Метод расчета монтажных напряжений в стержневых конструкциях, усиливаемых в деформированном состоянии

Полный текст

1. Введение При реконструкции и ремонте сооружений в виде стержневых систем в конструкцию вносятся изменения и дополнения, которые позволяют увеличить величины действующих эксплуатационных нагрузок. Напряженно-деформированное состояние таких систем зависит от нагрузок (ремонтные нагрузки), при которых проводят реконструкцию, от способа усиления при которых могут возникать или не возникать монтажные напряжения, и от действующих после ремонта эксплуатационных нагрузок. В статье представлен метод расчета напряженно-деформированного состояния стержневой системы при усилении с возникновением монтажных напряжений. В настоящее время теоретическому и экспериментальному исследованию усиления конструкций эксплуатируемых сооружений посвящены многие публикации. Например, вопросы проектирования и расчета усиливаемых металлических конструкций рассмотрены в статьях [1-4], а для железобетонных конструкций в [5-14]. Теоретические и экспериментальные исследования усиления сооружений с применением композитных материалов опубликованы в [11; 15-19]. В [1; 10; 20; 21] приведены результаты численных расчетов указанных исследований. Отметим, что в настоящее время вопросы определения монтажных напряжений и их влияние на напряженно-деформированное состояние усиленных под нагрузкой конструкций в достаточной мере не изучены. В частности, в отмеченных выше публикациях возможности возникновения и влияния монтажных напряжений на напряженно-деформированное состояния усиленных под нагрузкой строительных конструкций не рассмотрены. К одной из первых работ, в которой обращается внимание на особенности учета таких напряжений при усилении конструкций, относится монография И.С. Реброва [22]. Однако в ней представлена общая постановка задачи, но не приведены методика и примеры расчетов монтажных сил и напряжений. Исследованию влияния монтажных напряжений на напряженно-деформированное состояние усиливаемых под нагрузкой стержневых систем посвящены публикации [23-25] авторов этой статьи. В этих работах описан метод определения монтажных напряжений, приведены данные расчетов, показывающие влияние этих напряжений на несущую способность усиленных под нагрузкой конструкций. Показано, что учет особенностей монтажа при усилении нагруженных стержневых конструкций под нагрузкой оказывает значительное влияние на перераспределение напряжений между элементами конструкции. Особенность использованного в [23-25] способа определения монтажных напряжений состоит в том, что для расчета необходимо предварительно находить перемещения рассматриваемой системы от единичных сосредоточенных сил. Отметим, что алгоритм расчета монтажных напряжений с использованием перемещений от единичных нагрузок не является достаточно простым и применять этот метод, видимо, целесообразно при решении линейных задач. В связи с этим представляется актуальной разработка сравнительно простого метода определения монтажных напряжений, в котором не используются перемещения от единичных сил, а деформации могут быть и нелинейными. Цель исследования - разработка модели и метода определения монтажных перемещений и напряжений в стержневых системах, в которых при решении задачи не используются формулы для перемещений стержневой системы от единичных сосредоточенных нагрузок. Задачи исследования: ➢ построение математической модели и метода определения монтажных перемещений и напряжений в стержневых конструкциях, усиленных в деформированном состоянии; ➢ иллюстрация достоверности и точности получаемых по этому методу результатов на основе тестовых численных расчетов и их сравнения с данными, опубликованными в научной литературе. 