Математическая модель деформирования ортотропной оболочки при действии взрывной нагрузки

Полный текст

1. Введение Тонкостенные оболочки деформируются существенно нелинейно, и для их расчета приходится разрабатывать специальные методы и алгоритмы [1-5]. Одной из важных задач исследования тонкостенных конструкций является анализ их деформирования под действием динамических нагрузок. При динамических воздействиях на оболочки возникают колебания, и одним из важных факторов при выполнении расчетов становится учет демпфирования [6; 7]. Особенно важно учитывать демпфирование, когда нагрузка прикладывается кратковременно, как при взрывном воздействии, и дальнейшее поведение конструкции можно достоверно описать только учитывая затухание колебаний. Применительно к расчету оболочечных конструкций взрывная нагрузка рассматривалась в [8-13]. Так, например, Godoy и Ameijeiras [12] исследуют деформирование стальных вертикальных резервуаров для хранения нефти с плоской крышей при взрыве, близком к конструкции. Анализируются значения энергии при увеличении пикового давления и формы потери устойчивости. В [9] выполнены расчеты сферических оболочек из FGM, представлен расчетный алгоритм и результаты в виде динамических откликов, фазовых портретов и значений собственных частот. В механике используются вариационные принципы Лагранжа и Гамильтона, которые решают задачи, зависящие от времени, но основанные на законе сохранения энергии и, следовательно, неприменимые к диссипативным системам [14]. В литературе можно найти ряд попыток преодолеть эту проблему. Одна из первых работ, посвященных учету диссипации в лагранжевой формулировке, была опубликована Личем [15] в 1958 г. Функция Лагранжа была расширена функцией диссипации Рэлея (1877). Такая формулировка была названа модифицированным принципом Гамильтона [15] (или расширенным [16]). Фактически такой подход позволяет расширять «классические» уравнения Лагранжа на неконсервативные (то есть диссипативные) системы [14; 17; 18]. Подход, основанный на добавлении в уравнения Эйлера - Лагранжа функции диссипации Рэлея [14; 19-23], применялся также в работах [25-27]. Так, в [24] исследуются вынужденные нелинейные колебания оболочек двоякой кривизны в соответствии с теорией Койтера. Анализируются различные типы бифуркаций. M. Amabili [25] исследуются высокоамплитудные (геометрически нелинейные) колебания круговых цилиндрических оболочек. Уравнения движения получены с помощью энергетического подхода, учитывающего демпфирование посредством диссипативной функции Рэлея. Сравниваются результаты для четырех различных нелинейных теорий тонких оболочек. Следует отметить также работу Е.П. Детина [6], в которой модифицирована диссипативная функция Рэлея, названная диссипативной функцией Кельвина - Фойгта. Предложенная функция пропорциональна квадрату скоростей деформаций материала, в отличие от диссипативной функции Рэлея, которая пропорциональна квадрату скоростей перемещений. Существует также подход, который учитывает диссипацию энергии за счет добавления в функционал отношения энергии демпфирования, рассеиваемой за цикл колебаний, к максимальной энергии деформации [27-31]. Однако реализация такого подхода вычислительно сложнее. Цель исследования - расширение разработанных автором ранее математической модели и алгоритма [32; 33] на задачи расчета оболочечных конструкций с учетом демпфирования при действии взрывной нагрузки. 2. Теория и методы Для получения основных соотношений математической модели используется функционал полной энергии (диссипация на данном этапе пока не учитывается): (1) где Ek - кинетическая энергия; t - время; - разность потенциальной энергии деформации системы и работы внешних сил (2) Геометрические соотношения с учетом нелинейности будут выглядеть следующим образом: (3) А[I7] функции изменения кривизн , и кручения для принятой модели принимают вид (4) Геометрия оболочечной конструкции задается через параметры Ляме и значения радиусов главных кривизн. Также для использования в функционале (2) потребуются выражения для усилий и моментов, приведенных к срединной поверхности оболочки и приходящихся на единицу длины сечения: (5) где - нормальные усилия в направлении осей x, y и сдвиговые усилия в плоскости ; - изгибающие и крутящие моменты; - поперечные силы в плоскостях и ; - модули упругости; - модули сдвига; -коэффициенты Пуассона. Предлагаемая математическая модель строится на основе гипотез модели Тимошенко (Миндлина - Рейсснера, FSDT) и позволяет учитывать инерцию вращения и поперечные сдвиги. Тогда кинетическая энергия [32; 33] (6) . Вычислив в (6) интеграл по переменной z, получим (7) Подставим аппроксимирующие функции (в соответствии с методом Л.В. Канторовича) в функционал (1). После вычисления интегралов по переменным x и y от известных функций функционал I представляет собой одномерный функционал от функций . Далее используем известное уравнение Эйлера - Лагранжа [32; 33]: (8) где а точкой обозначена производная по времени. Далее для осуществления расчетов будут использованы метод Л.В. Канторовича и метод Розенброка (для численного решения жестких систем ОДУ). Метод Л.