Нелинейный и линейный анализ общей устойчивости несущей системы высотного здания ствольного типа

Полный текст

Введение Одной из проблем проектирования сложных уникальных объектов является создание их расчетной схемы. При этом имеет место стремление проектировщиков создавать как можно более сложные и детализированные расчетные схемы. Однако увеличение сложности и детализации расчетной схемы не увеличивает автоматически уверенность в правильности результатов ее численного анализа. Численная реализация расчетной схемы осуществляется с использованием компьютерных программ расчета. При этом может быть применен «двойной расчет», позволяющий получить численные результаты по двум компьютерным расчетным программам. Сопоставление двух результатов расчета, полученных по различным расчетным программам, позволяет обеспечить уверенность в правильной реализации расчетной схемы в программных комплексах, а не в достаточной адекватности расчетной схемы проектируемому высотному объекту. Таким образом, наряду с численным анализом сложных и детализированных расчетных схем необходимо получить результаты расчета, представленные простыми расчетными схемами, которые доступны для качественного анализа, а получаемые численные результаты предсказуемы. Такие расчетные схемы, как правило, описывают отдельные расчетные проблемы, стоящие перед проектировщиками. Для задачи общей устойчивости несущего ствола высотного здания часто используется модель консольной стойки [1-5]. Любая задача устойчивости, как известно, является нелинейной. Задача общей устойчивости стойки тоже решается с использованием нелинейного анализа устойчивости. Например, классический метод Релея - Ритца, применяемый для решения задач устойчивости, дает достаточно точное приближенное решение. К более точному результату приводит известная формула Тимошенко [6; 7]. Примером задач, решаемых проектировщиками, является устойчивость вертикального положения высотного объекта на деформируемом основании со сложными нелинейными свойствами, которые рассмотрены в [8-10]. Задача устойчивости высотного объекта против опрокидывания рассматривает грунтовые основания с односторонними связями (конструктивной нелинейностью). Заложили основу аналитической статики для таких систем авторы [11-13]. Согласно СП 63.13330.2012[3], при решении таких задач, получивших в проектной практике название «устойчивости положений», рекомендуется использовать простую расчетную схему, в которой конструктивная часть высотного здания принимается как жесткое недеформированное тело. Нелинейность, связанная с проблемой устойчивости в этих задачах, называется статической нелинейностью. В задаче общей устойчивости несущей системы высотного здания ствольного типа нелинейную расчетную схему можно заменить расчетной схемой для линейного анализа устойчивости. На возможность линейного анализа устойчивости консольной стойки на основе простых расчетных процедур указывал Американский институт стальных конструкций (AISC)[4]. Две такие расчетные процедуры описываются в [14]. В основе линейного анализа лежит допущение, которое позволяет заменить форму потери устойчивости консольной стойки формой изгиба стойки при нагружении поперечной нагрузкой. Для подобной замены необходимо предположить, что различие между формой выпучивания при потере устойчивости стойки и формой изгиба стойки при действии поперечной нагрузки не приведет к значительной погрешности при определении критической нагрузки. Вопросу проверки устойчивости конструкций расчетом по недеформируемой схеме уделено значительное внимание в Еврокоде 2 и Еврокоде 3[5]. В статье дается численная оценка такой погрешности. Простая расчетная схема линейного анализа общей устойчивости здания ствольного типа позволит предварительно оценить величину критической нагрузки и при необходимости