Ортотропная гиперупругая модель деформирования бетона при сложном многоосном нагружении

Полный текст

1. Введение Основными причинами нелинейного поведения бетона являются процессы микрорастрескивания при растяжении и потери несущей способности (микрорастрескивание и раскрашивание) при сжатии, а также ползучесть бетона. Необходимость учета нелинейных свойств бетона [1] возникает при решении различных задач оценки прочности железобетонных конструкций. Поэтому в 2003 г. вместо введенных в СССР Строительных норм и правил - СНиП 2.03.01-84[7] были утверждены и введены в действие новые Нормы проектирования бетонных и железобетонных конструкций - СНиП 52-01-2003[8], в которых основным методом расчета впервые в Российской Федерации декларируется расчет по нелинейной деформационной модели с использованием диаграмм деформирования бетона и арматуры. Данный подход, основанный на учете нелинейного деформирования, сохранился в актуализированной версии СП 63.13330.2018[9], принятой в 2019 г. Учет нелинейности при описании поведения бетона при трехосном напряженном состоянии может быть выполнен как в рамках нелинейной теории упругости [1; 2-9], так и теории пластичности [1; 9-25], а также с использованием моделей материала с учетом поврежденности [9; 26-50]. Детальные обзоры моделей упругого и неупругого деформирования бетона представлены в [1; 51]. Ряд ответственных элементов железобетонных конструкций (приопорные участки коробчатых элементов пролетных строений, зоны анкеровки напрягаемой арматуры в балках пролетных строений, узлы соединения колонн с плитами и балками, диафрагмы пролетных строений, пилоны вантовых мостов и т. д.) работают в условиях многоосного напряженного состояния. Создание трехмерной нелинейной анизотропной модели деформирования бетона является не до конца решенной задачей. Существующие модели нелинейного деформирования бетона [10-13; 19; 31; 40; 52 и др.], как правило, ограничены рассмотрением изотропного материала. Учет ортотропии, отражающей характер микрорастрескивания бетона, выполнен, например, в модели предложенной Н.И. Карпенко [3]. Недостатком данной модели является отсутствие упругого потенциала. В данном исследовании учитываются нелинейность, многоосность и анизотропия деформирования бетона на основе использования модели локально-ортотропного гиперупругого материала с осями ортотропии, совпадающими с направлениями осей главных напряжений. Рассматриваемая модель в силу существования потенциала обладает рядом преимуществ при численном решении краевых задач, таких как симметрия матриц жесткости, улучшенная сходимость итерационных процедур поиска нелинейного решения. Следует отметить, что гиперупругая модель обладает также свойством термодинамической состоятельности. При одноосном растяжении возникновение и развитие трещин при микрорастрескивании происходит в плоскости ортогональной направлению воздействия. При сложном многоосном напряженном состоянии образование и развитие трещин при микрорастрескивании происходит преимущественно в плоскости ортогональной действию главного максимального растягивающего напряжения. При наличии двух (или трех) положительных главных значений напряжений трещины образуются в двух (или трех) взаимоортогональных плоскостях, ориентация которых определяется главными площадками тензора напряжений [1]. Появление системы одинаково ориентированных микротрещин приводит к изменению механических свойств бетона. Его жесткость в определенных направлениях уменьшается. Он не может рассматриваться уже как изотропное тело, и подходящей аппроксимацией его анизотропии является в общем случае ортотропный материал. Локальная ортотропия приобретается в процессе роста нагрузки в силу неоднородного напряженно-деформированного состояния вследствие направленного, в зависимости от ориентации площадок главных напряжений, развития внутренних микротрещин. В соответствии с принципом симметрии, сформулированным П. Кюри, «элементы симметрии причин должны проявляться в вызванных ими следствиях» [53], определяющие уравнения материала должны