ACCURACY OF STATISTICAL CALCULATION OF RANDOM ERRORS OF SPACE TRUSSES

Cover Page

Abstract


Probabilistic treatment of the deviation of real dimensions of bar elements from their nominal values leading to the errors in geometry of structures is presented in the paper. It is noticed that the distribution of errors in framed structures is of normal character.The main principles of statistical modelling of the real form of a space truss and estimation of errors are discussed, and the arguments presented for using the standard deviation as the primary statistical parameter of errors. It is demonstrated that the accuracy of calculation of standard deviations of errors must be accounted for in engineering problems. Based on the numerical values of the chi-square distribution the dependence is obtained between the accuracy of the standard deviation and the sample size for different levels of reliability.

Стержневые пространственные конструкции собираются из большого коли- чества отдельных металлических стержней или предварительно укрупненных стержневых блоков. Действительные размеры таких монтажных элементов всег- да отличаются от номинальных значений, что приводит к погрешностям геоме- трии стержневых пространственных конструкции. Это отличие является след- ствием неточности резки, сварки, сверловки, установки, крепежа, связанных с подготовкой и сборкой стержневых элементов из отдельных деталей. Существен- ное влияние на эти факторы оказывают прочность обрабатываемого металла, вид оборудования, точность измерения, режим работы и условия труда, квалификация рабочего, температура воздуха и т.д. Укрупнительная сборка конструкций перед7Вестник РУДН, серия Инженерные исследования, 2016, № 4монтажом вносит дополнительные неточности из-за аналогичных факторов. Все эти неточности в строительстве регламентируются специальной системой допу- сков [1].i iДля каждого i-го стержня пространственной системы точность определяется разностью между действительным L* и номинальным L его размером [2; 3], ко- торую называют отклонениемi iδLi = L* - L . (1)В целом, каждое отклонение состоит из систематической δL(m)i и случайнойδL(σ)i составляющих или ошибокδLi = δL(m)i + δL(σ)i. (2)Поскольку систематические ошибки δL(m)i отразятся на действительных раз- мерах всех однотипных стержней одинаковым образом, процесс образования погрешностей становится детерминированным. Их влияние на стержневую кон- струкцию может быть определено до сборки и монтажа. При статистических ис- следованиях случайных погрешностей систематическими ошибками можно пре- небречь, т.е. принять δL(m)i = 0. Случайные ошибки δL(σ)i приводят к отклоне- ниям действительных размеров всех стержней как в большую, так и в меньшую стороны непредсказуемым образом, поэтому процесс образования погрешностей носит стохастический характер. Так как эти отклонения зависят от множества случайных факторов, их распределение согласно предельной теореме теории ве- роятностей приближается к нормальному закону [4; 5].Величины, на которые действительные размеры стержней отличаются от но- минальных значений, ограничены предельными (допускаемыми) отклонениями ΔLi/2, т.е. половиной допуска ΔLi. Это соответствует ГОСТ 21778-81 «Система обеспечения точности геометрических параметров в строительстве. Основные положения». Если принять систематическую составляющую, равной нулю, тогде ΔLi - допуск размера Li.|δL(σ)i|  ΔLi/2, (3)Стержневые пространственные конструкции широко применяются в больше- пролетных покрытиях зданий и сооружений. Возводятся они самыми разно- образными способами [6] из большого количества конструктивных элементов и образуют сложные многосвязные каркасные системы [7]. Погрешности, возни- кающие при возведении таких покрытий, во-первых, затрудняют соединение конструкций друг с другом при монтаже, делая невозможной их свободную сбор- ку; во-вторых, снижают несущую способность стержневых пространственных конструкций из-за искажения их геометрической и конструктивной форм. По- этому исследования возможных погрешностей возведения стержневых простран- ственных конструкций способствуют решению указанных проблем.