Аналитическая оценка частоты собственных колебаний фермы с произвольным числом панелей

Полный текст

1. Введение Наряду с жесткостью и прочностью конструкции значение первой частоты колебаний фермы является одной из ее важнейших эксплуатационных характеристик. Эта величина входит в динамические расчеты вынужденных и затухающих колебаний фермы, в решения задач вибрации и сейсмостойкости. Существуют численные расчеты спектров колебаний ферм, реализуемые в различных специализированных пакетах [1-6]. Несмотря на широкое распространение численных методов расчета, их высокую точность и большой выбор доступных моделей ферм (линейных и нелинейных) для анализа частот колебаний, аналитические методы, сводящиеся к сравнительно простым формулам, редки. С появлением в арсенале инженера современных систем компьютерной математики (Maple, Mathematica, Reduce и др.) аналитические методы становятся все более распространенными [7-12]. Формулы, полученные в результате решения уравнений в символьном виде, удобны как для оценки точности решений в специализированных пакетах, так и для простого предварительного расчета частотных характеристик сооружения. Наиболее значимы решения применимые для широкого класса систем. Расширение класса рассчитываемых аналитически систем в регулярных фермах достигается введением в набор параметров формулы числа панелей. Возможности аналитических решений для регулярных статически определимых ферм (плоских и пространственных) рассматривались в трудах R.G. Hutchinson, N.A. Fleck, F.W. Zok, R.M. Latture, M.R. Begley [13-15]. В работах [16; 17] предложены алгоритмы расчета динамики в общем случае статически неопределимых стержневых конструкций в аналитической форме с применением методов строительной механики. В настоящем исследовании ставится цель получить аналитическое решение задачи о низшей частоте собственных колебаний балочной фермы (рис. 1) в виде формулы, включающей в себя не только размеры и инертные свойства фермы, но и число панелей. 2. Методы Энергетический метод. Масса фермы с треугольной решеткой и стойками моделируется одинаковыми грузами в узлах (шарнирах) нижнего пояса. Рассматриваются только вертикальные колебания грузов. Число степеней свободы системы грузов фермы с n панелями равно N = 2n - 1. Длина каждой панели 2a, высота h. Рассматриваемая ферма относится к числу регулярных статически определимых конструкций, для которых доступны аналитические методы нахождения зависимостей усилий и деформаций от числа ячеек регулярности (здесь - панелей). Рис. 1. Схема фермы, n = 5 [Figure 1. Scheme of the truss, n = 5] Система дифференциальных уравнений динамики грузов имеет матричный вид: (1) где Y = [y1, y2, …, yN]T - вектор вертикальных перемещений масс 1,..., N; - матрица жесткости; - матрица инерции размером - вектор ускорений. В случае одинаковых масс грузов матрица инерции имеет диагональный вид . Элементы матрицы податливости , являющейся обратной к матрице жесткости , определяются по формуле Максвелла - Мора: (2) где - жесткость стержней; - усилие в стержне от действия единичной вертикальной силы в узле i; - длина стержня ; - число стержней фермы вместе с тремя стержнями, моделирующими подвижную и неподвижную опоры. Опорные стержни принимаются недеформируемыми, суммирование в (2) на эти стержни не распространяется. Усилия в стержнях фермы определяются одновременно с реакциями опор из решения системы уравнений равновесия всех узлов фермы. Матрица системы строится по значениям направляющих косинусов усилий, найденных по данным координат концов стержней. Решение ищется в символьной форме с использованием возможностей компьютерной математики Maple [18; 19]. Умножая (1) слева на с учетом замены , соответствующей колебаниям вида (3) сводим задачу к проблеме собственных чисел матрицы : где - собственное число матрицы ; - собственная частота колебаний. Усилия в стержнях фермы, входящие в элементы матрицы , определяются из решения системы уравнений узлов фермы, в которую входят также и реакции опор. Для этого в системе компьютерной математики Maple составляется матрица уравнений равновесия узлов, состоящая из направляющих косинусов усилий в стержнях. Получить аналитические решения для фермы с произвольным числом панелей не удается. Возможностей системы компьютерной математики Maple