Современная трактовка принципа и полуобратного метода Сен-Венана

Полный текст

1. Введение Основным фактором для отказа исследователю в признании его работ становятся вполне здравое и обоснованное недоверие к чересчур нестандартному и вызывающему. Если вернуться к образу сферы изученного, то любые попытки сильно выйти за ее границы с большой вероятностью окажутся в конечном счете провальными. Таковы, например, многочисленные попытки создать «теорию всего» или, наоборот, ниспровергнуть какую-нибудь краеугольную теорию - относительности или эволюции. Подобные «теории всего» и «ниспровержения основ» выглядят слишком подозрительно, чтобы вызвать желание в них всерьез разбираться. В данном случае априорное недоверие к излишне странному и претенциозному выполняет в науке функцию «санитара леса» - экономного способа избавиться от потенциально деструктивных явлений. Механике сплошных сред и близкой к ней области математики уравнений в частных производных свойственно поэтапное развитие основных, выдвинутых «отцами науки» идей. Постепенное развитие взглядов на принципы, лежащие в основе механики деформируемого тела, рост той ветви математического анализа, которая применяется при вычислениях, и накопление практических правил, получаемых путем истолкования математических результатов, приводят к тому, что одни принципы заменяются другими, более общими, число их уменьшается и данная область приводится во все более тесную связь с иными отделами физики, причем одинаковые физические принципы служат в последнем счете основой их всех. Считается, что теория упругости основывается на двух основных идеях Сен-Венана: принцип и полуобратный метод. Принцип Сен-Венана, названный в честь Адемара Жан-Клода де Сен-Венана, может быть выражен следующим образом: «...разница между эффектами двух разных, но статически эквивалентных нагрузок становится очень малой при достаточно больших расстояниях от нагрузки». Это заявление было опубликовано Сен-Венаном в 1855 г. [1]. Позднее Мизес выдвинул предположение, что принцип неприменим к телам конечных размеров [2]. В нашей статье это утверждение опровергается. Решение в усилиях и моментах (stress resultants) задач для тонкостенных систем долгое время определяло направление исканий исследователей. После построения основных теорий, пластин, оболочек и тонкостенных систем были отмечены противоречия в них: невозможность выполнения всех граничных условий и определения всех напряжений и перемещений. Далее большие трудности встретились при решении задач для анизотропных композиционных материалов. В связи с этим было обращено внимание на решение задач в напряжениях, хотя бы в области закреплений. На первый план вышла проблема применения полуобратного метода Сен-Венана к механике композиционных материалов. Такие задачи требуют переосмысления накопленного опыта и его обобщения с целью получения на основе расширенных и обобщенных формулировок новых возможностей применения классических идей к новым задачам и материалам. Фридрихс и Дресслер [3] и Гольденвейзер и Колос [4] независимо друг от друга показали, что классическая теория пластины Кирхгофа является главным членом асимптотического разложения (по малому параметру толщины) для линейной теории тонкостенных изотропных тел. При их подходе внутреннее решение, имеющее значение лишь вблизи края, определяется последовательностью краевых задач, которые очень трудно решить, почти так же трудно, как решить исходную задачу. В случае напряжений на краю принцип Сен-Венана может быть использован для создания граничных условий в классической теории пластин, а также для некоторых внешних разложений более высокого порядка без какой-либо ссылки на внутреннее краевое решение. Попытки получить соответствующие граничные условия для перемещений не привели к успеху. Грегори и Ван [5] применили разработанный ими метод получения правильной последовательности граничных условий для произвольно заданных допустимых краевых условий (без явного решения внутреннего или пограничного слоя решения) в ряде специальных случаев, представляющих общий интерес, в том числе случаев с заданными краевыми перемещениями. Их результаты показывают, что принцип Сен-Венана следует применять только к ведущим членам внешнего решения, то есть к классической теории пластины. Horgan с соавторами [6-10] исследовали разные аспекты применения принципа Сен-Венана в пограничном слое и получили много интересных практических результатов. Для композитов было определено влияние закреплений концов образцов в механических испытаниях, влияние крепежных элементов, соединений, вырезов и тому подобного в композитных структурах, выявлена ограниченность формул сопротивления материалов при применении к композитам. Установлено, что пренебрежение упругостью концевых закреплений, как правило, оправдывающихся принципом Сен-Венана, не применимо в задачах, связанных с композитными материалами. В частности, для армированного волокнами композиционного материала характерная длина затухания концевых эффектов является значительной, в общем случае в несколько раз длиннее, чем в случае изотропных материалов. Хотя на многие из обсуждаемых вопросов