учитывать элементы симметрии микроструктуры бетона. Учет ортотропии в рамках упругой модели материала выполнен в работах [2; 4; 6-8 и др.], при использовании моделей пластичности и поврежденности в [41; 47-49 и др.], но, следует отметить, что ни в одной из цитируемых работ не вводился упругий потенциал. Вторым фактором повышения точности нелинейного решения, наряду с учетом анизотропии, является выбор аппроксимирующей одноосные экспериментальные кривые при сжатии и растяжении функции. Различные эмпирически мотивированные аналитические аппроксимации диаграмм деформирования бетона предложены в работах [54-63 и др.]. Детальный обзор работ данного направления представлен в [51; 60; 62]. Примерами подобных зависимостей для описания диаграмм одноосного кратковременного сжатия являются следующие: ¡ Рекомендация европейских норм (EN 1992-1-1[10]): , (1) где - пиковое напряжение (прочность) при сжатии бетона; - деформации, соответствующие пиковым напряжениям ; ; - начальный (секущий) модуль упругости бетона, определяемый при уровне напряжений . ¡ Аппроксимация Н.И. Карпенко [1]: , (2) где - начальный модуль упругости бетона при сжатии; - значение коэффициента изменения секущего модуля в вершине диаграммы; для восходящей ветви , , а для нисходящий ветви - , . В выражении (2) знак плюс соответствует восходящей ветви диаграммы деформирования бетона, знак минус - нисходящей ветви. Экспоненциально-степенная аппроксимация Г.В. Мурашкина [60]: , (3) где коэффициенты A, b, c определяются из условий , , . ¡ Аппроксимация А.В. Бенина [59]: , (4) где , - остаточная прочность, и - напряжения и деформации начала трещинообразования. Наряду с едиными аналитическими зависимостями для всей диаграммы или ее части (1)-(4) и др. в практике численных расчетов распространение получили кусочно-линейные аппроксимации. Простейшими вариантами являются билинейная и трилинейная аппроксимации. При большом числе точек мультилинейные аппроксимации позволяют с высокой точностью описать аналитическую зависимость или данные эксперимента (получаемые, как правило в табличном виде). Кусочно-линейная аппроксимация диаграммы деформирования допускает математическое представление , (5) где - функция Хэвисайда, Ai - константы, определяемые на основе наклонов диаграмм деформирования при сжатии и/или растяжении. Цель исследования - разработка общей ортотропной гиперупругой модели нелинейного деформирования бетона при одноосном и многоосном нагружении с возможностью упрощенной идентификации параметров материала на основе кусочно-линейных аппроксимаций диаграммы деформирования. 2. Методы 2.1. Определяющие уравнения ортотропной гиперупругой модели Разработка общей трехмерной нелинейной анизотропной модели деформирования бетона при сложном многоосном нагружении не получила окончательного решения. Существующие модели неупругого деформирования бетона ограничены рассмотрением случая изотропного материала. Учет ортотропии, отражающей характер направленного микрорастрескивания бетона, выполнен в модели Н.И. Карпенко [1-3]. Одним из недостатков данной модели является отсутствие упругого потенциала. В данном исследовании сделана попытка учесть нелинейность, многоосность и анизотропию деформирования бетона на основе использования модели локально-ортотропного гиперупругого материала с осями ортотропии, совпадающими с направлениями главных напряжений. В общем случае при анализе сложного многоосного напряженного состояния элементов железобетонных конструкций необходимо использовать общую трехмерную форму определяющих уравнений, представляющую собой связь шести компонент тензора напряжений с шестью компонентами тензора деформаций, являющуюся при значительных уровнях напряжений нелинейной. Одной из рациональных моделей материала для описания физически нелинейного деформирования бетона является ортотропный гиперупругий материал. Гиперупругость подразумевает возможность введения скалярного потенциала (свободной энергии, термодинамического потенциала Гельмгольца) для тензора деформаций, позволяющего определить тензор напряжений как