Моделирование свайного фундамента в среде Femap with NX Nastran

Полный текст

Введение [3] В настоящее время проверочные расчеты прочности, устойчивости и колебаний проектируемых зданий и сооружений выполняются с учетом фундамента и основания с реальными физико-механическими свойствами, в том числе определяемыми в результате статического и динамического зондирования. При этом широко используются программные комплексы инженерного анализа САЕ-класса, реализующие метод конечных элементов (МКЭ) и позволяющие выстраивать и рассчитывать сложные пространственные (3D) расчетные модели. Высокая производительность и большие объемы памяти современных компьютеров позволяют осуществить объединение расчетных моделей надземной и подземной частей здания (сооружения). Инженерный анализ большой системы «здание - фундамент - основание» раскрывает инженеру-конструктору полную картину напряженно-деформированного состояния (НДС) проектируемого объекта, обеспечивает оценку степени взаимовлияния его составных частей. Во многом благодаря новым вычислительным возможностям компьютерной техники в последние годы выполнен значительный объем теоретических и практических исследований по фундаментам, что позволило усовершенствовать методы расчета и нормы проектирования. Однако расчет большой механической системы «здание - фундамент - основание» МКЭ приводит к разрешающим системам уравнений очень большого порядка. Во многом это связано с моделированием именно подземной части. Расчетная модель надземной части здания и сооружения (пространственный каркас) обычно формируется стержневыми и пластинчатыми (оболочечными) конечными элементами с шестью обобщенными перемещениями в узлах. Численный инженерный анализ подобных моделей особых вычислительных трудностей не вызывает [1; 2]. Ситуация меняется при моделировании подземной части. Применение объемных конечных элементов приводит к существенному росту порядка решаемой задачи и значительному увеличению времени анализа. В результате выбор модели «фундамент - основание» зачастую производится исходя из доступной производительности и объема памяти вычисленной машины, а не из соображений необходимой точности моделирования (адекватности модели). При этом актуализируется не только задача решения больших систем уравнений по частям, но также и задача выбора рациональной расчетной схемы «фундамент - основание». При решении первой задачи порядок решаемой системы уравнений можно существенно понизить с помощью методов подструктур и суперэлементов, контурных и расчетных точек [3-6] и др. В качестве примера можно привести программный комплекс Femap with NX Nastran, реализующий технологию внешнего суперэлемента. Его использование позволяет свести расчет глобальной системы «здание - фундамент - основание» к расчету здания, находящегося на дискретном упругом основании с обобщенными жесткостными характеристиками, зависящими от реологических свойств основания (грунта) [7]. В результате общая трудоемкость, время и стоимость расчетного анализа сложной системы существенно снижаются, причем без потери точности результата. Для решения второй задачи необходим сопоставительный анализ различных расчетных моделей подсистемы «фундамент - основание». Далее будут рассмотрены расчетные модели фундаментов свайного типа. Подобные фундаменты получили широкое распространение при строительстве зданий и сооружений в основном благодаря своей высокой надежности, технологичности и относительной простоте изготовления [8]. Как известно, в зависимости от характера работы в грунте сваи разделяются на сваи-стойки и висячие сваи [9; 10]. Под свайным фундаментом подразумевается как группа свай, объединенная ростверком (ленточно-и плитно-свайные поля), так и сваи без ростверка, то есть отдельно стоящие сваи под опоры (колонны). Рассмотрение ленточно-свайных и плитно-свайных фундаментов выходит за