произвести корректировку сложной и детализированной расчетной схемы в соответствии с результатами линейного анализа устойчивости. Методы и материалы Простейшая расчетная схема для рассматриваемых задач устойчивости - консольная стойка, защемленная в опорном узле и нагруженная собственным весом (рис. 1). LLLqq(z)q(z)zИзображение выглядит как текст, антенна, датчик Автоматически созданное описание Рис. 1. Изгиб и форма потери устойчивости консольного стержня Figure 1. Bending and the form of loss of stability of the cantilever rod Задача устойчивости такой стойки описывается каноническим уравнением Бесселя, где искомой функцией является не поперечное перемещение, а угол поворота q. (1) Решение этого уравнения для граничных условий при z = 0 и q = 0 при z = L имеет вид (qH)kp = 7,837EJ/L2. (2) Таким образом, устойчивость несущей системы в виде ядра жесткости высотного здания рассматривается с позиций устойчивости Эйлера как консольный стержень, защемленный в основании. При линейном анализе устойчивости используется расчетная схема в виде стойки нагруженной поперечной нагрузкой (рис. 1). Величина горизонтального перемещения вершины стойки (D = qL4/(8EJ)), используется при оценке величины критической нагрузки Pkp = kqL2/D. (3) Ожидаемая погрешность этого значения критической нагрузки по сравнению с точным решением на основе уравнения Бесселя должна допускать возможность предварительной оценки величины критической нагрузки и сравнения ее с численными результатами реализации сложных, детализированных расчетных схем с использованием компьютерных программ расчета. Результаты и обсуждение В качестве модельного примера рассматривается устойчивость колонны консольного типа под действием собственного веса: - высота колонны L = 20 м; - нагрузка q = 77,3125 кН/м (рис. 1); - момент инерции поперечного сечения (рис. 2) J = 2,718 м4; - изгибная жесткость поперечного сечения EJ = 107 361,9 кНм2. Решение этой задачи устойчивости хорошо известно как решение канонического уравнения Бесселя для критической нагрузки Рkp: (qL)kp = 7,837EJ/L2. (4) кН/м3 kN/m3 см cm кПа kPa см cm Задание стандартного сечения / Setting the standard section Рис. 2. Стандартное поперечное сечение консольной стойки Figure 2. Standard cross-section of the console rack Таким образом, величина критической нагрузки колонны будет Рkp = 7,837 × 107 361,9/400 = 2103,48 кН. (5) Используем программный комплекс «Лира-САПР» при компьютерном расчете этой же задачи для определения конечно-элементного деления области интегрирования. Точность оценки критической нагрузки при высоте колонны 20 м достигается при уменьшении шагов разбиения h (табл. 1). Как показывают расчеты (столбец 5, табл. 1) величина критической нагрузки с уменьшением шага разбиения h быстро сходится (рис. 3, а), погрешность численного расчета (столбец 6, табл. 1) по сравнению с аналитическим решением (2) быстро убывает (рис. 3, б). Сопоставим полученные результаты расчета с линейным анализом устойчивости, рассматривая изгибную форму потери устойчивости состояния равновесия с прямолинейной вертикальной осью колонны. Pкр = 0,95qL2/D = 0,95 × 77,3125 × 400/14,4 = 2039,88 кН. (6) Погрешность оценки критической нагрузки линейного анализа устойчивости (3) по сравнению с аналитическим решением (2) составляет 3,02 %. Таблица 1 Результаты расчета критической нагрузки на основе нелинейного анализа устойчивости Table 1 Results of critical load calculation based on nonlinear stability analysis № h, м q, кH/м k Рkp = kqL, кH % No h, m q, kH/m k Рkp = kqL, kH % 1 1 77,313 1,264 1954,398 7,088 1 1 77.313 1.264 1954.398 7.088 2 0,5 38,656 1,311 2026,948 3,638 2 0.5 38.656 1.311 2026.948 3.638 3 0,25 19,328 1,335 2064,754 1,841 3 0.25 19.328 1.335 2064.754 1.841 4 0,125 9,664 1,348 2084,067 0,923 4 0.125 9.664 1.348 