Построение решения уравнений теории упругости слоистой полосы на основе принципа сжатых отображений

Полный текст

1. Введение Изучение различных подходов к построению теорий тонкостенных тел позволяет рассматривать пластины, криволинейные и плоские балки как частные случаи некоторых общих построений. За последние четыре десятилетия было представлено значительное количество теорий композитных многослойных тонкостенных тел. Эти теории можно классифицировать по разным моделям, таким как эквивалентные однослойные, квазислойные и послойные модели. При этом теории разрабатывались в основном для пластин, реже для оболочек и в меньшей мере для такого тела, как балка. Изотропные и анизотропные балки и плиты находят широкое применение в конструкциях, подверженных различным нагрузкам в суровых термических условиях, создающих в них дополнительные высокие термические напряжения. Чтобы описать правильную термическую реакцию тонких и толстых пластин, включая эффекты деформации сдвига, требуются уточненные теории. Считается, что классическая теория пластин неточна для толстых пластин из-за пренебрежения напряжениями сдвига. Чтобы преодолеть ограничения классической теории, обычно учитывается сдвиговая деформация с помощью дополнительных членов в перемещениях. Методика образования уточненной сдвиговой теории балок и пластин была разработана Рейсснером [1] и Миндлином [2]. Поскольку в этих теориях поперечное распределение напряжения сдвига берется постоянным по толщине, в уточненной сдвиговой теории пластин, требуется поправочный коэффициент сдвига, который считается неадекватным для предсказания точных решений, например, для толстой изотропной пластины или тонкой, но анизотропной. Отсюда делается вывод, что необходимо построение теорий, учитывающих сдвиговую деформацию более высокого порядка. Кроме того, доступно множество исследований по построению уточненных сдвиговых теорий высокого порядка для слоистых пластин, например [3; 4], с помощью так называемой гиперболической сдвиговой теории. В [5; 6] предложены уточненные теории пластин экспоненциального типа. В [7] встречается изучение влияния теории деформации гиперболического сдвига на изгиб изотропных балок. Статическое поведение балок из композиционного материала при использовании различных уточненных сдвиговых теорий произведено с помощью метода конечных элементов в [8; 10]. В [11-13] построены уточненные теории для решения задач пластин и оболочек, в том числе многослойных, переменной толщины, и приведено решение ряда примеров. За исключением [10-12] используются гипотезы Кирхгоффа для перехода к задачам уменьшенной размерности. Это приводит к проблемам при выполнении граничных условий, так как вследствие приближенного описания дифференциальные уравнения задач уменьшенной размерности не удовлетворяют всем граничным условиям и имеют решения, в которых могут наблюдаться разрывы, быстрые переходы, неоднородности и т. п. Понижение порядка дифференциальных уравнений приближенных теорий в сочетании с потерей части граничных условий приводит к изучению асимптотических явлений. Цель асимптотического анализа задачи заключается в описании решения граничной задачи внутри переходного слоя [13]. Потребность в таких уточненных теориях связана с необходимостью более полного понимания самой классической теории после того, как становятся видны ее обобщения. Уточненные теории позволяют лучше охарактеризовать погрешность классических теорий. Однако построение тех или иных теорий последовательных приближений в смысле учета всех малых одного порядка крайне трудно осуществить, не располагая регулярными методами [14]. Считается, что возникающие при построении теории пластин и оболочек противоречия отсутствуют в задаче построения теории изгиба стержня. В основе такого представления лежит различие в методах построения классических определяющих уравнений. Если построение теорий пластин и оболочек осуществлялось на основе математической теории упругости путем упрощения ее уравнений с помощью гипотез Кирхгоффа, то построение теории балок выполнено на основе физических и геометрических соображений в усилиях и моментах без использования уравнений теории упругости. Однако, если эти теории тонкостенных тел, балок, пластин и оболочек строить на одной математической основе с помощью метода простых итераций, удовлетворяющего принципу сжатых отображений, и не переходить от уравнений в напряжениях к уравнениям в усилиях и моментах, различие исчезает [15]. Истоки метода простых итераций при желании можно найти еще и в полуобратном методе СенВенана [16]. Если в методе Сен-Венана использовать обычно принятые допущения в качестве величин начального приближения, по которым вычисляются остальные искомые неизвестные, можно по полученным величинам вычислить поправку к величинам начального приближения, и по тому, является ли эта поправка существенной или малой, сделать вывод о применимости исходных допущений. Малость поправки говорит о том, что начальные величины выбраны удачно и данные вычисления могут быть рассмотрены как нулевое приближение некоторого итерационного процесса. Построенный таким образом итерационный процесс нуждается в обосновании своей сходимости. Поскольку Сен-Венан применил свою идею к решению задачи кручения и изгиба длинного и узкого стержня, можно оценить сходимость вычислений к некоторому решению, используя наличие присущего стержню малого