Построение торсовых поверхностей на двух направляющих кривых

Полный текст

1. Введение За последние пять лет автором были опубликованы статьи по построению торсовых поверхностей, содержащих две заранее заданные плоские алгебраические кривые на противоположных сторонах прямоугольного [1], трапециевидного [2] и произвольного четырехугольного [3] планов. Причем прямые образующие получаемых торсов совпадают с противоположными боковыми сторонами прямоугольного и трапециевидного планов. В случае произвольного четырехугольного плана прямые образующие не совпадают с боковыми сторонами, но только проектируются на них. При построении рассматриваемых торсов использованы работы Г. Монжа, Г.Е. Павленко [4], Ж.Н. Горбатович [5], Б. Бхаттачарии [6], В.Г. Рекача и Н.Н. Рыжова [7], В.Н. Иванова [8], М.Е. Ершова, Е.М. Тупиковой [9], Fr. Perez-Arribas и L. Fernandez-Jambrina [10]. Несмотря на то, что разработкой методик построения торсовых поверхностей с двумя заданными заранее плоскими кривыми занималось много геометров и инженеров графических иллюстраций, конкретных торсов встречается очень мало, буквально единицы. Цель исследования - привлечь внимание специалистов к возможности получения параметрических уравнений торсовых поверхностей, построенных на двух заранее заданных опорных плоских кривых, лежащих в параллельных или в пересекающихся плоскостях. До настоящего времени для построения эти поверхности использовались в основном графические методы [11; 12]. И лишь для 5-6 торсовых поверхностей получены их неявные или параметрические уравнения [13]. Инженеры и проектировщики машиностроительной и текстильной отраслей заинтересованы в расширении списка торсовых поверхностей, заданных аналитическими формулами, что также является целью предложенного исследования [14; 15]. 2. Алгебраические кривые в качестве направляющих кривых проектируемых торсов Во всех публикациях [1; 2; 3] использовались в качестве направляющих кривых алгебраические кривые второго и четвертого порядков. Эти кривые можно задать в виде следующих элементов: § парабола (1) § фрагмент эллипса (2) где a1 и h1 размеры полуосей полного эллипса, a1 ≥ a. Если задаться значением a1, можно определить величину другой полуоси полного эллипса h1: § фрагмент окружности (3) § гипербола (4) постоянный параметр с выбирается произвольно, но c ≠ 0. § биквадратная парабола: (5) § суперэллипс: (6) Рис. 1. Постоянные геометрические параметры кривых И с т о ч н и к: выполнено С.Н. Кривошапко. Тангенс угла наклона φ касательной к кривым определяется по формуле (7) -1 ≤ u ≤ 1. Остальные геометрические параметры показаны на рис. 1. Более подробные сведения о кривых (1)-(6) можно взять в любом справочнике по аналитической геометрии или в работах [1-3]. 2.1. Примеры торсов на прямоугольных, трапециевидных и произвольных четырехугольных планах с двумя направляющими кривыми на противоположных торцах 2.1.1. Цилиндрические поверхности на прямоугольном плане (рис. 2) Рис. 2. Цилиндрическая поверхность с параболами на торцах И с т о ч н и к: выполнено В.Н. Ивановым и др. [16]. Все алгебраические цилиндрические поверх-ности 2-го порядка рассмотрены в статье [16]. Цилиндрическая поверхность является вырожденным торсом, в котором ребро возврата удалено на бесконечность. Задать цилиндрическую поверхность, перекрывающую прямоугольный план, в параметрической форме очень легко. Например, если одинаковые направляющие параболы задать в виде y = ax2, где a = h/c2, то параметрические уравнения цилиндрической поверхности будут: x = x, y = ax2, z = z. 2.1.2. Торсовые поверхности с двумя заданными плоскими кривыми в параллельных плоскостях Для построения торсовой поверхности, которая содержит плоские кривые в параллельных плоскостях xOy, то есть при z = 0, и в плоскости z = l, и у которой противоположные прямые образующие лежат в горизонтальной плоскости xOz параллельно координатной плоскости