Сравнительный анализ расчета пластины на криволинейно-трапециевидном плане численными методами

Полный текст

1. Введение В архитектуре распространено перекрытие больших пролетов и сложных планов с применением оболочечных конструкций в форме различных аналитических поверхностей [1]. Многообразие форм аналитических поверхностей показано, например, в энциклопедии [2]. В книге представлены основные уравнения задания поверхностей, а также кратко приведены их отличительные особенности. С.Н. Кривошапко создал ряд основополагающих трудов по систематизации аналитических поверхностей [1-3]. Данная тематика также привлекает внимание исследователей тонкостенных конструкций [4; 5]. Из всех аналитических поверхностей исследователи выделяют некоторые классы, особенно важные для практики, как, например, линейчатые и торсовые поверхности [6-8], зонтичные [9] и еще ряд типов поверхностей для применения в строительстве [10-14]. Вопросам выбора рациональных с точки зрения прочностных качеств форм поверхностей для строительных конструкций посвящены работы [15; 16]. Моделирование поверхностей на основе двумерных кривых рассматривается в [17; 18]. Геометрическому моделированию посвящены работы [19-21], а непосредственно тема геометрии и моделирования эллипсоидально-кольцевых поверхностей разработана автором В.Н. Ивановым в работах [22; 23]. В большинстве случаев расчеты на прочность таких конструкций проводятся методом конечных элементов [5; 24-27], однако встречаются работы, основанные также и на других методах расчета конструкций, например, аналитического или полуаналитического [28-31], вариационно-разностного [32-33], или комбинации методов [34-38]. Интерес к расчету пластин на эллипсоидально-кольцевом плане не ослабевает и в работах зарубежных авторов. A. Merneedi с соавт. рассмотрели свободные колебания эллиптической пластинки [39], S. Çeribaşı провел статический и динамический расчет тонких пластин из функционально-градиентных материалов, загруженных равномерно распределенной нагрузкой [40]. Однако большая часть исследований проводится с применением программных комплексов, основанных на методе конечных элементов, например Comsol [41]. Следует заметить, что классического аналитического решения для эллипсоидально-кольцевой пластинки не получено. Известно аналитическое решение задачи изгиба эллипсоидальной пластинки В.И. Погореловым[19], для круглой кольцевой пластинки известно решение С.П. Тимошенко [42]. Эллипсоидально-кольцевые пластинки и оболочки могут быть построены в криволинейной системе координат для наилучшей передачи внутренней геометрии. Для получения ортогональной криволинейной системы координат берется произвольная плоская базовая кривая в виде и система ортогональных к ней прямых [22] (рис. 1), тогда уравнение координатной системы можно записать в виде , (1) где ; - нормаль базовой кривой; v - координата образующих прямых по нормали к базовой кривой. /*AFUN,DEG *SET,a,3 *SET,b,2 *SET,dt,1 *DO,t,0,90,dt k,(t*100+1),a*sin(t),b*cos(t),0 k,(t*200+2),(a+2)*sin(t),(b+2)*cos(t),0 l,(t*100+1),(t*200+2) *Enddo / Листинг 1. Макрос для создания опорных точек и линий Рис. 1. Эллипсоидально-кольцевая пластинка И с т о ч н и к: выполнено Е.М. Тупиковой. Рассматриваемая ортогональная криволинейная система координат будет состоять из системы равноудаленных кривых, то есть кривых, которые параллельны базовой кривой, и системы ортогональных им прямых, и может быть названа псевдополярной. Если в качестве базовой кривой выбрана незамкнутая кривая, то получается криволинейно-трапециевидная область. Если базовая кривая замкнутая, например эллипс, то получается замкнутая овальная область. С точки зрения геометрии координатной системы можно выделить следующие характеристики [22]: ; ; ; В =1, (2) где - коэффициент длины базовой кривой; - кривизна базовой кривой. Если задаться функцией вертикальной координаты , то можно получить уравнение поверхности на трапециевидно-криволинейном плане в следующем виде [22]: . (3) Если функция вертикальной координаты выбрана произвольно, то координатная система поверхностей на трапециевидно-криволинейных планах не будет совпадать с линиями кривизны поверхности, за исключением случая, когда , то есть случая, когда в нормальной плоскости базовой кривой перемещается неизменная кривая и поверхность будет относиться к классу поверхностей Монжа [20; 33]. Коэффициенты первой квадратичной формы рассматриваемой системы координат можно принимать равными коэффициентaм первой квадратичной формы ортогональной системы координат (2) [22; 23]. Далее из формул дифференциальной геометрии можно получить значения кривизн поверхностной системы: ; . (4) 2. Материалы и методы