Геометрия и статический расчет тонких оболочек в форме поверхности диагонального переноса велароидального типа

Полный текст

Введение В [1] впервые рассматриваются обобщенные алгебраические поверхности с каркасом из трех суперэллипсов [2]. Подтверждено, что имея один и тот же каркас из трех плоских суперэллипсов, можно получить три алгебраические поверхности разных порядков. Суперэллипсы как образующие кривые поверхностей переноса с пространственной направляющей линией на цилиндре применяются для построения поверхностей в [3]. Известны поверхности диагонального переноса. Они образуются по принципу переноса конгруэнтной плоской кривой по направляющей так, что при скольжении образующей кривой по плоскому неподвижному контуру две ее симметричные точки непрерывно его касаются [4]. Приведенное определение не совсем точно идентифицирует изучаемые поверхности. Велароидальной называется поверхность переноса на плоском прямоугольном плане с образующей кривой переменной кривизны. Таким образом, поверхность ограничена четырьмя взаимно ортогональными контурными прямыми, лежащими в одной плоскости [5]. Это определение также не совсем корректно для рассматриваемых поверхностей. Известна также группа поверхностей велароидального типа [6]. По-видимому, рассматриваемые поверхности должны быть выделены в особую группу поверхностей диагонального переноса велароидального типа с главным каркасом из трех плоских кривых. В [7] впервые предложено использовать алгебраические поверхности с каркасом из трех плоских кривых в координатных плоскостях, нашедших применение в судостроительной промышленности [8] и в строительной отрасли в качестве оболочек для перекрытия больших площадей. Цель исследования - выявить с точки зрения напряженно-деформированного состояния от действия постоянной равномерно распределенной нагрузки оптимальную оболочку диагонального переноса велароидального типа с одинаковым главным каркасом из трех суперэллипсов. Метод Геометрия поверхностей диагонального переноса велароидального типа с главным каркасом из трех плоских кривых Пусть три плоских суперэллипса, лежащие в трех главных координатных плоскостях, формируют главный каркас исследуемой поверхности, то есть: - кривая 1 в плоскости z = 0: (1) - кривая 2 в плоскости x = 0: (2) - кривая 3 в плоскости y = 0: (3) где для выпуклых кривых r, t, n, m, s, k > 1; для вогнутых кривых r, t, n, m, s, k < 1. В этом случае, как указывалось во введении, можно получить явные алгебраические уравнения трех разных поверхностей, содержащих одинаковые плоские кривые (1)-(3) [1]. Эти явные алгебраические уравнения поверхностей легко перевести в параметрическую форму с образующим семейством однотипных сечений: - x = const: (4) - у = const: (5) - z = const: (6) где 0 ≤ u ≤ 1, -1 ≤ v ≤ 1; u, v - безразмерные параметры. Для дальнейшего рассмотрения примем L = 10 м; W = 7 м; T = 10 м; s = k = 2; n = m = 2; r = t = 1,5. (7) На рис. 1 изображены три поверхности, имеющие один и тот же главный каркас (1)-(3), но заданные тремя разными системами параметрических уравнений (4)-(6). а б в Рис. 1. Поверхности, описываемые параметрическими уравнениями (4)-(6), L = 10 м; W = 7 м; T = 10 м; s = k = 2; n = m = 2; r = t = 1,5: а - поверхность построена по формулам (4); б - поверхность построена по формулам (5); в - поверхность построена по формулам (6) Figure 1. Surfaces governed by parametric equations (4)-(6), L = 10 m; W = 7 m; T = 10 m; s = k = 2; n = m = 2; r = t = 1,5: а - the surface is constructed according to the formulae (4); б - the surface is constructed according to the formulae (5); в - the surface is constructed according to the formulae (6) Пусть поверхность на рис. 1, а имеет отверстие в вершине с полуразмером вдоль оси y, равным y0 = 2 м. Тогда из формулы (2) находим (8) то есть z0 = 9,583 м. Из формулы (3) определяем полуразмер отверстия в направлении оси x: (9) то есть x0 = 2,86 м. Таким образом, отверстие в вершине имеет размеры в осях 2x0×2y0 = 2∙2,86×2∙2 м. Поверхности на рис. 1, б, в также имеют аналогичные фонарные отверстия в вершинах. Края отверстий совпадают с координатными линиями. Поверхность на рис. 1, в имеет отверстие в вершине, совпадающее с координатной линией u0 = 0,958, с