его производную , или в используемой далее форме записи прямого тензорного исчисления . (6) Введение выпуклого потенциала обеспечивает существование, единственность решения и возможность использования эффективных методов конечно-элементного решения (эллиптических) краевых задач. Для изотропного материала потенциал может рассматриваться как функция инвариантов тензора деформации. Для линейно-упругого материала потенциал - квадратичная функция первого и второго инвариантов. Группа симметрии ортотропного материала включает отражения относительно трех ортогональных плоскостей, характеризуемых нормалями к плоскостям роста микротрещин . Для трещиноватого бетона эти направления соответствуют направлениям главных напряжений и могут изменяться в зависимости от программы сложного непропорционального нагружения. Предполагается, что упругий потенциал ψ для ортотропного материала является функцией инвариантов тензора деформации и тензоров второго ранга, характеризующих анизотропные свойства материала [64]: ; (7a) ; (7b) , (7c) где символ обозначает диадное (тензорное) умножение векторов. При решении конкретных задач можно ограничиться рассмотрением только двух тензоров анизотропии и , поскольку справедливо соотношение , где - единичный тензор. С учетом этого аргументами упругого потенциала могут быть в общем случае 7 инвариантов: , , ; (8) , ; (9) , . (10) В модели ортотропного гиперупругого материала задание упругого потенциала (11) полностью определяет вид определяющих уравнений и тензоров упругих модулей. В случае малых деформаций простейшим представлением упругого потенциала ψ является квадратичная форма компонент тензора деформаций: , (12) где λ и μ - параметры Ламе, - константы материала. Изотропному материалу соответствует случай . Упругий потенциал (12) является обобщением варианта, предложенного в работе [65], путем учета инвариантов и . Для учета физической нелинейности поведения бетона предлагается обобщить (12) путем введения нелинейных функций от инвариантов: , (13) где - дважды дифференцируемые кусочно-непрерывные функции. Определяющее уравнение, представляющее собой связь напряжений и деформаций, получается подстановкой (13) в (6): (14) Дифференцирование этого выражения приводит к квазилинейной связи между скоростями напряжений и скоростями деформаций: , (15) где тензор касательных упругих модулей 4-го ранга (16) представим в виде (17) Здесь используются символы прямого и перекрестного диадного (тензорного) умножения: , . (18) В случае кусочно-линейной аппроксимации диаграмм деформирования (5) имеем для i = 1, 2; для j = 3,4,…,7 и, как следствие этого, , что приводит к значительному упрощению выражения (17): (19) В этом случае тензор касательных модулей будет кусочно-постоянным. Как следует из (19), девять независимых компонент касательного тензора упругих модулей связаны (в осях собственной анизотропии с введенными в (12) константами упругого потенциала соотношениями (20) Константы упругого потенциала могут быть выражены через компоненты касательного тензора упругих модулей как результат решения линейной системы алгебраических уравнений (20): (21) Выражение (15) с учетом (20) может быть записано в матричном виде: . (22) Структура матрицы в (22) позволяет уточнить физический смысл введенных констант материала. Константы и характеризуют влияние процессов микрорастрескивания на связь нормальных напряжений (действующих вдоль и ) и соосных продольных деформаций. Константы и характеризуют влияние процессов микрорастрескивания на связь сдвиговых напряжений (действующих в плоскостях с нормалями и ) и соответствующих сдвиговых деформаций. Константы и характеризуют влияние процессов микрорастрескивания на связь нормальных напряжений и поперечных деформаций. Обращенная форма определяющих уравнений (22), позволяющая выразить скорости деформаций через скорости напряжений, имеет вид , (23) где введенные коэффициенты в матрице касательной податливости (23) (представляющие собой касательные модули Юнга в трех направлениях вдоль осей ортотропии , три коэффициента