yOz, необходимо принять, что углы φ0 у обеих направляющих кривых равны (рис. 1). Если дана пара любых направляющих кривых, заданных уравнениями (1)-(6), то их векторные уравнения можно представить в виде и (8) относительно полюса О, где u, v - соответствующие параметры, тогда уравнение торса можно представить в виде [6] (9) где λ - безразмерный параметр, При задании торса в виде (9) координатные линии λ = 0 и λ = 1 совпадают с направляющими кривыми. Между параметрами u и v должно существовать соотношение [4] (10) Геометрический смысл уравнения (10) состоит в том, что прямолинейная образующая торса проходит через две соответствующие точки плоских кривых, для которых угловые коэффициенты касательных φ0 равны, т. е. касательные, проведенные через соответствующие точки двух кривых, должны быть параллельны. Векторное уравнение (9) можно представить в параметрической форме (11) Описанная выше методика определения параметрических уравнений (11) торсовых поверхностей в работе [1] апробирована на примерах пяти вариантов двоек плоских кривых в качестве направляющих кривых: эллипс (2) + парабола (1), фрагмент окружности (3) + парабола (1), гипербола (4) + парабола (1) (рис. 3), парабола (1) + биквадратная парабола (5) (рис. 4), суперэллипс (6) с r = t = 2 + суперэллипс (6) с r = t = 3. Рис. 3. Торс с параболой и гиперболой на торцах И с т о ч н и к: выполнено С.Н. Кривошапко. Рис. 4. Торс с параболами второго и четвертого порядков на торцах И с т о ч н и к: выполнено С.Н. Кривошапко. Торсовая поверхность с окружностью и параболой в параллельных плоскостях привлекла также внимание Ж.Н. Горбатовича [5]. Поверхность с эллипсом и параболой в параллельных плоскостях изучалась в статье [17]. Торс с параболами использовался для иллюстрации способа построения его развертки на плоскость [9]. Есть пример аппроксимации торсовой поверхности с параболами 2-го и 4-го порядков в параллельных плоскостях складчатой структурой [18]. Указанные разработки можно использовать применительно к рассматриваемым торсам на прямоугольных планах, но в указанных статьях [5; 9; 18] контурные прямые образующие не лежат в горизонтальной плоскости. В [2] рассмотрены торсовые поверхности с двумя заданными плоскими кривыми (1)-(6) в параллельных плоскостях, но перекрывающие трапециевидный план. В этом случае для первой кривой (см. рис. 1) то есть а для второй кривой то есть Если плоские направляющие кривые (8) лежат в параллельных плоскостях, то между параметрами u и v должно существовать соотношение (10). При построении торсовой поверхности, которая будет иметь плоские направляющие кривые с одинаковыми стрелами подъема h на оси Oz и с двумя прямолинейными образующими, совпадающими с боковыми сторонами трапециевидного плана на плоскости xOz, необходимо выполнить дополнительное условие (см. рис. 1): tgφо одной кривой при x = ±a должен быть равен tgφо другой кривой при x = ±b. После выполнения условий (10) можно записать параметрические уравнения (11) искомой торсовой поверхности. В [2] методика построения апробирована на примерах шести вариантов двоек плоских кривых в качестве направляющих кривых: эллипс (2) + парабола (1) (рис. 5), фрагмент окружности (3) + парабола (1) (рис. 6), гипербола (4) + парабола (1), парабола (1) + биквадратная парабола (5), суперэллипс (6) с r = t = 2 + суперэллипс (6) с r = t = 3, гипербола (4) + биквадратная парабола (5). Общий вид General view План в осях xOz План в осях yOz План в осях yOz Рис. 5. Торсовая поверхность с фрагментом эллипса и параболой на параллельных торцах И с т о ч н и к: выполнено С.Н. Кривошапко. Рис. 6. Торсовая поверхность с фрагментом окружности и параболой на параллельных торцах И с т о ч н и к: выполнено С.Н. Кривошапко. Торсовые поверхности на трапециевидном плане с двумя плоскими заданными кривыми на двух параллельных краях и с опирающимися на боковые стороны прямыми образующими рассматривались только в [7] с архитектурной точки зрения. 