2. Метод расчета Изложим вариационный метод определения монтажных перемещений и напряжений, возникающих при усилении стержневой системы, элементы которых деформированы и имеют ремонтные[1] (начальные) напряжения и деформации. Полагаем, что возникающие в стержнях перемещения и деформации являются малыми. Для определения их напряженно-деформированного состояния используем теорию стержней с учетом поперечных сдвигов [25]. Введем глобальную 0~x ~y~z и локальную 0xyz декартовы системы координат. Начало локальной системы координат выбирается в поперечном сечении стержня, в котором вычисляются перемещения, деформации и напряжения. Ось 0x направляется по направлению касательной к продольной оси стержня, а 0y и 0z располагаются в поперечном сечении. Для вычисления напряжений x, xy , xz и деформации x , xy , xz введем в глобальной системе координат вектор перемещений u = u~1,u~2,u~3 Т и углов поворота поперечных сечений стержней = ~1, ~2, ~3 Т . Эти векторы с компонентами, определенными в локальной системе координат, обозначим u = u1,u2,u3 Т и = 1, 2, 3 Т . Связь между компонентами указанных векторов описывается формулами u = n u , = n , (1) где n - матрица направляющих косинусов: cos(x x, ) cos(x y, ) cos(x z, ) n = cos(y x, , ) cos(y y , ) cos(y z, ) . cos(z x, ) cos(z y, ) cos(z z, ) В локальной системе координат деформации вычисляются по формулам du d d x = 1 -y 3 +z 2 , xy = 1(y,z) dudx2 - 3 - 2(y,z)dd x1 , dx dx dx xz = 1 (y,z) dudx3 + 2 + 2(y,z)dd x1 . (2) Здесь 1(y,z), 2(y,z) , *1(y,z), *2(y,z) - функции, зависящие от вида деформации и формы поперечного сечения стержня [23]. Полагаем, что справедлив закон Гука: x = E x , xy = G xy , xz = G xz , (3) где E и G - модули упругости и сдвига материала. Перемещения и углы поворота элементов стержневой конструкции определяются из условия вариационного принципа Лагранжа U - W =0 . (4) Здесь U - вариация потенциальной энергии стержневой конструкции; W - элементарная работа внешних сил. В локальной системе координат U = (E x x +G xy xy +G xy xz )dAdx , l A δW= (q u1δ 1 + q u2δ 2 + q u3δ 3 )dl + (F1n δu1 (xn )+ F2n δu2 (xi )+ F3n δu3 (xn ))+ lq n + (М1k 1k (xk )+М2k 2k (xk )+М3k 3k (xk )), k где l , A - длины и площади поперечных сечений стержней конструкции; lq - длины участков, на которых действуют распределенные нагрузки q (q1 , q2, q3 ); F F( 1n , F2n , F3n) - сосредоточенные силы; М М( 1k, М2k, М3k ) - сосредоточенные моменты. Входящие в (4) величины вычисляются в локальной системе координат 0xyz с использованием формул (1-3). Для проведения вычислений вводятся векторы перемещений и поворотов, определенные в глобальной системе координат 0~x~y~z . На каждом из N участков стержневой системы компоненты векторов u = u~1,u~2,u~3 Т и = ~1, ~2, ~3 Т представляются в виде рядов u~k = u~ki = M Ckmi fm(t). (5) m=1 Здесь k =1,2,3; i =1,N ; Ckmi , Dkmi - неизвестные постоянные, которые определяются из условия (4); fm(t) - аппроксимирующие функции, f1(t)=1-t , f2(t)= t , fm(t)=(1-t)tm-2, m =3,M ; t = s / li - безразмерный параметр (0 t 1); s - длина продольной оси стержня, отсчитываемая от начала участка (0 s li); li - длина участка стержня с номером i . Удовлетворяя граничным условиям и используя формулы (2-5), из условия (4) можно получить систему алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов рядов Ckmi , Dkmi : K C = F , (6) где K - матрица жесткости стержневой конструкции; C - вектор неизвестных постоянных; F - вектор нагрузок. Решение системы уравнений (6) позволяет определять коэффициенты Ckmi , Dkmi и, используя приведенные здесь соотношения, вычислить перемещения, деформации и напряжения, возникающие в стержнях. Изложим расчет напряженно-деформированного состояния нагруженной конструкции при усилении, в которой возникают монтажные напряжения. Этот расчет можно разбить на три этапа: 1) определение перемещений, деформаций и напряжений в элементах эксплуатируемой стержневой системы при воздействии начальных (ремонтных) нагрузок; 2) вычисление монтажных перемещений и напряжений, возникающих при усилении деформированных и напряженных элементов конструкции; 3) расчет конструкции после усиления при действии дополнительных эксплуатационных нагрузок. На первом этапе на конструкцию действуют ремонтные нагрузки q р , F р , М р . Полагается u~ ik= u~ ikр, ~ ik= ~ ikр . Определение перемещений, деформаций и напряжений в стержневой системе осуществляется по приведенным здесь соотношениям с использованием обычных процедур вариационного метода, которые подробно изложены в ряде публикаций [23-25]. В результате этого находятся прогибы u~kip , углы поворота kip , деформации xр , xyр , xzр и напряжения σ , τ , τxр xyр xzр , возникающие от ремонтных (начальных) нагрузок. На втором этапе расчета вычисляются монтажные перемещения, деформации и напряжения. Возникновение этих величин обусловлено тем, что конструкция усиливается за счет присоединения к деформированным (изогнутым) стержням исходной системы недеформированных усиливающих стержней. Следовательно, первоначально между усиливаемым и усиливающим стержневым элементом имеется некоторый зазор. Соединение этих элементов осуществляется с использованием стяжных устройств так, чтобы между усиливаемым и усиливающим стержнями не возникало зазора. При этом стержневая система от воздействия стяжных устройств деформируется, в ней возникают монтажные перемещения и напряжения. При расчете монтажных напряжений может использоваться метод, основанный на предварительном определении монтажных сил, под действием которых ликвидируется зазор между соединяемыми элементами [23-25]. Эти силы затем вносятся в выражение для элементарной работы внешних сил W , и в вариационной постановке решается задача определения монтажных перемещений и напряжений. Изложим метод вычисления монтажных перемещений деформаций и напряжений, в котором не требуется предварительно определять монтажные силы. Введем в глобальной системе координат вектор-функции, описывающие зазоры между усиливаемым и усиливающим элементами: f m ( )s = f1m ( )s i + f2m ( )s j + f3m( )s k , (7) где i , j , k - орты, f1m ( )s , f2m ( )s , f3m ( )s - расстояния между деформированными и недеформированными стержнями на участках усиления с номерами m = m1 , m2 , ... mn . Обозначим через uDm( )s = u1mD, u2mD, u3mD Т и uNm( )s = u1mN, u2mN, u3mN Т перемещения, которые возникают соответственно в деформированных и недеформированных элементах при монтажном усилении. Чтобы между усиливаемым и усиливающим стержнями не возникало зазора, должны выполняться условия: uNm ( )s = f m ( )s +uDm ( )s , m = m1 , m2 , ... mn . (8) В скалярном виде эта связь записывается следующим образом: u1mN ( )s = f1m ( )s +u1mD ( )s , u2mN ( )s = f2m ( )s +u2mD ( )s , u3mN ( )s = f3m ( )s +u3mD ( )s . (9) Получается, что для решения задачи необходимо выполнение условия принципа Лагранжа (4) при наложенных на перемещения системы связей (9). Удовлетворяя наложенным на перемещения стержней связям, можно определить монтажные силы qM , под действием которых ликвидируется зазор между соединяемыми стержнями [23-25] и с учетом qM вычислить монтажные напряжения [23-25]. В этом случае в вариационном уравнении (4) δU = δUо +δUм (uNm( )s , Nm( )s ) , δW = δWо +δWм , (10) где Uо , δUм - вариации потенциальной энергии исходных и усиливающих элементов стержневых элементов конструкции, δWо , δWм - элементарные работы внешних и монтажных сил. Не вычисляя qM и используя связи (9), исключим функции u1mN ( )s из соотношений для U.