Оценка индекса надежности стальных ферм по критерию жесткости при интервальной неопределенности данных

Полный текст

Введение Ключевым при проектировании, строительстве, эксплуатации и сносе строительных конструкций является требование обеспечения надежности. В соответствии с ГОСТ 27751-2014 «Надежность строительных конструкций и оснований», надежность - способность строительного объекта осуществлять требуемые функции в течение расчетного срока эксплуатации. Основным условием надежности строительных объектов является выполнение требований (критериев) для всех учитываемых предельных состояний при действии наиболее неблагоприятных сочетаний расчетных нагрузок в течение расчетного срока службы. Текущий подход к расчету строительных конструкций позволяет дать оценку надежности элемента здания или сооружения в формате «надежность обеспечена/надежность не обеспечена». Отсутствие выражения уровня надежности в количественной форме множество исследователей считают недостатком текущей концепции проектирования строительных конструкций. Так профессора О.В. Мкртычев и В.Д. Райзер в фундаментальной монографии по теории надежности строительных конструкций [1] отмечают, что «существующие методы проектирования не позволяют оценивать надежность конструкций и тем более проектировать их с заданным уровнем надежности… Сложившуюся ситуацию в нормировании правил расчета строительных конструкций можно охарактеризовать так: у проектировщика практически отсутствует информация, насколько успешно им решена задача нормального функционирования здания». Аналогичное мнение выражают профессор В.А. Клевцов и кандидат технических наук Д.В. Кузеванов [2]: «Существующие на сегодняшний момент нормы носят предписывающий характер и не содержат ни количественных показателей безопасности строительного объекта, ни методов ее оценки. Надежность лишь декларируется, но количественного выражения не обретает». Развитие теории надежности строительных конструкций и внедрение полных вероятностных расчетов в нормативную базу проектирования является актуальной научной задачей. Актуальность вопроса подтверждается также исследованиями ведущих зарубежных школ анализа надежности строительных конструкций. В [3] отмечается, что развитие анализа напряженно-деформированного состояния строительных конструкций на базе конечноэлементных моделей делает возможным создание эффективной модели здания или сооружения, но не позволяет в полной мере получить согласие с «реальностью» вследствие эпистемологической и алеаторной неопределенностей случайных величин (нагрузок, прочностей, геометрии и т. д.). Для вероятностного анализа надежности строительных конструкций используются различные модели случайных величин. Наиболее распространенно использование некоторой функции распределения вероятностей: такой подход дает точные результаты и под него разработан широкий инструментарий классической теории вероятностей и математической статистики. Как отмечено в [4], «трудно оценить точные значения параметров для точного определения распределения вероятностей из-за ограниченной информации. Как только статистическая гипотеза о распределении вероятностей не выполняется, анализ надежности становится недостоверным и бессмысленным». Для восполнения этого недостатка разработаны новые модели случайных величин - р-блоки [5], позволяющие использовать интервальные оценки параметров функций распределения, интервальные модели [6], которые представляют случайные величины в виде границ их изменчивости, и др. Большой вклад в развитие интервальных моделей внесли Я. Бен-Хаим и И. Элишаков в фундаментальной монографии Convex Models of Uncertainty in Applied Mechanics [7], где приведен ряд задач анализа и проектирования в прикладной механике, основанных на использовании выпуклых множеств для моделирования неопределенных функций или геометрических несовершенств. В данной работе исследуется подход к оценке надежности стальных плоских ферм при интервальной неопределенности случайных величин. В качестве критерия предельного состояния принят критерий жесткости (прогиба). Критерий жесткости, или прогиба, является одним из критериев предельных состояний, который оказывает влияние на принятое техническое проектное решение [8]. Также критерий жесткости необходим для полного вероятностного анализа зданий и сооружений и представления их в виде структурной системы. Методы и материалы Математическую модель предельного состояния для расчета надежности плоской шарнирно-стержневой системы по критерию