хватает только для анализа ферм с n =1,2,...,6. Например, для n = 2 оператором Eigenvalues получены следующие характеристические числа: Соответствующие частоты вычисляются по формуле Эти частоты включены также во все спектры частот ферм рассматриваемого вида с четным числом панелей, что подтверждает свойство вложения спектров регулярных систем [20; 21]. Для того чтобы найти аналитическое выражение первой частоты для произвольного числа панелей в ферме, используем приближенный энергетический метод. Формула Рэлея, следующая из равенства максимальных значений кинетической и потенциальной энергий: (4) Кинетическая энергия масс в узлах нижнего пояса: Согласно (3) вертикальная скорость массы k имеет вид Отсюда, полагая , получаем (5) где амплитуда вертикального смещения вычисляется по формуле Максвелла - Мора: Введены обозначения - усилие в стержне от действия нагрузки P, распределенной по узлам нижнего пояса, и - усилие в этом же стержне от единичной (безразмерной) нагрузки, приложенной к массе с номером k, Выбор такой нагрузки определяется близостью изогнутой оси нижнего пояса форме колебаний системы грузов с первой частотой. Таким образом, (5) приобретает вид (6) где - амплитуда смещений массы с номером k под действием распределенной нагрузки (рис. 2), отнесенная к величине P. Рис. 2. Равномерно распределенная нагрузка, n = 6 [Figure 2. Uniformly distributed load, n = 6] Потенциальная энергия деформации стержней фермы распределенной нагрузкой имеет вид В силу линейности задачи . Отсюда (7) Из (4) - (6) следует верхняя оценка первой частоты колебаний фермы (формула Релея): (8) Для получения требуемой зависимости частоты от числа панелей перемещения должны быть получены так же, как функции n. План решения следующий: 1) расчет перемещения массы с номером 1 при различных значениях n с последующим определением общего члена последовательностей ; 2) расчет перемещений масс 2, 3, 4, ...; 3) обобщение формул по номеру массы и получение искомой зависимости . Выведем формулу для смещения первой массы от действия распределенной нагрузки. Расчет перемещения для ферм с различным числом панелей показывает, что вид решения не зависит от n: где для сокращения записи введены обозначения размеров фермы Коэффициенты зависят только от n. Для выявления закономерности в последовательности решений потребовалось рассчитать прогибы ферм с числом панелей n = 1,...,8. Для значений коэффициента получена следующая последовательность: 5, 35/2, 42, 165/2, 143, 455/2, 340, 969/2. Для ее элементов оператор rgf_findrecur системы Maple возвращает рекуррентное уравнение Оператор rsolve с использованием начальных значений 5, 35/2, 42, 165/2 дает решение этого уравнения: Число рассчитываемых ферм n = 1,...,8 определяется возможностью получить рекуррентное уравнение. Если длина последовательности недостаточно велика, оператор rgf_findrecur не дает решения. Аналогично при других значениях номеров масс k имеем следующие выражения: Обобщение этих формул по k с применением операторов Maple дает окончательное выражение зависимости коэффициента от номера массы и числа панелей: (9) Также в два этапа, обобщением сначала по n, затем по k, получаются и другие коэффициенты: (10) Отдельно вычислим числитель и знаменатель в (8). Числитель представим в виде (11) где Конечные суммы коэффициентов (9) - (0) дает оператор sum системы Maple: (12) Знаменатель (8): (13) где обозначено Посредством суммирования оператором sum получаем следующие коэффициенты: (14) Таким образом, верхнюю оценку первой частоты фермы в зависимости от числа панелей можно получить по формуле (15) с коэффициентами (12), (14). Оценка Донкерлея. Нижнюю оценку первой частоты колебаний получим по формуле Донкерлея: (16) где - частота колебания одной массы , расположенной в узле k + 1 нижнего пояса, принимая нумерацию узлов от левой опоры. Уравнение (1) в случае колебаний одной массы будет скалярным: где - вертикальное перемещение массы; - вектор ускорений; - коэффициент жесткости (k - номер массы). Частота колебаний груза . Коэффициент жесткости, обратный коэффициенту податливости, определяется по формуле Максвелла - Мора: где - усилия в стержне с номером от действия единичной вертикальной силы, приложенной к узлу k + 1 (рис. 3). Рис. 3. К определению коэффициента жесткости, n = 6, k = 2 [Figure 