Structural Mechanics of Engineering Constructions and BuildingsStructural Mechanics of Engineering Constructions and BuildingsСтроительная механика инженерных конструкций и сооружений1815-52352587-8700Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)4830310.22363/1815-5235-2025-21-5-377-388DQGYSOAnalysis of thin elastic shellsРасчет тонких упругих оболочекResearch ArticleConstruction of Developable Surfaces with Two Director CurvesПостроение торсовых поверхностей на двух направляющих кривыхhttps://orcid.org/0000-0002-9385-36992021-6966KrivoshapkoSergey N.КривошапкоСергей Николаевич

Doctor of Technical Sciences, Consulting Professor of the Department of Construction Technology and Structural Materials, Academy of Engineering

доктор технических наук, профессор-косультант кафедры технологий строительства и конструкционных материалов, инженерная академия

sn_krivoshapko@mail.ruRUDN UniversityРоссийский университет дружбы народов15122025215VOL 21, NO5 (2025)ТОМ 21, №5 (2025)37738831012026Copyright ©; 2025, Krivoshapko S.N.Copyright ©; 2025, Кривошапко С.Н.2025Krivoshapko S.N.Кривошапко С.Н.https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0https://journals.rudn.ru/structural-mechanics/article/view/48303

An analysis of a number of published materials regarding four types of developable surfaces with two director (supporting) algebraic curves of the second order lying in parallel or in intersecting planes has been conducted. Three types of developable surfaces are shortly described with references to sources, and visualizations of each type of developable surface are presented. For the developable surfaces with two supporting curves with intersecting axes in intersecting planes, the construction technique and the method of obtaining parametric equations are given. This method is illustrated with three examples. It is established that to date, there are no studies on the strength of thin shells in the form of the presented developable surfaces defined in curvilinear conjugate non-orthogonal coordinates that coincide with the external contour of the shells. It is shown that there are suggestions of application of the studied surfaces in architecture, shipbuilding, and agricultural machine engineering.

Проведен анализ ряда опубликованных материалов по четырем типам торсовых поверхностей с двумя направляющими (опорными) алгебраическими кривыми второго порядка, лежащими в параллельных или пересекающихся плоскостях. Три типа торсов описаны кратко со ссылками на источники и приведены графические иллюстрации для каждого типа торсов, а для торсовых поверхностей с двумя опорными кривыми с пересекающимися осями в пересекающихся плоскостях представлен порядок построения этой поверхности и методика получения параметрических уравнений. Методика проиллюстрирована на трех примерах. Установлено, что до настоящего времени нет ни одного исследования напряженно-деформированного состояния предложенных тонких торсовых оболочек, заданных в криволинейных неортогональных сопряженных координатах, которые совпадают с внешним контуром торсовых оболочек. Показано, что есть предложения по применению предложенных поверхностей в архитектуре, судостроении и сельскохозяйственном машиностроении.

parallel vectorsvector coplanaritysecond-order algebraic curvesdevelopable surface with two director curvessurface modellingcomputer graphicsпараллельность векторовкомпланарность векторовалгебраические кривые второго порядкаторс с двумя направляющими кривымимоделирование поверхностейкомпьютерная графикаKrivoshapko S.N. Torse surfaces on a rectangular plan with two plane curves on the opposite ends. Building and Reconstruction. 2025;1(117):3–15. (In Russ.) https://doi.org/10.33979/2073-7416-2025-117-1-3-15 EDN: ACOCGOКривошапко С.Н. Торсовые поверхности на прямоугольном плане с двумя плоскими кривыми на противоположных торцах // Строительство и реконструкция. 2025. № 1 (117). С. 3-15. https://doi.org/10.33979/2073-7416-2025-117-1-3-15 EDN: ACOCGOKrivoshapko S.N. Torse surfaces on trapezoidal plan with given in advance curves on the ends and straight generatrixes coinciding with its other sides. Structural Mechanics and Analysis of Constructions. 