Модели нелинейного деформирования бетона при трехосном напряженном состоянии и их реализация в вычислительном комплексе ПРИНС

Полный текст

1. Введение Современные строительные нормы и правила, принятые в Российской Федерации[9] и за рубежом[10], предписывают проводить расчеты железобетонных конструкций в нелинейной постановке с учетом реальных свойств бетона и арматуры. С одной стороны, проблема разработки методики расчета железобетонных конструкций с учетом трехосного напряженного состояния связана с необходимостью проведения дорогостоящих экспериментов [1-5]. С другой - предпосылки для успешного выполнения таких расчетов обусловлены развитием компьютерных технологий и разработкой численных методов строительной механики, в первую очередь метода конечных элементов [6-10]. В результате такого развития нелинейные методы расчета были реализованы в ряде компьютерных программ, таких как NASTRAN [11], ANSYS [12], ABAQUS [13], ADINA [14], DIANA [15] и др. Общим для всех этих программ является использование шаговых методов. Система нелинейных алгебраических уравнений решается методом Ньютона - Рафсона в полной или модифицированной форме. Уравнения равновесия на этапе нагружения записываются в виде (1) где - матрица касательной жесткости; - вектор узловых перемещений; - вектор приложенных извне узловых нагрузок; - вектор узловых сосредоточенных сил, эквивалентных напряжениям элемента; j - номер шага; i - номер итерации. Особенностью решения уравнения (1) методом Ньютона - Рафсона является вычисление и факторизация касательной матрицы жесткости на каждой итерации. В случае систем большого порядка такие вычисления могут быть довольно дорогостоящими. При использовании модифицированного метода Ньютона матрица жесткости вычисляется и факторизуется только один раз в начале шага. Это упрощает вычисления, но требует большего количества итераций для достижения указанной точности. Поэтому для ускорения сходимости используются разные подходы, основанные на коррекции вектора перемещений на текущей итерации. Сделать это можно с помощью энергетических отношений. Такие методы принято называть квазиньютонами [16-18]. Следует, однако, отметить, что расчеты физически нелинейных конструкций в вышеупомянутых программах выполняются с использованием физических соотношений, основанных на определенных экспериментах, а полученные уравнения для конструкции в целом решаются приближенными методами. Для повышения достоверности результатов такие расчеты следует проводить с использованием нескольких программ. Поэтому конструкторы должны иметь в своем арсенале несколько доступных расчетных инструментов. В связи с этим разработка альтернативных вычислительных методов и соответствующих программ до сих пор остается актуальной задачей. 2. Материалы и методы В данном исследовании рассматривается конечноэлементная методика расчета массивных железобетонных сооружений с учетом трещинообразования в растянутой и пластических деформаций в сжатой зонах бетона и в арматуре. Методика реализована в вычислительном комплексе (ВК) ПРИНС. Расчет физически нелинейных конструкций с помощью ВК ПРИНС ведется методом конечных элементов в приращениях [8] по уравнению (2) где - полная нелинейная матрица жесткости, связывающая приращения узловых сил и перемещений; и - приращения узловых перемещений и узловых сил конечноэлементной модели соответственно. Матрица в интервале нагружения непрерывно изменяется, поэтому, чтобы получить точное решение, необходимо в формуле (2) перейти к интегрированию: (3) где и - значения перемещений в начале и конце интервала нагружения соответственно. Однако вести вычисления по формуле (3) практически невозможно, так как не существует аналитического выражения для , а верхняя граница интервала интегрирования неизвестна. Вычисляя вышеупомянутый интеграл по правилу трапеций, получаем (4) где и - матрицы жесткости, вычисляемые в начале и конце шага нагружения соответственно. Запишем уравнение (4) в виде (5) где Уравнение (5) решается итерационным способом: (6) где i - номер итерации. При достижении сходимости итерационного процесса находятся полные значения перемещений и напряжений по формулам (7) Приращения напряжений находятся по формуле (8) где - упругопластическая матрица характеристик материала. На каждом этапе нагружения анализируется напряженное состояние, и при возникновении пластических деформаций и трещин производится корректировка напряжений с учетом принятых диаграмм деформирования