принципа Сен-Венана в его классической интерпретации ответы были получены, должен быть выполнен полный анализ более широких физических и математических вопросов, возникающих в связи с асимптотикой решений в упругости композитов. Полуобратный метод Сен-Венана в его классической интерпретации в статьях используется для получения решений нелинейных задач теории упругости, линейных задач для пористых и градиентных материалов и т. д. [10-14]. Широту применения полуобратного метода и принципа Сен-Венана можно объяснить еще и тем, что они дают возможности, если удастся, построить понимаемые аналитические решения, которые могут служить руководством для автоматизации расчетов численными методами. В статьях [15-19] метод Сен-Венана приобретает расширенную итерационную трактовку, позволяя получить асимптотические аналитические решения без каких-либо гипотез и выполнить все граничные условия. Решение сходится, удовлетворяя теореме Банаха о неподвижной точке [20]. Принцип Сен-Венана имеет качественный характер и, будучи впервые сформулированным в применении к задаче о нагруженном по концам стержне, состоит в утверждении, что статически эквивалентная нулю система сил, распределенных по малому участку поверхности, создает лишь локальные возмущения, быстро затухающие по мере удаления от этого участка и становящиеся пренебрежимо малыми на расстояниях, достаточно больших по сравнению с его размерами. В длинном призматическом стержне, нагруженном только по концевым сечениям, напряженное состояние практически не зависит от способа распределения по нему поверхностных сил и определяется на некотором расстоянии от концов их главным вектором и главным моментом. Однако, например, для уточненных теорий тонкостенных систем из изотропного и композиционного материала, к которым относятся стержни, пластины, оболочки и тонкостенные стержни, такой формулировки принципа становится недостаточно. Вызванные изменением поперечного размера длинной упругой полосы напряжения в углах ставят вопрос о формулировке условий затухания, определенных для перемещений [19], заданных на малом участке лицевой и боковой поверхностей тонкостенного тела. Итерационная трактовка полуобратного метода расширяет возможности его применения к композиционным материалам [20]. 2. Обобщенная формулировка принципа Сен-Венана для напряжений и перемещений Рассмотрим задачу об установлении аналогичных условиям Сен-Венана условий локализации напряженно-деформированного состояния в длинном призматическом стержне, на концах которого заданы не напряжения, а перемещения. Пусть полоса, с помощью которой моделируется состояние стержня, задана неравенствами , . Длинные края полосы свободны от каких-либо нагрузок и закреплений. На коротких сторонах заданы перемещения (1) На краях (2) Решение сводится к нахождению функции Эри , удовлетворяющей бигармоническому уравнению (3) Напряжения через функцию вычисляются по формулам ; ; Деформации находятся с помощью соотношений упругости ; ; Формулы деформации - перемещения дают возможность определить перемещения ; Перепишем уравнение (3) следующим образом: Интегрируя его дважды по и дважды по , получим (4) где - произвольные функции интегрирования. Соотношения упругости и формулы деформации - перемещения с учетом (4) дают (5) Положим в уравнении (5) (6) где функции удовлетворяют уравнению и условиям на концах . Штрихом обозначено дифференцирование по координате . В этом случае условия (2) выполнены, а решение уравнения (2) разыскивается методом Бубнова - Галеркина. Функции содержат экспоненциальные множители, обеспечивающие затухание концевого воздействия. Подставив выражение (6) в формулы (5) и интегрируя соответствующим образом, получим выражения для перемещений (7) Здесь и произвольные функции интегрирования, звездочка означает, что произведено интегрирование по соответствующей координате, то есть . Функции являются собственными для задачи о собственных колебаниях защемленной по концам балки и достаточно хорошо исследованы. Для симметричного по координате случая они имеют вид (8) где удовлетворяет трансцендентному уравнению (9) Для антисимметричного по случая (10) где удовлетворяет трансцендентному уравнению Рассмотрим теперь возможность выполнения условий (1) с помощью представления перемещений в виде выражений (7). На конце при должно быть (11) Определим условия, которые должны быть наложены на функции и для того, чтобы разложения (11) имели место. Если системы функций и полны, произволы интегрирования должны быть положены нулями. Проверим полноту этих систем. Разложим некоторую симметричную по функцию на интервале в ряд по функциям и антисимметричную функцию в ряд по функциям . Таким образом, ; (12) (13) где . Функции , , удовлетворяют следующим условиям ортогональности: Для симметричных функций будет Составим выражения для частичных сумм рядов (12), подставив в них коэффициенты (13): (14) Следовательно задача о соответствии левых и правых частей в формулах (12) сводится к нахождению пределов соответствующих сумм , при . Изменив порядок суммирования и интегрирования в (14), запишем выражения для частичных сумм в следующем виде: (15) Рассмотрим, так