параметра, обеспечивающего асимптотическую сходимость. Таким образом, приходим к методу простых итераций, принципу сжатых отображений и теореме Банаха о неподвижной точке. Теорема Банаха используется в теории дифференциальных уравнений для доказательства существования и единственности решения некоторых классов краевых задач. В теории интегральных уравнений теорема используется для доказательства существования и единственности решения неоднородного линейного интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода, интегрального уравнения Вольтерры 2-го рода, некоторых видов нелинейных интегральных уравнений. Широкое применение теорема находит в численных методах, таких как метод Якоби, метод Гаусса - Зейделя. Метод Ньютона также можно рассматривать с позиции теоремы Банаха и понимать как абстрактную формулировку метода последовательных приближений Пикара [17; 18]. Вопросы, связанные с существованием и единственностью решений уравнений, формулируются в функциональном анализе в виде вопроса о существовании и единственности неподвижной точки при некотором отображении соответствующего метрического пространства в себя. Среди различных критериев существования и единственности неподвижной точки наиболее общим является принцип сжатых отображений [19]. Отображение y = Ay метрического пространства M в себя называется сжимающим отображением, если существует такое число ε<1, что для любых двух точек x, y∈M выполняется неравенство ρ(Ax Ay, ) ≤ ερ(x y, ) , где ρ - метрика пространства M . Точка y называется неподвижной точкой отображения, если y = Ay . Иначе говоря, неподвижные точки - это решения уравнения y = Ay . Итерационный процесс начинается, исходя из некоторого начального приближения y( )0 . Если оператор A является сжимающим, процедура сходится к некоторому решению y , независимо от выбора величины начального приближения. Последовательные приближения y( )1 , y( )2 , y( )3 ... находятся с помощью формулы y(n+1) = Ay( )n . Используемый в настоящей работе метод простых итераций сводится к последовательному применению метода Пикара для решения дифференциального уравнения первого порядка y′ = f x y( , ) , разрешенного относительно производной. Это дифференциальное уравнение с условием y t( )0 = y0 равносильно интегральному уравнению x y( )x = f t , (y t( )) dt + y0 . (1) x0 Для него на основании принципа сжатых отображений строится итерационный процесс по следующей схеме: x y(n+1) ( )x = f t , (y( )n ( )t ) dt + y0 . x0 Метод позволяет построить последовательность функций y( )n ( )t , сходящихся к решению уравнения, и эти функции получаются гладкими. Ниже метод простых итераций, с помощью которого решен ряд задач теории упругости тонкостенных тел [20-23], описывается как общий метод Сен-Венана - Пикара - Банаха (SVPB) на примере наиболее простой задачи для прямоугольника - деформации длинной тонкой упругой слоистой полосы, уравнения которой содержат малый параметр, обеспечивающий асимптотическую сходимость метода в соответствии с принципом сжатых отображений. 2. Произвольно нагруженная по длинным сторонам слоистая полоса Длинная прямоугольная полоса рассматривается в прямоугольной системе координат х*, z* , так что 0 ≤ x* ≤ l, -h≤ ≤z* h . Длинные стороны полосы z* =±h несут произвольную нагрузку, короткие стороны полосы могут быть закреплены или нагружены. Известные уравнения плоской задачи теории упругости, записанные в отмеченных звездочкой размерных величинах ∂σ ∂τ ∂x ∂z , ∂z ∂x , E∗ε = σx x∗ -νσz∗, E∗ε = σz z∗ -νσx∗, , E ∂x ∂z , ∂z ∂x , описывающие напряженно-деформированное состояние такой полосы в безразмерных координатах x = x* /l , z z h= * / , перемещениях u =u* / h , w= w* / h вдоль осей х*, z* , соответственно, и нормальных / E , σ =σz *z / E и касательных τ=τ* / E напряжениях принимают вид: ∂σz +ετ =′ 0 , ∂τ +εσx′ = 0; ∂z ∂z ; (2) ε =z ∂w , ε = εx u′, γ = ∂u +εw′, ∂z ∂z где E - модуль упругости; ν - коэффициент Пуассона, считающиеся для анизотропного или композитного материала функциями координат; εx , εz - безразмерные продольная и поперечная деформации; γ - сдвиг. Штрихом обозначена операция дифференцирования по безразмерному аргументу x , и введено обозначение для малого параметра ε=h l . Примем E∗ = E z E( ) h , где Eh - некоторое характерное постоянное среднее значение модуля Юнга; E( )z - безразмерная ступенчатая функция, заданная по слоям, ∼ . Входящий в соотношение упругости безразмерный коэффициент Пуассона также можно в общем случае считать заданным ступенчатой функцией ν = ν( )z . Расположив уравнения системы (2) в определенной последовательности и задав в качестве известных величин начального приближения w( )0 = w x0 ( ) , τ( )0 = τ0 ( )x , (3) можно свести вычисления к методу последовательных приближений в соответствии со следующей схемой: ∂u( )0 = -εw0′ + 2 1( + ν) τ0 , ∂σz( )0 = -ετ0′ , ∂z E ∂z εx( )0 = εu( )0 ′ , σx( )0 = Eεx( )0 + νσz( )0 , εz( )0 = -νεx( )0 +1-νE 2 σz( )0 , ∂wz( )1 = εz( )0 , ∂τ∂z( )1 = -εσx( )0 ′, ∂σ∂zz( )1 = -ετ( )1′ , ∂ (4) где производные по координате zпомещены в левых частях дифференциальных уравнений и в них нет малых параметров, но они есть в правых. Нижним индексом в скобках здесь и далее обозначен номер приближения. Выбор величин начального приближения в форме (3) вытекает из тех соображений, что, записав уравнения (2) в интегральной форме u = -ε 0z w dz′ + 0z 2 1( E+ν) τdz +u0( )x , z σ = -ε τz ′dz +σz0( )x , ε = εx u′, 0 σ =x Eε +νσx z , ε = -νε +z x 1-ν2 σz , E z z w = εzdz + w0( )x , τ = -ε σ x′dz + τ0( )x , 0 0 z σ = -ε τz ′dz +σz0( )x , L, 0 получаем произволы интегрирования u0 ( )x , σz0 ( )x , w0 ( )x , τ0 ( )x , любых двух из которых достаточно для организации итерационного процесса вида (1). В силу независимости величин начального приближения от z , все неизвестные вычисляются в результате интегрирования по z : u( )0 = -εw z0′ + τ0 0z 2 1( E+ν) dz +u0( )x , εx( )0 = -ε2w z0′′ +ετ0′ 0z 2 1( E+ν) dz +εu0′ , (5) σz( )0 = -ετ0′z + σz0 ( )x , σx( )0 = - εE w z2 0′′ + ετ0′ E 0z 2 1( E+ ν)dz -νz + E uε 0′ + νσz0 , εz( )0 = νε2w z0′′ -ετ0′ ν 0z 2 1( E+ν) dz -1-νE 2 z -νεu0′ +1-νE 2 σz0 , w( )1 = ε2w0′′ 0z νzdz -ετ0′ 0z 1-νE 2 zdz + 0 0z νz 2 1( Е+ν) dzdz +σz0 0z 1-νE 2 dz -εu0′ 0z νdz + w0 ( )x , τ( )1 = ε3w0′′′ 0z Ezdz -ε τ2 0′′ 0z E0z 2 1( E+ν) dzdz - ν 0z zdz -ε2u0′′ 0z Edz -εσz0′ 0z νdz + τ0 ( )x , σz( )1 = -ε4w0′′′′ 0 0z z Ezdzdz +ε τ3 0′′′ 0 0z z E0z 2 1( E+ν) dzdzdz - 0 0z z νzdzdz + z z z z +ε3u0′′′ Edzdz +ε σ2 z0′′ νdzdz -ετ0′z +σz0. 0 0 0 0 Нижним индексом 0 без скобок обозначены произвольные функции интегрирования u0 = u0 ( )x , σz0 = σz0 ( )x , w0 = w0 ( )x , τ = τ0 0 ( )x , зависящие только от продольной координаты. Две из них w0 , τ0 были ранее выбраны в качестве величин начального приближения (3) в первых двух уравнениях системы (4). В списке формул (5) заданные величины начального приближения w x0 ( ) и τ0 ( )x вычисляются также в первом приближении w( )1 ( )x и τ( )1 ( )x с тем, чтобы вычислить поправку к величинам нулевого (начального) приближения и выполнить граничные условия на длинных сторонах с помощью выражений, содержащих все новые основные неизвестные τ0 , σz0 , w0 , u0 . Величины τ , σz , w записаны в первом приближении, остальные - в нулевом. При этом все неизвестные выражены в зависимости от произвольных функций интегрирования τ0 ( )x , σz0 ( )x , w0 ( )x , u0 ( )x , относительные порядки которых по ε будут определены из граничных условий на длинных сторонах и концах полосы. 3. Выполнение граничных условий на длинных сторонах полосы На лицевых поверхностях полосы z∗ =±h должны удовлетворяться граничные условия, соответствующие условиям нагружения. В безразмерном виде эти условия записываются как σ =z Z+ ( )x , τ = X+ ( )x при z=1, σ =z Z- ( )x , τ = X- ( )x при z=-1, (6) где безразмерные нагрузки получены путем деления размерных на жесткость Eh . Нагрузки считаются медленно изменяющимися функциями координаты x . Условия (6) будем удовлетворять величинами первого приближения из общих решений (5), в предположении, что они с достаточной точностью аппроксимируют искомые величины. Полученная таким образом система уравнений ε3w0′′′ 10 Ezdz -ε τ2 0′′ 10 E0z 2 1( E+ ν)dzdz - 10 νzdz -ε2u0′′ 10 Edz -εσz0′ 10 νdz + τ =0 X+, ε3w0′′′- 01Ezdz -ε τ2 0′′ - 01E0z 2 1( E+ν) dzdz - - 01νzdz -ε2u0′′- 01Edz -εσz0′- 01νdz + τ =0 X- , 1 z -ε4w0′′′′ Ezdzdz +ε τ3 0′′′ 1 z E z 2 1( E+ ν)dzdzdz - 10 0z νzdzdz + 0 0 0 0 0 1 z 1 z(7) +ε3u0′′′ Edzdz +ε σ2 z0′′ νdzdz -ετ0′ +σz0 = Z+ , 0 0 0 0 -ε4w0′′′′- Ezdzdz + ε τ3 0′′′ - 1 z E z 2 1( E+ ν)dzdzdz - - 0 01 z νzdzdz + 1 z 0 0 0 0 0 -1 z -1 z +ε3u0′′′ Edzdz + ε σ2 z0′′ νdzdz + ετ0′ + σz0 = Z- 0 0 0 0 может быть разрешена относительно основных неизвестных τ0 ( )x , σz0 ( )x , w0 ( )x , u0 ( )x после вычисления в общем случае шестнадцати интегральных коэффициентов 1 Ezdz 0 -1 Ezdz 0 1 z Ezdzdz 0 0 -1 z Ezdzdz 0 0 1 z 2 1( +ν) 1 0 E0 E dzdz - ν 0 zdz -1 z ( +ν) -1 2 1 0 E0 E dzdz - 0 νzdz 1 z z 2 1( +ν) 1 z 0 0 E0 E dzdzdz - 0 0 νzdzdz -1 z z ( +ν) -1 z 2 1 0 0 E0 E dzdzdz - 0 0 νzdzdz 1 Edz 0 -1 Edz 0 1 z Edzdz 0 0 -1 z Edzdz 0 0 1 νdz 0 -1 νdz 0 1 z νdzdz 0 0 -1 z νdzdz 0 0 (8) от заданных функций E( )z и ν( )z . 4. Двухслойная полоса со слоями одинаковой толщины Рассмотрим случай полосы, состоящей из двух слоев одинаковой толщины (рис. 1). Рис. 1. Полоса из двух слоев одинаковой толщины Figure 1. Strip of two layers with equal thickness Примем, что верхний слой при 0 ≤ ≤z 1, 0 ≤ ≤x 1 имеет жесткостьE1 и в общем случае коэффициент Пуассона ν1 , нижний при 0≤ ≤-z 1, 0≤ ≤x 1 имеет жесткость E2 и коэффициент Пуассона ν2 , E1 и E2 -- константы, E E1, 2 ~ ε0 . Положим для сокращения вычислений = = = . Вычислим входящие в уравнения (7) интегральные коэффициенты (8): 10 Ezdz1 = 12 E1, 10 E10z 2 1(E+ν1 )dzdz - ν 10 zdz = 2+ν2 , 10 Edz E1 = 1 , 10 νdz = ν, -01 2 = 1 E2, - 01E2 0z 2 1(E+ν2 )dzdz -- 01νzdz = 2+ν2 , - 01E dz2 = -E2 , - 01νdz = -ν, E zdz 2 10 0z Ezdzdz1 = 16 E1, 10 0z E10z 2 1(E+ν1 )dzdzdz - 10 0z νzdzdz = 2+ν6 , 10 0z Edzdz1 = 12 E1, 10 0z νdzdz = 12 ν , -0 01 z 2 2 - 0 01 z E20z 2 1( +ν2 )dzdzdz -0 01 z 2+ν -0 01 z 2 = 1 E2 , - 0 01 z νdzdz = 12 ν, E zdzdz = - 16 E E - νzdzdz = - 6 , E dzdz 2 и подставим их в уравнения ε3w E0′′′ 1 1 -ε τ2 0′′ 2+ν -ε2u E0′′ 1 -νεσz0′ + τ =0 X+, 2 2 ε3w E0′′′ 2 1 -ε τ2 0′′ 2+ν +ε2u E0′′ 2 +νεσz0′ + τ =0 X-, 2 2 -ε4w E0′′′′ 1 1 +ε τ3 0′′′ 2+ν +ε3u E0′′′ 1 1 +νε σ2 z0′′ 1 -ετ0′ +σz0 = Z+ , 6 6 2 2 ε4w E0′′′′ 2 1 -ε τ3 0′′′ 2+ν +ε3u E0′′′ 2 1 +νε σ2 z0′′ 1 +ετ0′ +σz0 = Z-. 6 6 2 2 Сложив и вычтя попарно первые два и последние два уравнения и поменяв порядок записи уравнений, получим ε3w0′′′ 1 (E1 + E2 ) (- 2+ν ε τ) 2 0′′ -ε2u0′′(E1 - E2 )+ τ =2 0 X+ + X- , 2 -ε4w0′′′′ 1(E1 + E2 )+ 1(2+ν ε τ) 3 0′′′ +ε3u0′′′ 1 (E1 - E2 )- ετ2 0′ = Z+ - Z- , 6 3 2 ε3w0′′′ 1 (E1 - E2 )-ε2u0′′(E1 + E2 )- νεσ2 z0′ = X+ - X-, 2 -ε4w0′′′′ 1(E1 - E2 )+ 1 ε3u0′′′(E1 + E2 )+νε σ2 z0′′ + σ2 z0 = Z+ + Z- . 