В. Канторовича используется для приведения многомерного функционала к одномерному. Для этого неизвестные функции перемещений и углов поворота нормали представляются в следующем виде [33]: (9) где - неизвестные функции переменной t; - известные аппроксимирующие функции. Дополним уравнения Эйлера - Лагранжа (8) слагаемым, учитывающим демпфирование на основе функции диссипации Рэлея. В известных работах функция диссипации Рэлея записана для модели деформирования конструкции без учета поперечных сдвигов (модель Кирхгофа - Лява, Койтера, CSDT), а также не учитывается толщина обшивки (10) В то же время от учета толщины обшивки зависит то, как именно определять коэффициент c, какую он будет иметь размерность и порядок. В данной работе, по аналогии с выражением для кинетической энергии, запишем для модели Тимошенко - Рейсснера функцию диссипации Рэлея: (11) После интегрирования (11) по переменной z, получим (12) Итак, добавим слагаемое, содержащее функцию диссипации Рэлея (с учетом предложенных уточнений) в уравнение Эйлера - Лагранжа, как это делается, например, в работах [19; 24; 26]: (13) Дополним систему уравнений (13) начальными условиями при[I8] t = 0: (14) или Система дифференциальных уравнений (13), (14) далее решается одним из численных методов, в данной работе для этой задачи применяется метод Розенброка. 3. Расчеты В качестве демонстрации применимости изложенного выше подхода выполним исследование тонкостенной пологой оболочки двоякой кривизны с толщиной h = 0,09 м, линейными размерами a = b = 10,8 м и радиусами главных кривизн R1 = R2 = 40,05 м. Параметры материала соответствуют стеклопластику Т10/УПЭ22-27 (модули упругости E1 = 0,294×105 МПа, E2 = 0,178×105 МПа, модули сдвига G12 = G13 = G23 = 0,0301·105 МПа, коэффициент Пуассона m = 0,123, плотность r = 1800 кг/м3), края конструкции закреплены шарнирно-неподвижно. Нагрузка прикладывается взрывная, направлена по нормали к поверхности и зависит от времени следующим образом: , q0 = 1 МПа, t0 = 0,01 с. Также учитывается собственный вес. Расчеты выполняются при N = 4 в методе Л.В. Канторовича. Используя программу, разработанную автором в ПО Maple, покажем динамический отклик системы при выборе разных коэффициентов: c = 100 Н×с/м3 = 0,0001 МПа×с/м, c = 0,001 МПа×с/м, c = 0,002 МПа×с/м. Для сравнения приведем еще результаты без учета диссипации, когда c = 0 Н×с/м3 (рис. 1). Здесь и далее на рисунках показано, что кривая с большей амплитудой соответствует центральной части конструкции (x = a / 2, y = b / 2), а с меньшей амплитудой - четверти (x = a / 4, y = b / 4). На рис. 2 показаны аналогичные данные при значении q0 = 10 МПа. Рис. 1. Динамический отклик при воздействии взрывной нагрузки (q0 = 1 МПа): а - c = 0 МПа×с / м; б - c = 0,0001 МПа×с / м; в c = 0,001 МПа×с / м; г - c = 0,002 МПа×с / м И с т о ч н и к: выполнено А.А. Семеновым. W, mW, mW, m Рис. 2. Динамический отклик при воздействии взрывной нагрузки (q0 = 10 МПа): a - c = 0 МПа×с / м; б - c = 0,0001 МПа×с / м; в - c = 0,001 МПа×с / м; г - c = 0,002 МПа×с / м И с т о ч н и к: выполнено А.А. Семеновым. Очевидно, что при большем значении коэффициента c затухание колебаний происходит быстрее. Поиск и анализ его возможных значений, близких к реальным данным рассматриваемых материалов, будут являться предметом дальнейших исследований. Чтобы оценить, насколько разрушительным является воздействие взрывной нагрузки, построим также графики нормальных напряжений при q0 = 1 МПа и c = 0,001 МПа×с/м (рис. 3), и далее - при q0 = 10 МПа и c = 0,001 МПа×с/м (рис. 4). Из графиков видно, что при q0 = 10 МПа значения напряжений в несколько раз превышают предельно допустимые для данного материала, а при q0 = 1 МПа близки к предельным и в отдельные моменты времени их превышают. Рис. 3. Значения нормальных напряжений при воздействии взрывной нагрузки (q0 = 1 МПа), c = 0,001 МПа×с / м И с т о ч н и к: выполнено А.А. Семеновым. MПa Рис. 4. Значения нормальных напряжений при воздействии взрывной нагрузки (q0 = 10 МПа), c = 0,001 МПа×с / м И с т о ч н и к: выполнено А.А. Семеновым. 4. Заключение Технологии компьютерного моделирования позволяют исследовать тонкостенные конструкции с учетом нелинейных эффектов. Предложенная математическая модель с использованием функции диссипации Рэлея дает возможность расширить применимость разработанных ранее автором моделей и алгоритмов расчета на более широкий класс задач, в том числе моделировать динамический отклик конструкции на действие взрывной нагрузки, когда время приложения нагрузки малое, а колебательный процесс предполагает затухание. Также интерес представляют полученные данные о значениях напряжений во время колебаний, поскольку они могут превышать допустимые. Таким образом, получена новая математическая модель деформирования ортотропной оболочки при действии взрывной нагрузки.

Об авторах

Алексей Александрович Семенов

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: sw.semenov@gmail.com
ORCID iD: 0000-0001-9490-7364
SPIN-код: 9057-9882

доктор технических наук, профессор кафедры информационных систем и технологий

Российская Федерация, 190005, г. Санкт-Петербург, ул. 2-я Красноармейская, д. 4

Список литературы

Дополнительные файлы