же как и в [21], соответствующие соотношениям (15) контурные интегралы (16) вычисленные при обходе в положительном направлении по кругу радиуса описанному из начала координат в комплексной плоскости . Радиус выбираем таким образом, чтобы внутрь окружности попали радиусы вещественных и мнимых корней уравнения (9). Контур также не проходит через точки и , являющиеся корнями уравнения и . Тогда каждый интеграл в формулах (16) равен сумме вычетов по всем особым точкам внутри круга . В соответствии со сказанным для формул (16) и учитывая, что , получаем (17) Последний член в первом выражении (17) есть вычет для подынтегрального выражения первого интеграла из (16). Вычет в нуле для второго интеграла равен нулю. Из выражений (17) следует, что (18) Подставив выражения (18) в формулы (15), получим (19) Следовательно, первый ряд в выражении (12) сходится к исходной функции , если (20) Второй ряд сходится к функции безусловно. Рассмотрим теперь случай разложения антисимметричной по функции на интервале в ряд по антисимметричным функциям и симметричную функцию в ряд по антисимметричным функциям из определений (10). Поступая аналогичным образом, получим для соответствующих контурных интегралов выражения (21) В обоих выражениях последние члены являются вычетами в точке . Перейдя к пределу при , получим для частичных сумм (22) Первый ряд сходится к исходной функции , а второй ряд к функции , если (23) Поясним смысл полученных выражений (20) и (23). Рассмотрим задачу для консоли единичной толщины, длиной и высотой, равной двум. В этом случае в выражениях (1) для заделки надо положить . При заданы ненулевые первые два перемещения (1). Отбросим задающие эти перемещения связи и заменим их нормальной силой , поперечной силой и изгибающим моментом , статически эквивалентным незатухающим по мере удаления от края напряжениям. Подсчитаем работу, совершаемую незатухающими напряжениями на перемещениях (1) конца : (24) Потребовав, чтобы возникающие в полосе незатухающие напряжения не совершали работу на заданных перемещениях конца стержня, получим в силу независимости величин следующие выражения: совпадающие с условиями (20), (23), где функции и совпадают по смыслу с и соответственно. По-видимому, по аналогии с известным принципом Сен-Венана, сформулированным для случая заданных на малом участке напряжений, можно дать формулировку локальности напряженно-деформированного состояния, вызванного в упругом теле заданными на малом участке его поверхности перемещениями. Заданные на малом участке поверхности упругого тела перемещения создают лишь локальное напряженно-деформированное состояние, быстро затухающее по мере удаления от этого участка и становящееся пренебрежимо малым на расстояниях, достаточно больших по сравнению с размерами участка, если главный вектор и главный момент, статически эквивалентные возникающим на этом участке напряжениям, не совершают работу на заданных перемещениях. 3. Обобщенная итерационная формулировка полуобратного метода Сен-Венана Рассмотрим вопрос об обобщении полуобратного метода Сен-Венана к итерационному виду без сведения уравнений к усилиям и моментам путем построения асимптотического аналитического решения. Вопросы, связанные с существованием и единственностью решений уравнений, формулируются в функциональном анализе в виде вопроса о существовании и единственности неподвижной точки при некотором отображении соответствующего метрического пространства в себя. Среди различных критериев существования и единственности неподвижной точки наиболее общим является принцип сжатых отображений [21], обосновывающий сходимость простых итераций. Длинную прямоугольную полосу отнесем к прямоугольной системе координат , так что . Длинные стороны полосы несут некоторую произвольную нагрузку, короткие стороны полосы могут быть так или иначе закреплены или нагружены. Уравнения плоской задачи теории упругости, описывающие напряженно-деформированное состояние такой полосы, возьмем в следующем виде: Введем безразмерные координаты , , безразмерные перемещения , вдоль осей соответственно и безразмерные напряжения , , (размерные перемещения, напряжения и нагрузки отмечаются звездочкой). Безразмерные уравнения в этих переменных принимают вид Преобразуем их так, чтобы, выбрав в качестве величин начального приближения некоторые и , можно было последовательно вычислить все остальные искомые неизвестные методом последовательных приближений по мере увеличения номера в соответствии со следующей итерационной схемой: Здесь и далее нижним индексом в скобках обозначен номер приближения. Нас будут интересовать уравнения нулевого и первого приближений при выборе величин в соответствии с полуобратным методом Сен-Венана в виде начального приближения В силу независимости величин начального приближения от все остальные неизвестные вычисляются в результате квадратур по : Нижним индексом 0 обозначены произволы интегрирования. Вычисление последующих величин по предыдущим сопровождается умножением на малый параметр с целью формирования записи неизвестных в виде асимптотической последовательности по степеням . Видно, что на данном этапе итерационных вычислений