Математическое моделирование волн напряжений при сосредоточенном вертикальном воздействии в виде треугольного импульса: задача Лэмба

Полный текст

Введение Волны напряжений различной природы, распространяясь в деформируемом теле, взаимодействуют друг с другом, что приводит к образованию новых областей возмущений. После трехкратного или четырехкратного прохождения и отражения волн напряжений в теле процесс распространения возмущений становится установившимся, напряжения и деформации усредняются, тело находится в колебательном движении. Рассматривается задача о численном моделировании продольных, поперечных и поверхностных волн на свободной поверхности упругой полуплоскости при воздействии в виде дельта-функции (задача Лэмба). В настоящее время в литературных источниках отсутствуют результаты численного решения задачи Лэмба в напряжениях при воздействии в виде треугольного импульса или дельта-функции. В [1-29] приводится информация о постановке и методах решения волновых задач. Рассматриваемый численный метод, алгоритм и комплекс программ в задачах переходного процесса механики деформируемых тел представлены в [14; 21-25; 27-29]. Оценка достоверности и точности рассматриваемого численного метода, алгоритма и комплекса программ дана в [14; 21-25]. В [21] продемонстрирована практическая реализация метода конечных элементов для решения нестационарных волновых задач. Приведены результаты исследований некоторых задач для оценки физической достоверности и математической точности. Рассматриваемые задачи представлены в виде исследуемого объекта с упругой плоскостью и полуплоскостью. Применяется фундаментальное воздействие в виде функции Хевисайда (ступенчатой функции). Основное внимание уделено оценке точности и достоверности численного решения нестационарных динамических задач для сложных деформируемых тел различной формы. На основе метода конечных элементов разработаны алгоритм и комплекс программ В.К. Мусаева для решения нестационарных волновых динамических задач теории упругости при различных начальных и граничных условиях, для областей различной формы, для модели уравнений состояния кусочно-неоднородной изотропной среды, подчиняющейся упругому закону Гука, при малых упругих деформациях. Первая задача -о воздействии плоской продольной упругой волны на свободное круглое отверстие в упругой плоскости. Исследуемая расчетная область имеет 1536 узловых точек. Контур круглого отверстия аппроксимирован 28 узловыми точками. Расхождение для максимального упругого контурного напряжения составляет 6 %. Вторая задача - решение первой задачи для сопоставления с результатами эксперимента, то есть динамической фотоупругости. Расхождение для максимального упругого контурного напряжения составляет 2 %. Третья задача - о воздействии плоской продольной упругой волны на подкрепленное круглое отверстие в плоскости. Исследуемая расчетная область имеет 1536 узловых точек. Внутренний контур подкрепления аппроксимирован 28 узловыми точками. По толщине круглое подкрепление аппроксимировано двумя узловыми точками. Расхождение для максимального упругого контурного напряжения составляет 12 %. Четвертая задача -о воздействии плоской продольной упругой волны на Курпсайскую плотину с основанием в виде полуплоскости. Исследуемая расчетная область имеет 953 узловых точек. Курпсайская плотина аппроксимирована 224 узловыми точками. Расхождение для максимального упругого контурного напряжения составляет 5 %. Пятая задача - о воздействии плоской продольной в виде треугольного импульса (дельта-функция) на упругую полуплоскость. Решается система уравнений из 59 048 неизвестных. Показано, что точное решение задачи соответствует рассматриваемому воздействию для упругих нормальных напряжений и имеется хорошее качественное и количественное совпадение с результатами точного решения. Шестая задача - о воздействии плоской продольной в виде ступечатой функции (функция Хевисайда) на упругую полуплоскость. Решается система уравнений из 59 048 неизвестных для нормальных напряжений и имеется хорошее качественное и количественное совпадение с результатами точного решения. Анализ численных результатов показывает, что метод конечных элементов с успехом применяется для решения нестационарных динамических задач механики деформируемого твердого тела. Проведенные исследования сходимости и устойчивости, а также сравнение с результатами других методов показали хорошее совпадение. В [22] рассмотрена некоторая информация моделирования нестационарных упругих волн в полуплоскости при импульсном воздействии в виде «восходящая часть - линейная, нисходящая часть - четверть круга». Для решения поставленной задачи применяются волновые уравнения теории упругости. На основе метода конечных элементов разработаны численный метод, алгоритм и комплекс программ В.