материалов. Это требует проведения процесса уравновешивания конструкции. Равновесные итерации выполняются в программе ПРИНС по формуле (1), которая модифицируется к виду (1а) Различие между формулами (1) и (1а) состоит в том, что в формуле (1) матрица жесткости от итерации к итерации изменяется (имеются в виду итерации равновесия), а в формуле (1а) - не изменяется и берется равной матрице жесткости, найденной в конце шага при итерациях по формуле (6). Таким образом, в формуле (6) итерируется матрица жесткости, а в формуле (1а) - вектор узловых сил, эквивалентный внутренним напряжениям. Матрица жесткости K для отдельного конечного элемента находится по формуле [7] (9) где B - матрица, связывающая компоненты деформаций элемента с компонентами узловых перемещений (геометрическая матрица); - матрица, связывающая компоненты напряжений с компонентами деформаций (физическая матрица). Методика вычисления геометрической матрицы B хорошо известна (см., например, [8]). При построении физической матрицы принято две модели деформирования бетона: 1) упругая модель при хрупком разрушении; 2) идеально упругопластическая модель. Для арматуры принимается гипотеза идеального упругопластического поведения. Ниже приводятся характеристики каждой из рассматриваемых моделей. Упругая модель при хрупком разрушении (модель 1). Поведение бетона считается линейно-упругим вплоть до достижения поверхности разрушения. Матрица при этом содержит коэффициенты обобщенного закона Гука и имеет следующий вид: (10) В качестве поверхности разрушения принята пятипараметрическая модель, предложенная Вилламом и Варнке [19]. Схематическое изображение поверхности разрушения в пространстве главных напряжений показано на рис. 1. На рис. 2 приведено девиаторное сечение этой поверхности, а на рис. 3 - главные меридианы растяжения и сжатия. Условие прочности определяется формулой (11) где σm и τm - средние значения нормальных и касательных напряжений в окрестности точки; θ - угол вида напряженного состояния; - радиус-вектор точки на поверхности разрушения в девиаторном сечении (рис. 2). Изображение выглядит как рисунок, зарисовка, диаграмма, линия Автоматически созданное описание Изображение выглядит как диаграмма, круг, рисунок, зарисовка Автоматически созданное описание Рис. 1. Поверхность разрушения в пространстве главных напряжений: d - гидростатическая ось Figure 1. Fracture surface in the space of principal stresses: d - hydrostatic axis Рис. 2. Девиаторное сечение поверхности разрушения: rt и rc - меридианы растяжения и сжатия; θ - угол вида напряженного состояния Figure 2. Deviatoric section of the fracture surface: rt and rc - the meridians of tension and compression; θ - the angle of the type of the stress state Изображение выглядит как диаграмма, линия, График Автоматически созданное описание Рис. 3. Меридианы растяжения и сжатия поверхности разрушения: Rb и Rbt - пределы прочности бетона на осевое сжатие и растяжение; Rbc - предел прочности бетона на равномерное двухосное сжатие; Figure 3. The meridians of tension and compression of the fracture surface: Rb and Rbt - ultimate strength of concrete for axial compression and tension; Rbc - ultimate strength of concrete for uniform biaxial compression; Следовательно, при напряжениях, соответствующих разрушению бетона в сжатой зоне, (12) Радиус-вектор определяется формулой (13) Угол вида напряженного состояния θ находится по формуле (14) Радиус-векторы и (рис. 2) определяют меридианы растяжения и сжатия . В модели Виллама - Варнке эти меридианы представляются квадратными параболами: (15) Коэффициенты , , и , , определяются на основе экспериментальных данных для конкретных марок бетона. Необходимые данные приведены в табл. 1. Таблица 1 Определение параметров модели Виллама - Варнке Вид напряженного состояния Критерий Напряжения Угол θ 1. Одноосное сжатие Rb σ3 = -Rb; σ1 = σ2 = 0 0 2. Одноосное растяжение Rbt σ1 = Rbt; σ2 = σ3 = 0; 0 3. Равномерное двухосное cжатие Rbc σ1 = σ2 = -Rbc; σ3 = 0; 0 4. Трехосное сжатие в режиме высокой компрессии (σ3 < σ1 = σ2, θ = 0) σ1 ≠ 0; σ2 ≠ 0; σ3 ≠ 0; 0 5. Трехосное сжатие в режиме низкой компрессии (σ3 > σ1 = σ2, θ = π/3) σ1 ≠ 0; σ2 ≠ 0; σ3 ≠ 0; π/3 Примечание: * согласно результатам экспериментов Лоне и Гашона [20]. Table 1 Determination of the parameters of the Willam - Warnke model Type of stress state Criterion Stresses Angle θ 1. Uniaxial compression Rb σ3 = -Rb; σ1 = σ2 = 0 0 2. Uniaxial tension Rbt σ1 = Rbt; σ2 = σ3 = 0; 0 3. Uniform biaxial compression Rbc σ1 = σ2 = -Rbc; σ3 = 0; 0 4. Triaxial compression in high compression mode (σ3 < σ1 = σ2, θ = 0) σ1 ≠ 0; σ2 ≠ 0; σ3 ≠ 0; 0 5. Triaxial compression in low compression mode (σ3 > σ1 = σ2, θ = π/3) σ1 ≠ 0; σ2 ≠ 0; σ3 ≠ 0; π/3 Note: * according to the experimental results of Launay and Gachon [20]. Подставляя, приведенные в табл. 1 значения, отвечающие пяти различным напряженным состояниям, в первое уравнение (15) для меридиана растяжения (θ = 0), получим систему трех квадратных уравнений, решение которой позволяет найти значения параметров , , для данного меридиана: (16) Вершина поверхности разрушения находится из условия . Следовательно, . Откуда ее координата равна (17) Аналогичным образом можно получить значения параметров , , для меридиана сжатия при θ = π/3: (18) Поверхность разрушения является выпуклой, если соблюдаются условия (19) и (20) Идеально упругопластическая модель (модель 2). Поведение бетона считается линейно-упругим вплоть до достижения предельной поверхности. В качестве предельной поверхности принимается пятипараметрическая поверхность Виллама - Варнке, описанная выше. При достижении этой поверхности поведение бетона становится упругопластическим. Если поверхность текучести ассоциирована с предельной поверхностью, то закон пластического течения записывается в виде (21) где dλ - положительный скалярный коэффициент, который отличен от нуля при наличии пластических деформаций. Как известно, приращение упругих деформаций равно (22) Согласно обобщенному закону Гука, приращения напряжений связаны с приращением упругих деформаций соотношением (23) Подставляя (22) в уравнение (23) с учетом соотношения (21), находим вектор приращения напряжений: (24) где представляет собой вектор нормали к поверхности текучести (вектор течения). Для случая идеальной упругопластичности справедливо уравнение (25) Откуда получим значение множителя dλ: (26) В этом случае формула (8) принимает вид (27) где (28) есть упругопластическая матрица бетона. Для вычисления матрицы Cep необходимо определить вектор течения a. Таким образом, задача сводится к дифференцированию функции (11). Используя правило дифференцирования сложных функций, получаем (29) Найдем производные, входящие в формулу (29). (30) Формулу (13) представим в виде (31) где (32) Тогда (33) где (34) (35) и (36) Найденные производные - скаляры. Кроме того, (37) Найдем второе и третье слагаемое формулы (29). Для вычисления радиус-вектор точки в девиаторной плоскости представим в виде (38) где (39) и (40) Угол вида напряженного состояния определяется формулой (14): (41) при . Производную представим в виде (42) Производная отношения (38) равна (43) где (44) и (45) Производную найдем, используя формулу (41): (46) Производные в числителе формулы (41) равны и (47) Причем (48) Найдем третье слагаемое формулы (29): (49) Таким образом, вектор течения a найден. Для реализации поставленной задачи разработана программа, адаптированная к ВК ПРИНС. 3. Результаты и обсуждение В качестве примера рассмотрим расчет на прочность фундаментного блока (рис. 4), подвергнутого осевому давлению и находящегося в условиях трехосного напряженного состояния. Расчетная схема блока при различных значениях параметра сетки конечных элементов приведена на рис. 5. Материал блока - бетон класса В25. Характеристики материала: предел прочности при осевом сжатии Rb = 18,5 МПа, предел прочности при осевом растяжении Rbt = 1,55 МПа, начальный модуль упругости МПа, коэффициент Пуассона μ = 0,2. Интенсивность давления принята равной p = 2 МПа. В результате расчета определялась предельная (разрушающая) нагрузка pult = kp, где k - множитель (параметр) нагрузки. Изображение выглядит как диаграмма, зарисовка, рисунок, линия Автоматически созданное описание Рис. 4. Расчет фундаментного блока Figure 4. Calculation of the foundation block Изображение выглядит как зарисовка, диаграмма, дизайн, оригами Автоматически созданное описание Изображение выглядит как шаблон, зарисовка, куб Автоматически созданное описание a б Изображение выглядит как шаблон, куб, дизайн Автоматически созданное описание со средним доверительным уровнем Изображение выглядит как шаблон, Симметрия, дизайн Автоматически созданное описание в г Рис. 5. Конечноэлементные схемы фундаментного блока: a - схема 2×4; б - схема 4×8; в - схема 8×16; г - схема 16×32 Figure 5. Finite element schemes of the foundation block: a - scheme 2×4; б - scheme 4×8; в - scheme 8×16; г - scheme 16×32 Расчеты выполнялись шагово-итерационном методом. Коэффициенты к нагрузке на первых семи шагах принимались равными 1,00, на последующих шагах - 0,5 и 0,25 соответственно. Результаты расчета представлены в табл. 2. Таблица 2 Значение параметра критической нагрузки Конечноэлементная схема Модель деформирования бетона 1 2 2×4 14,50 22,25 4×8 15,50 20,00 8×16 13,00 19,00 16×32 12,50 18,50 Table 2 Value of critical load parameter Finite-element scheme Model of concrete deformation 1 2 2×4 14.50 22.25 4×8 15.50 20.00 8×16 13.00 19.00 16×32 12.50 18.50 Как видно из табл. 2, имеет место сходимость результатов при сгущении сетки конечных элементов, а удовлетворительная точность достигается при размере конечных элементов, равном 1/6 минимального линейного размера конструкции. При этом предельная нагрузка, составляя 25 МПа при хрупком и 37 МПа при пластичном разрушении, оказывается выше предела прочности бетона при осевом сжатии. Полученные данные вполне соответствует многочисленным экспериментам, показывающим увеличение прочности бетона при трехмерном напряженном состоянии по сравнению с осевым сжатием[11] [21-24]. На рис. 6 представлены равновесные кривые для двух моделей деформирования бетона. Изображение выглядит как текст, линия, диаграмма, График Автоматически созданное описание Изображение выглядит как текст, диаграмма, линия, График Автоматически созданное описание а б Рис. 6. Равновесные кривые «параметр нагрузки - перемещение» для срединного узла верхней поверхности блока: a - для модели 1; б - для модели 2 Figure 6. Equilibrium curves “load parameter - displacement” for the middle node of the upper surface of the block: a - for model 1; б - for model 2 В случае хрупкой модели деформирования разрушение конструкции происходит в результате раздавливания бетона верхней и средней частей фундаментного блока (рис. 7). Изображение выглядит как оригами, дизайн Автоматически созданное описание Изображение выглядит как шаблон, оригами, дизайн Автоматически созданное описание Изображение выглядит как оригами, дизайн Автоматически созданное описание Изображение выглядит как шаблон, оригами, дизайн Автоматически созданное описание Рис. 7. Схемы разрушения фундаментного блока для модели 1 Figure 7. Schemes of destruction of the foundation block for model 1 Поля нормальных напряжений σz в момент полного разрушения конструкции (k = 13,00) показаны на рис. 8. Изображение выглядит как снимок экрана, текст, диаграмма, дизайн Автоматически созданное описание Рис. 9. Поля нормальных напряжений σz, Мпа, для модели 1 в момент полного разрушения фундаментного блока Figure 9. Normal stress fields σz, MPa, for model 1 at the moment of complete destruction of the foundation block Таким образом, ВК ПРИНС может эффективно применяться специалистами проектных и научных организаций для решения широкого класса инженерных задач [25-27]. 4. Заключение Рассматриваемые модели деформирования бетона реализованы в вычислительном комплексе ПРИНС. Первая модель ожидаемо показывает заниженное значение предельной нагрузки. Идеально упругопластическая модель деформирования бетона по сравнению с хрупкой моделью разрушения демонстрирует увеличение прочности на 40 %, что отвечает результатам многочисленных экспериментов. Поэтому для получения достоверных результатов расчета бетонных и железобетонных конструкций, находящихся в условиях объемного напряженного состояния, рекомендуется использовать модели деформирования, учитывающие пластическое деформирование бетона.

Об авторах

Владимир Павлович Агапов

Российский университет дружбы народов

Автор, ответственный за переписку.
Email: agapovpb@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-1749-5797

доктор технических наук, профессор, профессор департамента строительства, инженерная академия

Москва, Российская Федерация

Алексей Семенович Маркович

Российский университет дружбы народов; Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет

Email: markovich-as@rudn.ru
ORCID iD: 0000-0003-3967-2114

кандидат технических наук, доцент, доцент департамента строительства, инженерная академия

Москва, Российская Федерация

Курбан Рабаданович Айдемиров

Дагестанский государственный технический университет

Email: kyrayd@mail.ru
ORCID iD: 0009-0005-1474-4275

кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры сопротивления материалов, теоретической и строительной механики

Махачкала, Российская Федерация

Список литературы