рамки данной статьи, поскольку создание геометрии «свая - ростверк - грунт» не меняет основных принципов моделирования, характерных для отдельной сваи. Поэтому нами были исследованы модели висячей сваи с грунтовым основанием, представляющим однородную замкнутую область с заданными физико-механическими характеристиками. Из-за ограниченного объема статьи рассмотрим расчет сваи на горизонтальную нагрузку. Объектом анализа послужит квадратная свая в поперечном сечении размером 0,3×0,3 м, работающая совместно с грунтовым массивом. Для наглядности методик [10-14], учитывающих помимо ее горизонтального смещения и поворота в вертикальной плоскости еще и поперечную упругую деформацию, примем длину сваи 2 м. Продемонстрированные расчетные модели «свая - грунт» можно использовать для свай разной длины, а также при расчете как на горизонтальные, так и на вертикальные нагрузки [8; 15; 16]. Изучены следующие варианты расчетных моделей подсистемы «свая - грунт»: - модель 1 - стержневая модель сваи с дискретными упругими опорами (пружинками) (рис. 1); - модель 2 - пространственная модель сваи с грунтом (рис. 2); - модель 3 - пространственно-стержневая модель сваи с веерной системой, составленной из жестких стержней типа Rigid (рис. 3). 1. Модельные представления свайного фундамента с грунтовым основанием Модель 1. Стержневая модель сваи с дискретными упругими опорами (пружинками) Свайная конструкция представляет собой стержневой элемент, в общем случае работающий на сжатие, растяжение, изгиб и кручение. Грунт моделируется в рамках гипотезы Винклера установкой ряда дискретных упругих опор (конечных элементов типа Spring), расположенных по длине сваи [10]. Изменение жесткости грунта Сh, кН/м3, по глубине принята согласно нормативным документам [11; 12]. Формирование упрощенного графика грунта осуществляется по трем характерным его точкам (рис. 1). Началом отсчета является уровень отметки поверхности земли, затем выбирается точка, где грунт сложился как однородная структура, в которой проводится экспериментальное измерение коэффициента жесткости грунта Ch, кН/м3. Крайняя точка назначается на глубине 10 м. Ниже нее жесткость грунта возрастает лишь незначительно. Такой подход к построению графика изменения жесткости по глубине позволяет ограничиться одним измерением Ch. Методика определения коэффициента жесткости Сi, кН/м, для каждой i-упругой опоры (Spring) сваи (рис. 2) подробно изложена в работах [13-15]. Коэффициент жесткости упругой опоры Сi, кН/м, - это коэффициент жесткости грунта Сh, кН/м3, в уровне расположения опоры, умноженный на площадь А = аb м2, к ней относящуюся где a - расстояние между упругими опорами, м; b - ширина сваи, м. При использовании модели 1 необходимы надежные методики определения обобщенных жесткостных характеристик грунта, которые могут быть получены на основе предварительных расчетов альтернативными методами [11-15]. Модель 2. Пространственная модель сваи с грунтом Эталонной моделью «свая - грунт» будем считать трехмерную модель сваи с грунтовым основанием (рис. 3, а), в которой свайная конструкция и массив грунта представлены объемными (например, тетраэдральными) конечными элементами (КЭ) типа Solid [17; 18]. Каждый конечный элемент в указанной расчетной модели подземной части имеет по три степени свободы в узлах и полилинейную аппроксимацию перемещений по осям х, у, z [19]. Модель 3. Пространственно-стержневая модель с элементами (Rigid) На рис. 3, б показана модель, в которой свая представлена стержневыми конечными элементами, а грунтовое основание - объемными КЭ. Узлы стержневых и объемных КЭ соединяются при помощи жестких стерженьков типа Rigid, образующих многоуровневые веерные подструктуры КЭ. Таким образом, при моделировании сваи реализуется гипотеза плоских сечений. При этом узлы сваи сохраняют все шесть степеней свободы, что позволяет