жесткости (прогиба) можно записать в следующем виде: (1) где - максимальный прогиб от эксплуатационной узловой нагрузки (случайная величина); - предельный допустимый прогиб, установленный в соответствии с СП 20.13330.2016 «Нагрузки и воздействия» или исходя из технологических или иных требований. Для расчета перемещений плоских стержневых систем используется известная формула Максвелла - Мора: (2) где , , - произведения «единичных» эпюр на эпюры от внешней нагрузки (для изгибающих моментов M, продольных N и поперечных сил Q); E - модуль упругости материала рассматриваемого участка; J - момент инерции стержня на рассматриваемом участке; A - площадь поперечного сечения стержня на рассматриваемом участке; G - модуль сдвига материала стержня на рассматриваемом участке; η - коэффициент неравномерности распределения касательных напряжений. Поскольку в статически определимой ферме при приложении узловой нагрузки возникают только продольные усилия в стержнях, формулу Максвелла - Мора для расчета прогиба таких ферм [9] можно записать в виде , (3) где - усилие в i-м стержне фермы от единичной нагрузки, приложенной в узле, перемещение которого анализируется; - усилие в i-м стержне фермы от внешней нагрузки; - длина i-го стержня фермы; n - общее число стержней фермы. Для более точного подхода к анализу надежности можно учитывать дополнительный прогиб, возникающий вследствие влияния изгибающих моментов и поперечных сил в стержнях от нагрузки в виде собственного веса. Данную характеристику можно принять малоизменчивой и вычислить в различных программно-вычислительных комплексах. Тогда математическую модель предельного состояния для анализа надежности фермы по критерию прогиба можно записать в виде (4) Усилие в i-м стержне фермы от внешней нагрузки во многих задачах может быть записано для каждого стержня в виде , где - коэффициент, зависящий от геометрических параметров (размеров) фермы [10]. При проектировании следует учитывать изменчивость характеристик поперечного сечения стержней вследствие допусков на их изготовление. Например, по ГОСТ 30245-2015 «Профили стальные гнутые замкнутые сварные квадратные и прямоугольные для строительных конструкций», высота (ширина) профиля 100×100×5 может изменяться в пределах [99; 101] мм. В соответствии с ГОСТ 19903-2015 «Прокат листовой горячекатаный. Сортамент» для профиля размером 100×100×5 толщина стенки может иметь погрешность ±0,40 мм. При допустимых отклонениях можно получить интервал возможных значений момента сопротивления сечения W = [52, 24; 62, 48] см3 при среднем значении W = 57,32 см3. Если принять нормальное распределение вероятностей для момента сопротивления сечения, а границы допустимого интервала считать установленными по правилу трех сигм, то максимальное среднеквадратическое отклонение для данного профиля составит SW = 1,71 см3. Коэффициент вариации момента сопротивления сечения - 3 %. Для профиля 50×5 интервал значений составит [11, 33; 13, 26] см3. Предельный коэффициент вариации - 2,6 %. Аналогично для площадей поперечных сечений: для сечения 50×5 интервал возможных площадей [8, 26; 9, 74] см2, предельный коэффициент вариации - 2,78 %. Тем не менее предположение о коэффициенте вариации является лишь статистической гипотезой. В данном исследовании предлагается анализировать надежность фермы только на основании данных о границах изменчивости случайной величины, что является техническими допусками для размеров поперечного сечения стержней. Модуль упругости стали на первой стадии анализа надежности примем детерминированной (постоянной) величиной. Согласно Г. Шпете [11], коэффициент вариации модуля упругости стали находится в пределах от 0,02 до 0,06. По данным экспериментальных исследований [12], коэффициент вариации модуля упругости стали зависит в том числе от метода его измерения: при измерении деформаций экстензометром получен коэффициент вариации 2,4 %, при измерении деформаций тензорезистором - 4,7 %. На основе рассмотренного алгоритма будет несложно построить алгоритм анализа надежности и с учетом его изменчивости. Правило трех сигм применимо при нормальном законе распределения случайной величины. При неполной статистической информации, что нередко встречается в практических задачах анализа надежности, трудно установить очевидную принадлежность генеральной совокупности данных к тому или иному виду распределения вероятностей. Например, как отмечает профессор В.