Rheological equations of concrete state and relaxation of stress

Full Text

Введение Теории ползучести посвящено большое количество работ. Среди значимых для дальнейшего изложения отметим [1-8]. Одним из основных положений этой теории являются уравнения механического состояния бетона, которые выводятся на основе принципа наложения деформаций. Они заключается в суммировании в некоторый момент времени частичных приращений упругих и запаздывающих деформаций от частичных приращений напряжений в предыдущие моменты времени. Это означает, что результат действия последних учитывается в момент времени . Если деформации ( взаимонезависимы, то приращение напряжения (1) порождает приращение упругой деформации (2) и приращение деформации ползучести (3) В момент напряжению вследствие эволюции модуля упругости отвечает деформация . Согласно (1) и (2) получим соотношение , (4) реализующее наложение частичных упругих деформаций . В дальнейшем используется мера ползучести в форме . (5) Здесь - предельная мера ползучести, - функция старения, отражающая изменение дерформативных свойств бетона во времени, а функция накопления деформаций ползучести. Согласно Л. Больцману [1] при деформации взаимонезависимы, каждая из них зависит лишь от приращения напряжения и его продолжительности и не зависит от остальных приращений и при . Тем самым (6) Переходя к пределу при , получим , (7) а интегрируя по частям с учетом . (8) Добавляя порождаемую напряжением деформацию ползучести и упругую деформацию , получим линейное уравнение механического состояния для нестареющего материала при одноосном нагружении . (9) Линейное уравнение состояния Основной причиной старения бетона являются физико-химические процессы, в результате которых меняются во времени показатели прочности , упругости и меры ползучести . В современных феноменологических теориях ползучести эти изменения учитываются разными для этих показателей функциями старения типа . Основываясь на экспериментальных данных [9], в [10] установлена их общность и выявлена ее структура: . (10) При простейшем нагружении деформация ползучести . Обозначим и . (11) С учетом (10) , (12) где - уровень напряжений. Приращению уровня напряжения соответствует приращение деформаций ползучести в момент наблюдения (13) Поскольку в линейной постановке приращение зависит лишь от величины и длительности , то , (14) а переходя к пределу, получим . (15) Поскольку , то (16) Взяв первый интеграл по частям с учетом , получим (17) Учитывая , имеем , (18) добавляя начальную деформацию , получаем уравнение для деформации ползучести: . (19) Уравнение состояния в линейной постановке (20) содержит упругую деформацию и (21) где приращение согласно (4) является наложением в момент частичных приращений . Наложением частичных приращений , отвечающих приращениям напряжений, получим линейное уравнение состояния стареющего материала при одноосном нагружении . (22) Замечание 1. Равенство (19) можно получить и с помощью полного дифференциала деформации : (23) Поскольку и , то при интегрировании (23) получим , а добавлением деформации равенство (19). Приращение упругих деформаций , (24) а добавляя деформацию , получим . В [12] уравнение (22) предлагается выводить с помощью полного дифференциала порожденной простым нагружением деформациипредставленной в виде . (25) Действительно, , поэтому согласно замечанию 1 и (24) добавлением деформации получим уравнение (22). Таким образом, предлагаемый способ представляет другой подход для вывода уравнения состояния и, по существу, формально реализует принцип наложения частичных деформаций. Отметим, что этот подход не связан с ключевой в принципе суперпозиции взаимонезависимостью частичных приращений и отражает реальное свойство деформирования. Наряду с равенством (25), деформация представляется в виде [2-4] . (26) Согласно (25) и (26) . (27) Это означает, что эволюция модуля отнесена к мере ползучести. В результате при мере и материал полагается нестареющим (идеальным), поэтому согласно (9) и (27) ; (28) . (29) Замечание 2. Из сравнения равенств (28) и (29) явствует, что вид уравнения состояния определяется выбором мер и [14]. Следует подчеркнуть, что прибавление к определяемой равенством (25) мере задаваемой равенством меры эволюции служит в [3; 4] для представления уравнения состояния в виде (28) по аналогии с известным уравнением идеального материала. Эволюция вызывает изменение упругой деформации на величину упругого последействия и тем самым . (30) Равенствам (25), (26) соответствуют уравнения (28), (29) и (31) . (32) С учетом (30) имеем (33) и согласно (31)-(33) уменьшение деформации на величину J компенсируется прибавлением к величины -J. В результате этой операции получим уравнение , эквивалентное (29). В [12] как основной закон