размерами 2x0 и 2y0, равными 2∙2,86 м и 2∙2 м соответственно. Края отверстия совпадают также с линией пересечения поверхности, задаваемой параметрическими уравнениями (6), с горизонтальной плоскостью z0 = 9,583 м. Можно запроектировать отверстия так, чтобы их края на поверхностях, задаваемых уравнениями (4), (5), совпадали с линиями пересечения этих поверхностей с горизонтальной плоскостью z0 = const, причем z0 < T. В этом случае из явных уравнений рассматриваемых поверхностей, приведенных в [1; 7], находится явное уравнение линии пересечения поверхности (4) с плоскостью z0 = const: (10) а также явное уравнение линии пересечения поверхности (5) с плоскостью z0 = const: (11) На рис. 2 изображены две поверхности, имеющие один и тот же главный каркас (1)-(3), но заданные двумя разными системами параметрических уравнений (4), (5). Края фонарных отверстий совпадают с линиями пересечения этих поверхностей с горизонтальной плоскостью z0 = 9,583 м = const. Третья поверхность с отверстием в вершине, показанная на рис. 1, в, будет одинакова для обоих случаев. В последних двух формулах -2,86 м ≤ x ≤ 2,86 м, -2м ≤ y ≤ 2 м. а б Рис. 2. Поверхности, описываемые параметрическими уравнениями (4), (5) с фонарными отверстиями, совпадающими с линией пересечения поверхности с горизонтальной плоскостью z0 = 9,583 м; L = 10 м; W = 7 м; T = 10 м; s = k = 2; n = m = 2; r = t = 1,5: а - поверхность построена по формулам (4); б - поверхность построена по формулам (5) Figure 2. Surfaces governed by parametric equations (4), (5) with lantern holes coinciding with the line of intersection of the surface with the horizontal plane z0 = 9,583 m; L = 10 m; W = 7 m; T = 10 m; s = k = 2; n = m = 2; r = t = 1,5: а - the surface is constructed according to the formulae (4); б - the surface is constructed according to the formulae (5) Статический расчет трех оболочек с одинаковым главным каркасом Рассчитаем оболочки, представленные на рис. 1, на действие нагрузки типа собственного веса q = 4 кН/м2, действующего в направлении, обратном направлению неподвижной координатной оси Оz. Геометрические параметры L, W, T и показатели степеней в уравнениях (4)-(6) срединных поверхностей оболочек даны в виде (7). Кроме того, примем постоянную толщину оболочек, равную h = 7 см, модуль упругости материала оболочки Еb = 32 500 МПа, коэффициент Пуассона ν = 0,17. Будем считать, что оболочка защемлена в основании по контуру z = 0. В вершине оболочек предусмотрено отверстие 2x0×2y0 со свободным контуром z = z0 = const. Для получения результатов используем вычислительный комплекс SCAD[34] [9] на базе метода конечных элементов[35] [10] в перемещениях. На рис. 3 и 4 представлены результаты расчета тонкой оболочки, изображенной на рис. 1, а. Анализ напряженно-деформированного состояния оболочки (рис. 1, а) выполнен с помощью программы SCAD. Для этого создана конечно-элементная математическая модель, собранная из восьми моделей-схем при автоматическом разбиении на различные сетки (разное количество разбиений по криволинейным координатным линиям поверхности u и v) для получения относительно равномерной аппроксимации срединной поверхности исследуемой оболочки плоскими четырехугольными конечными элементами (КЭ). При выполнении данной операции в нижней области оболочки со стороны оси Ох наблюдается сгущение сетки (рис. 1, а), при этом четырехугольные КЭ вырождаются в слишком вытянутые треугольные КЭ, и программа не может выполнить расчет. В связи с этим проблемная зона сгущения сетки была удалена и с помощью режима генерации сетки произвольной формы проведена локальная триангуляция. Однако в протоколе выполнения расчета выведена ошибка о наличии недопустимых углов в КЭ, то есть расчет не выполнен. После этого проведена трудоемкая работа по нанесению пользовательской сетки КЭ, результат представлен на рис. 3 и 4. Более того, для корректного отображения изополей напряжений и изгибающих моментов (рис. 3) необходимо выполнить выравнивание направлений выдачи результатов напряженного состояния. Количество конечных элементов в расчетной схеме 6066, узлов - 6078. Напряжения σ(Nv), кН/м2 Stresses σ(Nv), kN/m2 Напряжения σ(Nu), кН/м2 Stresses σ(Nu), kN/m2 Изгибающий момент Mv, кН·м/м Bending moment