К. Мусаева. Решена задача о распространении нестационарных волн в упругой полуплоскости. Решается система уравнений из 83 448 неизвестных. Результаты позволяют сделать вывод о физической достоверности и математической точности численного решения. В [23] рассмотрена задача о воздействии волны в виде импульсного воздействия «восходящая часть - четверть круга, нисходящая - четверть круга» на упругую полуплоскость. Для упругих нормальных напряжений получено хорошее совпадение с результатами аналитического решения. Сравнение результатов нормальных напряжений с результатами аналитического решения, показало хорошее совпадение. Результаты, полученные с помощью комплекса программ В.К. Мусаева, показали хорошую достоверность численного решения распространения упругих волн в деформируемых телах. Постановка задачи Для решения задачи о моделировании нестационарных упругих волн в деформируемых областях сложной формы рассмотрим некоторое тело Г в прямоугольной декартовой системе координат , которому в начальный момент времени сообщается механическое воздействие. Предположим, что тело изготовлено из однородного изотропного материала, подчиняющегося упругому закону Гука при малых упругих деформациях. Точные уравнения двумерной (плоское напряженное состояние) динамической теории упругости имеют вид , , , , , , , , , , (1) где , и - компоненты тензора упругих напряжений; , и - компоненты тензора упругих деформаций; и - составляющие вектора упругих перемещений вдоль осей и соответственно; - плотность материала; - скорость продольной упругой волны; - скорость поперечной упругой волны; - коэффициент Пуассона; - модуль упругости; S - граничный контур тела . Систему (1) в области, занимаемой телом , следует интегрировать при начальных и граничных условиях. Для решения двумерной плоской динамической задачи теории упругости с начальными и граничными условиями (1) используем метод конечных элементов в перемещениях. Методика Задача решается методом сквозного счета, без выделения разрывов. Чтобы выполнить динамический расчет методом конечных элементов, нужно иметь матрицу жесткости и матрицу инерции конечного элемента. Принимая во внимание определение матриц и векторов для тела , записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости , , , (2) где - матрица инерции; - матрица жесткости; - вектор узловых упругих перемещений; - вектор узловых упругих скоростей перемещений; - вектор узловых упругих ускорений; - вектор узловых упругих внешних сил. Для интегрирования уравнения (2) конечноэлементным вариантом метода Галеркина приведем его к следующему виду: , . (3) Интегрируя по временной координате соотношение (3) с помощью конечноэлементного варианта метода Галеркина, получим двумерную явную двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек: , , (4) где - шаг по временной координате. Шаг по временной переменной определяем из соотношения , (5) где - длина стороны конечного элемента; r - число конечных элементов. Результаты численного эксперимента показали, что при k = 0,5 обеспечивается устойчивость двумерной явной двухслойной конечноэлементной линейной схемы. На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны алгоритм и комплекс программ для решения линейных плоских двумерных задач, которые позволяют решать задачи при нестационарных волновых воздействиях. При разработке комплекса программ использовался алгоритмический язык Фортран-90. Исследуемая область разбивается по пространственным и по временным переменным на конечные элементы первого порядка. Результаты и обсуждение Рассмотрим задачу о воздействии сосредоточенной волны в виде дельта-функции (рис. 2), перпендикулярной свободной поверхности упругой полуплоскости (рис. 1). Расчеты проводились при следующих единицах измерения: килограмм-сила (кгс); сантиметр (см); секунда (с). Для перехода в другие единицы