2084.067 0.923 5 0,0625 4,832 1,354 2093,824 0,459 5 0.0625 4.832 1.354 2093.824 0.459 6 0,03125 2,416 1,357 2098,725 0,226 6 0.03125 2.416 1.357 2098.725 0.226 7 0,015625 1,208 1,358 2099,916 0,169 7 0.015625 1.208 1.358 2099.916 0.169 8 0,007813 0,604 1,358 2100,024 0,165 8 0.007813 0.604 1.358 2100.024 0.165 Pkp а б Рис. 3. Графики сходимости: а - величины критической нагрузки; б - погрешности при численном решении задачи устойчивости Figure 3. Convergence graphs: a - the values of the critical load; б - errors in the numerical solution of the stability problem Рассмотрим устойчивость колонны переменной изгибной жесткости при действии равномерно распределенной по высоте стойки вертикальной нагрузки. Изгибная жесткость представлена двумя величинами EJ1 и EJ2, L = h1 + h2, где h1 - участок высоты колонны с жесткостью EJ1, h2 - с жесткостью EJ2 (EJ1/EJ2 = 0,355) (рис. 4). h2h1L Рис. 4. Варианты расчетной схемы консольной стойки переменной изгибной жесткости Figure 4. Variants of the design scheme of a cantilever rack of variable bending stiffness В табл. 2 приведены результаты расчетов c различной величиной шага разбиения h, равной L/40 и L/640. В табл. 2 в столбце 1 результаты расчета критической нагрузки из решения бифуркационной задачи устойчивости, в столбце 2 результаты линейного анализа устойчивости колонны по (3). Процент расхождения результатов расчета от 2,58 до -6,43 %. На рис. 5 показаны зависимости критических нагрузок, полученных на основе нелинейного и линейного анализа устойчивости, от переменной (ступенчатой) изгибной жесткости стойки (рис. 4). Таблица 2 Результаты нелинейного и линейного расчета критической нагрузки стойки переменной изгибной жесткости № h1/h2, м/м L/40 L/640 1, Pkp, кH 2, Pkp, кH % 1, Pkp, кH 2, Pkp, кH % 1 20/0 844,2 849,5 -0,623 874,1 849,6 2,801 2 15/5 1397,7 1520,1 -8,756 1495,9 1592,2 -6,432 3 10/10 2211,4 2150,3 2,763 2207,3 2150,3 2,586 4 5/15 2369,5 2377,8 -0,351 2454,4 2376,9 3,158 5 0/20 2379,4 2404,6 -1,059 2463,6 2394,7 2,800 Примечание: 1 - расчет критической нагрузки из решения бифуркационной задачи устойчивости; 2 - линейный анализ устойчивости колонны по (3). Table 2 Results of nonlinear and linear calculation of the critical load of a rack of variable bending stiffness No h1/h2, m/m L/40 L/640 1, Pkp, kH 2, Pkp, kH % 1, Pkp, kH 2, Pkp, kH % 1 20/0 844.2 849.5 -0.623 874.1 849.6 2.801 2 15/5 1397.7 1520.1 -8.756 1495.9 1592.2 -6.432 3 10/10 2211.4 2150.3 2.763 2207.3 2150.3 2.586 4 5/15 2369.5 2377.8 -0.351 2454.4 2376.9 3.158 5 0/20 2379.4 2404.6 -1.059 2463.6 2394.7 2.800 Note: 1 - calculation of the critical load from the solution of the bifurcation stability problem; 2 - linear analysis of the stability of the column by (3). Pkp, кН Pkp, кН а б Рис. 5. Зависимости критических нагрузок, полученных на основе нелинейного и линейного анализа устойчивости, от переменной (ступенчатой) изгибной жесткости стойки Figure 5. Dependences of critical loads obtained on the basis of nonlinear and linear stability analysis on the variable (stepwise) bending stiffness of the rack Рассмотрим устойчивость стойки с постоянной изгибной жесткостью EJ = 1,13×10-4 кН/м2 и переменной (ступенчатой) распределенной вертикальной нагрузкой q1 = 0,3 кН/см, q2 = 0,4 кН/см (рис. 5). На рис. 6 показаны два варианта нагружения стойки. В табл. 3 приведены результаты расчета критических нагрузок для различных схем нагружения консольной стойки. В столбце 1 табл. 3 показана критическая нагрузка, полученная на основе нелинейного анализа устойчивости, в столбце 2 показана критическая нагрузка линейного анализа устойчивости. Таблица 3 Результаты нелинейного и линейного расчета критической нагрузки стойки при различных вариантах нагружения Варианты Расчетные схемы, EJ = 1,13×10-4 кHм2 1, Pkp, кH 