6 2 Примем в соответствии с описанием метода SVPB [23] τ = τ +τ0 0s 0q в первой паре уравнений, где τ0s -- медленно меняющаяся функция, τ0q -- быстро меняющаяся функция. (Медленно меняющейся d функцией называется такая функция, применение к которой оператора не меняет ее асимптотическоdx d го порядка по ε . Быстро меняющейся функцией называется такая, применение к которой оператора ε dx также не меняет ее асимптотического порядка по ε .) ε3w0′′′ 1 (E1 + E2 ) (- 2+ν ε τ) 2 0s′′ -(2+ν ε τ) 2 0q′′ -ε2u0′′(E1 - E2 )+ τ + τ =2 0s 2 0q X+ + X- , 2 -ε4w0′′′′ 1(E1 + E2 )+ 1(2+ν ε τ) 3 0s′′′ +(2+ν ε τ) 3 0q′′′ +ε3u0′′′ 1 (E1 - E2 )- ετ2 0s′ - ετ2 0q′ = (Z+ -Z-) . 6 3 2 и запишем их раздельно для быстро меняющихся -(2+ν ε τ) 2 0q′′ + τ =2 0q 0, (2+ν ε τ) 3 0q′′′ - ετ6 0q′ = 0, (9) отмеченных верхним индексом q, и медленно меняющихся неизвестных ε3w0s′′′ 1 (E1 + E2 )-ε2u0s′′(E1 - E2 )+ τ =2 0s X+ + X- , 2 -ε4w0s′′′′ 1(E1 + E2 )+ε3u0s′′′ 1 (E1 - E2 )- ετ2 0s′ = (Z+ - Z-), 6 2 (10) ε3w0s′′′ 1 (E1 - E2 )-ε2u0s′′ (E1 + E2 )- νεσ2 sz0′ = X+ - X- , 2 -ε4w0s′′′′ 1(E1 - E2 )+ 1 ε3u0s′′′(E1 + E2 )+ σ2 sz0 = Z+ + Z-, 6 2 отмеченных верхним индексом . Первые два уравнения дают . Из четвертого уравнения следует, что ∼ ∧ . Поэтому в третьем уравнении величина 0 u0s w0s и может быть отброшена как малая второго порядка по сравнению с главными членами. Тогда это уравнение ε3w0s′′′ (E1 - E2 )-ε2u0s′′ (E1 + E2 ) = X+ - X- 2 с отброшенным членом 2νεσsz0′ и третье из системы (10) сводятся к двум разрешающим (11) ε4Cw0s′′′′ = Z+ - Z- +ε(X+′ + X-′)-ε (EE11-+EE22 )(X+′ - X-′), 2 1 1 2 ) 1- 3(E1 - E2 )22 и где C = (E + E 3 4(E1 + E2 ) (12) ε2u0s′′(E1 + E2 ) = ε3w0s′′′ 1 (E1 - E2 ) (- X+ - X-) . (13) 1 2 Если в уравнении (12) отбросить производные от продольной нагрузки и принять Z- = X- = X+ = 0, Z+ = p, E1 = E2 = E , w0s = y , получим классическое уравнение изгиба изотропной балки ε4 Ey′′′′ = p , нагруженной распределенной нагрузкой p , где w0s -- перемещение поперечного сечения полосы как жесткого целого для фиксированного значения аргумента z заменено величиной прогиба оси балки y . Неизвестные σsz0 и τ0s находятся из первого и четвертого уравнений системы (10) 2σsz0 = Z+ + Z- +ε4w0s′′′′ 1(E1 - E2 )- 1 ε3u0s′′′(E1 + E2 ), 6 2 (14) 2τ =0s X+ + X- -ε3w0s′′′ 1 (E1 + E2 )+ε2u0s′′ (E1 - E2 ) 2 прямыми действиями без интегрирования. Из уравнений (12)-(14) вытекают асимптотические оценки искомых величин относительно нагрузки Z (при X+ = X- = 0): w0s ~ ε-4Z , u w Z sz0 ~ Z , τ0s ~ ε3w0s′′′. (15) Для уравнений (12), (13) надо сформулировать условия на концах полосы x =0 и x =1. Примем их как условия жесткого защемления: перемещения u = =w 0 в каждой точке z∈-1;1 поперечного края x = 0,1. С помощью формул (8) запишем условия u( )= = -εw z 0x0,1 0′ + 2 1( +ν τ) 0 0z E1 dz u+ 0 = 0, w( )1x=0,1 = ε2w0′′ 0z νzdz -ετ0′ 0z 1-νE 2 zdz + 0z ν 0z 2 1( +ν)dzdz +σz0 0z 1-νE 2 dz -εu0′ 0z νdz w+ 0 = 0. Этими выражениями задаются перемещения как при z≥0: -εw z0′ + 2 1( + ν+ ) τ0z u+ 0 = 0, E 2 2 2 2(16) νε2w0′′ z -ετ0′ 1-ν+ + ν2 (1+ ν) z +σz0 1-ν+ z -νεu z w0′ + 0 = 0 , 2 E 2 E так и при z≤0: εw z - τ z u+ = ε -ετ + ν2 1+ν -σ +νε + = 0 . (17) E 2 E 2 E Теперь потребуем обращения каждого коэффициента при различных степенях z в ноль в выражениях (16) при z ≥0: u0 = 0, (18) , (19) E w0 = 0, (20) σz0 1-ν+ 2 -νεu0′ = 0 , (21) E νε2w0′′ -ετ0′ 1-ν+ 2 + ν2 (1+ν) = 0 , (22) E и (17) при z ≤0 u0 = 0, (23) εw0′ - 2 1( + ν- ) τ =0 0 , (24) E w0 = 0, (25) -σz0 1-ν- 2 + νεu0′ = 0, (26) E νε2w0′′ -ετ0′ 1-ν- 2 + ν2 (1+ν) = 0 . (27) E Перепишем условия (19) и (22) с учетом того, что τ = τ +τ0 0s 0q , -εw0′ + 2 1( + ν+ )(τ + τ0s 0q ) = 0, (28) E νε2w0′′ -ε ετ( 0s′ +ετ0q′) 1-ν+ 2 + ν2 (1+ν) = 0 (29) E и обратим внимание на то, что на основании последней оценки из (15) члены с τ0s могут быть отброшены как малые второго порядка по сравнению с главными в обоих уравнениях. В то же время τ0q и ετ0q′ являются величинами одного порядка. Для того чтобы уравнения (28) и (29) были совместными, надо ′ q принять ∼ . И тогда также будет ∼ . Следовательно, в уравнении (28) член τ0 можно отбросить как малый по сравнению с первым εw0′. Полученная оценка быстро меняющейся неизвестной ′ ∼ ∨ (30) дополняет ранее полученные оценки (15) для медленно меняющихся неизвестных. Окончательно условия (28) и (29) при z≥0 перепишутся так: w0′ = 0, (31) νε2w0′′ -ετ0q′ 1-ν+ 2 + ν2 (1+ ν) = 0. (32) E Точно такие же рассуждения справедливы для условий (24) и (27) при z≤0. Условия (20), (25), (31) при x= 0,1 имеют одну и ту же запись и при z≥0, и при z≤0, образовывая таким образом вместе с уравнением (12) разрешимую -задачу. Так, например, приняв, что верхний край z=1 несет только равномерно распределенную нагрузку Z+ = p, получим решение -задачи: w0s =ε4pС 24x4 -12x3 + 24x2 и сформированной из уравнения (13) с условиями (18) и (24) решение -задачи u0s =ε3pC (EE11-E22) x3 - x2 + x . 2 +E 6 4 12 При известных w0s и u0s выражения (14) принимают вид 2σ = -sz0 p 1 p (E1 -E2) , 12 C 2τ = -0s εpC x - 12 (E1 + E2) 1+ ((EE1 +- EE2))2 . 