измерения были приняты следующие допущения: 1 кгс/см2 ≈ 0,1 МПа; 1 кгс с2/см4 ≈ 109 кг/м3. В точке перпендикулярно свободной поверхности приложено упругое нормальное напряжение (рис. 1), которое при ( ) изменяется линейно от до , а при от до ( , -0,1 МПа (-1 кгс/см2)). Граничные условия для контура при . Отраженные волны от контура не доходят до исследуемых точек при . Контур свободен от нагрузок, кроме точки , где приложено сосредоточенное упругое нормальное напряжение . Расчеты проведены при следующих исходных данных: ; = 1,393×10-6 с; = 3,15×10 4 МПа (3,15×10 5 кгс/см2); = 0,2; = 0,255×104 кг/м3 (0,255×10-5 кгс с2/см4); = 3587 м/с; = 2269 м/с. Рис. 1. Постановка задачи о воздействии сосредоточенной волны в виде дельта-функции на свободной поверхности упругой полуплоскости Figure 1. Statement of the problem of the effect of a concentrated wave in the form of a Delta function on the free surface of an elastic half-plane Рис. 2. Воздействие в виде дельта-функции Figure 2. The impact in the form of Delta functions Рис. 3. Изменение упругого контурного напряжения во времени в точке Figure 3. The change of elastic contour stress in time at the point Рис. 4. Изменение упругого контурного напряжения во времени в точке Figure 4. The change of elastic contour stress in time at the point Рис. 5. Изменение упругого контурного напряжения во времени в точке Figure 5. The change of elastic contour stress in time at the point Рис. 6. Изменение упругого контурного напряжения во времени в точке Figure 6. The change of elastic contour stress in time at the point Рис. 7. Изменение упругого контурного напряжения во времени в точке Figure 7. The change of elastic contour stress in time at the point Исследуемая расчетная область имеет 12 008 001 узловых точек. Решается система уравнений из 48 032 004 неизвестных. На рис. 3-7 показано изменение упругого контурного напряжения ( ) во времени в точках (рис. 1), находящихся на свободной поверхности упругой полуплоскости (расстояние между точками и равно , и - , и - , и - , и - , и - , и - , и - , и - ). Заключение На объекты жизнедеятельности человека оказывают влияние сейсмические нагрузки или воздействия. Они создают серьезные проблемы своими разрушительными последствиями. В истории человечества первой теорией сейсмической безопасности была статическая. Потом появилась нацеленная на исследование проблемы резонанса спектральная теория, взявшая за основу одномассовый осциллятор. Обе теории были предложены в начале XX века. Однако, несмотря на имеющиеся теории сейсмической безопасности, здания и сооружения продолжали разрушаться при сейсмических воздействиях. Это было связано с тем, что данные теории несовершенны и не отражают реальный физический процесс волнового воздействия на объекты жизнедеятельности человека. Тогда ученые располагали ограниченным инструментарием для исследования, как в области математического, так и физического мониторинга. Хотя основные уравнения строительной механики (механики деформируемого твердого тела) были получены в XIX веке, их решение в нестационарной волновой постановке в начале ХХ века оставалось невозможным. Поэтому предпринимались попытки решения частных уравнений и получения некоторых знаний и закономерностей волнового напряженного состояния. Были получены знания в области продольных, поперечных, конических, релеевских и других волн. До появления электронных вычислительных машин удалось накопить некоторые знания в области переходного периода. Например, было установлено, что при отражении волны сжатия от свободной поверхности конструкции волна сжатия становится растягивающей и тем самым создается ситуация откольных явлений. В конце ХХ века появились электронные вычислительные машины, которые позволили решать многие задачи строительной механики (механики деформируемого твердого тела) на нестационарные волновые воздействия. Однако переход от дифференциальных уравнений с начальными и граничными условиями к системе с конечных числом неизвестных для волновых процессов оказался непростым. Это связано со многими проблемами, в том числе вычислительными, а также с моделью физических процессов переходного процесса. В настоящее время можно решать волновые задачи, создавая базу знаний как в области фундаментальной, так и прикладной науки, а производная от этих знаний