линейной ползучести приводится уравнение [15] , (34) где . Интегрированием по частям уравнение сводится к (29). Полагая в нем слагаемое -J лишним, авторы [12] утверждают, что «принцип наложения является основополагающей ошибкой в теории ползучести». К наличию этого необходимого при мере слагаемого принцип не имеет отношения. На графике функции (рис. 1 [12]) прямая интерпретируется результатом применения принципа наложения, а согласно уравнению (34) при получается . Это означает, что противопоставляемая этому принципу кривая получается как раз наложением в момент частичных деформаций ; ; ; . Согласно (5) и (27) имеет место равенство (35) При сут. (для бетона) полагают . Принимая , получим , переходом к пределу соотношение между и . (36) Замечание 3. Мультипликативная форма меры ползучести , непосредственно учитывающая влияние старения на упругую и запаздывающую деформации, в отличие от ее вида , является естественной. Она более удобна в приложениях, к тому же, соответствуя уравнению (22) (без лишнего, по мнению авторов [12], слагаемого J), исключает некорректное заявление об ошибочности принципа наложения. Уравнения состояния в нелинейной постановке Линейные уравнения состояния не учитывают экспериментально наблюдаемую нелинейность диаграмм и, как впервые отметил А.А. Гвоздев, не пригодны для теории железобетона. Принимая линейную зависимость мгновенных деформаций от напряжений, он полагал запаздывающие деформации нелинейными и состоящими из двух компонент: линейной и нелинейной, возникающей в результате структурных повреждений. Уравнение состояния в двухкомпонентной теории ползучести представлено в виде [16] (37) где - максимальное значение уровня напряжений, достигнутое к моменту времени ; - прочность; - суммарная длительность действия этого уровня к моменту; - ядро ползучести, определяющее линейную компоненту деформации ползучести. В отличие от линейной, нелинейная компонента деформации ползучести не подчиняется принципу наложения. В.М. Бондаренко [1] полагал зависимость мгновенных деформаций от напряжений также нелинейной и в соответствии с этим вывел следующее нелинейное уравнение состояния: , (38) где и - нелинейные функции напряжений мгновенной и запаздывающей деформаций. В и приведено без вывода (ссылаясь на нелинейные диаграммы Еврокода) уравнение состояния , (39) где и представляют прямую и обратную функции нелинейной диаграммы . Согласно (39) в уравнении состояния наряду с нелинейной зависимостью от напряжений деформация ползучести полагается линейной. Замечание 4. Уравнение (39) сводится к линейному дифференциальному уравнению [13], согласно решению которого гипотеза линейной ползучести приводит к уменьшению оценок деформаций в расчетах на долгосрочную безопасность сооружений. В статистической теории прочности расчетная модель структуры бетона представляется набором частиц (зерен), соединенных неравновесными связями, прочность которых является случайной величиной. Прочность связей существенно ниже прочности зерен, и накопление повреждений в бетоне рассматривается как процесс постепенного разрушения этих связей. Данная модель поведения бетона восходит к Вейбулу [18] и получила развитие в [19-21]. Полагается, что связи деформируются линейно, модули деформаций у них одинаковы, поэтому диаграмма деформирования бетона линейна в процессе нагружения. Нелинейность деформаций от нагрузки , наблюдаемая в экспериментах, связывается с постепенным разрушением более слабых связей и перераспределением нагружения на целые в момент более сильные связи. Это вызывает уменьшение способной к силовому сопротивлению площади нормального сечения и рост напряжения в оставшихся связях. Диаграммы получаются нелинейными, поскольку при их построении используются напряжения, найденные по площади сечения : (40) Нормальное напряжение (41) названо структурным, а усредненное напряжение , вычисленное в предположении работоспособности всей площади, - расчетным [22; 23]. Согласно (40) и (41) (42) Функция , учитывающая разрушение связей, есть функция напряжений . Например, в форме П.