2025;(4):62–72. (In Russ.) https://doi.org/10.37538/0039-2383.2025.4.62.72 EDN: BOGAHVКривошапко С.Н. Торсовые поверхности на трапециевидном плане с заданными кривыми на торцах и прямыми образующими на боковых сторонах // Строительная механика и расчет сооружений. 2025. № 4 (321). С. 62-72. https://doi.org/10.37538/0039-2383.2025.4.62.72Krivoshapko S.N. Torses with two curves in intersecting planes and with parallel axes. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2025;21(2):155–166. https://doi.org/10.22363/1815-5235-2025-21-2-155-166 EDN: NRNOQAKrivoshapko S.N. Torses with two curves in intersecting planes and with parallel axes // Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2025. Vol. 21. No. 2. P. 155-166. https://doi.org/10.22363/1815-5235-2025-21-2-155-166 EDN: NRNOQAPavlenko G.E. Simplified Shapes of Ships. Moscow: MRF SSSR, 1948. (In Russ.)Павленко Г.Е. Об упрощенных формах судов. Москва : МРФ СССР, 1948. 28 с.Gorbatovich J.N. Design of torse surfaces with two plane cross sections. Proceedings of BSTU. Ser. 5. Physical and Mathematical Sciences. 1995;(2):33–36. (In Russ.) Available from: https://elib.belstu.by/handle/123456789/65082 (accessed: 12.03.2025).Горбатович Ж Н. Конструирование торсовых поверхностей по двум плоским сечениям // Труды Белорусского государственного технологического университета. Серия 5. Физико-математические науки. 1995. № 2. С. 33-36. URL: https://elib.belstu.by/handle/123456789/65082 (дата обращения: 12.03.2025).Bhattacharya B. Theory of a new class of shells. Symposium on Industrialized Spatial and Shell Structures. Poland, 1973. p. 115–124.Bhattacharya B. Theory of a new class of shells // Symposium on Industrialized Spatial and Shell Structures. Poland, 1973. P. 115-124.Rekach V.G., Ryzhov N.N. Some opportunities of broadening number of problems on design and analysis of shells. Structural Mechanics. Moscow: UDN Publ.; 1970;48(6):3–8. (In Russ.)Рекач В.Г., Рыжов Н.Н. Некоторые возможности расширения круга задач по конструированию и расчету оболочек // Строительная механика: Тр. УДН. Т. 48, вып. 6. Москва : УДН, 1970. С. 3-8.Ivanov V.N. Ruled surfaces on the given supporting curves. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2015;(3):9–17. (In Russ.) EDN: TNEVURИванов В.Н. Линейчатые поверхности на заданных опорных кривых // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2015. № 3. С. 9-17. EDN: TNEVURErshov M.E., Tupikova E.M. Construction of development of a torse surface with the parabolas on the opposite edges. Engineering Research: Scientific-and-Practical Conference. RUDN University. 2020:31–41. (In Russ.) EDN: JDIESQЕршов М.Е., Тупикова Е.М. Построение развертки торсовой поверхности с параболами на торцах // Инженерные исследования - 2020 : труды научно-практической конференции с международным участием / под ред. М.Ю. Мальковой. 2020. Российский университет дружбы народов (РУДН) (Москва). С. 34-41. EDN: JDIESQFrancisco Perez-Arribas, Leonardo Fernandez-Jambrina. Computer-aided design of developable surfaces: designing with developable surfaces. Journal of Computers. October 2018;13(10):1171–1176. http://doi.org/10.17706/jcp.13.10.1171-1176Perez-Arribas F., Fernandez-Jambrina L. Computer-aided design of developable surfaces: designing with developable surfaces // Journal of Computers. October 2018. Vol.13. No. 10. P. 1171-1176. http://doi.org/10.17706/jcp.13. 10.1171-1176Chih-Hsing Chu, Charlie C.L. Wang, Chi-Rung Tsai. Computer aided geometric design of strip using developable Bezier patches. Computers in Industry. 2008;59:601–611. http://doi.org/10.1016/j.compind.2008.03.001Chih-Hsing Chu, Charlie C.L. Wang, Chi-Rung Tsai. Computer aided geometric design of strip using developable Bezier patches // Computers in Industry. 2008. Vol. 59. P. 601-611. http://doi.org/10.1016/j.compind.2008.03.001Vaskov A.A., Dorokhov A.S., Trushina L.N. Graphical construction of surfaces of plows. Bulletin of the Federal State Educational Institution of Higher Professional Education “Goryachkin Moscow State Agroengineering University.” 2012;(2):51–53. (In Russ.) EDN: RBFFNDВаськов А.А., Дорохов А.С., Трушина Л.Н. Графическое построение рабочих поверхностей корпусов плугов // Вестник Федерального Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский государственный агроинженерный университет имени В.