В исследованиях по строительной механике превалирует применение метода конечных элементов, который зачастую является безальтернативной основой всех расчетов сложных конструкций, проводимых в сертифицированных программных комплексах. Программные комплексы на основе метода конечных элементов, такие как SCAD, ЛИРА, ANSYS, SolidWorks, а также их свободно распространяемые аналоги, являются универсальными средствами расчета конструкций практически любой формы, созданной архитектором. Такие программы требуют значительных ресурсов компьютера, лицензионного обслуживания, имеют ряд особенностей при использовании и преодолении вычислительных трудностей, реализации допущений расчетной модели. В первую очередь при использовании таких программных средств важна применяемая конечно-элементная разбивка, построение сетки элементов, от которого критически зависят получаемые результаты. Очевидно, что более точные результаты могут быть получены при использовании более малых размеров конечных элементов (КЭ), однако при использовании сложных форм важны также конфигурация конечных элементов (треугольный или четырехугольный), базовые точки и линии, на основе которых программа строит узлы сетки, соответствие внутренней геометрии рассчитываемого сооружения или его элемента автоматически сгенерированной сети узлов КЭ. Рис. 2. Расчетная модель пластины в ANSYS с характерными сечениями И с т о ч н и к: выполнено Е.М. Тупиковой. Анализ результатов в программах, основанных на методе конечных элементов, для сложных видов геометрических поверхностей может быть в некоторой степени затруднен или ограничен имеющимся в применяемой программе стандартным функционалом средств для вывода перемещений, деформаций и напряжений, например наличием или отсутствием других координатных систем, кроме декартовой, сферической и цилиндрической, возможностью использования локальных систем и расчета напряжений или усилий по направлениям, характерным для некоторых неклассических поверхностей. В данной работе проведен сравнительный анализ полученных двумя методами результатов расчета пластины на криволинейно-трапециевидном плане - эллипсоидально-кольцевой пластины. Расчет на основе метода конечных элементов проводился в программном комплексе ANSYS APDL. В качестве КЭ выбраны изопериметрические элементы shell63. Рассматривается эллипсоидально-кольцевая пластина с направляющим внутренним эллипсом а = 3 м, b = 2 м, ширина пластины 2 м (рис. 1). Пластина жестко закреплена по внешнему контуру. Расчет проведен на действие равномерно распределенной нагрузки типа собственного веса: q = 1 кН/м2. Толщина пластинки h = 0,1 м, модуль упругости материала Е =3,5˖107 кПа, коэффициент Пуассона ν = 0,15. Для построения геометрии объекта используется макрос, который включает в себя создание опорных точек, линии и далее создание поверхности на основе каркаса из линий (см. Листинг 1). Далее модель разбивалась на конечные элементы (рис. 2). Функционал ANSYS допускает разбивку как свободную автоматическую (free), так и привязанную к опорным точкам (mapped) с использованием четырехугольных элементов, предпочтение было отдано второму типу, и заданием размера КЭ вручную. При автоматической разбивке четырех- и треугольными элементами при размере элемента 0.05 м в результатах получены зоны сомнительных резких перепадов напряжений, а при разбивке элементами большего размера, до 0,2 м, но с привязкой к ключевым точкам и построенным опорным линиям поверхности, результаты представляются более достоверными. Для сравнения с конечно-элементным решением в данной работе взято решение, приведенное в статье [43], полученное при помощи авторской программы SHELLVRM, основанной на вариационно-разностном методе. Программа обладает малым объемом и не требует больших ресурсов компьютера, а результаты обладают точностью, сравнимой с точностью многофункциональных коммерческих программных комплексов, что уже было показано, к примеру, в работах [34-36]. Рис. 3. Совмещенные эпюры прогибов в характерных сечениях, мм И с т о ч н и к: выполнено Е.М. Тупиковой. 