Mv, kN·m/m Изгибающий момент Mu, кН·м/м Bending moment Mu, kN·m/m Рис. 3. Пример 1. Нормальные напряжения и внутренние изгибающие моменты Figure 3. Example 1. Normal stresses and internal bending moments На рис. 5 и 6 представлены результаты расчета тонкой оболочки, изображенной на рис. 1, б. Анализ напряженно-деформированного состояния оболочки (рис. 1, б) выполнен также в программе SCAD. По аналогии с примером 1 (рис. 1, а, 3 и 4) для примера 2 (рис. 1, б) создана конечно-элементная математическая модель, собранная из восьми моделей-схем. При построении расчетной схемы оболочки по уравнениям (5) сгущение сетки образуется в нижней области со стороны оси Оу (рис. 1, б), при этом четырехугольные КЭ также вырождаются в вытянутые треугольные КЭ. Данная зона сгущения сетки была заменена на пользовательскую сетку КЭ (рис. 5 и 6). Количество конечных элементов в расчетной схеме 2896, узлов - 2942. а б в г Рис. 4. Пример 1. Деформация срединной поверхности оболочки от внешней нагрузки типа собственного веса: а - вид со стороны оси Oy; б - вид со стороны оси Ox; в - вид сверху со стороны оси Oz; г - изометрия деформированной срединной поверхности оболочки Figure 4. Example 1. Deformation of the middle surface of the shell from an external load of its own weight type: а - view from the Oy axis; б - view from the Ox axis; в - top view from the Oz axis; г - isometry of the deformed middle surface of the shell Напряжения σ(Nv), кН/м2 Stresses σ(Nv), kN/m2 Напряжения σ(Nu), кН/м2 Stresses σ(Nu), kN/m2 Изгибающий момент Mv, кН·м/м Bending moment Mv, kN·m/m Изгибающий момент Mu, кН·м/м Bending moment Mu, kN·m/m Рис. 5. Пример 2. Нормальные напряжения и внутренние изгибающие моменты Figure 5. Example 2. Normal stresses and internal bending moments а б в г Рис. 6. Пример 2. Деформация срединной поверхности оболочки от внешней нагрузки типа собственного веса: а - вид со стороны оси Oy; б - вид со стороны оси Ox; в - вид сверху со стороны оси Oz; г - изометрия деформированной срединной поверхности оболочки Figure 6. Example 2. Deformation of the middle surface of the shell from an external load of its own weight type: а - view from the Oy axis; б - view from the Ox axis; в - top view from the Oz axis; г - isometry of the deformed middle surface of the shell Напряжения σ(Nv), кН/м2 Stresses σ(Nv), kN/m2 Напряжения σ(Nu), кН/м2 Stresses σ(Nu), kN/m2 Изгибающий момент Mv, кН·м/м Bending moment Mv, kN·m/m Изгибающий момент Mu, кН·м/м Bending moment Mu, kN·m/m Рис. 7. Пример 3. Нормальные напряжения и внутренние изгибающие моменты Figure 7. Example 3. Normal stresses and internal bending moments На рис. 7 и 8 представлены результаты расчета тонкой оболочки, изображенной на рис. 1, в. Рис. 7 и 8 взяты из ранее опубликованной статьи [7], где рассматривались оболочки с теми же геометрическими параметрами L = 10 м, W = 7 м, T = 10 м, но с разными показателями степеней в формулах суперэллипсов (1)-(3). Сделана попытка выяснить оптимальные оболочки в той группе тонких оболочек. При построении расчетной схемы оболочки на рис. 1, в по параметрическим уравнениям (6) в вычислительном комплексе SCAD область сгущения сетки КЭ находится в верхней части (зона отверстия) [7]. а б в г Рис. 8. Пример 3. Деформация срединной поверхности оболочки от внешней нагрузки типа собственного веса: а - вид со стороны оси Oy; б - вид со стороны оси Ox; в - вид сверху со стороны оси Oz; г - изометрия деформированной срединной поверхности оболочки Figure 8. Example 3. Deformation of the middle surface of the shell from an external load of its own weight type: а - view from the Oy axis; б - view from the Ox axis; в - top view from the Oz axis; г - isometry of the deformed meddle surface of the shell Результаты и обсуждение Анализ полученных результатов напряженного состояния трех исследуемых оболочек (рис. 1) показывает, что в них при действии нагрузки типа собственного веса возникают как сжимающие, так и растягивающие напряжения. Вдоль координатной линии v при действии рассматриваемого типа нагрузки в примере 1 (рис. 1, а) числовые значения напряжений при растяжении от 0,00 до 295,90 кН/м2, зона растягивающих напряжений располагается в нижней части оболочки со стороны