Так как f m( s ) = 0, то из равенств (9) получается δu1mN ( )s = δu1mD ( )s , δu2mN ( )s = δu2mD ( )s , u~3mN (s) = u~3mD(s) . (11) С учетом введенных обозначений для перемещений uDm (s) усиливаемых стержней и уравнений (9, 10), получим = + U Uо Uм (uDm( )s , Nm( )s ) , δW = δW0 +δWмс ( f m( )s ). (12) Отметим, что в выражении (11) для W содержатся функции fm ( )s , описывающие зазоры между усиливаемым и усиливающим элементами. При проведении расчетов полагается u ik= u ikр+u ikм , = + ik ikр ikм . (13) Варьируемыми величинами в (13) являются u ikм , ikм . Подставляя формулы (12), (13) в условие (4), можно определить u ikм и ikм , которые возникают в исходных элементах стержнях при монтажном усилении. После этого, используя (9), можно найти перемещения u1mN ( )s в усиливающих стержнях. Деформации и напряжения, возникающие в стержневой системе от действия ремонтных (начальных) нагрузок и монтажного усиления, вычисляются с учетом (11). Для более детального представления основных соотношений и особенностей расчетов на этом этапе изложим описанный метод определения монтажных напряжений в частном случае. Пусть балка 1 (рис. 1, а) длиной l1 с площадью поперечного сечения A1 под действием ремонтных нагрузок деформируется и в ней возникает прогиб f x( ). При усилении к ней присоединяется прямолинейная балка 2 (рис. 1) длиной l2 с площадью поперечного сечения A2. Под действием монтажных сил q м обе балки деформируются, зазор f (x) между ними ликвидируется, они соединяются друг с другом и в дальнейшем деформируются как единое целое. Ис т о ч н и к : выполнено М.Н. Убайдуллоевым Figure. 1. Model of strengthening a deformed bar S o u r c e : made by M.N. Ubaydulloev В данном случае в прямолинейных стержнях возникает деформация изгиба в плоскости, следовательно, u~1 =0, u~2 =0, ~1=0, ~3=0 и можно считать, что u = u , = . Полагая s x u x= , 31( )= u11D ( )x , u x32( ) = u12D ( )x , условие соединения балок (9) при помощи монтажных сил можно записать в следующем виде: u32 = f x( )+u31 . (14) Из этого уравнения следует δu32 = δu31 . (15) Отметим, что под действием монтажных сил q м балки должны сблизиться. Величины q м заранее не известны. Чтобы исключить дополнительную процедуру определения q м , силы q м в условие (4) не вводятся, а вместо этого учитываются связь (14) и равенство (15). Используя соотношений (2-4), (12), (13), находим Uо = Е z d 21 z d 12 + G 1 du31 + 21 1 d u 31 + 21 dAdх , (16) l1 A1 dx dx dx dx Uм = l 2 A2 Е z ddx 22 z d dx 22 + G 1 dudx31 + 22 1 d udx 31 + 22 dAdх. (17) d f x d u1 d f x W =- G 1 2 ( ) 3 + ( ) 22 dA dх . (18) l2 A2 dx dx dx Серазутдинов М.Н., Убайдуллоев М.Н. Получилось, что при таком способе учета наложенных связей элементарная работа внешних сил (18) выражается через производную от функции f (x), а не через монтажные силы q м , под действием которых зазор между балками ликвидируется. Используя соотношения (16-18), (15), можно определить возникающие при деформировании под действием q м (рис. 1) монтажные перемещения, деформации и напряжения. На третьем этапе расчета, после выполненного усиления, к конструкции могут быть приложены дополнительные эксплуатационные нагрузки q у , F у , М у . Определение напряженно-деформированного состояния на этом этапе осуществляется по уже описанной схеме. Полагается uki = u ikр+u ikм+u ikу , = + + ki ikр ikм ikу . (19) Варьируемыми величинами в (19) являются u ikу , ikу . Из решения вариационной задачи находятся прогибы u~ ikу и углы поворота ikу . Затем, с использованием (19), вычисляются деформации и напряжения, возникающие в усиленной стержневой системе. 