отслеживать в местах соединений не только нормальные и перерезывающие силы, но также изгибающие и крутящие моменты. Рис. 1. Расчетная схема сваи и определение отпорности основания: Р - горизонтальная сила, Н; a - расстояние между упругими опорами, м; Сh - коэффициент жесткости грунта в уровне расположения опоры, Н/м3; Сi - коэффициент жесткости упругой опоры, Н/м [Figure 1. The design scheme of the piles and the determination of the resistance of the base: P - horizontal force, N; a - distance between the elastic supports, m; Сh - soil stiffness coefficient at the level of support location, N/m3; Сi - coefficient of stiffness of the elastic support, N/m] Рис. 2. График изменения жесткости грунта Сhi, Н/м3, по глубине h, м: 1 - реальное изменение; 2 - расчетное изменение [Figure 2. The graph of the change in the stiffness of the soil Chi, N/m3, in depth h, m: 1 - real change; 2 - estimated change] а б в Рис. 3. Расчетные модели «свая - грунт»: а - модель 2 - пространственная модель сваи с грунтом; б - модель 3 - пространственно-стержневая модель; в - фрагмент сваи в виде стержня с элементами типа Rigid; 1 - железобетонная свая в виде стержневого конечного элемента Bar; 2 - однородное грунтовое основание в виде объемного тела Solid; 3 - жесткие Rigid-элементы с заданным шагом разбиения сетки; Р - горизонтальная сила, Н; b - ширина сваи, м; L - длина сваи, м [Figure 3. Design models “pile - soil”: a - model 2 - solid model of soil piles; б - model 3 - spatial-bar model; в - fragment of a pile in the form of a bar with elements of the Rigid type; 1 - reinforced concrete pile in the form of a finite element Bar; 2 - homogeneous soil base in the form of a solid body; 3 - Rigid-elements with a given mesh partition step; P - horizontal force, N; b - pile width, m; L - pile length, m] 2. Материалы исследования Для расчетного исследования возьмем исходные данные, аналогичные данным ранее опубликованных работ [14; 15]. Принята железобетонная забивная свая квадратного поперечного сечения b×h = 0,3×0,3 м, длиной L = 2 м по ГОСТ 19.804.1 [20]. Материал сваи - тяжелый бетон класса В15 с модулем упругости Eb = 24∙103 МПа (табл. 6.11 в [21]). Значение модуля сдвига бетона равняется Gb = 0,4Eb = 0,4∙24∙103 = = 9,6∙103 МПа (п. 6.1.15 в [21]), а коэффициент Пуассона ν = 0,2 (п. 6.1.17 в [21]). Грунт основания - песок четвертичного отложения, пылеватый (коэффициент пористости е = 0,65) с модулем деформации Е = 18 МПа, углом внутреннего трения φ = 30°, удельным сцеплением с = 4 кПа (табл. Б.1 в [22]) и коэффициентом Пуассона ν = 0,3 (табл. 5.10 в [22]). Внешняя горизонтальная нагрузка на все расчетные модели сваи составляет Р = 100 000 Н [14; 15; 22]. 3. Методы исследования Сегодня метод конечных элементов является универсальным средством численного инженерного анализа сложных конструкций, включая конструкции зданий и сооружений. Он позволяет использовать в инженерном анализе широкий набор надежных стержневых, пластинчатых (оболочечных) и объемных конечных элементов с различными аппроксимирующими функциями полей перемещений. Для расчета стержневых и объемных тел применима дискретная модель, которая обуславливает описание НДС исследуемого объекта в виде системы алгебраических уравнений, порядок которой может быть весьма высоким. Поэтому анализ модели конструкции, построенной на основе МКЭ, имеет смысл лишь при условии полной автоматизации расчетных исследований. В исследовании расчетных моделей свайных фундаментов применен расчетный комплекс Femap with NX Nastran, реализующий весьма широкий набор расчетных подходов и методов. 