ТОЧНОСТЬ СТАТИСТИЧЕСКОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ СТЕРЖНЕВЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Полный текст

Стержневые пространственные конструкции собираются из большого коли- чества отдельных металлических стержней или предварительно укрупненных стержневых блоков. Действительные размеры таких монтажных элементов всег- да отличаются от номинальных значений, что приводит к погрешностям геоме- трии стержневых пространственных конструкции. Это отличие является след- ствием неточности резки, сварки, сверловки, установки, крепежа, связанных с подготовкой и сборкой стержневых элементов из отдельных деталей. Существен- ное влияние на эти факторы оказывают прочность обрабатываемого металла, вид оборудования, точность измерения, режим работы и условия труда, квалификация рабочего, температура воздуха и т.д. Укрупнительная сборка конструкций перед7Вестник РУДН, серия Инженерные исследования, 2016, № 4монтажом вносит дополнительные неточности из-за аналогичных факторов. Все эти неточности в строительстве регламентируются специальной системой допу- сков [1].i iДля каждого i-го стержня пространственной системы точность определяется разностью между действительным L* и номинальным L его размером [2; 3], ко- торую называют отклонениемi iδLi = L* - L . (1)В целом, каждое отклонение состоит из систематической δL(m)i и случайнойδL(σ)i составляющих или ошибокδLi = δL(m)i + δL(σ)i. (2)Поскольку систематические ошибки δL(m)i отразятся на действительных раз- мерах всех однотипных стержней одинаковым образом, процесс образования погрешностей становится детерминированным. Их влияние на стержневую кон- струкцию может быть определено до сборки и монтажа. При статистических ис- следованиях случайных погрешностей систематическими ошибками можно пре- небречь, т.е. принять δL(m)i = 0. Случайные ошибки δL(σ)i приводят к отклоне- ниям действительных размеров всех стержней как в большую, так и в меньшую стороны непредсказуемым образом, поэтому процесс образования погрешностей носит стохастический характер. Так как эти отклонения зависят от множества случайных факторов, их распределение согласно предельной теореме теории ве- роятностей приближается к нормальному закону [4; 5].Величины, на которые действительные размеры стержней отличаются от но- минальных значений, ограничены предельными (допускаемыми) отклонениями ΔLi/2, т.е. половиной допуска ΔLi. Это соответствует ГОСТ 21778-81 «Система обеспечения точности геометрических параметров в строительстве. Основные положения». Если принять систематическую составляющую, равной нулю, тогде ΔLi - допуск размера Li.|δL(σ)i|  ΔLi/2, (3)Стержневые пространственные конструкции широко применяются в больше- пролетных покрытиях зданий и сооружений. Возводятся они самыми разно- образными способами [6] из большого количества конструктивных элементов и образуют сложные многосвязные каркасные системы [7]. Погрешности, возни- кающие при возведении таких покрытий, во-первых, затрудняют соединение конструкций друг с другом при монтаже, делая невозможной их свободную сбор- ку; во-вторых, снижают несущую способность стержневых пространственных конструкций из-за искажения их геометрической и конструктивной форм. По- этому исследования возможных погрешностей возведения стержневых простран- ственных конструкций способствуют решению указанных проблем.Такие исследования можно производить на основе численной имитации на компьютере сборки и монтажа пространственных стержневых конструкций с8Лебедь Е.В. Точность статистического вычисления случайных погрешностей стержневых...использованием метода Монте-Карло с последующим статистическим анализом результатов (метода статистического компьютерного моделирования) [8; 9]. Такую имитацию реализуют авторские компьютерные программы MONTAG для чис- ленного моделирования монтажа двухсетчатых пространственных каркасов из объемных стержневых блоков [10; 11; 12] и SBORKA для численного моделиро- вания сборки односетчатых пространственных каркасов из отдельных стержней [13; 14]. Главной задачей обеих программ является вычисление действительных координат узлов стержневых пространственных каркасов на основе моделиро- вания сборки и монтажа его конструкций [15]. Вычисление координат узлов осу- ществляется в основном путем многократного решения системы из трех уравне- ний сфер:1(x - x1)2 + ( y - y1)2 + (z - z1)2 = R2 ⎫(x - x)2 + ( y - y )2 + (z - z⎬)2 = R2 ⎪,(4)2 2 2 23 3 3 3 ⎪⎭(x - x )2 + ( y - y )2 + (z - z )2 = R2 ⎪iгде x, y, z - координаты искомого узла; xi, yi, zi - координаты узлов с известным поло- жением в пространстве; Ri - расстояние от известного i-го узла до искомого, равное действительному размеру соответствующего стержня L*.Действительные размеры стержней при отсутствии систематических погреш- ностей (δL(m)i = 0) вычисляются по формулеi i iL* = L + δL(σ) . (5)Случайное отклонение такого размера определяется из выраженияδL(σ)i =ζ ΔLi , 3 2(6)где ΔLi/2 - допускаемое отклонение i-го размера; ζ - псевдослучайное нормально рас- пределенное число с m = 0 и σ = 1.Размеры Li вычисляются в программах MONTAG и SBORKA по проектным координатам соответствующих узлов стержневой пространственной конструкции. Проектные координаты узлов вычисляются заранее по авторской программе ге- ометрического расчета GERA [16].Псевдослучайные числа ζ генерируются по специальному алгоритму [17], вхо- дящему отдельной функцией в программы MONTAG и SBORKA.Вычисление действительных координат всех узлов стержневой пространствен- ной конструкции, т.