3. Результаты и обсуждение С целью иллюстрации точности расчетов по описанному методу, достоверности получаемых данных и особенностей, возникающих при усилении деформированных стержней, приведем примеры расчета двухопорной балки 1 (рис. 2, а). Рис. 2. Схемы деформации балок: а - до усиления; б - после усиления; в - после приложения дополнительной нагрузки ∆F Ис т о ч н и к : выполнено М.Н. Убайдуллоевым Figure. 2. Beam deformation models: а - before strengthening; б - after strengthening; в - after applying additional load ∆F S o u r c e : made by M.N. Ubaydulloev АСЧЕТ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ До усиления балка 1 деформируется под действием сосредоточенной силы Fp , в ней возникает прогиб u x3p( ) . При усилении, с использованием стяжных устройств, эта балка и прямолинейный стержневой элемент 2 (рис. 2, а) сближаются друг с другом, и их скрепляют между собой. Зазор u3p ( )x между балками ликвидируется. При этом возникают монтажные перемещения u31м и u32м и моменты М1м и М2м (рис. 2, б). Затем прикладывается дополнительная сосредоточенная нагрузка F (рис. 2, в). Сила, действующая после усиления, становится равной F у = F p + F . В стержнях возникают перемещения u13у , u32у и моменты М1у , М 2у . При расчете полагалось Fp =10кН , F = 20кН , Fу = Fp + F = 30кН , E = 2 10 5 МПа , G = 8 10 4 МПа . Представлены два варианта расчетов: 1) балка 1 усиливается элементом равной жесткости ( EJ1 = EJ2 ), обе балки - двутавр № 18 ( J1 = J2 =1290 см4 ); 2) балка 1 - двутавр № 33, усиливается двутавром № 18 (EJ1 EJ2 , J1 = 9840 см ,4 J2 =1290 см4). В табл. 1-4 представлены результаты расчетов, которые иллюстрируют достаточно сложные закономерности изменения перемещений и распределения усилий в стержнях при усилении. В частности, видно, что в случае EJ1 = EJ2 (EJ1 EJ2 =1) изгибающие моменты М1у и М 2у в балках равны ( M1M2 =1). Возникающий в середине пролета изгибающий момент М =15 кН м распределяется между балками 1 и 2 пропорционально значениям жесткости балок на изгиб (EJ1 EJ2 =1, M1уM 2у =1). В случае же EJ1 EJ2 эта закономерность нарушается. Как видно из табл. 4, возникающий в середине пролета изгибающий момент М =15 кН м распределяется между балками 1 и 2 непропорционально значениям жесткости балок при изгибе (EJ1 EJ2 = 7,63, M1уM2у = 6,2). Таблица 1 Перемещения в стержневых элементах 1 и 2 при EJ1 = EJ2 Метод расчета № стержня umaxp , м umaxм , м umaxу , м Описанный в этой статье 1 -0,000676 0,000338 -0,00101 2 0 -0,000338 -0,00101 Описанный в [23] 1 -0,000676 0,000337 -0,00101 2 0 -0,000337 -0,00101 Ис т о ч н и к : выполнено М.Н. Убайдуллоевым Table 1 Displacements in bar elements 1 and 2 when EJ1 = EJ2 Calculation method Bar id umaxp , m umaxм , m umaxу , m Described in this paper 1 -0.000676 0.000338 -0.00101 2 0 -0.000338 -0.00101 Described in paper [23] 1 -0.000676 0.000337 -0.00101 2 0 -0.000337 -0.00101 S o u r c e : made by M.N. Ubaydulloev Серазутдинов М.Н., Убайдуллоев М.Н. Таблица 2 Усилия в стержневых элементах 1 и 2 при EJ1 = EJ2 Метод расчета № стержня М maxp , кНм М maxм , кН м М maxу , кН м Описанный в этой статье 1 -5,0 2,5 -7,5 2 0 -2,5 -7,5 Описанный в [23] 1 -5,0 2,5 -7,5 2 0 -2,5 -7,5 Ис т о ч н и к : выполнено М.