2, Pkp, кH 3, % А А1 872,90 849,65 2,66 А2 909,18 890,36 2,07 А3 943,46 921,66 2,31 А4 985,46 945,31 4,07 А5 961,67 921,66 4,16 А6 922,89 903,30 2,12 А7 872,90 849,65 2,66 Б Б1 872,90 849,65 2,66 Б2 817,79 804,06 1,68 Б3 792,85 777,55 1,93 Б4 783,44 771,57 1,51 Б5 819,79 800,45 2,36 Б6 845,73 823,61 2,62 Б7 872,90 849,65 2,66 Примечание: 1 - нелинейный анализ устойчивости; 2 - линейный анализ устойчивости. Table 3 Results of nonlinear and linear calculation of the critical load of the rack under various loading options Variants Calculation schemes, EJ = 1,13×10-4 kHм2 1, Pkp, kH 2, Pkp, kH 3, % А А1 872.90 849.65 2.66 А2 909.18 890.36 2.07 А3 943.46 921.66 2.31 А4 985.46 945.31 4.07 А5 961.67 921.66 4.16 А6 922.89 903.30 2.12 А7 872.90 849.65 2.66 Б Б1 872.90 849.65 2.66 Б2 817.79 804.06 1.68 Б3 792.85 777.55 1.93 Б4 783.44 771.57 1.51 Б5 819.79 800.45 2.36 Б6 845.73 823.61 2.62 Б7 872.90 849.65 2.66 Note: 1 - nonlinear stability analysis; 2 - linear stability analysis. На рис. 7 показано сравнение результатов расчета критической нагрузки для различных вариантов нагружения стойки на основе нелинейного и линейного анализа устойчивости. Рассмотрим расчет устойчивости пространственного ядра жесткости, представленного вертикальной консольной пространственной стойкой с переменной по высоте изгибной жесткостью. Поперечное сечение стойки квадратное в плане показано на рис. 8, а. Сечение в расчетных схемах представлено двумя вариантами: первый вариант представлен сплошными линиями, во втором варианте добавлены элементы, показанные штриховыми линиями. Высота стойки 60 м, толщина стен стойки по высоте изменяется каждые 10 м и равна hj (рис. 8, а). Другие характеристики: модуль упругости 39 500 кПа, коэффициент Пуассона 0,4, вес конструкционного материала 2,5 кH/м3. zLq2q1 Lq2q1 а б Рис. 6. Два варианта нагружения консольной стойки Figure 6. Two options for loading the console rack Pkp, кН Linear stability analysis Nonlinear stability analysis Pkp, kН Рис. 7. Результаты расчета критической нагрузки для различных вариантов нагружения стойки на основе нелинейного и линейного анализа устойчивости Figure 7. The results of the calculation of the critical load for various variants of the rack loading based on nonlinear and linear stability analysis hj h1 = 1,0 м h2 = 0,95 м h3 = 0,9 м h4 = 0,85 м h5 = 0,8 м h6 = 0,75 м h1 а б Рис. 8. Поперечные сечения расчетных схем консольной стойки Figure 8. Cross-sections of the design schemes of the console rack В этой задаче возникает вопрос о возможности как местной потери устойчивости, так и общей потери устойчивости изгибного типа. Вид потери устойчивости определяется гибкостью отдельных элементов стойки и гибкостью самой стойки. В качестве примера рассмотрим потерю устойчивости стойки с поперечным сечением первого варианта, стенки которого обладают значительной гибкостью. Изображение выглядит как текст, стол, стол консоль, стенд Автоматически созданное описание а б а б в г Рис. 9. Формы местной и общей потери устойчивости стойки изгибного типа Figure 9. Forms of local and general loss of stability of the bending type strut Рис. 10. Стандартные системы жесткости в основе конструкций высотных зданий: а - с внешними несущими стенами, работающими на сдвиг; б - с внутренними несущими стенами, работающими на сдвиг; в - ствольного типа; г - трубного типа Figure 10. Standard rigidity systems based on the structures of high-rise buildings: a - with external load-bearing walls, working on the shift; б - with internal load-bearing walls, working on the shift; в - barrel type; г - tube type Изображение выглядит как стрела Автоматически созданное описание а б Рис. 11. Формы потери устойчивости стойки (а) и изгиба консольной балки (б) Figure 11. Forms of rack stability loss (а) & bending of the cantilever