е. численное моделирование его действительной формы, рас- сматривается как одно случайное событие, поэтому называется испытанием. Ре- зультатом такого испытания служат отклонения узлов от проектного положения δj, которые характеризуют погрешности геометрической и конструктивной фор- мы пространственной конструкции. Для статистического анализа возможных погрешностей реальной конструкции такое численное моделирование выполня-9Вестник РУДН, серия Инженерные исследования, 2016, № 4ется многократно. Следовательно, число испытаний n соответствует объему вы- борки при статистическом анализе погрешностей δj.В результате работы программ MONTAG и SBORKA вычисляются математи-ческое ожидание m(δj) и среднеквадратическое отклонение σ(δj)n nm(δn) = 1n -δ , σ(δ ) = 1⎡δ - m(δ2)⎤ .1(7)j ∑k =1jk j∑ ⎣k =1jk j ⎦Распределение отклонений (погрешностей) узлов δj согласно предельной те- ореме теории вероятностей также подчиняется нормальному закону, что неодно- кратно подтверждалось выполненными исследованиями [2; 3; 18].В литературе по математической статистике [4; 5; 19] достаточно полно осве- щены вопросы оценки точности вычисления таких статистических параметров, как среднее значение m(δj) и дисперсия [σ(δj)]2. Методика оценки математиче- ского ожидания описана широко как с теоретической, так и с практической сто- роны, что объясняется большой распространенностью статистических задач, в которых оно по своему численному значению намного превосходит среднеква- дратическое отклонение. Однако в задаче определения погрешностей стержневых пространственных конструкций наиболее важным (часто единственным значи- мым) параметром является среднеквадратическое отклонение. При отсутствии систематической составляющей в формуле (2) среднеквадратическое отклонение σ(δj) практически является основной статистической характеристикой возможных погрешностей действительной геометрической и конструктивной форм стерж- невых систем (рис. 1).Проектное положениеδj = 0Отклонениеδj = +σj-3σ(δj) m(δj)+3σ(δj)Рис. 1. Нормальное распределение отклонений δj[Normal distribution of deviations δj]Приведенные в литературе описания оценки дисперсии, которые могут быть использованы для среднеквадратического отклонения, вследствие аналитиче- ского характера неудобны для практического использования.10Лебедь Е.В. Точность статистического вычисления случайных погрешностей стержневых...Обозначим статистически вычисленное значение среднеквадратического от- клонения σ(δj) буквой s. Известно, что для любой случайной величины вычис- ленное по данным выборки объема n среднеквадратическое отклонение s явля- ется приближенной оценкой его истинного значения, отличие между которыми будет тем меньше, чем больше n. Для того, чтобы заранее можно было определить оптимальный объем выборки n, необходимый для вычисления среднеквадрати- ческого отклонения s или чтобы оценить точность вычисленного s при известном n, необходимо знать зависимость между объемом выборки n и точностью вычис- ления s.Установим зависимость между числом n и точностью вычисления s, характе- ризующейся параметром q, для некоторых уровней надежности. Из математиче- ской статистики известно, что уровень надежности γ при оценке среднеквадра- тического отклонения s с заданной точностью q определяется вероятностью того, что искомое значение σ находится в интервале от s - qs до s + qs [9; 20], т.е.γ = P(s - qs < σ < s + qs) = 1 - α, (8)где α - уровень значимости вычисляемого критерия.Исходя из нормальности распределения погрешностей, вследствие которого величина (n - 1)s2/σ2 имеет χ2 - распределение, выражение (8) можно переписать в виде [5; 21]:⎛ vs P2 vs ⎞ 1 ,γ= ⎜ χ22 2< σ <χ2⎟ = - α(9)⎝ 1-0,5α0,5α ⎠где χ21-0,5αи χ20,5αкритические значения χ2, для которых справедлива формулаχ2γγPv (χ2 ) = ∫0p(χ2 )d χ2 = γ;где v = n - 1 - число степеней свободы.Сопоставляя выражение (9) с выражением (8), можно записатьs(1- q) =vs2χ21-0,5α, s(1+ q) =vs2χ2 .0,5α(10)Вычитая из второго уравнения первое и умножая обе части на 1/s, получим формулу для вычисления q⎜2 2 ⎟q = 1 ⎛ v - v ⎞.2 χ χ(11)⎝ 0,5α1-0,5α ⎠11Вестник РУДН, серия Инженерные исследования, 2016, № 4На основании выражения (11) с использованием данных статистических та- блиц по критическим значениям χ2 [22] получены значения относительных по- грешностей q среднеквадратических отклонений s для различных степеней сво- боды v. По результатам этих вычислений построены графики зависимостей меж- ду q и n для уровней надежности γ = 0,80; γ = 0,90; γ = 0,95; γ = 0,99 [23], которые представлены на рис. 2. Полученные графики согласуются с имеющимися в ли- тературе по статистике отдельными данными [20; 22; 24].Рис. 2. Зависимости между точностью q и объемом выборки n для статистических среднеквадратических отклонений s разных уровней надежности γ[Dependence between the accuracy q and the sample size n for statistical standard deviations s of different levels of reliability γ]Из графиков рис. 2 видно, что для вычисления среднеквадратических значений σ(δj) отклонений узлов стержневых пространственных конструкций с относи- тельной погрешностью 5% и надежностью γ = 0,95 необходимо проведение не менее 900 испытаний, т.е. n  900.Выводы. Полученные зависимости позволяют оценить точность вычисленных в результате компьютерного статистического моделирования среднеквадратиче- ских значений отклонений узлов σ(δj) действительной геометрической и кон- структивной формы стержневых пространственных конструкций от проектного положения, т.е. их погрешностей. Кроме того, они позволяют заранее определить количество испытаний или объем выборки n, необходимый для определения по- грешностей сборки и монтажа стержневых пространственных конструкций с за- данной точностью.

Об авторах

Евгений Васильевич Лебедь

Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет

Email: evglebed@mail.ru
Ярославское шоссе, д. 26, Москва, Россия, 129337

Список литературы