3. On the determination of stiffness coefficient, n = 6, k = 2] Методом индукции, последовательно рассчитывая смещение сначала массы 1 от действия нагрузки на этот узел при различных числах панелей n = 1,2,3,... и обобщая эти решения на произвольное число n, затем рассчитывая смещение других масс, прикладывая всякий раз единичную силу к месту положения массы, получаем решение для произвольных значений n и k: где Из (16) суммированием этих выражений по k получаем нижнюю оценку для первой частоты по Донкерлею: (17) 3. Результаты Оценить точность полученных решений можно графически. Рассмотрим для примера ферму с n панелями высотой h = 5 м, длиной панели a = 3 м и грузами m = 100 кг в узлах нижнего пояса. Жесткость стальных стержней фермы примем Н. Первая частота собственных колебаний фермы (15), полученная по энергетическому методу Рэлея, и оценка Донкерлея (17) с увеличением числа панелей сближаются (рис. 4). Численное же значение собственной частоты системы с степенями свободы, найденная как минимальная частота полного спектра частот, почти полностью совпадает с оценкой Релея, кривые полностью сливаются. Для уточненной оценки степени полученного приближения введем относительные погрешности Рис. 4. Первая частота колебаний, полученная тремя способами в зависимости от числа панелей [Figure 4. The first oscillation frequency obtained by three methods depending on the number of panels] Рис. 5. Погрешность оценки Донкерлея в зависимости от числа панелей: 1 - h = 3 м; 2 - h = 4 м; 3 - h = 5 м [Figure 5. Dunkerley’s estimation error depending on the number of panels: 1 - h = 3 m; 2 - h = 4 m; 3 - h = 5 m] Рис. 6. Погрешность оценки Рэлея в зависимость от числа панелей: 1 - h = 3 м; 2 - h = 4 м; 3 - h = 5 м [Figure 6. Rayleigh’s estimation error depending on the number of panels: 1 - h = 3 m; 2 - h = 4 m; 3 - h = 5 m] В зависимости от числа панелей погрешность решения Донкерлея меняется от 4 % при большом числе панелей до 22 % при n = 2 (рис. 5). Графики построены для тех же параметров фермы, что и рис. 4. Для фермы с меньшей высотой степень приближения оценки Донкерлея больше. Оценка Рэлея, так же как и оценка Донкерлея, лучше при большем числе панелей (рис. 6), за исключением начального участка кривой, имеющей резкий всплеск при n = 3. Главная же особенность оценки, полученной по Рэлею, - весьма высокая ее точность. Точность порядка 0,2 % сопоставима с точностью входных данных: размеров, упругих характеристик и масс. На рис. 3 кривая найденная численно из анализа спектра системы со многими степенями свободы, практически сливается с кривой зависимости от числа панелей частоты по Рэлею 4. Заключение Для решения поставленной задачи в работе использована система компьютерной математики Maple. Выбор этой программы определялся только предпочтением автора. С не меньшим успехом здесь можно использовать и другие аналогичные программы, например Mathematica или Derive. В основном операторы Maple использовались для составления и решения в символьной форме уравнений равновесия узлов фермы. Определение же общих членов последовательностей можно выполнить в каком-либо онлайн-сервисе, например [22]. По сравнению с решениями задач о прогибе ферм с произвольным числом панелей, полученными методом индукции, формулы для оценок первой частоты оказались заметно сложнее. Однако они имеют замкнутую форму, не содержат сумм и рядов, которые надо вычислять, обрывая суммирование на некотором слагаемом, что вносит элемент субъективности в решение. Полученные формулы также не связаны с применением специальных функций и итеративными вычислениями. Выведенные формулы можно использовать при довольно большом числе панелей, то есть именно в тех случаях, где наиболее вероятно накопление ошибок вычислений. Кроме того, замкнутый аналитический вид решений позволяет применять все средства математического анализа для выявления их особенностей.

Об авторах

Михаил Николаевич Кирсанов

Национальный исследовательский университет «Московский энергетический институт»

Автор, ответственный за переписку.
Email: c216@ya.ru

доктор физико-математических наук, профессор кафедры робототехники, мехатроники, динамики и прочности машин Института энергомашиностроения и механики

Российская Федерация, 111250, Москва, Красноказарменная, 14

Список литературы