И. Васильева [11] , (43) где и - эмпирические параметры. Перераспределение напряжений, порождающее нелинейность деформаций, вызывает взаимозависимость последних от частичных приращений напряжений потому что эффект каждого догружения в момент t определяется площадью , зависящей от всех догружений . Уравнение состояния представляет НДС целых на промежутке [] звеньев, образующих часть элемента. Рассмотрим часть элемента состоящую из целых звеньев в момент . Под действием неубывающего нагружения часть в момент уменьшается до , образованной совокупностью оставшихся целых звеньев. Деформации частей и под действием совпадают. Приращения не разрушают звенья , и именно это влечет независимость величины (44) от остальных приращений ; , а потому . (45) Соотношение (45) является аналогом принципа наложения Л. Больцмана в нелинейной постановке. С помощью приведенных в линейной постановке построений уравнение нестареющего материала в нелинейной постановке [24; 25] ; (46) . (47) Для стареющего материала рассматриваем частичные приращения ; , где - уровень структурного напряжения. Повторением построений в линейной постановке выводим уравнение состояния для стареющего материала . (48) Упругая деформация в нелинейной постановке , где . Из (37) вытекает, что нелинейная часть деформации должна соответствовать последнему слагаемому в его правой части. Поскольку за малый промежуток времени величина также мала, то предположение, что отмеченное слагаемое представляет кратковременную ползучесть, влечет допущение, что , и тем самым принятие в функции . На самом деле начальный всплеск практически реализуется за счет деформации , отвечающей приросту напряжения на целых звеньях бетонного элемента. Замечание 6. Соотнесение в [16] деформации в разряд деформации ползучести отмечено в [12]. Релаксационные задачи Расчет железобетонных конструкций связан с определением напряжений в бетоне и арматуре по известным в них деформациям и приводит к необходимости решения релаксационных задач [16]. Перераспределение напряжений между бетоном и арматурой значительно влияет на их напряженно-деформированное состояние. Стандартным методом решения релаксационных задач является определение ядра релаксации, сопряженное с медленно сходящимся рядом. Применение преобразования Лапласа в сочетании с методом малого параметра трудоемко [16]. В данной работе задача релаксации напряжений в бетоне решается сведением интегрального уравнения состояния к линейному обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка. При этом существенно, что в линейной и нелинейной постановках структура уравнения одинакова. Кроме того, из соотношения , где - характеристика ползучести без учета старения, следует равенство . Это позволяет определить общую функцию старения для мгновенных и запаздывающих деформаций: . (49) Согласно (22) при . Обозначим и, учитывая, что предельная характеристика ползучести , получим . (50) Сведем интегральное уравнение состояния в дифференциальную форму. Умножим правую и левую части (49) на : (51) и продифференцируем (50) по с учетом . Получим . Или . (52) Общим решением однородного уравнения является , а общее решение (51) находим методом вариации произвольной постоянной, представляя его в виде и подставляя его в (51), получим . Тем самым общее решение (51) (53) Согласно (50) имеем и , откуда . Итак, ; (54) . (55) В нелинейной постановке уравнение (48) с помощью проведенных для уравнения (22) операций также сводится к уравнению (51), поэтому . (56) По найденному формулой (55) структурному напряжению искомое расчетное напряжение определяется решением уравнения . (57) Рассмотрим модельные случаи деформаций. 1. . Имеем и согласно (54) . (58) 2. . При частное решение уравнения (51) ищем в виде , поэтому ; ; ; ; . Тем самым и . (59) В нелинейной постановке равенствами (57), (58) определяются структурные напряжения, а расчетные напряжения - решением уравнения (56). Заключение На основе концепции прочностной структуры бетона, статистического распределения прочности его фракций модифицируется известный в линейной теории ползучести принцип суперпозиции Л. Больцмана. С опорой на данную модификацию выводится нелинейное уравнение механического состояния материала. Нелинейная зависимость деформаций от напряжений является следствием разброса прочности связей. Принцип наложения сформулирован Л. Больцманом для идеального нестареющего материала. При учете старения этот принцип реализуется относительно приращений расчетных и структурных напряжений.

About the authors

Evgeny A. Larionov

Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)

Email: evgenylarionov39@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-4906-5919

Doctor of Technical Sciences, Professor of the Department of Construction, Academy of Engineering

6 Miklukho-Maklaya St, Moscow, 117198, Russian Federation

Marina I. Rynkovskaya

Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)

Email: rynkovskaya-mi@rudn.ru
ORCID iD: 0000-0003-2206-2563

PhD, Docent, Director of the Department of Civil Engineering, Academy of Engineering

6 Miklukho-Maklaya St, Moscow, 117198, Russian Federation

Elena A. Grinko

Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)

Author for correspondence.
Email: grinko-ea@rudn.ru
ORCID iD: 0000-0002-0459-8359

Head of the Materials Resistance Laboratory, Department of Construction, Academy of Engineering

6 Miklukho-Maklaya St, Moscow, 117198, Russian Federation

References

Supplementary files