Снижение чувствительности к начальным несовершенствам при помощи изменения бифуркационных диаграмм

Полный текст

1. Введение Теория устойчивости играет ключевую роль в современном инженерном деле, так как почти все известные конструктивные разрушения содержат в себе элементы явления неустойчивости равновесия. Понимание докритического и послекритического поведения тонкостенных элементов конструкций позволяет оценивать их реальную несущую способность, а также чувствительность к начальным несовершенствам. За последние три десятилетия проведены обширные численные и экспериментальные исследования устойчивости и предельной несущей способности тонких подкрепленных пластин с продольными ребрами жесткости [1-3]. Одной из основополагающих работ по данной теме является статья В. Твергарда [4], в которой рассмотрено равновесие бесконечно широкой пластины, ученые ЦАГИ [5; 6] за последние годы провели ряд численных и экспериментальных расчетов устойчивости и взаимодействия собственных форм стрингерных панелей из углепластика с учетом влияния начальных несовершенств, авторами [7-12] исследовано докритическое и начальное послекритическое равновесие упругих тонких подкрепленных пластин с учетом взаимодействия собственных форм, а также представлена классификация нелинейных решений задачи устойчивости упомянутых пластин. Несмотря на большое количество работ в этом направлении, решения по изменению геометрии таких систем с целью снижения чувствительности критической нагрузки к влиянию начальных несовершенств металлических подкрепленных пластин показаны не были. В [13] приводятся интересные экспе- риментальные исследования сжатых подкрепленных пластин, в [14-17] показаны основы численного и аналитического методов расчета на устойчивость подкрепленных пластин, в [18] показаны решения задач устойчивости для подкрепленных пластин конечных размеров при нагружении сжимающими силами и изгибающим моментом, в [19] исследованы подкрепленные пластины с ребрами z-образного сечения, получены матрицы жесткости для решения краевых задач. Согласно асимптотической теории В.Т. Койтера [20] различают следующие случаи потери устойчивости: • простое выпучивание (несвязанное), когда одному собственному значению соответствует одна собственная форма; • сложное выпучивание (связанное), когда две или более собственных форм имеют одно или близкие собственные значения. Развитие явления сложного (связанного) выпучивания в результате взаимодействия собственных форм зачастую является причиной неустойчивого послекритического поведения тонкостенных систем. Взаимодействие форм порождает большую чувствительность к начальным геометрическим несовершенствам. Это резко снижает несущую способность системы, что особенно заметно в задачах устойчивости тонких подкрепленных пластин. Во избежание данного эффекта предложен алгоритм изменения диаграмм равновесных состояний, который заключается в следующем: 1) перенести точки бифуркации, соответствующие местному волнообразованию, выше значения критической нагрузки бифуркации, отвечающей общей потере устойчивости, путем соответствующего изменения геометрических параметров подкрепленных пластин; 2) провести оценку критических нагрузок из линейного расчета, соответствующих общей форме потери устойчивости и местной форме волнообразования (в ребрах или пластине). Критическая нагрузка, соответствующая местной форме потери устойчивости, должна быть выше по значению критической нагрузки, соответствующей общей форме. Чем более существенна разница между критической нагрузкой волнообразования (в ребрах или пластине) по отношению к критической нагрузке общей формы, тем менее выражен эффект влияния взаимодействия форм. Подход к построению диаграмм равновесных состояний (перенос точки бифуркации, соответствующей волнообразованию ребер и пластины) показан на рис. 1 и 2. При решении данных задач учитывалось взаимодействие общей формы потери устойчивости с каждой местной формой в отдельности. Рис. 1. Представление подхода к построению диаграмм равновесных состояний (перенос точки бифуркации, соответствующей волнообразованию ребер) Figure 1. Representation of the approach to the generation of equilibrium state diagrams (transposition of the bifurcation point corresponding to the wave formation in ribs) Рис. 2. Представление подхода к построению диаграмм равновесных состояний (перенос точки бифуркации, соответствующей волнообразованию пластины) Figure 2. Representation of the approach to the generation of equilibrium state diagrams (transposition of the bifurcation point corresponding to the wave formation in a plate) 2. Методы и материалы Рассматривается бесконечно широкая регулярная подкрепленная пластина (cм. рис. 1), сжатая центрально приложенными силами. Физические характеристики материала: Е = 2 ∙ 10 кг/см , = 0,3. Граничные условия: пластина шарнирно оперта по торцам, продольные края - свободные. Это позволяет исследовать устойчивость подкрепленной пластины при помощи анализа равновесия одного регулярного Т-образного фрагмента (по аналогии с В. Твергардом и А.