Такие исследования можно производить на основе численной имитации на компьютере сборки и монтажа пространственных стержневых конструкций с8Лебедь Е.В. Точность статистического вычисления случайных погрешностей стержневых...использованием метода Монте-Карло с последующим статистическим анализом результатов (метода статистического компьютерного моделирования) [8; 9]. Такую имитацию реализуют авторские компьютерные программы MONTAG для чис- ленного моделирования монтажа двухсетчатых пространственных каркасов из объемных стержневых блоков [10; 11; 12] и SBORKA для численного моделиро- вания сборки односетчатых пространственных каркасов из отдельных стержней [13; 14]. Главной задачей обеих программ является вычисление действительных координат узлов стержневых пространственных каркасов на основе моделиро- вания сборки и монтажа его конструкций [15]. Вычисление координат узлов осу- ществляется в основном путем многократного решения системы из трех уравне- ний сфер:1(x - x1)2 + ( y - y1)2 + (z - z1)2 = R2 ⎫(x - x)2 + ( y - y )2 + (z - z⎬)2 = R2 ⎪,(4)2 2 2 23 3 3 3 ⎪⎭(x - x )2 + ( y - y )2 + (z - z )2 = R2 ⎪iгде x, y, z - координаты искомого узла; xi, yi, zi - координаты узлов с известным поло- жением в пространстве; Ri - расстояние от известного i-го узла до искомого, равное действительному размеру соответствующего стержня L*.Действительные размеры стержней при отсутствии систематических погреш- ностей (δL(m)i = 0) вычисляются по формулеi i iL* = L + δL(σ) . (5)Случайное отклонение такого размера определяется из выраженияδL(σ)i =ζ ΔLi , 3 2(6)где ΔLi/2 - допускаемое отклонение i-го размера; ζ - псевдослучайное нормально рас- пределенное число с m = 0 и σ = 1.Размеры Li вычисляются в программах MONTAG и SBORKA по проектным координатам соответствующих узлов стержневой пространственной конструкции. Проектные координаты узлов вычисляются заранее по авторской программе ге- ометрического расчета GERA [16].Псевдослучайные числа ζ генерируются по специальному алгоритму [17], вхо- дящему отдельной функцией в программы MONTAG и SBORKA.Вычисление действительных координат всех узлов стержневой пространствен- ной конструкции, т.е. численное моделирование его действительной формы, рас- сматривается как одно случайное событие, поэтому называется испытанием. Ре- зультатом такого испытания служат отклонения узлов от проектного положения δj, которые характеризуют погрешности геометрической и конструктивной фор- мы пространственной конструкции. Для статистического анализа возможных погрешностей реальной конструкции такое численное моделирование выполня-9Вестник РУДН, серия Инженерные исследования, 2016, № 4ется многократно. Следовательно, число испытаний n соответствует объему вы- борки при статистическом анализе погрешностей δj.В результате работы программ MONTAG и SBORKA вычисляются математи-ческое ожидание m(δj) и среднеквадратическое отклонение σ(δj)n nm(δn) = 1n -δ , σ(δ ) = 1⎡δ - m(δ2)⎤ .1(7)j ∑k =1jk j∑ ⎣k =1jk j ⎦Распределение отклонений (погрешностей) узлов δj согласно предельной те- ореме теории вероятностей также подчиняется нормальному закону, что неодно- кратно подтверждалось выполненными исследованиями [2; 3; 18].В литературе по математической статистике [4; 5; 19] достаточно полно осве- щены вопросы оценки точности вычисления таких статистических параметров, как среднее значение m(δj) и дисперсия [σ(δj)]2. Методика оценки математиче- ского ожидания описана широко как с теоретической, так и с практической сто- роны, что объясняется большой распространенностью статистических задач, в которых оно по своему численному значению намного превосходит среднеква- дратическое отклонение. Однако в задаче определения погрешностей стержневых пространственных конструкций наиболее важным (часто единственным значи- мым) параметром является среднеквадратическое отклонение. При отсутствии систематической составляющей в формуле (2) среднеквадратическое отклонение σ(δj) практически является основной статистической характеристикой возможных погрешностей действительной геометрической и конструктивной форм стерж- невых систем (рис. 1).