4. Результаты Рассмотрим результаты сравнительного расчетного анализа напряженно-деформированного состояния свайного фундамента с применением трех расчетных моделей «свая - грунт». Модель 1. Стержневая модель сваи с дискретными упругими опорами (пружинками) Для двухметровой сваи используются три опорные точки - по краям и в центре - с шагом а = 1 м (рис. 4). В точке 1 (расположенной на поверхности при hгр = 0 м) коэффицент жесткости упругой опоры составляет С1 = 2 ·106 Н/м, в точке 2 (на глубине hгр = 1,5 м) - С2 = 8 ·106 Н/м, а в точке 3 (на глубине hгр = 3 м) коэффицент жесткости упругой опоры равен С3 = 11,2 ·106 Н/м. Конечно-элементная модель стержня состоит из шести конечных элементов типа Bar, состыкованных в семи узлах. Каждая пружинка (элемент типа Spring) имеет несмещаемое опирание. На рис. 5 представлены результаты расчета: горизонтальные перемещения (а) и реакции опор (б) сваи. Увеличение шага упругих опор не оказывает существенного влияния на результат (табл. 1). Модель 2. Пространственная модель «свая - грунт» (Solid-модель) Рассмотрена замкнутая область грунта в виде куба с размерами H×B×L = 6×6×6 м. Размеры сваи составили 0,3×0,3 м, длина L = 2 м. Общее число объемных КЭ расчетной модели - 37 979, число узлов стыковки - 55 478, сетка с шагом 0,3 м. Граничные условия для грунтового массива принимались следующими: - перемещения нижней и боковых поверхностей равны нулю; - перемещение верхней поверхности массива не ограничивается. К свае приложена сосредоточенная горизонтальная (вдоль оси x) сила Р = 100 000 Н. Нагрузка равномерно распределялась по верхней образующей поверхности при помощи веерной системы жестких КЭ типа Rigid. На рис. 6 показано горизонтальное перемещение сваи совместно с грунтом (а) и эквивалентные напряжения в свае σэкв, Н, (б), вычисленные в соответствии с энергетической гипотезой фон Мизеса: где σx, σy, σz - нормальные напряжения по осям x, y, z; τxy, τyz, τxz - касательные напряжения на площадках, перпендикулярные к осям x, y, z. Рис. 4. Модель 1 - cтержневая модель сваи с дискретными упругими опорами Сi и схема определения жесткости упругих опор для сваи L = 2 м: Р - горизонтальная сила, Н; a - расстояние между упругими опорами, м; С1, С2, С3 - коэффициенты жесткости упругих опор, Н/м; Siгр - грузовые площади, относящиеся к упругим опорам, м2 [Figure 4. Model 1 -bar model of piles with discrete elastic supports Сi and a scheme for determining the stiffness of elastic supports for piles L = 2 m: P - horizontal force, N; a - distance between the elastic supports, m; С1, С2, С3 - stiffness coefficients of elastic supports, N/m; Siгр - cargo area related to elastic supports, m2] а б Рис. 5. Результаты расчета стержневой модели 1: а - перемещение Vi узла по оси х в точках V1 = 0,02794 м, V2 = 0,01103 м, V3 = -0,00394 м; б - опорные реакции Pi по оси х в точках Р1 = 55871 Н, Р2 = 88257 Н, Р3 = -44129 Н [Figure 5. The calculation results of the core model 1: a - translation Vi of a node along the x axis at points V1 = 0.02794 m, V2 = 0.01103 m, V3 = -0.00394 m; б - constrain force Pi along the x axis at points P1 = 55871 H, P2 = 88257 H, P3 = -44129 H] Таблица 1 Исходные данные и результаты расчета модели 1 [Table 1. The initial data and the calculation results of the model 1] № п/п [No.] Исходные данные модели [Initial data of the model] Результаты расчета [Calculation results] Размер сетки s, м [Mesh size on solid s, m] Число узлов [Number of nodes] Число элементов [Number of elements] Перемещение Vi, м, узла по оси х в точках [Translation Vi, m, of a node along the x axis at points] 1 2 3 1 0,5 9 10 0,02794 0,01103 -0,00394 2 0,4 12 11 0,02794 0,01103 -0,00394 3 0,3 13 12 0,02794 0,01103 -0,00394 4 0,2 21 22 0,02794 0,01103 -0,00394 5 0,1 41 42 0,02794 0,01103 -0,00394 а б Рис. 6. Результаты расчета пространственной модели 2: а - перемещение Vi узла по оси х в точках V1 = 0,0279 м, V2 = 0,0112 м, V3 = -0,00534 м; б - эквивалентные напряжения в объемном элементе σэкв, Н [Figure 6. The results of the calculation of solid model 2: а - translation Vi of a node along the x axis at points