И. Маневичем [4; 21], равноустойчивого с остальными Т-образными фрагментами (рис. 3). Рис. 3. Поперечное сечение подкрепленной пластины Figure 3. Cross-section of a strengthened plate Размеры Т-образного фрагмента пластины следующие: - ширина (расстояние между ребрами в осях), δ - толщина пластины, - высота ребра, - толщина ребра, L - длина фрагмента (подкрепленной пластины). Граничные условия Т-образного фрагмента пластины: шарнирное опирание вдоль коротких сторон, вдоль длинных сторон - плавающие заделки. Нагрузка приложена в виде сосредоточенной силы в центре тяжести сечения (рис. 4). Рис. 4. Граничные условия и нагружение Т-образного фрагмента Figure 4. Boundary conditions and loading of the T-shaped fragment Введем безразмерный параметр: μ = , (1) где λ - параметр нагрузки, λ - критический параметр нагрузки, полученный из линейного расчета для общей формы выпучивания по типу эйлеровой стойки. Рассмотрим пример реализации построения новых диаграмм равновесных состояний с целью снижения чувствительности критических нагрузок подкрепленных пластин к начальным несовершенствам. Исходными геометрическими соотношениями Т-образного фрагмента являются: 1 = 25; = 20; = ; = 5. ℎ ℎ 5 При данных геометрических параметрах Т-образного фрагмента первой критической нагрузкой потери устойчивости является нагрузка, соответствующая местной форме волнообразования в ребре, а следующей - нагрузка, соответствующая общей форме потери устойчивости, относительная нагрузка, соответствующая численному нелинейному решению, составила μ = 0,758. Будем варьировать соотношения и . Соотношение управляет формой волнообразования, а соотношение управляет критической нагрузкой, соответствующей общей форме. В итоге получим новые соотношения геометрических параметров, при которых первой по величине является критическая нагрузка общей формы потери устойчивости (РЭкр = 980,91 кН), а следующая критическая нагрузка соответствует волнообразования ребра (Рвкр = 1655,61 кН). 1 = 35; = 20; = ; = 7, ℎ ℎ 5 и новые геометрические параметры Т-образного фрагмента: ℎ = 1 см, = 35 см, = 0,6 см, = 12 см, = 245 см. Изменение геометрических параметров с помощью вариаций соотношений и позволило получить разницу значений критических нагрузок общей формы потери устойчивости и местной формы волнообразования в ребре в 1,7 раза. Аналогичное представление геометрических параметров регулярного фрагмента реализовано для случая взаимодействия общей формы потери устойчивости с местной формой волнообразования пластины. Исходными геометрическими соотношениями Т-образного фрагмента являются 1 = 100; = 20; = ; = 6,67. ℎ ℎ 5 Соотношения геометрических параметров с учетом варьирования и : 1 = 90; = 20; = ; = 10. ℎ ℎ 5 Новые геометрические параметры Т-образного фрагмента подкрепленной пластины для случая, когда осуществлен перенос точки бифуркации волнообразования пластины: ℎ = 1 см, = 90 см, = 0,95 см, = 19 см, = 900 см. Из линейного расчета получены значения критических нагрузок. Значение нагрузки, соответствующее общей форме потери устойчивости, составило РЭкр = 465,6 кН. Для местной формы волнообразования пластины значение критической нагрузки Рвкр = 681,60 кН. Изменение геометрических параметров позволило получить разницу значений критических нагрузок в 1,5 раза. 3. Результаты и обсуждение Решение в программном комплексе с учетом геометрической нелинейности показало следующие результаты: нагрузка в предельной точке Ркр на рис. 5. Значения критических нагрузок из линейных расчетов представлены в [9]. Ркр = 979,21 кН (μ = 0,998). Прогиб развивается в сторону пластины. Следовательно, ребро оказывается в сжатой зоне, однако бифуркации волнообразования не наблюдается, так как она достаточно далеко. Значение максимального прогиба в предельной точке составило ξ = -1,5 см. Для построения кривой равновесий взята точка на оси симметрии Т-образного фрагмента в середине пластины. Деформированный вид пластины и кривая равновесных состояний представлены на рис. 5. Рис. 5. Деформированный вид пластины и кривая равновесных состояний из решения задачи с учетом изменения геометрических параметров Т-образного фрагмента (исключение бифуркации ребер) Figure 5. Deformed view of the plate and the equilibrium curve from the solution of the problem with account of changes in the geometric parameters of the T-shaped fragment (excluding rib bifurcations) В табл. 1 приведены значения относительных нагрузок μ в зависимости от величины начального прогиба, полученные в результате численных нелинейных решений для двух вариантов соотношений геометрических параметров Т-образного фрагмента (исходного и с учетом варьирования и ). На рис. 6 приведены кривые чувствительности критических нагрузок к начальным несовершенствам в зависимости от их амплитуд, построенные по результатам численных нелинейных решений при исходных параметрах, и решения для плиты с