2.1.3. Торсовые поверхности с двумя заданными плоскими кривыми в пересекающихся плоскостях При этих условиях возможны два случая, приемлемых для практического применения: когда оси направляющих кривых параллельны (случай 1) и когда оси направляющих кривых пересекаются (случай 2). Первый случай подробно рассмотрен в статье [3]. В качестве направляющих кривых взяты кривые (1)-(6) попарно и построены шесть торсовых поверхностей. Две из них представлены на рис. 7 и 8. а b а b Рис. 7. Торс с биквадратной и квадратной параболами в пересекающихся плоскостях: а - общий вид; b - вид на торс в плоскости xOz И с т о ч н и к: выполнено С.Н. Кривошапко. Рис. 8. Торс с гиперболой и параболой в пересекающихся плоскостях: а - общий вид; b - вид на торс в плоскости yOz И с т о ч н и к: выполнено С.Н. Кривошапко. Второй случай рассмотрим более подробно. Пусть две кривые лежат в пересекающихся плоскостях, а их оси пересекаются (рис. 9), тогда их параметрические уравнения можно представить в виде кривая 1: кривая 2: (12) Figure 9. Two director curves with intersecting axes in intersecting planes S o u r c e: compiled by S.N. Krivoshapko. Условие компланарности трех векторов записывается в виде или или в развернутом виде: (13) если принять φ - угол между пересекающимися плоскостями. Векторное уравнение (9) для рассматриваемого случая задания направляющих кривых (12) можно перевести в параметрическую форму задания искомой торсовой поверхности: (14) Пример 1. Пусть заданы две квадратные параболы, лежащие в пересекающихся под углом φ плоскостях (рис. 9): (15) а b Рис. 10. Торсовая поверхность, задаваемая уравнениями (17): а - общий вид; b - вид на торс в плоскости xOz И с т о ч н и к: выполнено С.Н. Кривошапко. Соотношение между параметрами u и v находят по формуле (13): (16) Если принять a = b, то получим v1 = u и v2 = a2/u. Принимая в дальнейшем v = v1 = u и a = b, параметрические уравнения (14) искомой торсовой поверхности запишутся как (17) На рис. 10 представлена поверхность, задаваемая параметрическими уравнениями (17), где h = 6 m, H = 5 m, a = 2 m, φ = 60o, a ≤ u ≤ a, 0 ≤ λ ≤ 1. Пример 2. Если принять, что параболы (15) лежат во взаимно перпендикулярных плоскостях, то φ = 90o, а параметрические уравнения (17) примут вид (18) Параметрические уравнения (18) можно преобразовать в неявную форму задания: Рис. 11. Параболический торс И с т о ч н и к: выполнено С.Н. Кривошапко. Очевидно, что это неявное уравнение описывает параболический цилиндр. В энциклопедии [13] описаны две торсовые поверхности: одна с параболами, оси которых пересекаются, но параметрические уравнения парабол имеют вид, отличный от уравнений (15), другая торсовая поверхность содержит два эллипса во взаимно перпендикулярных плоскостях. В.С. Обухова и Р.И. Воробкевич [19] предложили взять за направляющие кривые две параболы во взаимно перпендикулярных координатных плоскостях, касающихся своими вершинами одной из координатных осей, а оси парабол перпендикулярны к этой оси (рис. 11). Пример 3. За направляющие кривые приняты полуэллипс (кривая 1) и парабола (кривая 2): Соотношение между параметрами u и v находят по формуле (13): (19) Параметрические уравнения (14) искомой торсовой поверхности запишутся как (20) a b Рис. 12. Торсовая поверхность, задаваемая уравнениями (20): а - общий вид; б - вид на торс в плоскости yOz И с т о ч н и к: выполнено С.Н. Кривошапко. На рис. 12 представлена поверхность, задаваемая параметрическими уравнениями (20), где h = 4 м, H = 5 м, a = 1,2 м, b = 1,8 м; В дальнейших предложениях торсовых поверхностей, заданных параметрическими уравнениями (14), для практического применения можно повернуть полученный торс вокруг оси y так, чтобы крайние прямые образующие торса стали опираться на заданное основание. В этом случае пресекающиеся плоскости с направляющими кривыми будут наклонены к основанию под соответствующими углами (см. рис. 10, а). 