А. Адищев в [13]: «В настоящее время во многих работах публикуются экспериментальные данные, свидетельствующие о том, что распределения реально наблюдаемых случайных величин в подавляющем большинстве случаев отличны от нормального распределения. Да и в целом, по мнению многих исследователей, применение методов математической статистики некорректно, так как невозможно на практике с помощью реальных экспериментальных установок проверить достоверность полученных с их помощью результатов». В связи с этим для определения границ изменчивости случайной величины можно использовать неравенство Высочанского - Петунина, которое можно записать в следующем виде: где λ - любое положительное число с условием . Преимуществом такого подхода является то, что данное неравенство справедливо в том числе и для резко асимметричных распределений, тем самым устанавливая границы для множества значений случайной величины, попадающих в определенный интервал. Классическое неравенство П.Л. Чебышёва имеет вид где λ - любое положительное число. Из рис. 1 видно, что неравенство Высочанского - Петунина усиливает известное неравенство П.Л. Чебышёва. Доверительные границы интервала будут информативнее по неравенству Высочанского - Петунина, что достигается введением ограничения на функцию плотности распределения вероятности, которая должна быть одномодальной и иметь конечную дисперсию. Абсолютное большинство случайных величин в строительной практике можно считать подходящими под данное условие. Границы изменчивости случайной величины можно получить следующим образом: аналитически (3) или графически (рис. 1) устанавливается значение параметра λ для принятой доверительной вероятности; границы случайной величины вычисляются по формуле . Параметр λ для границ изменчивости устанавливается исходя из требуемой обеспеченности. Так для обеспеченности 0,95 параметр по неравенству Высочанского - Петунина составит λ = 3, а по неравенству Чебышёва λ = 4,5. Определить параметр λ, исходя из обеспеченности, можно по рис. 1. Изображение выглядит как диаграмма Автоматически созданное описание Рис. 1. Зависимость р-λ для неравенства Высочанского - Петунина и f-λ для неравенства Чебышёва Figure 1. The dependence р-λ for Vysochansky - Petunin inequality and f-λ for Chebyshev’s inequality Математическую модель предельного состояния для анализа надежности фермы по критерию прогиба можно записать в виде (5) Функцию предельного состояния g на основе уравнения (5) можно записать в виде (6) где i = 1, 2, … n - число стержней фермы; - площадь поперечного сечения i-го стержня фермы (случайная величина); - узловая нагрузка (случайная величина); Каждая случайная величина в интервальной форме может быть представлена в виде (7) где - нижнее (l = lower) граничное значение случайной величины; - верхнее (u = upper) граничное значение случайной величины. Случайная величина может быть нормализована [14] и представлена в виде (8) где - центр интервала, характеризующего случайную величину ; - радиус интервала, характеризующего случайную величину . Тогда для функции предельного состояния g можно получить нормализованный вектор в виде . Исходя из этого, можно получить нормализованную поверхность предельного состояния вида . Индекс надежности η может быть определен как минимальное расстояние от нормализованной поверхности разрушения до начала координат С. Аналитически определение индекса надежности η можно выразить как (9) где , s.t. - subject to. При двух случайных величинах можно получить графическую интерпретацию индекса надежности η. Если функция предельного состояния не пересекает площадь квадрата, образованного единичными координатами (рис. 2, а), то индекс надежности η > 1. Если функция пересекает площадь квадрата, образованного единичными координатами (рис. 2, в), то индекс надежности η < 1. Поверхность отказа в случае анализа надежности фермы по критерию жесткости можно представить в виде (10) Изображение выглядит как диаграмма Автоматически созданное описание η > 1 а η = 1 б η < 1 в Рис. 2. Графическая интерпретация индекса надежности η [15] Figure 2. Graphical interpretation of the reliability index η [15] Если предполагаются элементы фермы из одного профиля, то слагаемые в (10) рационально объединить для снижения размерности задачи. Например, задача расчета надежности фермы, состоящей из четырех различных профилей (, , , ) и со случайной узловой нагрузкой , требует решения шестнадцати уравнений типа (10) с различными коэффициентами δ, которые могут быть сведены в таблицу (табл. 1). Таблица 1 / Table 1 Коэффициенты