оси Oy (рис. 3), а со стороны оси Oх - сжимающие напряжения (в зоне сгущения сетки КЭ). Значения напряжений при сжатии от -676,46 до 0,00 кН/м2, в области отверстия в верхней части оболочки значения от -1014,69 до -676,46 кН/м2 (рис. 3). В примере 2 (рис. 1, б) числовые значения напряжений при растяжении от 0,00 до 300,34 кН/м2, зона растягивающих напряжений располагается в нижней части оболочки со стороны оси Oх (рис. 5), а со стороны оси Oу - сжимающие напряжения (в зоне сгущения сетки КЭ). Значения напряжений при сжатии от -605,52 до 0,00 кН/м2, в области отверстия в верхней части оболочки значения от -908,28 до -605,52 кН/м2. В примере 3 (рис. 1, в) числовые значения напряжений при растяжении от 0,00 до 427,45 кН/м2, зона растягивающих напряжений располагается в нижней части оболочки по всей длине координатной линии v (-1 ≤ v ≤ 1) (рис. 7). Значения напряжений при сжатии от -621,71 до 0,00 кН/м2, в области отверстия в верхней части оболочки значения от -1243,43 до -621,71 кН/м2. Вдоль координатной линии u при действии заданного типа нагрузки в примере 1 (рис. 1, а) числовые значения напряжений при растяжении от 0,00 до 277,14 кН/м2, зона растягивающих напряжений располагается в оболочке со стороны оси Oх (в зоне сгущения сетки КЭ) (рис. 3). Значения напряжений при сжатии от -653,66 до 0,00 кН/м2, в области отверстия в верхней части оболочки значения от -784,39 до -653,66 кН/м2 (рис. 3). В примере 2 (рис. 1, б) числовые значения напряжений при растяжении от 0,00 до 227,15 кН/м2, зона растягивающих напряжений располагается в оболочке со стороны оси Oу (в зоне сгущения сетки КЭ) (рис. 5). Значения напряжений при сжатии от -690,88 до 0,00 кН/м2, в области отверстия в верхней части оболочки значения от -1209,04 до -690,88 кН/м2. В примере 3 (рис. 1, в) вдоль криволинейной координатной линии u в срединной поверхности оболочки возникают сжимающие напряжения от -754,09 до 0,00 кН/м2, а растягивающие напряжения локализованы в верхней части оболочки около отверстия (рис. 7). Исследование оболочек (рис. 1) в настоящей работе выполнено с помощью программы SCAD на базе метода конечных элементов, предназначенной для выполнения прочностных расчетов различного вида и назначения конструкций и сооружений, в том числе оболочечных конструкций [11; 12]. Поверхности диагонального переноса велароидального типа с главным каркасом из трех суперэллипсов значительно расширяют число поверхностей, пригодных к внедрению, несмотря на то что в настоящее время имеется значительный резерв форм, ждущих своего применения [13]. Предложенную методику поиска оптимальных оболочек среди троек оболочек с одинаковым главным каркасом можно использовать для случаев, когда суперэллипсы вырождаются в ромбы [14]. Интересные предложения даны в [15]. А.В. Коротич считает, что новые нетрадиционные формы оболочек могут стать альтернативой в традиционной архитектуре [16]. Оболочки в форме поверхностей диагонального переноса велароидального типа также можно использовать как составные фрагменты новых архитектурных оболочек [17]. В [18] показывается, что нет в мире страны, где бы не было построено хотя бы несколько большепролетных оболочек. Заключение Анализ полученных результатов напряженного состояния трех исследуемых оболочек (рис. 1) показывает, что в них при действии нагрузки типа собственного веса возникают как сжимающие, так и растягивающие напряжения. Результаты полученных данных позволяют говорить об относительно схожих интервалах числовых значений нормальных напряжений и в оболочках в примерах 1-3, возникающих от действия нагрузки типа собственного веса. Как видно на рис. 1 формы каркасов трех оболочек одинаковые. При этом немного отличается картина распределения сжимающих и растягивающих напряжений в зависимости от параметрических уравнений (4)-(6) для построения поверхностей.

Об авторах

Ольга Олеговна Алёшина

Российский университет дружбы народов

Автор, ответственный за переписку.
Email: xiaofeng@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-8832-6790
SPIN-код: 8550-4986

кандидат технических наук, ассистент, департамент строительства, Инженерная академия

Российская Федерация, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6

Список литературы