Пуассона и три модуля сдвига выражаются через коэффициенты упругого потенциала при помощи соотношений, полученных путем инверсии верхнего левого блока 3×3 матрицы упругих модулей из (22): (24) При этом предполагаются выполненными условия симметрии матрицы податливости (23): . (25) 2.2. Идентификация параметров и функций материала В общем случае для определения 9 параметров материала , входящих в выражение упругого потенциала (13), необходимо провести 6 опытов на жесткое или мягкое нагружение: три на одноосное растяжение/сжатие вдоль трех различных осей ортотропии и три на сдвиг в различных ортогональных плоскостях. Подобные методики определения параметров материала в натурных или вычислительных экспериментах характерны для композитов и материалов с технологически индуцированной ортотропией и вряд ли применимы для бетонов и подобных им хрупких материалов. Вместе с тем необходимо учесть специфику разносопротивляемости при растяжении/сжатии (чувствительности к виду напряженного состояния). Рассмотрим простейший случай идентификации параметров, когда доступны кривые растяжения и сжатия только при одноосном нагружении, а также данные о поперечной деформации. При одноосном растяжении вдоль оси x, значения главных напряжений определяются следующим образом: , . Нормаль к площадке с максимальными главными напряжениями направлена вдоль оси x. Очевидно, что при одноосном растяжении поперечные деформации будут отрицательны и равны друг другу . Функция предполагается известной на основе данных экспериментов. Выражения для инвариантов при растяжении определяются равенствами: , , , , , . (26) С учетом введенных предположений система нетривиальных равенств (22) в случае ориентации нормали площадки максимальных главных напряжений вдоль оси x, а вдоль оси z, преобразуется к виду (27) где - кусочно-постоянная функция касательных модулей, определяемая по диаграмме деформирования при одноосном растяжении. В силу симметрии (неразличимости осей y и z при одноосном растяжении из натурального состояния вдоль оси x, соответствующей ) в дополнении к (27) следует добавить условия ,, приводящие к равенствам (28) Параметры и определяются по начальным значениям модуля Юнга и коэффициента Пуассона начально изотропного тела при нулевых деформациях. В силу ограниченности экспериментальных данных недостаток уравнений компенсируется принятием предположений о приближении к изотропному случаю в виде , тогда следствием (27) и (28) находятся все базовые константы материала при растяжении: (29) При одноосном сжатии вдоль оси x, значения главных напряжений определяются соотношениями: . Нормаль к площадке с минимальными главными напряжениями направлена вдоль оси x. При одноосном сжатии поперечные деформации будут положительны и равны друг другу: . Функция предполагается известной на основе данных экспериментов. Выражения для инвариантов при сжатии определяются равенствами: , , , , , . (30) С учетом введенных предположений система нетривиальных равенств (22) в случае ориентации нормали площадки минимальных главных напряжений вдоль оси x, а - вдоль оси z, преобразуется к виду (31) где - кусочно-постоянная функция касательных модулей, определяемая по диаграмме деформирования при одноосном сжатии. В силу симметрии (неразличимости осей y и z при одноосном сжатии вдоль x, соответствующей ) в дополнении к (31) следует добавить условия , приводящие к равенствам (32) В силу ограниченности экспериментальных данных дефицит уравнений компенсируем принятием предположений о приближении к изотропному случаю в виде , тогда следствием (31) и (32) находятся константы материала при сжатии: (33) Полученные в (29) и (33) ненулевые коэффициенты представляют собой кусочно-постоянные зависимости. В качестве параметров, определяющих интервал, в пределах которого коэффициенты остаются постоянными, выступают инварианты : (34) где - функция Хэвисайда, - скобки Маккойли. Предложенная модель ортотропного гиперупругого материала была программно реализована в CES version 5,26 (Constitutive Equation Studio) [66], при помощи которого получены представленные ниже результаты. 