параметрами, измененными при помощи предложенного алгоритма. Проведем аналогичное исследование чувствительности критических нагрузок волнообразования пластины к начальным геометрическим несовершенствам и сравним результаты численных нелинейных решений для двух вариантов геометрических соотношений Т-образного фрагмента подкрепленной пластины. Для другой пластины решение той же задачи в геометрически нелинейной постановке позволило получить значение критической нагрузки в предельной точке: Ркр = 456,25 кН, μ = 0,979. Прогиб развивается в сторону ребра. Таким образом, пластина оказывается в сжатой зоне. Максимальное значение прогиба в предельной точке составило: ξ = 14,7 см. Для построения кривой равновесий взята точка на оси симметрии Т-образного фрагмента в середине пластины. Деформированный вид пластины и кривая равновесных состояний из решения задачи с учетом изменения геометрических параметров Т-образного фрагмента (исключение бифуркации пластины) представлены на рис. 7. Таблица 1 / Table 1 Значения относительных нагрузок μ / Values of relative loads μ При исходных геометрических соотношениях / At the initial geometrical ratios μ 0,758 0,48 0,417 0,384 0,319 При измененных геометрических соотношениях / At the modified geometrical ratios μ 0,998 0,853 0,816 0,767 0,686 Рис. 6. Кривые чувствительности критических нагрузок к начальным несовершенствам в зависимости от их амплитуд Figure 6. Curves of critical loads sensitivity to initial imperfections as a function of their amplitudes Рис. 7. Деформированный вид пластины и кривая равновесных состояний Figure 7. Deformed view of the plate and the equilibrium curve В табл. 2 приведены значения относительных нагрузок μ в зависимости от величины начального прогиба, полученные в результате численных нелинейных решений для двух вариантов соотношений геометрических параметров Т-образного фрагмента; исходного и с учетом варьирования и . На рис. 8 приведены кривые чувствительности критических нагрузок к начальным несовершенствам в зависимости от их амплитуд, построенные по результатам численных решений при исходных параметрах и решения для плиты с параметрами, измененными при помощи предложенного алгоритма. Таблица 2 / Table 2 Значения относительных нагрузок μ в зависимости от величины начального прогиба / Values of relative loads μ depending on the value of the initial deflection При исходных геометрических соотношениях / At the initial geometrical ratios μ 0,785 0,732 0,71 0,687 0,672 При измененных геометрических соотношениях / At the modified geometrical ratios μ 0,979 0,952 0,921 0,894 0,883 Рис. 8. Кривые чувствительности критических нагрузок к начальным несовершенствам в зависимости от их амплитуд Figure 8. Curves of critical loads sensitivity to initial imperfections as a function of their amplitudes 4. Заключение Анализируя результаты, приходим к выводу, что перенос точки бифуркации волнообразования в ребре позволил получить кривую чувствительности критических нагрузок к начальным несовершенствам с менее выраженным падением критических нагрузок. 1. Падение критической нагрузки для Т-образного фрагмента подкрепленной пластины с исходными геометрическими параметрами составило 57,92 %, тогда как падение критической нагрузки с измененными геометрическими параметрами составило 31,26 %. 2. Аналогичные результаты получены при переносе точек бифуркации волнообразования пластины (см. рис. 2). Падение критической нагрузки для Т-образного фрагмента подкрепленной пластины с исходными геометрическими параметрами составило 11,34 %, тогда как падение критической нагрузки с измененными геометрическими параметрами составило 9,8 %. Это показывает, что подкрепленная пластина, в которой возможно волнообразование в обшивке, менее чувствительна к влиянию начальных несовершенств, чем аналогичная пластина, в которой возможно волнообразование в ребрах. Тем не менее результаты решения с учетом переноса точек бифуркации волнообразования показали, что чем выше значение нагрузки местной потери устойчивости волнообразования по отношению к нагрузке общей формы, тем меньше эффект взаимодействия форм и, соответственно, чувствительность упомянутой пластины к влиянию начальных несовершенств.

Об авторах

Гайк Александрович Мануйлов

Российский университет транспорта

Email: gajk.manuilov@yandex.ru
ORCID iD: 0009-0002-4170-586X

кандидат технических наук, доцент кафедры строительной механики

Москва, Российская Федерация

Сергей Борисович Косицын

Российский университет транспорта

Email: kositsyn-s@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-3241-0683

доктор технических наук, советник РААСН, заведующий кафедрой теоретической механики

Москва, Российская Федерация

Ирина Евгеньевна Грудцына

Российский университет транспорта

Автор, ответственный за переписку.
Email: grudtsyna_ira90@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-6319-3909

ассистент кафедры теоретической механики

Москва, Российская Федерация

Список литературы