3. Результаты и обсуждение В этой части статьи приводятся результаты конечно-элементного расчета пластинки, а также их сравнение с результатами вариационно-разностного расчета, часть данных и рисунков цитируется по [22]. Конечно-элементный расчет проводился в соответствии с линейной теорией Кирхгофа - Лява, тип конечного элемента shell63 четырехузловой, четырехугольной формы, размер элемента 0,2 м. Свойства материала заданы как линейно-упругие, модуль упругости Е = 3,5˖107 кПа, коэффициент Пуассона ν = 0,15. Граничные условия - жесткая заделка по внешнему контуру, загружение - собственный вес q = 1 кН/м2. Изополя получены при помощи стандартного постпроцессора POST1, эпюры построены с применением функции PATH вдоль обозначенных сечений, получены значения прогибов, изгибающих моментов, эквивалентных напряжений. На рис. 3 представлены совмещенные эпюры прогибов в характерных сечениях пластины. Результаты также приведены подробно в виде графиков прогибов в характерных сечениях 1-1 (рис. 4) и 6-6 (рис. 5) и изополей перемещений (рис. 6) по оси z, а также графиков эквивалентных напряжений в характерных сечениях 1-1 (рис. 7) и 6-6 (рис. 8) и изополей эквивалентных напряжений (рис. 9). На рис. 10 представлены прогибы эллипсоидально-кольцевой пластинки, полученные c помощью вариационно-разностного метода расчета в [43]. График прогибов в сечении вдоль длинной оси эллипса (рис. 4) демонстрирует форму, близкую к параболе, максимальный прогиб составил 5 мм, что хорошо согласуется с данными расчетов по ВРМ в [43]. График прогибов в сечении вдоль короткой оси эллипса (рис. 5) демонстрирует максимальный прогиб 4,2 мм, что также свидетельствует о близкой сходимости с результатами расчета из [43]. На рис. 6, иллюстрирующем изополя прогибов, можно заметить, что при данной схеме закрепления (консольные закрепления по внешнему краю) наибольшие прогибы возникают в сечениях, проходящих через малую ось эллипса. На графиках эквивалентных напряжений в характерных сечениях 1-1 (рис. 7) и 6-6 (рис. 8) вдоль длинной и короткой осей эллипса, соответственно, видно, что максимальные значения напряжений возникают на внешнем крае, а минимальные - на внутреннем крае длинной стороны пластины, и максимальный перепад значений эквивалентных напряжений возникает в сечении по длинной стороне пластины. При этом зона минимальных эквивалентных напряжений в сечении по короткой стороне пластины смещена от внутреннего края по сравнению с зоной минимальных напряжений в сечении по длинной стороне пластины. Эквивалентные напряжения по Мизесу (рис. 9) рассчитываются стандартными средствами программного комплекса и характеризуют работу материала в конструкции. Для предварительной оценки и подбора армирования такие данные могут быть полезны. Можно явно увидеть зоны наименьших напряжений (синий цвет), средний фоновый уровень напряжений (голубой и зеленый цвет), наиболее нагруженные жестко заделанные внешние края (красный и желтый цвет). Модель рассчитана для условного железобетона с линейно-упругими характеристиками, при более детальном расчете армирования можно примерно ориентироваться на эти зоны. Рис. 4. Графики прогибов uz в характерном сечении 1-1, м И с т о ч н и к: выполнено Е.М Тупиковой. Рис. 5. График прогибов uz в характерном сечении 6-6, м И с т о ч н и к: выполнено Е.М Тупиковой. Рис. 6. Изополя прогибов uz , м И с т о ч н и к: выполнено Е.М Тупиковой. Рис. 7. График эквивалентных напряжений в сечении 1-1, Н/м² И с т о ч н и к: выполнено Е.М. Тупиковой. Рис. 8. График эквивалентных напряжений в сечении 6-6, Н/м² И с т о ч н и к: выполнено Е.М Тупиковой. Рис. 9. Изополя эквивалентных напряжений, Н/м² И с т о ч н и к: выполнено Е.М Тупиковой. Значения прогибов в характерных сечениях, полученные методом конечных элементов и вариационно-разностным методом, представлены в табл. 1. Значения изгибающих моментов в сечениях 1-1 и 6-6, как наиболее удобных для декартовой системы координат, которая применяется в МКЭ-программах, полученные двумя методами, приведены в табл. 2. Таблица 1. Прогибы в характерных сечения по МКЭ и ВРМ Номер сечения и метод расчета 1-1 2-2 3-3 4-4 5-5 6-6 Прогиб по МКЭ (мм) 5,00 4,94 4,75 4,48 4,21 4,08 Прогиб по ВРМ (мм) 5,1 5,0 4,7 4,5 4,3 4,2 И с т о ч н и к: выполнено Е.М. Тупиковой, М.И. Рынковской. Таблица 2. Изгибающие моменты в характерных сечения по МКЭ и ВРМ Номер сечения и сравниваемые параметры 1-1 сечение 6-6 сечение Метод расчета Mx, Н∙м/м My, Н∙м/м Mx, Н∙м/м My, Н∙м/м МКЭ 14 660 2170 11 255 1168 ВРМ 15 100 1800 11 700 2300 И с т о ч н и к: выполнено Е.М Тупиковой, М.И. Рынковской. Рис. 10. Прогибы uz (см) эллипсоидально-кольцевой пластинки по ВРМ И с т о ч н и к: выполнено В.Н. Ивановым [43]. Эпюры изгибающих моментов в характерных сечениях, полученные методом конечных элементов, представлены на рис. 11-14. Для сравнения полученных результатов на рис. 15 представлены соответствующие результаты расчета значений изгибающих моментов вариационно-разностным методом. На эпюрах (рис. 11-14) видно, что изгибающие моменты Mx являются основными силовыми факторами, определяющими напряженно-деформированное состояние пластинки, изгибающие моменты My принимают на порядок меньшие значения. Максимальные моменты, равные 1,47 КН×м/м, возникают в сечении вдоль короткой оси эллипса в заделке. Сравнение результатов, полученных двумя методами, показывает достаточно близкую сходимость. Рис. 11. Эпюра изгибающего момента Мх в характерном сечении 1-1, Н∙ м/м И с т о ч н и к: выполнено Е.