3. Результаты и обсуждение Интегрирование определяющих уравнений в случае жесткого нагружения осуществляется непосредственно на основе (22). При мягком нагружении, когда заданы компоненты тензора напряжений и требуется найти компоненты тензора деформации, необходимо обращение матрицы касательных модулей. Структура матрицы касательных модулей (22), содержащая большое количество нулевых компонент, соответствует представлению в координатах осей собственной анизотропии . Они определяются процессами микрорастрескивания и непосредственно связаны с направлениями осей главных напряжений. Поэтому в общем случае при произвольном многоосном нагружении при решении задач требуется предварительный поиск главных осей тензора напряжения. В осях собственной анизотропии касательные компоненты тензора напряжений отсутствуют и для упрощенного набора констант (см. раздел 2.2, (29), (33) и (34)) в случае и получается представление . (35) В рассматриваемом случае кусочно-постоянных коэффициентов (34) уравнения (35) могут быть легко проинтегрированы. В результате получаются кусочно-линейные аппроксимации диаграммы деформирования (5). 3.1. Одноосное нагружение На рис. 1 показано сравнение результатов расчетов с использованием модели ортотропного гиперупругого материала (6)-(35) с экспериментальными данными [59] при одноосном сжатии и растяжении для бетонов B25 и B40. Результаты получены для случая жесткого нагружения, для которого удается получить как восходящие, так и ниспадающие (запиковые) ветви диаграммы деформирования В качестве исходных данных для задания полной диаграммы деформирования, включающей как кривую сжатия, так и кривую растяжения с учетом восходящих и ниспадающих ветвей, были заданы суммарно 32 точки на диаграмме. В данном случае удается получить расчетную кривую с хорошей степенью точности. Характерные значения параметров бетонов B25 и B40 [59], используемые в расчетах представлены в таблице. Надпись: ε, %Надпись: σ, MПa Рис. 1. Сравнение результатов расчетов с использованием модели ортотропного гиперупругого материала с экспериментальными данными при одноосном сжатии и растяжении для бетонов B25 и B40 И с т о ч н и к: выполнено А.С. Семеновым. Экспериментальные данные получены А.В. Бениным [59]. Значения параметров бетонов B25 и B40, используемые в расчетах Характеристики бетона В25 В40 , MПa 18,5 29,1 , MПa 1,55 2,1 , % 0,199 0,201 , % 0,0123 0,0124 , MПa 30000 36000 , MПa 9343 1455 , MПa 12602 16934 И с т о ч н и к: выполнено А.В. Бениным, А.С. Семеновым. В зависимости от числа звеньев N на диаграмме деформирования получаются аппроксимации с различной степенью точности. На рис. 2 показаны многозвенные аппроксимации диаграммы деформирования бетона В25 при растяжении и сжатии для различных значений кратно увеличивающегося числа звеньев. Надпись: ε, %Надпись: σ, MПa Надпись: σ, MПa Надпись: ε, % a б Рис. 2. Расчетные диаграммы деформирования для бетона B25 при: a - растяжении и б - сжатии, полученные на основе модели ортотропного гиперупругого материала с различным числом звеньев N кусочно-линейной аппроксимации И с т о ч н и к: выполнено А.С. Семеновым. Надпись: Модель Н.И. КарпенкоНадпись: ε, %Надпись: σ, MПa Рис. 3. Сравнение результатов расчетов с использованием гиперупругой ортотропной модели с ортотропной моделью Н.И. Карпенко и экспериментальными данными для одноосного сжатия И с т о ч н и к: выполнено А.С. Семеновым. Экспериментальные данные получены А.В. Бениным [59]. На восходящей ветви диаграммы обе модели демонстрируют высокую точность описания кривой, однако на нисходящей ветви для модели Н.И. Карпенко наблюдается систематическое отклонение. Обеспечить высокую точность аппроксимации гиперупругой ортотропной модели позволяет использование многозвенной кусочно-линейной аппроксимации кривой деформирования. При построении кривой сжатия использовалась аппроксимация по 16 точкам. 