Н. Убайдуллоевым Table 2 Forces in bar elements 1 and 2 when EJ1 = EJ2 Calculation method Bar id М maxp , kN m М maxм , kN m М maxу , kN m Described in this paper 1 -5.0 2.5 -7.5 2 0 -2.5 -7.5 Described in paper [23] 1 -5.0 2.5 -7.5 2 0 -2.5 -7.5 S o u r c e : made by M.N. Ubaydulloev Таблица 3 Перемещения в стержневых элементах 1 и 2 при EJ1 > EJ2 Метод расчета № стержня umaxp , м umaxм , м umaxу , м Описанный в этой статье 1 -0,000098 0,0000125 -0,000256 2 0 -0,0000125 -0,000256 Ис т о ч н и к : выполнено М.Н. Убайдуллоевым Table 3 Displacements in bar elements 1 and 2 when EJ1 > EJ2 Calculation method Bar id umaxp , m umaxм , m umaxу , m Described in this paper 1 -0.000098 0.0000125 -0.000256 2 0 -0.0000125 -0.000256 S o u r c e : made by M.N. Ubaydulloev Таблица 4 Усилия в стержневых элементах 1 и 2 при EJ1 > EJ2 Метод расчета № стержня М maxp , кН м М maxм , кН м М maxу , кН м Описанный в этой статье 1 -5,0 0,694 -12,919 2 0 -0,694 -2,081 Ис т о ч н и к : выполнено М.Н. Убайдуллоевым Table 4 Forces in bar elements 1 and 2 when EJ1 > EJ2 Calculation method Bar id Мmaxp , kN m Мmaxм , kN m Мmaxу , kN m Described in this paper 1 -5.0 0.694 -12.919 2 0 -0.694 -2.081 S o u r c e : made by M.N. Ubaydulloev АСЧЕТ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ . 2024;20(3):197-210 Представленные данные показывают, что даже в рассмотренном достаточно простом случае усиления статически определимой балки возникают особенности, требующие специального исследования. Для статически неопределимых систем закономерности влияния монтажных напряжений на напряженно-деформированное состояние системы являются еще более сложными. Использование же расчетов, в которых учитывается влияние монтажных напряжений на напряженно-деформированное состояние стержней, позволяет существенно увеличить эффективность усиления [24]. Отметим, что результаты, полученные с использованием описанной в данной статье математической модели и метода расчета и представленные в табл. 1 и 2, практически совпадают с данными, полученными по методу, представленному в публикации [23]. 4. Заключение 1. Предложены математическая модель и вариационный метод расчета монтажных перемещений и напряжений в стержневых конструкциях, усиленных в деформированном состоянии. 2. Особенность предложенного метода состоит в том, что при его использовании нет необходимости предварительно определять монтажные силы. Эта особенность существенно упрощает решение задачи и позволяет расширить круг исследуемых вопросов, так как снимает некоторые ограничения, заложенные в методиках определения монтажных сил с использованием формул для перемещений от единичных сил. 3. Сравнения полученных в тестовых расчетах величин монтажных перемещений и напряжений с данными, определенными другими методами, иллюстрируют достоверность и высокую точность расчетов. Отмечается, что при монтажном усилении возникают особенности, требующие специального исследования.

Об авторах

Мурат Нуриевич Серазутдинов

Казанский национальный исследовательский технологический университет

Email: serazmn@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-7222-1935
SPIN-код: 9043-5123

доктор физико-математических наук, профессор кафедры основ конструирования и прикладной механики

Казань, Россия

Маджид Насриевич Убайдуллоев

Казанский национальный исследовательский технологический университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: madgidpwn@rambler.ru
ORCID iD: 0000-0003-2265-0103
SPIN-код: 6935-9797

доктор технических наук, профессор кафедры основ конструирования прикладной механики

Казань, Россия

Список литературы