2 Вклад величины σ ε в выполнение условий (21) и (26) по сравнению с величиной εu0′ = ε-3Z в рассматриваемом приближении пренебрежим. Можно показать, что условия u0′ = 0 можно выполнить в следующем приближении, где появляется еще одно быстроменяющееся решение u0q . Условия вида (32) выполняются за счет величины краевого эффекта τ0q , являющейся решением первого уравнения (9). Следуя [23], запишем его решение: C1exp(-kx ε) при x = 0 2( ) C2 exp(k(1- x) ε) при x =1 , k = 2 2+ν (33) для участка края x=0, z≥0 и для участка края x=0, z≤0 . Подставив ′ в условие (32), получим C1+ = - ε2Сk(1+ννpE)(1+-ν + ν2 E+) . 12 Таким же путем находим C1- = - ε2Сk(1+ννpE)(1--ν + ν2 E-) . 12 Подставив C1+ и C1- в выражение (33) для τ0q , получим выражение для краевого эффекта E+ τ = -0q 12ε2Сνkp(1+ν)exp - kxε 1-ν + νE-2 E+ 1-ν + ν2 E- на защемлённом краю x =0. Решение краевого эффекта на краю x =1 записывается аналогично. Из последней формулы следует асимптотическая оценка краевого эффекта ∼ . (34) Наибольший вклад краевого эффекта имеет место в напряжении σx . Вкладом в остальные искомые величины можно пренебречь [23] . Окончательно для σx имеем формулы: при z≥0 + p x σx( )0 = -E ε2C 22 - 2x +121 z + ετ0q+′ (2+ ν)z E+ + ε2pC 2(EE11-+EE22) x22 - 2x +121 ′ + νσz0 и при z ≤0 σx( )0 = -E- ε2pC x22 - 2x +121 z + ετ0q-′ (2+ ν)z E+ - ε2pC 2(EE11-+EE22) x22 - 2x +121 ′ + νσz0 дает вклад, соизмеримый с первым членом в силу условия (32). Из этих выражений следует оценка ∧ ∼ . Подстановка вычисленных величин w0s , u0s , τ0s , σz0 в формулы (5) дает выражения для всех остальных неизвестных рассмотренного примера: напряжений, деформаций и перемещений: u( )0 = - ε3pС x63 - x42 +12x z + p E( 41ε+СE2) - +1 ((EE11 +- EE22))22 x - 12 0z 2 1( E+ν) dz + p (E1 - E2) x3 x2 x + ε3С (E1 + E2) 6 - 4 +12 , 2 εx( )0 = - ε2pС x22 - 2x +121 z + p E( 41С+ E2) - +1 ((EE11 +- EE22))22 0z 2 1( E+ν) dz + 9 p (E1 - E2) x2 x 1 + ε2С (E1 + E2) 2 - 2 +12 , 2 σz( )0 = - p E( 41С+ E2) - +1 ((EE11 +- EE22))22 z + 2p 1- E121 -СE2 , p x2 x 1 p E( 1 + E2) (E1 - E2)2 z 2 1( +ν) σx( )0 = -E ε2С 2 - 2 +12 z + 4С - +1 (E1 + E2)2 E 0 E dz -νz + +ν +E 2εp2С ((EE11 +- EE22)) x22 - 2x +121 2p 1- E121 -СE2 , εz( )0 = ν ε2pС x22 - 2x +121 z - p E( 41С+ E2) - +1 ((EE11 +- EE22))22 ν 0z 2 1( E+ν) dz -1-νE 2 z - -ν εp2С ((EE11 +- EE22)) x22 - 2x +121 +1-νE 2 2p 1- E121 -СE2 , 2 w( )1 = ε2pС x22 - 2x +121 0z νzdz - p E( 41С+ E2) - +1 ((EE11 +- EE22))22 0z 1-νE 2 zdz + 0 0z νz 2 1( +ν)dzdz + + p 1- E1 - E2 0z 1-νE 2 dz - 2εp2С ((EE11 +- EE22)) x22 - 2x +121 0z νdz + ε4pС 24x4 -12x3 + 24x2 , 2 12С τ( )1 = εpС x - 12 0z Ezdz -ε τ2 0′′ 0z E0z 2 1( E+ ν) dzdz - 0z νzdz - - 2εС x 2 ((E11 + E22)) 0z Edz + p E( 41ε+СE2) - +1 ((EE11 +- EE22))22 x - 12 , p - 1 E - E σz( )1 = - Cp 0 0z z Ezdzdz +ε τ3 0′′′ 0 0z z E0z 2 1( E+ν) dzdzdz - 0 0z z νzdzdz + + 2pС ((EE11 +- EE22)) 0 0z z Edzdz - p E( 41С+ E2) - +1 ((EE11 +- EE22))22 z + 2p 1- E121 -СE2 . 5. Двухслойная полоса со слоями различной толщины Рассмотрим случай полосы, состоящей из двух слоев различной толщины, как на рис. 2. Рис. 2. Полоса из двух слоев различной толщины Figure 2. Strip made of two layers with different thickness Примем, что нижний слой при -1≤ z z≤ 1 , 0≤ ≤x 1 имеет жесткость E1, верхний слой при z1 ≤ z ≤1, 0 ≤ x ≤1 имеет жесткость E2 ; E1 и E2 -- константы, E E1, 2 ~ ε0 . Положим опять для сокращения вычислений ν = const во всей полосе. Вычислим входящие в уравнения (7) интегральные коэффициенты (8) при искомых неизвестных w0 , u0 , τ0 и σz0 при z≥0: 10 Ezdz = (E1 - E2) z212 + E2 12 , 10 E0z 2 1( E+ν)dzdz - ν 10 zdz = 2+ν2 , 1 1 Edz =(E1 - E z2) 1 + E2 , νdz = ν ; 0 0 при z≤0 - 01Ezdz 12 1 -01 0z 2 1( +ν) -01 2+ν -01 = -E1 , - 01νdz = -ν; = E , E E dzdz - νzdz = 2 , Edz при z ≥0 10 0z Ezdzdz = (E1 - E2) z212 - z313 + E2 16 , 10 0z E0z 2 1( E+ν)dzdzdz - 10 0z νzdzdz = 2+ν6 , 10 0z Edzdz = 12(E1 - E2)(2- z z1) 1 + E2 12 , 10 0z νdzdz = ν ; при z ≤0 - 0 01 z Ezdzdz 1 1 -0 01 z 0z 2 1( +ν) -0 01 z 2+ν -0 01 z 1 = 1 E1,- 0 01 z νdzdz = 12 ν; = - E , E E dzdzdz - νzdzdz = - 6 , Edzdz 2 6 и подставим их в уравнения (7) ε3w0′′′ (E1 - E2) z12 + E2 1 -ε τ2 0′′ 2+ ν -ε2u0′′ (E1 - E z2) 1 + E2 -νεσz0′ + τ =0 X+ , 2 2 2 ε3w E0′′′ 1 1 -ε τ2 0′′ 2+ν +ε2u E0′′ 1 +νεσz0′ + τ =0 X- , 2 2 -ε4w0′′′′ (E1 - E2) z12 - z13 + E2 1 +ε τ3 0′′′ 2+ν + 2 3 6 6 +ε3u0′′′ 12(E1 - E2)(2- z1)z1 + E2 12 +νε σ2 z0′′ 12 -ετ0′ +σz0 = Z+ , ε4w E0′′′′ 1 1 -ε τ3 0′′′ 2+ν +ε3u E0′′′ 1 1 +νε σ2 z0′′ 1 +ετ0′ +σz0 = Z- . 6 6 2 2 Сложив и вычтя их попарно, получим, изменив порядок записи, уравнения ε3w0′′′ (E1 - E2) z12 +(E1 + E2) 1 -(2+ ν ε τ) 2 0′′ -ε2u0′′ (E1 - E2)(z1 +1)+ τ =2 0 X+ + X- , 2 2 -ε4w0′′′′ (E1 - E2) z12 - z13 +(E1 + E2) 1 +ε τ3 0′′′ 2+ν + 2 3 6 3 +ε3u0′′′ 1 (E1 - E2)(2z1 - z12 -1)- ετ2 0′ = Z+ - Z- , 2 ε3w0′′′ (E1 - E2) z12 - 12 -ε2u0′′ (E1 - E2)z1 -(E1 - E2) - νεσ2 z0′ = X+ - X-, 2 -ε4w0′′′′(E1 - E2) z12 - z13 - 1 + 2 3 6 +ε3u0′′′ 1 (E1 - E2)(2- z1)z1 + E1 + E2 +νε σ2 z0′′ + σ2 z0 = Z+ + Z- . 2 Примем τ =τ +τ0 0s 0q в первой паре уравнений ε3w0′′′ 12 (E1 - E z2) 12 +(E1 + E2) -(2+ ν ε) 2 (τ0s′′ + τ0q′′)- -ε2u0′′ (E1 - E z2) 1 + E1 + E2 + 2(τ + τ0s 0q ) = X+ + X- , -ε4w0′′′′ (E1 - E2) z12 - z13 +(E1 + E2) 1 + 2+ν ε3(τ0s′′′ + τ0q′′′)+ 2 3 6 3 +ε3u0′′′ 1 (E1 - E2)(2z1 - z12 -1)- ε τ2 ( 0s′ + τ0q′) = Z+ - Z- . 