мы получили четыре произвольных функции , позволяющие выполнить четыре граничных условия на длинных сторонах полосы. Здесь и далее штрихом обозначено дифференцирование по , в индексе нулем без скобок обозначены произвольные функции интегрирования, зависящие только от . Теперь можно записать выражения для всех неизвестных задачи, предполагая, что они достаточно точно описывают возникающие перемещения, деформации и напряжения: (25) Величины и записаны в первом приближении, остальные - в нулевом. На длинных сторонах полосы должны удовлетворяться граничные условия, соответствующие условиям нагружения. В безразмерном виде эти условия записываются как при при (26) Безразмерные нагрузки получены путем деления размерных на жесткость . Будем считать нагрузки медленно изменяющимися функциями координаты . Пусть условия (26) удовлетворяются величинами первого приближения из соотношений (25). В результате получим уравнения относительно неизвестных , определяющих задачу изгиба: (27) и относительно , определяющих задачу растяжения - сжатия: (28) Уравнения (27) и (28) в предположении малой изменяемости функций и после отбрасывания величин с малыми множителями сводятся к классическому виду (29) (30) подтверждая, что уравнения (27) и (28) обобщают классические представления полуобратного метода Сен-Венана и их решения зависят от аргумента . Верхний индекс указывает на принадлежность отмеченных им величин к медленно меняющимся компонентам напряженно-деформированного состояния. Вычитая из уравнений (27) попарно уравнения (29) и из уравнений (28) уравнения (30), с учетом предположений , , получим сингулярно возмущенные уравнения, отмеченные индексом q: (31) (32) Их решения отличаются на константу, которая должна быть отброшена как неудовлетворяющая условию большой изменяемости, поэтому оба решения уравнений (31) и (32) совпадают: Поскольку они зависят от аргумента , их можно использовать для удовлетворения потерянных граничных условий и сглаживания разрывов в медленно меняющихся классических решениях. Верхнее решение справедливо при , а нижнее - при . Если принять , можно показать, что , то есть уравнение (31) позволяет установить связь между обычной числовой функцией и обобщенной - функцией Дирака. 4. Заключение Два метода Сен-Венана рассмотрены и модернизированы. Первый метод состоит в оценке компонент напряженно-деформированного состояния с целью упростить постановку задачи нахождения решения путем априорного отбрасывания быстро меняющихся и затухающих компонент решения. Он был предложен, поскольку Сен-Венан учитывал трудность нахождения общих решений. Поэтому, разрабатывая метод построения решения, он пришел к изобретению принципа, позволяющего оправдывать потерянные при построении решения компоненты решения, в частности из-за перехода от напряжений к усилиям и моментам (stress resultants). На примере длинной упругой полосы сформулировано дополнение к его классическому принципу для случая заданных на малом участке перемещений, отсутствующее в литературе. Однако и принцип Сен-Венана, и обобщенный принцип не могут дать никаких рекомендаций к своему конструктивному использованию, но пригодны для механического толкования полученных каким-либо способом неполных приближенных решений. Второй метод получил название полуобратного, поскольку Сен-Венан предложил часть искомых неизвестных в уравнениях задать, а остальные вычислить. При этом Сен-Венан перешел от напряжений к усилиям и моментам, оправдывая переход принципом. Можно сказать, что все теории тонкостенных тел построены в усилиях и моментах, предполагая справедливость перехода к ним, обоснованную принципом Сен-Венана. В статье показано, что, если взять идею задания части неизвестных, но не переходить к усилиям и моментам, полуобратный метод может быть расширен до конструктивного и будет сходящимся независимо от выбора начального приближения. Такая возможность основана на идее метода малого параметра Пуанкаре, метода простых итераций Линделефа - Пикара и теореме о неподвижной точке Банаха. При этом предложены преобразование сложного оператора задачи в последовательность простых интегрируемых операторов и методика разделения быстро меняющихся и медленно меняющихся компонент общего решения при выполнении всех граничных условий исходной задачи. Процесс вычисления можно трактовать как расщепление сложного оператора на четыре последовательных оператора Пикара относительно поперечной координаты и три - относительно продольной. Близость полученного решения оценивается порядком первого отброшенного члена по для медленно меняющихся величин. Тогда полуобратный метод становится независимым от принципа Сен-Венана.

Об авторах

Евгений Михайлович Зверяев

Институт прикладной математики имени М.В. Келдыша РАН; Московский авиационный институт

Автор, ответственный за переписку.
Email: zveriaev@mail.ru

доктор технических наук, профессор, ведущий научный сотрудник Института прикладной математики имени М.В. Келдыша РАН, профессор Московского авиационного института

Российская Федерация, 125047, Москва, Миусская пл., 4; Российская Федерация, 125993, Москва, Волоколамское шоссе, 4

Список литературы