3. Обзор исследований по определению напряженнодеформированного состояния четырех типов торсовых оболочек с предложенными срединными поверхностями Начало геометрическим исследованиям невырожденных торсовых поверхностей положил Г. Монж в 1805 г. С тех пор появились сотни научных работ, посвященных геометрии и применению этих поверхностей. Изучению напряженно-деформированного состояния тонких невырожденных торсовых оболочек, за исключением торсов-геликоидов [20] и оболочек одинакового ската [21], посвящено меньше двух десятков работ. Все известные торсовые оболочки имеют срединные поверхности, заданные в неортогональной сопряженной системе криволинейных координат, что значительно затрудняет аналитический расчет этих оболочек. Система 20 расчетных уравнений для определения 19 двумерных параметров, представленная А.Л. Гольденвейзером, при условии задания срединной поверхности в произвольной системе криволинейных координат содержит внутренние «псевдоусилия» и «псевдомоменты» в отличие от внутренних усилий и моментов, принятых в системе 20 расчетных уравнений, содержащих 19 неизвестных величин, полученных автором [22]. Эти две системы расчетных уравнений использовались в упрощенном варианте только для безмоментного расчета торсовых оболочек двух видов. Г.Ч. Баджория [23] применил уравнения равновесия А.Л. Гольденвейзера для безмоментного расчета торсовой оболочки, заданной в виде , (21) где ρ(v) - текущий радиус-вектор ребра возврата; l(v) - единичный касательный вектор к ребру возврата. Б. Бхаттачария [24] также применил уравнения равновесия А.Л. Гольденвейзера, но при условии задания срединной поверхности торсовой оболочки в виде (9). По безмоментной теории рассчитана торсовая оболочка, перекрывающая произвольный четырехугольный план с двумя плоскими параболами, лежащими в пересекающихся плоскостях с параллельными осями [25]. Результаты расчета торсовой оболочки с окружностью и эллипсом в параллельных плоскостях, нагруженной линейной нагрузкой на круговом торце, представлены в работе [26]. Та же оболочка, но нагруженная собственным весом, рассмотрена в [27]. 4. Результаты 1. При построении торсовой поверхности с двумя направляющими алгебраическими кривыми n-го порядка в параллельных плоскостях (рис. 3, 4), проходящих через противоположные стороны прямоугольного плана 2a × l, можно взять за направляющие кривые любые алгебраические кривые, причем стрела подъема h (рис. 1) одной из двух кривых принимается произвольной, а стрела подъема второй кривой вычисляется в зависимости от геометрических параметров двух принятых кривых из условия равенства углов φ0. Расстояние l между плоскостями с кривыми на величину стрел подъема кривых не влияет. 2. Величины стрел подъема двух суперэллипсов (6) на параллельных плоскостях можно принимать любыми. 3. Для построения торсов с двумя направляющими алгебраическими кривыми n-го порядка в параллельных плоскостях (рис. 3, 4), проходящих через противоположные стороны прямоугольного плана 2a × l и торсов с двумя заданными плоскими кривыми (1)-(6) в параллельных плоскостях, но перекрывающих трапециевидный план с противоположными основаниями, равными 2a и 2b, можно использовать одни и те же параметрические уравнения (11). 4. Величины стрел подъема h и H двух направляющих кривых, лежащих в пересекающихся плоскостях, и величина угла φ между этими плоскостями не влияют на соотношение между параметрами u и v (см., например, формулы (16) и (19)). 5. Показано, что до настоящего времени исследованы 6 торсов с направляющими кривыми в параллельных плоскостях и с заданными граничными условиями на контурах прямоугольных планов [1], 8 торсов с направляющими кривыми в параллельных плоскостях и с заданными граничными условиями на контурах трапециевидных планов [2], 5 торсов с направляющими кривыми с параллельными осями в пересекающихся плоскостях [3], и только 3 торса с направляющими кривыми с пересекающимися осями в пересекающихся плоскостях. В представленной статье предложено к рассмотрению еще 3 торса с направляющими кривыми с пересекающимися осями в пересекающихся плоскостях. 