2 и запишем их, как и в предыдущем параграфе, раздельно для быстрых -(2+ν ε τ) 2 0q′′ + τ =2 0q 0 , (2+ν ε τ) 3 0q′′′ - ετ6 0q′ = 0 и медленных неизвестных ε3w0s′′′ (E1 - E2) z212 +(E1 + E2) 12 -ε2u0s′′ (E1 - E2)z1 + E1 + E2 + τ =2 0s X+ + X- , (35) -ε4w0s′′′′ (E1 - E2) z12 - z13 +(E1 + E2) 1 + ε3u0s′′′ 1 (E1 - E2)(2z1 - z12 -1)- ετ2 0s′ = Z+ - Z-, (36) 2 3 6 2 ε3w0s′′′ 12(E1 - E2)(z12 -1)-ε2u0s′′ (E1 - E z2) 1 +(E1 + E2) - νεσ2 sz0′ = X+ - X- , (37) -ε4w0s′′′′ (E1 - E2) z212 - z313 - 16 +ε3u0s′′′ (E1 - E2)(2- z1)z1 +(E1 + E2) + σ2 sz0 = Z+ + Z-. (38) Продифференцируем первое уравнение по x и умножим на ε . Затем исключим τ0s′ из первых двух ε4w0s′′′′ (E1 + E2) (+ E1 - E2)1 z13 - z12 +ε3u0s′′′ (E1 - E2) 2z1 - z12 - 1 -(E1 + E2) = 3 2 2 2 (39) = (Z+ - Z-)+ε(X+′ + X-′). Так же как и в предыдущем параграфе, из четвертого уравнения (38) следует, что 0 u0s w0s . Поэтому в уравнении (37) величина 0 u0s w0s и может быть отброшена как малая второго порядка по сравнению с главными членами. Тогда это уравнение ε3w0s′′′ 1 (E1 - E2)(z12 -1)-ε2u0s′′ (E1 - E z2) 1 +(E1 + E2) = X+ - X- 2 с отброшенным членом 2νεσsz0′ вместе с уравнением (39) сводятся к двум разрешающим ε2u0s′′ (E1 - E z2) 1 +(E1 + E2) = ε3w0s′′′ 12(E1 - E2)(z12 -1)-(X+ - X-) , (40) ε4Cw0s′′′′ = (Z+ - Z-)+ ε(X+′ + X-′)+ + (E1 - E2 ) 2z1 - z212 - 12 -(E1 + E2 ) (E1 -εE z(2X)+′1-+X(E-′1)+ E2 ) , (41) где C = (E1 + E2) (+ E1 - E2)13 z13 - z212 + 12 (E1 - E2) 2z1 - z212 - 12 -(E1 + E2) (E1(-E1E-2)Ez21)+(z(1E21-+1)E2) . Полученные уравнения (40) и (41) имеют тот же смысл, что и уравнения (12) и (13). Неизвестные σsz0 и τ0s находятся из уравнений системы (35) и (38): 2τ =0s X+ + X- -ε3w0s′′′ (E1 - E2) z12 +(E1 + E2) 1 +ε2u0s′′ (E1 - E2)z1 + E1 + E2 , 2 2 (42) 2σsz0 = Z+ + Z- +ε4w0s′′′′(E1 - E2) z12 - z13 - 1 -ε3u0s′′′ (E1 - E2)(2- z1)z1 +(E1 + E2) 2 3 6 прямыми действиями без интегрирования. Заметим, что и в этом случае остаются справедливыми оценки основных неизвестных w0s , u0s , τ0s , σsz0 по формулам (15). Решение уравнений (40) и (41) находится, так же как и в предыдущем параграфе, при соответствующих граничных условиях. 6. Полоса с произвольным количеством слоев различной толщины Полосу отнесем, как и в предыдущих примерах, к системе безразмерных прямоугольных координат x,z (рис. 3), считая, что ее верхняя часть при 0≤ ≤z 1 состоит из n слоев различных толщин и различных жесткостей Ei , i =1÷n, границы которых заданы координатами zi = z0 ÷ zn . При этом будет z0 = 0 и zn =1. Примем, что нижняя часть полосы -1≤ ≤z 0 состоит из m слоев различных толщин и различных жесткостей Ei , i =1÷m , границы которых заданы координатами zi = -( z0) (÷ -zm ). При этом будет zm = -1. То есть значения координат берутся по модулю и присваивается знак минус. Рис. 3. Полоса с произвольным количеством слоев различной тощины Figure 3. Strip of an arbitrary number of layers with different thickness Для решения системы уравнений (7) надо вычислить коэффициенты (8) для случая произвольного числа слоев. Предположим, как и в предыдущих параграфах, что коэффициент Пуассона ν не зависит от 1 1 1 z координаты z . Таким образом остается вычислить четыре коэффициента Edz , Ezdz , Edzdz , 0 0 0 0 1 z -1 -1 -1 z Ezdzdz для верхней части полосы при 1≥ ≥z 0 и соответственно четыре Edz , Ezdz , Edzdz , 0 0 0 0 0 0 -1 z Ezdzdz для нижней части -1≤ ≤z 0 . После вычислений для них можно записать следующие фор- 0 0мулы: 1 n 1 n E%z+ = Ezdz = 1 Ehi i2 , E%+ = Edz = Ehi i ; 2 0 i=1 0 i=1 -1 m -1 m E%z- = Ezdz = 1 Ehi i2 , E%- = Edz = - Ehi i ; 2 0 i=1 0 i=1 1 z 3 2 E%%z+ = Ezdzdz = (E1 - E2) z1 + z1 h2 + E2 1 ; 0 0 6 2 6 (43) -1 z 3 2 E%%z- = 0 0 Ezdzdz = -(E1 - E2) z61 + z21 h2 - E2 16 ; 1 z E%%+ = z z 0 0 Edzdz = 12 E h1 12 + E hh1 1 2 + 12 E h2 22 ; -1 z E%%- = z z 0 0 Edzdz = 12 E h1 12 + E hh1 1 2 + 12 E h2 22 . Запишем уравнения (7), воспользовавшись введенными обозначениями для интегральных коэффициентов: ε3w E0′′′ %z+ -ε τ2 0′′ 1 (2+ν -ε) 2u E0′′ %+ -νεσz0′ + τ =0 X+, 2 (44) ε3w E0′′′ %z- -ε τ2 0′′ 1 (2+ν +ε) 2u E0′′ %- +νεσz0′ + τ =0 X-; 2 -ε4w E0′′′′ %%z+ +ε τ3 0′′′ 1(2+ν +) 1 ε3u E0′′′ %%+ + 1 ε νσ2 z0′′ -ετ0′ +σz0 = Z+ , 6 2 2 (45) ε4w E0′′′′ %%z- -ε τ3 0′′′ 1 (2+ν +) 1 ε3u E0′′′ %%+ + 1 ε νσ2 z0′′ +ετ0′ +σz0 = Z- . 6 2 2 Сложим и вычтем первые два и последние два уравнения попарно и запишем их в следующем порядке: ε3w0′′′ (E%z+ + E%z-)-(2+ν ε τ) 2 0′′ -ε2u0′′ (E%+ - E%-)+ τ =2 0 X+ + X- , (46) -ε4w0′′′′ E%%z+ + E%%z- + 1(2+ν ε τ) 3 0′′′ +ε3u0′′′(E%%+ - E%%+)- ετ2 0′ = Z+ - Z- ; 3 ε3w0′′′ (E%z+ - E%z-)-ε2u0′′ (E%+ + E%-)- νεσ2 z0′ = X+ - X-, (47) -ε4w0′′′′ E%%z+ - E%%z- +ε τ3 0′′′ 1(2+ν +ε) 3u0′′′(E%%+ + E%%+)+ε νσ2 z0′′ + σ2 z0 = Z+ + Z- . 3 Примем, так же как и в случае с двухслойной полосой, в соответствии с описанием метода SVPB τ = τ +τ0 0s 0q в первой паре уравнений, где τ0s -- медленно меняющаяся функция, τ0q -- быстро меняющаяся функция: ε3w0′′′ (E%z+ + E%z-)-(2 + ν)(ε τ2 0s′′ + ε τ2 0q′′)- ε2u0′′ (E%+ - E%-)+ 2(τ + τ0s 0q ) = X+ + X-, -ε4w0′′′′(E%%z+ + E%%z-)+ 1(2+ν ε) 3(ε τ2 0s′′′ +ε τ2 0q′′′)+ε3u0′′′(E%%+ - E%%+)-2(ετ0s′ +ετ0q′) = Z+ - Z- 3 и запишем уравнения для быстро меняющихся функций -(2+ν ε τ) 2 0q′′ + τ =2 0q 0, (48) (2+ν ε τ) 3 0q′′′ - ετ6 0q′ = 0 и медленно меняющихся ε3w0s′′′ (E%z+ + E%z-)-ε2u0s′′ (E%+ - E%-)+ τ =2 0s X+ + X- , (49) -ε4w0s′′′′ (E%%z+ + E%%z-)+ ε3u0s′′′ (E%%+ - E%%+)- ετ2 0s′ = Z+ - Z- , ε3w0s′′′ (E%z+ - E%z-)-ε2u0s′′ (E%+ + E%-)- νεσ2 sz0′ = X+ - X- , -ε4w0s′′′′ (E%%z+ - E%%z-)+ ε3u0s′′′ (E%%+ + E%%+)+ ε νσ2 sz0′′ + 2σsz0 = Z+ + Z- . Из первых двух уравнений получаем . (50) Из четвертого уравнения, как и ранее в п. 3, следует, что 0 u0s w0s . Поэтому в третьем уравнении величина 0 u0s w0s и может быть отброшена как малая второго порядка по сравнению с главными членами. Тогда это уравнение ε3w0s′′′ (E%z+ - E%z-)-ε2u0s′′ (E%+ + E%-) = X+ - X- с отброшенным членом 2νεσsz0′ и уравнение (50) сводятся к двум разрешающим ε Сw0 = Z+ - Z- +ε X+ + X- +ε E%+ + E%- X+ - X- , (51) 4 s′′′′ ( ′ ′) 1 ( ′ ′) где С Ez Ez Ez Ez %+ + E%- E E E E E и ε2u0s′′ (E%+ + E%-) = ε3w0s′′′ (E%z+ - E%z-)-(X+ - X-) . (52) = ( + + %- - %%+ - %%-)+ E% E% ( %+ - %- - %%+ + %%+) % Неизвестные σsz0 и τ0s находятся из первого и четвертого уравнений системы (49): 2σsz0 = Z+ + Z- + ε4w0s′′′′ (E%%z+ - E%%z-)- ε3u0s′′′ (E%%+ + E%%+), (53) 2τ =0s X+ + X- -ε3w0s′′′ (E%z+ + E%z-)+ε2u0s′′ (E%+ - E%-) прямыми действиями без интегрирования. Вытекающие из формул (51)-(53) оценки основных неизвестных совпадают с оценками в выражении (15). 