2 показывают, что дополнительные касательные на- пряжения краевого кручения практически совпадают с основными касательны- ми напряжениями пластинки при изгибе, соответствующими классической тео- рии. Можно отметить, что дополнительные напряжения типа «погранслой», оп- ределяемые в цилиндрической оболочке другими методами [8, 9] решения задач трехмерной теории упругости, по величине и характеру затухания практически совпадают с результатами данной работы. Выводы Расчеты НДС изгибаемой прямоугольной пластинки позволили устано- вить, что дополнительные НДС краевого кручения вносят существенный вклад в общее НДС пластинки. Например, максимальные касательные напряжения на жестко защемленном краю практически равны одноименным напряжениям кручения, соответствую- щим классической теории при изгибе пластинки. Очевидно, такой высокий уровень напряжений необходимо учитывать в расчетах на прочность пластинок, особенно из слоистых композиционных ма- териалов, например, при определении концентрации наномодификаторов в зо- нах повышенных напряжений, в том числе их различных соединений.

Об авторах

ВАЛЕРИЙ ВАСИЛЬЕВИЧ ФИРСАНОВ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение выс- шего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» «МАИ»

Email: k906@mai.ru
д-р техн. наук, профессор 125993 Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д.4

Список литературы