П. Горячкина». 2012. № 2 (53). С. 51-53. EDN: RBFFNDKrivoshapko S.N., Ivanov V.N. Encyclopedia of Analytical Surfaces. Springer International Publishing Switzerland, 2015. http://doi.org/10.1007/978-3-319-11773-7Кривошапко С.Н., Иванов В.Н. Энциклопедия аналитических поверхностей. Москва : Либроком, 2010, 560 с. ISBN 978-5-397-00985-0Yang J.X., Liu J.Q., Wang C.Y., Liu J. Design and development of developable surface based on engineering requirement. 3rd International Congress on Image and Signal Processing, Yantai, China, 2010:1231–1234. http://doi.org/10.1109/CISP.2010.5647252Yang J.X., Liu J.Q., Wang C.Y., Liu J. Design and development of a developable surface based on engineering requirement // 3rd International Congress on Image and Signal Processing, Yantai, China, 2010. P. 1231-1234. http://doi.org/10.1109/CISP.2010.5647252Miori I., Haruki I. A method of predicting sewn shapes and a possibility of sewing by the theory of developable surfaces. Journal of the Japan Research Association for Textile End-Uses. 2007;48(1):42–51.Miori I., Haruki I. A method of predicting sewn shapes and a possibility of sewing by the theory of developable surfaces // Journal of the Japan Research Association for Textile End-Uses. 2007. Vol. 48. No. 1. P. 42-51.Ivanov V.N., Aleshina O.O., Larionov E.A. Determination of optimal cylindrical shells in the form of second order surfaces. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2025;21(1):37–47. (In Russ.) http://doi.org/10.22363/1815-5235-2025-21-1-37-47 EDN: IQCXLSИванов В.Н., Алёшина О.О., Ларионов Е.А. Определение оптимальных цилиндрических оболочек в форме поверхностей второго порядка // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2025. Т. 21. № 1. С. 37-47. http://doi.org/10.22363/1815-5235-2025-21-1-37-47 EDN: IQCXLSBelyaeva Z.V., Berestova S.A., Mityushov E.A. Tangent developable surfaces elements in thin-walled structures. VIII International Conference on Textile Composites and Inflatable Structures Structural Membranes 2017. 2018. p. 415–426. EDN: XYCRPVBelyaeva Z.V., Berestova S.A., Mityushov E.A. Tangent developable surfaces elements in thin-walled structures // VIII International Conference on Textile Composites and Inflatable Structures Structural Membranes 2017. 2018. P. 415-426. EDN: XYCRPVOlodo E.T., Adjovi E.C., Krivoshapko S.N. Geometrical modeling of a composite folded membrane by a developable membrane with parabolic guidelines of any order. International Journal of Scientific & Engineering Research. 2013;4(4): 338–343. ISSN 2229-5518Olodo E.T., Adjovi E.C., Krivoshapko S.N. Geometrical modeling of a composite folded membrane by a developable membrane with parabolic guidelines of any order // International Journal of Scientific & Engineering Research. 2013. Vol. 4. Iss. 4. P. 338-343. ISSN 2229-5518Obukhova V.S., Vorobkevich R.I. Analytical description of parabolical torses of the fourth order. Applied Geometry and Engineering Graphics. 1982;33:16–19. (In Russ.)Обухова В.С., Воробкевич Р.И. Аналитическое описание параболических торсов 4-го порядка // Прикладная геометрия и инженерная графика. Киев, 1982. Вып. 33. С. 16-19.Rynkovskaya M. Support draft calculation for a ramp in the form of developable helicoid. 2018 IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng. 2018;371:012041. http://doi.org/10.1088/1757-899X/371/1/012041 EDN: VBTPRERynkovskaya M. Support draft calculation for a ramp in the form of developable helicoid // 2018 IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng. 2018. Vol. 371. Article no. 012041. http://doi.org/10.1088/1757-899X/371/1/012041 EDN: VBTPREIvanov V.N., Alyoshina O.O. Comparative analysis of the results of determining the parameters of the stress-strain state of equal slope shell with a directrix ellipse at the base. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2019;15(5):374–383. (In Russ.) http://doi.org/10.22363/1815-5235-2019-15-5-374-383 EDN: LZSVVIИванов В.Н., Алёшина О.