7. Условия на коротких сторонах полосы Пример. Рассмотрим консольную полосу, жестко закрепленную на конце x =0. Конец x =1 будем считать свободным от какой-либо нагрузки. Верхний край z=1 несет только равномерно распределенную нагрузку Z+ = p. Для простоты изложения рассмотрим четырехслойную полосу (рис. 4) и примем одинаковыми коэффициенты Пуассона каждого слоя. Разрешающие уравнения (51)-(53) приводятся к виду ε4Cw0s′′′′ = p , (54) ε2u0s′′ = ε3w0s′′′ EE%%z++ +- EE%%z- . (55) - 2σsz0 = p + ε4w0s′′′′ (E%%z+ - E%%z-)- ε3u0s′′′ (E%%+ + E%%+), (56) 2τ = -ε0s - 3w0s′′′ (E%z+ + E%z-)+ε2u0s′′ (E%+ - E%-). Рис. 4. Консольная полоса Figure 4. Cantilever strip На конце x =0 на основании формул (5) запишем условия защемления u( )0 x=0 = -ε w z0 + τ02 1( +ν) 0 E dz +u0 x=0 = 0, (57) w( )1 x=0 = νε 2w0′′ z22 -ετ0′ (1-ν2) 0z E1 zdz + ν2 (1+ ν) z22 +(1-ν2)σz0 0z E1 dz -εu z w0′ν + 0 x=0 = 0 и на конце x =1 - условия свободного края (58) ′ z 1 0 0 x=1 Запишем условия (57), (58) для первого слоя z0 ≤ z z≤ 1 при x =0: 0′ + 2 1( +ν τ) 0 1 (z z- 0)+u0 = 0 , -εw E1 (61) νε2w0′′ -ετ0′ 1 (1-ν2)+ ν2 (1+ ν) z2 - z02 + (1-ν2)σz0 1 -νεu0′ (z z- 0)+ w0 = 0 E1 2 2 E1 (62) σx 0 x ={ - εE w2 0′′ +ετ0′ (2+ν) z E u+ ε 0′ +νσz0}x = 0 , (59) =1 =1 ( )1 x=1 = ε 3w0 2 0 ( ) 22 2 0 z z0 0 τ ′′′ z Ezdz -ε τ ′′ 2+ν z -ε u ′′ Edz -νεσ ′z + τ = 0. (60) и для второго слоя z1 ≤ z z≤ 2 при x =0: -εw0 (z1 - z0) (+ z - z1) + 2 1( +ν τ) 0 E1+ (z1 - z0)+ E2+ (z - z1) +u0 = 0 , (63) νε2w0′′ z12 - z02 + z2 - z12 - 2 2 2 2 -ετ0′ (1-ν2) 1+ z12 - z02 + 1+ z2 - z12 + ν2 1( +ν) z12 - z02 + z2 - z12 E1 2 2 E2 2 2 2 2 2 2 (64) ′ 1 1 + (1-ν2)σz0 -νεu0′ E11+ (z1 - z0)+ E12+ (z z- 1) + w0 = 0 . Вычитая из уравнения (63) уравнение (61) и из уравнения (64) уравнение (62) при z z= 1, получим условия на конце x =0 для второго слоя: -εw0′ + 2 1( +ν τ) 0 1+ (z z- 1)+u0 = 0 , (65) E2 νε w ′′ -ετ ′ 1-ν 1 + ν 2 0 0 ( 2) E2+ 2 (1+ ν) z22 - z212 + (1-ν2)σz0 -νεu0′ E12+ (z z- 1)+ w0 = 0 . (66) Сравнивая условия (61), (62) с условиями (65), (66), замечаем, что они однотипны. То есть условия защемления ставятся для каждого слоя. Легко видеть, что эти рассуждения могут быть продолжены для полосы с произвольным числом слоев как при z >0, так и при z <0. Таким образом, для слоев при z >0 имеем восемь условий на концах полосы: u0 = 0, (67) -εw0′ + 2 1( +ν+ )(τ + τ0s 0q ) = 0, i =1,2, Ei (68) w0 = 0, (69) σz0 1-ν+ 2 -νεu0′ = 0 , i =1,2, Ei (70) -ν2 (71) νε2w0′′ - ετ( 0s′ +ετ0q′) 1 + + ν2 (1+ν) = 0 , i =1,2, Ei где условия (68), (70), (71) записаны для первого и второго слоев. Здесь, как и ранее, предполагается, что τ =τ +τ0 0s 0q . Из выражения (56) следует, что τ0s ~ε3w0 и поэтому в уравнениях (68) и (71) член τ0s может быть отброшен как величина порядка ε2 по сравнению с w0s . Кроме того, поскольку в уравнении (71) ετ0q′ ~ νε2w0′′, в уравнении (68) второй член τ0q также иможет быть отброшен. Это дает возможность использовать условия w0 = w0′ = u0 = 0 (72) на конце x=0 при нахождении решения уравнений (54), (55). Условия свободного края (59), (60) в рассматриваемом приближении представляются в следующем виде: -E wiε2 0′′ +ετ0q′(2+ν =) 0, i =1,2, (73) E uiε 0′ + νσz0 = 0, i =1,2, (74) τ +τ =s q 0, 0 0 (75) z -ε2u0′′ Edz -νεσz0′z = 0, 0 (76) ε3w0′′′ z Ezdz -ε τ2 0q′′(2+ν) z2 = 0 . (77) 0 2 Здесь, как и ранее, в условиях жесткого защемления член τ0s отброшен в условиях (73) и (77) как величина ε2 по сравнению с w0s , поскольку в силу оценок (15) u0s ~ ε-3Z , σsz0 ~ Z , в условии (74) величина σsz0 может быть отброшена по сравнению с εu0′. Из таких же соображений в условии (76) величина εσsz0′ может быть отброшена по сравнению с ε2u0′′ . После отбрасывания и вычисления интегралов получим: при 0 ≤ z z≤ 1, (78) при z1 ≤ z ≤1, (79) E u1ε 0′ = 0, при 0 ≤ z z≤ 1, (80) E u2ε 0′ = 0 при z1 ≤ z ≤1, (81) при 0≤ ≤z 1, (82) -ε2u E0′′ 1 = 0 при 0 ≤ z z≤ 1, (83) -ε2u E0′′ 2 = 0 при z1 ≤ z ≤1, (84) при 0 ≤ z z≤ 1, (85) при z1 ≤ z ≤1. (86) Условия (83) и (84) выполняются, если u0′′ = 0 , что на основании формулы (55) приводит к условию w0′′′ = 0. (87) После этого перепишем условия (78)-(86), справедливые на конце для x=1 при 0≤ ≤z 1: w0′′ = 0 , (88) u0′ = 0, (89) τ =0s 0 , (90) τ =0q 0. (91) Последнее условие показывает, что краевой эффект на свободном краю отсутствует. Условие (90) в силу соотношения (55) совпадает с условием (87). В итоге оставшихся трех условий (87)- (90) на конце x=1 и трех условий (72) на конце x = 0 достаточно для определения шести постоянных интегрирования уравнений (54) и (55). После вычислений получим основные неизвестные w0s = ε4p x4 - x3 + x2 , u0s = ε3pС EE%%z++ +- EE%%z-- x63 -12x2 - 3x , С 24 6 4 τ = -0s p (x -1)(E%z+ + E%z-) , σsz0 = p 1+ E%%z+ - E%%z- . 