3.2. Многоосное нагружение Рассматривается монотонное трехосное сжатие бетона с различной степенью поперечного стеснения. Соотношения тех осевых компонент тензора напряжений принимали значения: · 10 %-стеснение c ; · 6,9 %-стеснение c . Экспериментальные данные, соответствующие указанным режимам нагружения, представлены в работе Ю.Н. Малашкина [67]. Диаграммы напряжение - деформация для рассматриваемого бетона взяты из [1]. Cравнение результатов расчетов с использованием гиперупругой ортотропной модели (6)-(35) с ортотропной моделью Н.И. Карпенко (2) и экспериментальными данными [67] для различной степени стеснения показано на Рис. 4 и 5. Обе ортотропные модели демонстрируют удовлетворительную точность прогнозирования (отличие от эксперимента менее 15 %) по сравнению с экспериментом. Надпись: Модель Н.И. КарпенкоНадпись: σ, MПaНадпись: ε, % Надпись: Модель Н.И. КарпенкоНадпись: σ, MПaНадпись: ε, % Рис. 4. Сравнение результатов расчетов с использованием гиперупругой ортотропной модели с ортотропной моделью Н.И. Карпенко и экспериментальными данными для многоосного нагружения И с т о ч н и к: выполнено А.С. Семеновым, А.В. Бениным. Экспериментальные данные получены Ю.Н. Малашкиным [67]. Рис. 5. Сравнение результатов расчетов с использованием гиперупругой ортотропной модели с ортотропной моделью Н.И. Карпенко и экспериментальными данными для многоосного нагружения И с т о ч н и к: выполнено А.С. Семеновым, А.В. Бениным. Экспериментальные данные получены Ю.Н. Малашкиным [67]. 4. Заключение В качестве альтернативы доминирующему в настоящее время эмпирическому подходу формулировки определяющих уравнений бетона предложена термодинамически согласованная локально-ортотропная гиперупругая модель для описания нелинейного деформирования бетона при монотонной многоосной нагрузке с учетом анизотропии растяжения-сжатия. Локальная ортотропия формируется в процессе роста нагрузки вследствие развития внутренних микротрещин, направление роста которых определяется ориентацией площадок главных напряжений. Задание гиперупругого потенциала осуществлялось на основе кусочно-квадратичной аппроксимации с использованием семи совместных инвариантов деформации и тензоров анизотропии. Модель содержит в общем случае 9 параметров материала. Предложен метод упрощенной идентификации параметров материала на основе экспериментальных диаграмм деформирования при сжатии и растяжении с измерением продольных и поперечных деформаций. Полученные результаты позволяют сформулировать следующие выводы. 1. Сравнение результатов предложенной ортотропной гиперупругой модели деформирования с данными экспериментов для бетонов B25 и B40 продемонстрировало хорошую точность прогнозов при одноосном (отличие от экспериментов менее 1 %) и многоосном нагружении (отличие от экспериментов менее 15 %). 2. Предложенная модель позволяет описать как восходящую, так и нисходящую ветви диаграммы деформирования бетона. 3. При описании поведения бетона на ниспадающей ветви диаграммы деформирования предложенная модель продемонстрировала более высокую точность в сравнении с моделью ортотропного упругого материала Н.И. Карпенко. Дальнейшее развитие модели связано с явным учетом накопления повреждений в процессе нагружения и разработкой методов идентификации параметров материала на основе экспериментальных данных при многоосном нагружении.

Об авторах

Андрей Владимирович Бенин

Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I

Email: nich@pgups.ru
ORCID iD: 0000-0001-5646-0354
SPIN-код: 8251-4345

кандидат технических наук, заведующий испытательной лабораторией «Механическая лаборатория им. проф. Н.А. Белелюбского», доцент кафедры механики и прочности материалов и конструкций

Российская Федерация, 190031, г. Санкт-Петербург, Московский пр., д. 9

Артем Семенович Семенов

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого

Автор, ответственный за переписку.
Email: semenov.artem@googlemail.com
ORCID iD: 0000-0002-8225-3487
SPIN-код: 8879-2244

доктор физико-математических наук, профессор Высшей школы «Механика и процессы управления»

Российская Федерация, 195251, г. Санкт-Петербург, ул. Политехническая, д. 29

Список литературы

Дополнительные файлы