О. Сравнительный анализ результатов определения параметров напряженно-деформированного состояния оболочки одинакового ската с направляющим эллипсом в основании // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2019. Т. 15. № 5. С. 374-383. http://doi.org/10.22363/1815-5235-2019-15-5-374-383 EDN: LZSVVIKrivoshapko S.N., Razin A.D. Comparison of two systems of governing equations for the thin shell analysis. Conference: Proceedings of the International Conference on Engineering Research 2021 (ICER 2021), Moscow, 2021; 2559(1):020009. August 2022. http://doi.org/10.1063/5.0099905Krivoshapko S.N., Razin A.D. Comparison of two systems of governing equations for the thin shell analysis // Proceedings of the International Conference on Engineering Research 2021 (ICER 2021), Moscow, 2022. Vol. 2559 (1). Article no. 020009. http://doi.org/10.1063/5.0099905Bajoria G.Ch. Application of a system of equations of A.L. Goldenveiser for analysis of torse shells on momentless theory. Issledovaniya po Raschotu Elementov Prostranstvennyh Sistem. Moscow: UDN Publ.; 1987. p. 65–72.Баджория Г.Ч. Применение системы уравнений А.Л. Гольденвейзера для расчета торсовых оболочек по безмоментной теории // Исследования по расчету элементов пространственных систем. Москва : УДН, 1987. С. 65-72.Bhattacharya B. Membrane theory of new class of developable shells. Journal of Structural Engineering. 1983; 10(3):81–88.Bhattacharya B. Membrane theory of new class of developable shells // Journal of Structural Engineering. 1983. Vol. 10. No. 3. P. 81-88.Rekach V.G., Krivoshapko S.N. Analysis of non-degenerated torse shells in curvilinear non-orthogonal coordinates. Structural Mechanics and Analysis of Constructions. 1982;(6):23–29. (In Russ.)Рекач В.Г., Кривошапко С.Н. Расчет невырожденных торсовых оболочек в криволинейных неортогональных координатах // Строительная механика и расчет сооружений. 1982. № 6. С. 23-29.Krivoshapko S.N. Application of tangential developable surfaces in shipbuilding. Shipbuilding. 1983;7:5–7 (In Russ.)Кривошапко С.Н. Применение торсовых поверхностей в судостроении // Судостроение. 1983. № 7. С. 5-7.Krivoshapko S.N. Design, analysis, and opportunity of application of torse shells in thin-walled structures. Analysis of Shells of Building Structures. Pross. Мoscow: UDN, 1982:54–66. (In Russ.)Кривошапко С.Н. Построение, расчет и возможность применения торсовых оболочек в тонкостенных конструкциях // Расчет оболочек строительных конструкций : сб. трудов. Москва : УДН, 1982. С. 54-66.Bhanage A. An overview of flat pattern development (FPD) methodologies used in blank development of sheet metal components of aircraft. International Journal of Mechanical Engineering and Robotics Research. April 2014;3(2): 33–43. Available from: https://www.ijmerr.com/currentissue.php (accessed: 12.03.2025).Bhanage A. An overview of flat pattern development (FPD) methodologies used in blank development of sheet metal components of aircraft // International Journal of Mechanical Engineering and Robotics Research. April 2014. Vol. 3. No. 2. P. 33-43. URL: https://www.ijmerr.com/currentissue.php (accessed: 12.03.2025).Nelson T.G., Zimmerman T.K., Magleby S.P., Lang R.J., Howell L.L. Developable mechanisms on developable surfaces. Science Robotics. 20 Feb 2019;4(27). http://doi.org/10.1126/scirobotics.aau5171Nelson T.G., Zimmerman T.K., Magleby S.P., Lang R.J., Howell L.L. Developable mechanisms on developable surfaces // Science Robotics. 20 Feb 2019. Vol. 4. Issue 27. http://doi.org/10.1126/scirobotics.aau5171Lawrence S. Developable surfaces: Their history and application. Nexus Network Journal. October 2011;13(3): 701–714. http://doi.org/10.1007/s00004-011-0087-z EDN: HJZITKLawrence S. Developable surfaces: Their history and application // Nexus Network Journal. October 2011. Vol. 13 (3). P. 701-714. http://10.1007/s00004-011-0087-z EDN: HJZITKIshikawa G. Singularities of parallels to tangent developable surfaces. arXiv: Differential Geometry. 16 May 2021. Available from: https://scispace.com/papers/singularities-of-parallels-to-tangent-developable-surfaces-2cdy3p4ifc (accessed: 12.03.2025).Ishikawa G. Singularities of parallels to tangent developable surfaces // arXiv: Differential Geometry. 16 May 2021. URL: https://scispace.com/papers/singularities-of-parallels-to-tangent-developable-surfaces-2cdy3p4ifc (дата обращения: 12.03.2025).