Проектное положениеδj = 0Отклонениеδj = +σj-3σ(δj) m(δj)+3σ(δj)Рис. 1. Нормальное распределение отклонений δj[Normal distribution of deviations δj]Приведенные в литературе описания оценки дисперсии, которые могут быть использованы для среднеквадратического отклонения, вследствие аналитиче- ского характера неудобны для практического использования.10Лебедь Е.В. Точность статистического вычисления случайных погрешностей стержневых...Обозначим статистически вычисленное значение среднеквадратического от- клонения σ(δj) буквой s. Известно, что для любой случайной величины вычис- ленное по данным выборки объема n среднеквадратическое отклонение s явля- ется приближенной оценкой его истинного значения, отличие между которыми будет тем меньше, чем больше n. Для того, чтобы заранее можно было определить оптимальный объем выборки n, необходимый для вычисления среднеквадрати- ческого отклонения s или чтобы оценить точность вычисленного s при известном n, необходимо знать зависимость между объемом выборки n и точностью вычис- ления s.Установим зависимость между числом n и точностью вычисления s, характе- ризующейся параметром q, для некоторых уровней надежности. Из математиче- ской статистики известно, что уровень надежности γ при оценке среднеквадра- тического отклонения s с заданной точностью q определяется вероятностью того, что искомое значение σ находится в интервале от s - qs до s + qs [9; 20], т.е.γ = P(s - qs < σ < s + qs) = 1 - α, (8)где α - уровень значимости вычисляемого критерия.Исходя из нормальности распределения погрешностей, вследствие которого величина (n - 1)s2/σ2 имеет χ2 - распределение, выражение (8) можно переписать в виде [5; 21]:⎛ vs P2 vs ⎞ 1 ,γ= ⎜ χ22 2< σ <χ2⎟ = - α(9)⎝ 1-0,5α0,5α ⎠где χ21-0,5αи χ20,5αкритические значения χ2, для которых справедлива формулаχ2γγPv (χ2 ) = ∫0p(χ2 )d χ2 = γ;где v = n - 1 - число степеней свободы.Сопоставляя выражение (9) с выражением (8), можно записатьs(1- q) =vs2χ21-0,5α, s(1+ q) =vs2χ2 .0,5α(10)Вычитая из второго уравнения первое и умножая обе части на 1/s, получим формулу для вычисления q⎜2 2 ⎟q = 1 ⎛ v - v ⎞.2 χ χ(11)⎝ 0,5α1-0,5α ⎠11Вестник РУДН, серия Инженерные исследования, 2016, № 4На основании выражения (11) с использованием данных статистических та- блиц по критическим значениям χ2 [22] получены значения относительных по- грешностей q среднеквадратических отклонений s для различных степеней сво- боды v. По результатам этих вычислений построены графики зависимостей меж- ду q и n для уровней надежности γ = 0,80; γ = 0,90; γ = 0,95; γ = 0,99 [23], которые представлены на рис. 2. Полученные графики согласуются с имеющимися в ли- тературе по статистике отдельными данными [20; 22; 24].Рис. 2. Зависимости между точностью q и объемом выборки n для статистических среднеквадратических отклонений s разных уровней надежности γ[Dependence between the accuracy q and the sample size n for statistical standard deviations s of different levels of reliability γ]Из графиков рис. 2 видно, что для вычисления среднеквадратических значений σ(δj) отклонений узлов стержневых пространственных конструкций с относи- тельной погрешностью 5% и надежностью γ = 0,95 необходимо проведение не менее 900 испытаний, т.е. n  900.Выводы. Полученные зависимости позволяют оценить точность вычисленных в результате компьютерного статистического моделирования среднеквадратиче- ских значений отклонений узлов σ(δj) действительной геометрической и кон- структивной формы стержневых пространственных конструкций от проектного положения, т.е. их погрешностей. Кроме того, они позволяют заранее определить количество испытаний или объем выборки n, необходимый для определения по- грешностей сборки и монтажа стержневых пространственных конструкций с за- данной точностью.

E V Lebed

Chair of Metal and Wooden Structures Moscow State University of Civil Engineering (National Research University)

Email: evglebed@mail.ru
Yaroslavskoye Shosse, 26, Moscow, Russia, 129337

Views

Abstract - 247

PDF (Russian) - 86


Copyright (c) 2016 Лебедь Е.В.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.