М Тупиковой. Рис. 12. Эпюра изгибающего момента Му в характерном сечении 1-1, Н∙ м/м И с т о ч н и к: выполнено Е.М Тупиковой. Изображение выглядит как текст, снимок экрана, дисплей, линия Контент, сгенерированный ИИ, может содержать ошибки. Изображение выглядит как текст, снимок экрана, дисплей, линия Контент, сгенерированный ИИ, может содержать ошибки. Рис. 13. Эпюра изгибающего момента Мх в характерном сечении 6-6, Н∙ м/м И с т о ч н и к: выполнено Е.М Тупиковой. Рис. 14. Эпюра изгибающего момента Му в характерном сечении 6-6, Н∙ м/м И с т о ч н и к: выполнено Е.М Тупиковой. Рис. 15. Эпюры изгибающих моментов Mх и Mу (Мu и Мv соответственно в криволинейной системе координат ВРМ) кН м/м И с т о ч н и к: выполнено В.Н. Ивановым [43]. 4. Заключение В данном исследовании рассмотрено напряженно-деформированное состояние эллипсоидально-кольцевой пластины под действием равномерно распределенной нагрузки и произведено сравнение результатов, полученных методом конечных элементов и вариационно-разностным методом. Для каждого метода выполнены необходимые расчетные процедуры. Для корректности сравнения параметры расчета, такие как размер сетки, приняты одинаковыми. Получены и проанализированы значения внутренних силовых факторов моментов и перемещений в узлах в одинаковых сечениях. Полученные результаты позволяют сформулировать следующие выводы. 1. Расчет кольцевой пластины на эллипсоидальном плане вариационно-разностным методом, реализованным в авторской программе, и методом конечных элементов в программном комплексе Ansys показал сопоставимые результаты по прогибам и изгибающим моментам в характерных сечениях. 2. Поскольку при расчете такого относительно простого объекта, как пластина, результаты значительно зависят от внутренней геометрии, существенным моментом является построение конечно-элементной сетки, ключевые узлы которой согласованы с направляющими линиями. Зачастую алгоритмы построения сетки в программных комплексах не вполне обеспечивают эту согласованность, что негативно сказывается на результатах. При использовании авторского программного обеспечения можно устранить эту проблему для объектов со сложной геометрией использованием собственного алгоритма построения узлов в случае конечно-элементного расчета. 3. В случае применения вариационно-разностного подхода решается уравнение вариационным методом с дискретизацией области определения решения, что позволяет приближенно решить задачу, используя сеточные функции, и аппроксимировать интегралы суммами, а производные - разностями. При использовании вариационно-разностного метода возможно получить результаты в значимых точках и интерполировать их. 4. Реализация вариационно-разностного метода требует по сравнению с методом конечных элементов меньших вычислительных ресурсов и дает результаты достаточной точности. Программное обеспечение на основе вариационно-разностного метода имеет потенциал для проведения поверочных расчетов для сложных объектов. В статье представлены результаты первого этапа исследования - пластины на эллипсоидально-кольцевом плане. В перспективе планируется провести сравнительный расчет оболочки на эллипсоидально-кольцевом плане. Предполагается, что отличия в методах расчета МКЭ и ВРМ могут оказать значительное влияние на результаты расчета таких оболочек.

Об авторах

Вячеслав Николаевич Иванов

Российский университет дружбы народов

Email: i.v.ivn@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-4023-156X
SPIN-код: 3110-9909

доктор технических наук, профессор кафедры технологий строительства и конструкционных материалов, инженерная академия

Российская Федерация, 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6

Евгения Михайловна Тупикова

Российский университет дружбы народов

Email: emelian-off@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-8742-3521
SPIN-код: 5501-6984

кандидат технических наук, доцент кафедры технологий строительства и конструкционных материалов, инженерная академия

Российская Федерация, 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6

Марина Игоревна Рынковская

Российский университет дружбы народов

Автор, ответственный за переписку.
Email: rynkovskaya-mi@rudn.ru
ORCID iD: 0000-0003-2206-2563
SPIN-код: 9184-7432

кандидат технических наук, доцент кафедры технологий строительства и конструкционных материалов, инженерная академия

Российская Федерация, 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6

Список литературы

Дополнительные файлы