beam (б) Первая форма потери устойчивости стойки (местная потеря устойчивости) показана на рис. 9, а. Увеличение изгибной жесткости стен за счет введения в расчетную схему дополнительных элементов жесткости, показанных на рис. 7, а штриховыми линиями, приводит к изгибной форме потери общей устойчивости (рис. 9, б). Нелинейный и линейный анализ общей устойчивости пространственного ядра жесткости рассмотрим на открытом профиле двутаврового поперечного сечения модельной стоки (рис. 8, б). Здесь следует заметить, что профиль двутаврового поперечного сечения стойки является одной из стандартных системы жесткости в основе конструкций высотных зданий [15]. На рис. 10 показаны стандартные системы жесткости в основе конструкций высотных зданий. Нелинейный анализ общей изгибной устойчивости имеет форму потери устойчивости, показанную на рис. 11, а. Критическая нагрузка будет равна Рkp = qkpL = 126,9 × 60 = 7611,5 кH. (7) Результат линейного анализа устойчивости пространственного ядра жесткости, основанный на использовании формы изгиба консольной балки, нагруженной поперечной нагрузкой (рис. 11, б), дает критическую нагрузку следующего вида: Рkp = 0,95qL2/D = 0,95 × 24 × 5,29 × 3600 / 58,59 = 7410,89 кH. (8) Таким образом, как можно было ожидать, погрешность линейного анализа устойчивости составляет 2,6 %. Заключение Приведенные в табл. 3 (столбец 3) результаты оценки погрешности линейного анализа устойчивости показывают, что погрешность в 16-25 раз больше по сравнению с классическими методами решения задач устойчивости. Так, методы Релея - Ритца и Галеркина в задачах устойчивости дают достаточно точные приближенные решения с погрешностью от +0,2 до +0,13 %. Однако проблема в данном случае не в методах получения приближенного решения задачи устойчивости, а в получении соответствующих точности применяемых методов значений исходных параметров расчетной схемы. На общую устойчивость несущей системы высотного здания оказывает влияние множество факторов. Это и расчетные характеристики нагружения, и неизменно присутствующий «разброс» прочности конструкционного материала и начальных геометрических несовершенств в виде невертикальности, непрямолинейности, эксцентриситетов и перекосов крепления элементов и т. д. Большое влияние на общую устойчивость имеет грунтовое основание фундаментных конструкций высотного здания, которое также имеет большой «разброс» деформационных и прочностных характеристик. Следовательно, в каждом конкретном случае полученную погрешность линейного анализа устойчивости надо сопоставлять с допускаемой погрешностью значений исходных параметров расчетной схемы высотного здания. Как показывают проведенные расчеты, линейная модель анализа устойчивости консольной стойки может входить в серию простых (инженерных) моделей, каждая из которых описывает отдельную характерную проблему расчета при проектировании того или иного сооружения. В данном случае линейная модель позволяет получить предварительную оценку критической нагрузки для тестирования результатов компьютерного расчета по более сложным моделям общей устойчивости равновесия несущего ствола высотного объекта.

Об авторах

Ольга Вячеславовна Иноземцева

КБ «СмартПроект»

Email: olga.inozemtseva@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-6608-7458

кандидат технических наук, ведущий конструктор

Российская Федерация, 105082, Москва, ул. Большая Почтовая, д. 26В, стр. 2

Вячеслав Константинович Иноземцев

Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А

Автор, ответственный за переписку.
Email: aditi2003@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-2817-0426

доктор технических наук, профессор, кафедра «Строительные материалы, конструкции и технологии»

Российская Федерация, 410054, Саратов, ул. Политехническая, д. 77

Список литературы