2εС 2 C Подстановка этих выражений в формулы (5) дает выражения для всех неизвестных рассмотренного примера: напряжений, деформаций и перемещений: u( )0 = С - 63 - 22 + 2 z - 2 ε2 (x -1)(E%z+ + E%z-) 0z 2 1( E+ ν)dz + EE%%z++ +- EE%%z-- x63 -12x2 - 3x , p x x x 1 εx( )0 = - ε2pС x22 - x + 14 z -ε2 12 (E%z+ + E%z-) 0z 2 1( E+ ν)dz + EE%%z++ +- EE%%z-- x22 - 6x - 13 , σz( )0 = 2p E%z+С+ E%z- z + +1 E%%z+2-CE%%z- , σx( )0 =-Eε2pС x22 - +x 14 z- 2pС (E%z+ +E%z-)(2+ν +)z (92) +Eε2pС EE%%z++ +-EE%%z- x2 - -6x 1 +ν 2p 1+ E%%z+C-E%%z- , - 2 3 εz( )0 =νε2pС x22 - +x 14 z- 2pС (E%z+ +E%z-) ν 0z 2 1( E+ν)dz-1-νE 2 z - -νε2p E%%z++ +-EE%%z-- x22 - -6x 13 +1-νE 2 2p 1+ E%%z+C-E%%z- , С E w( )1 = εp2Сν x22 - x + 14 z22 + 2pС (E%z+ + E%z-) 0z 1-νE 2 zdz + ν2 (1+ν) z22 + + 2p 1+ E%%z+ - E%%z- 0z 1-νE 2 dz - ε2pС EE%%z++ +- EE%%z-- x22 - 6x - 13 0z νdz + ε4pС 24x4 - x63 + x42 , C τ( )1 = ε2pС (x -1) 0z Ezdz -ε τ2 0q′′(2+ν) z22 - - ε4p (x -1) E%%z++ +- EE%%z-- 0z Edz - 2εpС (x -1)(E%z+ + E%z-), С E σz( )1 = - C 0 0z z Ezdzdz +ε τ3 0q (2+ν) z63 + p ′′′ + 2p E%%z+ - E%%z- 0 0z z + p (E%z+ + E%z-)-ετ0q′z + p 1+ E%%z+ - E%%z- , ε С E+ + E- Edzdz 2С 2 C в которых вычисленные по формулам (43) коэффициенты жесткости имеют значения E%z+ = 1 Ezdz = (E h1 1+ 2 + E h2 2+ 2), E%+ = 1 Edz E h E h= 1 1+ + 2 2+ , 00 -1-1 E%z- = Ezdz = (E h1 1- 2 + E h2 2- 2) , E%- = Edz = -E h E h1 1- - 2 2- , 00 E%%z+ = 10 0z Ezdzdz = (E1+ - E2+) z613 +(E1+ - E2+) z212 h2 + E2+ 16 , E%%+ = z z 10 0z Edzdz = 12 E h1 1+ 2 + E hh1 1 2+ + 12 E h2 2+ 2 , -1 z 3 2 E%%z- = 0 0 Ezdzdz = -(E1- - E2-) z61 -(E1- - E2-) z21 h2 - E2- 16 , E%%- = -z z 0 01 z Edzdz = 12 E h1 1- 2 + E hh1 1 2- + 12 E h2 2- 2 . 8. Заключение Полуобратный метод Сен-Венана предполагает построение решения уравнений теории упругости путем задания части неизвестных из каких-либо соображений и вычисления по ним остальных неизвестных. В статье он продолжен до итерационного, совпадающего с методом простых итераций. Для этого оператор исходных уравнений преобразован так, чтобы он позволял вычислять неизвестные величины последовательно: вычисленные в одном уравнении величины входят в следующее уравнение как известные, при этом умноженные на малый параметр. Такая последовательность обеспечивается операторами Пикара и выбором величин начального приближения, не зависящих от поперечной координаты, называемыми гипотезами Кирхгоффа или гипотезами недеформируемой нормали. В течение одной итерации вычисляются путем прямого интегрирования все неизвестные задачи, содержащие четыре произвольные функции интегрирования, зависящие от продольной координаты и играющие роль коэффициентов в полиномах по степеням поперечной координаты. В случае изотропного материала уравнения, описывающие изгиб и растяжение - сжатие, разделяются. Заметим, что для случая произвольного слоистого материала разделения не происходит. В процессе последовательного вычисления неизвестных в течение нулевой итерации имеет место четырехкратное интегрирование по поперечной координате и четырехкратное дифференцирование по продольной. Однако это дифференцирование имеет символический характер, так как при выполнении граничных условий на длинных сторонах производные приравниваются к нагрузке, которая считается величиной O( )1 , и соответствующие уравнения интегрируются, обеспечивая вместе с однородными сингулярно возмущенными уравнениями непрерывность и ограниченность решения в любом случае. Процесс вычисления можно трактовать как расщепление исходного сложного оператора на четыре оператора относительно поперечной координаты и четыре -- относительно продольной. Близость полученного решения к точному решению оценивается порядком первого отброшенного члена по ε . Предложенное решение свободно от недостатков классической теории, построенной на гипотезах и допущениях: 1) в возможности пренебрежения поперечными напряжениями; 2) «гипотезы прямой нормали» для перемещений в полосе; 3) об эквивалентности замены напряжений исходной задачи на принятые в сопротивлении материалов усилия и моменты; 4) в возможности пренебрежения граничными условиями на длинных сторонах; 5) в пренебрежении быстро затухающими компонентами решений на торцевых поверхностях; 6) в пренебрежении понижения порядка системы дифференциальных уравнений и невыполнении части граничных условий вследствие этого; 7) в силу большей общности описанный метод позволяет однообразно рассматривать новые задачи как для изотропного, так анизотропного и композиционного материала.

Об авторах

Евгений Михайлович Зверяев

Российский университет дружбы народов

Автор, ответственный за переписку.
Email: zveriaev@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-8097-6684

профессор департамента строительства, инженерная академия

Москва, Российская Федерация

Марина Игоревна Рынковская

Российский университет дружбы народов

Email: rynkovskaya-mi@rudn.ru
ORCID iD: 0000-0003-2206-2563

кандидат технических наук, доцент департамента строительства, инженерная академия

Москва, Российская Федерация

Ван Донг Хоа

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)

Email: dong.hoavan@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-8188-9408

аспирант кафедры проектирования сложных механических систем

Москва, Российская Федерация

Список литературы