6. Обзор опубликованных работ показал, что в настоящее время нет исследований напряженно-деформированного состояния тонких оболочек с рассмотренными срединными торсовыми поверхностями, заданными в криволинейных неортогональных сопряженных координатах u, λ в виде (11) или (14) с применением моментной теории оболочек. Исследователи из инженерной академии Российского университета дружбы народов (ИА РУДН), Москва, опубликовали большое число работ по геометрии, применению, аппроксимации торсов складками, построению разверток торсов на плоскость и параболическому изгибанию торсовых поверхностей, по определению параметров напряженно-деформированного состояния некоторых частных случаев торсовых оболочек. Помимо их работ, часть из которых указана в разделе «Использованная литература», большинство опубликованных научных статей за последние 25 лет посвящены реализации методов построения разверток торсов с двумя заданными направляющими кривыми на плоскость с максимальным привлечением ЭВМ [14; 28; 29] и применению торсов на практике [30] в авангардной архитектуре, в сельскохозяйственном машиностроении, в судостроении [10], в индустрии моды [15], а также решению математических задач, связанных с торсовыми поверхностями [31]. 7. Установлено, что единственной работой по нахождению оптимальной цилиндрической оболочки с двумя искомыми опорными кривыми на торцах является статья В.Н. Иванова, О.О. Алёшиной, Е.А. Ларионова [16]. Цилиндрические поверхности являются вырожденными торсовыми поверхностями, у которых ребро возврата удаляется на бесконечность. 5. Заключение В научно-технической литературе предложено 10 методов конструирования торсовых поверхностей. Наиболее известные из них это - конструирование торсов по двум заданным направляющим кривым, конструирование по заданному ребру возврата и кинематический метод наматывания плоскости с прямой линией на цилиндр и конус. Первый метод из перечисленных выше рекомендуется в основном для проектирования покрытий больших площадей в строительстве, второй - широко используется для создания винтовых и винтообразных изделий в машиностроении, а третий метод применяется при исследовании траектории движения прямой линии в пространстве и при изучении резной линейчатой поверхности Монжа. Несмотря на то, что имеются эскизы архитектурных объектов в форме торсов с заданными опорными плоскими кривыми, наибольшее применение они нашли при проектировании корпусов речных и морских судов. Практически во всех публикациях по изготовлению корпусов судов используется графическое воплощение идей конструирования этих торсовых поверхностей. В статье предложены аналитические решения поставленных задач. Для удобства изучения торсовых поверхностей с двумя заданными кривыми они разделены на четыре типа, для каждого из которых показан порядок получения явных или параметрических уравнений, по которым с помощью компьютерной графики построены соответствующие торсовые поверхности с заданными геометрическими параметрами. Представленные материалы могут привлечь архитекторов и инженеров-практиков к расширенному использованию предложенных развертывающихся поверхностей в формах реальных изделий, конструкций и сооружений.

Об авторах

Сергей Николаевич Кривошапко

Российский университет дружбы народов

Автор, ответственный за переписку.
Email: sn_krivoshapko@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-9385-3699
SPIN-код: 2021-6966

доктор технических наук, профессор-косультант кафедры технологий строительства и конструкционных материалов, инженерная академия

Российская Федерация, 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6

Список литературы

Дополнительные файлы