δ для формирования уравнений в (10) Coefficients δ for making equations by (10) Минимальный корень из всех возможных решений уравнения (10), по данным табл. 1, будет являться индексом надежности фермы η. В качестве современных моделей области изменчивости случайных величин используются также эллипсоидные модели [16; 17] и модели многогранников [18; 19]. Результаты и обсуждение Рассмотрим анализ надежности стальной фермы с расчетной схемой по рис. 3. Изображение выглядит как диаграмма Автоматически созданное описание Рис. 3. Расчетная схема фермы со случайной нагрузкой Figure 3. The truss design scheme with load as a random variable Расчетные параметры фермы приведены в табл. 2. Таблица 2 / Table 2 Расчетные параметры фермы Design parameters for the truss № стержня / Bar No. ψi li, м/m Ac, см²/cm² Ar, см²/cm² 1, 4 -0,5 -1,5 3 10,21 0,368 2, 3 -1,5 -3,5 3 10,21 0,368 5, 7 1 3 3 6,95 0,229 6 1,5 4 3 6,95 0,229 8, 15 5,34 0,166 9, 14 5,34 0,166 10, 13 3,74 0,112 11, 12 0 3,74 0,112 Примечание: модуль упругости стали - E = 2·1011 Па; параметры нагрузки - Pc = 50 кН, Pr = 25 кН; параметры прогибов - Δпр = 1/250·12 м = 48 мм; Δсв = 2 мм. Note: elastic modulus of steel - E = 2·1011 Pa; load parameters - Pc = 50 kN, Pr = 25 kN; deflection parameters - Δult = 1/250·12 m = 48 mm; Δsw = 2 mm. Подстановкой в (10) коэффициентов из табл. 1 и расчетных параметров из табл. 2 были получены значения решения, приведенные в табл. 3. Таблица 3 / Table 3 Решения уравнений в (10) Solutions of equations by (10) Min = 1,052 1,262 1,118 1,19 1,09 1,166 1,21 1,099 1,06 1,22 1,157 1,15 1,181 1,166 1,253 1,06 Индекс надежности данной фермы по критерию прогиба η = 1,052. Следует отметить, что при анализе надежности интервальным подходом также может присутствовать проблема инвариантности математической модели предельного состояния [20]. Можно сократить расчеты, вычисляя 2-3, а не коэффициентов δ для решения задачи, применяя две модернизации алгоритма, использующие свойства монотонных функций, описанные в [21]. Для этого необходимо записать функцию предельного состояния в нормализованном виде, например в виде формулы (10). После этого необходимо найти . Чтобы сделать это быстро, нужно решить уравнение, обнулив все δ, кроме одного, для получения функции вида . Данное действие направленно на определение монотонности функции. Далее для всех членов уравнения, для которых , принять и для принять . Полученное уравнение решается стандартными способами. Количество корней будет равно максимальной степени коэффициентов δ в уравнении. Для комплексного анализа надежности следует также выполнить оценку индекса надежности по другим критериям работоспособности (прочность и устойчивость элементов, несущая способность узлов по различным критериям). После того, как будут получены индексы надежности по всем критериям предельного состояния для фермы, можно будет оценить надежность фермы как механической системы [22; 23]. Вопрос нормирования индекса надежности в Российской Федерации остается открытым. Отдельные рекомендации по его нормированию с экономической точки зрения приведены в [24]. Заключение Представление случайных величин в виде границ их изменчивости снижает количество статистических гипотез для моделирования случайных величин, что повышает достоверность результатов в случае ограниченной статистической информации. Разработанный подход позволяет получить количественную оценку уровня безопасности эксплуатации фермы по критерию жесткости, на основе которого можно сравнить по критерию надежности несколько проектных решений.

Об авторах

Сергей Александрович Соловьев

Вологодский государственный университет

Email: solovevsa@vogu35.ru
ORCID iD: 0000-0001-7083-7963
SPIN-код: 4738-8927

кандидат технических наук, доцент кафедры промышленного и гражданского строительства

Российская Федерация, 160000, Вологда, ул. Ленина, д. 15

Александр Эдуардович Иньков

Вологодский государственный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: inkovaie@vogu35.ru
ORCID iD: 0000-0002-7034-8606
SPIN-код: 7977-7778

аспирант, ассистент кафедры промышленного и гражданского строительства

Российская Федерация, 160000, Вологда, ул. Ленина, д. 15

Анастасия Андреевна Соловьева

Вологодский государственный университет

Email: solovevaaa@vogu35.ru
ORCID iD: 0000-0002-5285-5882
SPIN-код: 5162-9279

аспирант, преподаватель кафедры промышленного и гражданского строительства

Российская Федерация, 160000, Вологда, ул. Ленина, д. 15

Список литературы