обеспечивает развитие производственной науки, то есть нормативно-правовой базы. В начале ХХ века была поставлена задача Лэмба для изучения закономерностей распространения волн напряжений в сплошной деформируемой среде с целью создания базы знаний по сейсмологии и сейсмостойкости геообъектов. Известно, что здания и сооружения разрушаются и для их защиты в эксплуатационный период нужна информация о сейсмических воздействиях. В первую очередь - это знания в области продольных, поперечных и поверхностных волн. Они помогают определить и ранжировать сейсмические воздействия на здания и сооружения. В настоящее время эта информация называется бальностью землетрясений. В зависимости от величины бальности землетрясений применяются разные подходы и методы защиты строительных объектов от сейсмических воздействий. Основным в обеспечении безопасности строительных объектов является оценка несущей способности. Ее можно осуществить при наличии информации о напряженном состоянии. Не зря в методе предельного состояния оценка несущей способности занимает почетное первое место, хотя определение напряжений всегда сложнее, чем перемещений и ее производных по времени. Дадим некоторую оценку статической и волновой механике грунтов. Если ранжировать по задачам, которые рассмотрены в учебниках по механике грунтов, тогда на первое место смело можно поставить задачу Фламана (пока мы рассматриваем двумерную плоскую задачу). Задача Фламана - это сосредоточенное вертикальное воздействие на свободной поверхности полуплоскости. Она полностью повторяет задачу Лэмба, различие в том, что задача Фламана применима при статическом воздействии, а задача Лэмба - при нестационарном динамическом воздействии. Напрашивается следующий вывод: чем больше мы будем знать о физических результатах при решении задачи Лэмба, тем быстрее нестационарная волновая механика грунтов выделится в научное направление и появится одноименный учебник для студентов и исследователей. Таким образом, можно сказать, что волновая теория сейсмической безопасности находится на заключительном этапе своего формирования. На основе метода конечных элементов разработаны методика, алгоритм и комплекс программ для линейных двумерных плоских задач, которые позволяют решать сложные задачи при нестационарных волновых воздействиях на уникальные объекты. Основные соотношения метода конечных элементов получены с помощью принципа возможных перемещений. Матрица упругости выражена через скорость продольных и поперечных волн и плотность. Линейная динамическая задача с начальными и граничными условиями в виде дифференциальных уравнений в частных производных для решения задач при волновых воздействиях с помощью метода конечных элементов в перемещениях приведена к системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями, которая решается по явной двухслойной схеме. Решена задача о математическом моделировании нестационарных упругих волн напряжений при сосредоточенном вертикальном воздействии в виде дельта-функции на поверхности полуплоскости. Исследуемая расчетная область имеет 12 008 001 узловых точек. Решается система уравнений из 48 032 004 неизвестных. Растягивающее упругое контурное напряжение имеет максимальное значение 0,18. Сжимающее упругое контурное напряжение имеет максимальное значение -0,24. Амплитуда поверхностных волн Релея существенно больше амплитуд продольных, поперечных и других волн при сосредоточенном вертикальном воздействии в виде треугольного импульса на поверхности упругой полуплоскости. После поверхностных волн Релея наблюдается динамический процесс в виде стоячих волн.

Об авторах

Вячеслав Кадыр оглы Мусаев

Российский университет транспорта; Московский государственный строительный университет; Мингячевирский государственный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: musayev-vk@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0003-4336-6785

профессор кафедры «Техносферная безопасность» РУТ (МИИТ), профессор кафедры комплексной безопасности в строительстве МГСУ, профессор кафедры высшей математики МГУ (Азербайджан), доктор технических наук

Российская Федерация, 127994, Москва, ул. Образцова, д. 9, стр. 9; Российская Федерация, 129337, Москва, Ярославское шоссе, д. 26; Азербайджанская Республика, AZ4500, Мингячевир, ул. Диляры Алиевой, д. 21

Список литературы