V1 = 0.0278 m, V2 = 0.0112 m, V3 = -0.00534 m; б - solid Von Mises stress σeqv, N] Таблица 2 Исходные данные и полученные результаты расчета пространственной модели 2 [Table 2. The initial data and the calculation results of the spatial model 2] № п/п [No.] Исходные данные модели [Initial data of the model] Результаты расчета [Calculation results] Размер сетки s, м [Mesh size on solid s, m] Число узлов [Number of nodes] Число элементов [Number of elements] Перемещение Vi, м, узла по оси х в точках [Translation Vi, m, of a node along the x axis at points] 1 2 3 1 0,5 17033 11457 0,0274 0,01120 -0,00508 2 0,4 28104 19047 0,0276 0,01120 -0,00522 3 0,3 55478 37979 0,0279 0,01120 -0,00534 4 0,2 142482 98617 0,0280 0,01130 -0,00556 5 0,1 714857 503816 0,0280 0,01130 -0,00556 Для сравнительного анализа результатов (по горизонтальному смещению) размер разбиения конечно-элементной сетки изменялся в пределах от 0,1 до 0,5 м. Результаты расчета приведены в табл. 2. Как видно, с уменьшением размера сетки (сгущения) незначительно возрастает числовое значение горизонтального перемещения в верхней и нижней частях сваи (табл. 2, рис. 6, а). Модель 3. Пространственно-стержневая модель с элементами Rigid По аналогии с предыдущей моделью массив грунта представлен кубом с размерами H×B×L = 6×6×6 м. Шаг КЭ сетки составил 0,3 м. Область грунта разбита на 37 251 элементов. Число узлов стыковки - 25 231. Граничные условия грунта приняты аналогичными пространственной модели 2. В рамках регулярной конечно-элементной сетки стержневой сваи в каждом ее узле установлен плоский веер жестких элементов Rigid, соединяющих сваю с грунтовым основанием. В сравнении с моделью 2 число конечных элементов и узловых точек сократилось до 33 %, а следовательно, сократился и порядок системы разрешающих уравнений. Полученные результаты расчета деформированного состояния подсистемы «свая - грунт» приведены на рис. 7. В табл. 3 представлен сравнительный анализ численного расчета деформированного состояния модели 3 с шагом разбиения сетки КЭ от 0,1 до 0,5 м. Результаты численного анализа деформированного состояния по всем расчетным вариантам сведены в табл. 4 и сопоставлены с аналогичными результатами, полученными численно-аналитическими методами расчета, изложенными в [10-15]. а б Рис. 7. Результаты расчета пространственно-стержневой модели 3: а - перемещение грунта Vi узла по оси х в точках V1 = 0,0339 м, V2 = 0,0129 м, V3 = -0,00805 м; б - перемещение сваи Vi узла по оси х в точках V1 = 0,0339 м, V2 = 0,0129 м, V3 = -0,00805 м [Figure 7. The results of the calculation of the solid-bar model 3: а - translation of soil Vi of a node along the x axis at points V1 = 0,0339 m, V2 = 0,0129 m, V3 = -0,00805 m; б - translation of the pile Vi of a node along the x axis at points V1 = 0,0339 m, V2 = 0,0129 m, V3 = -0,00805 m;] Таблица 3 Результаты расчета пространственно-стержневой модели 3 [Table 3. The calculation results of the solid-bar model 3] № п/п [No.] Исходные данные модели [Initial data of the model] Результаты расчета [Calculation results] Размер сетки s, м [Mesh size on solid s, m] Число узлов [Number of nodes] Число элементов [Number of elements] Перемещение Vi, м, узла по оси х в точках [Translation Vi, m, of a node along the x axis at points] 1 2 3 1 0,5 11043 7310 0,0273 0,0103 -0,00676 2 0,4 19536 13051 0,0277 0,0105 -0,00666 3 0,3 37251 25231 0,0280 0,0106 -0,00668 4 0,2 89316 61252 0,0280 0,0107 -0,00687 5 0,1 464655 327480 0,0280 0,0107 -0,00687 Таблица 4 Сравнительный анализ полученных результатов статического линейного расчета [Table 4. Comparative analysis of the results of static linear calculation] № п/п [No.] Расчетные варианты моделирования «свая - грунт» [Design models “pile - soil”] Результаты расчета [Calculation results] Перемещение Vi, м, узла по оси х в точках [Translation Vi, m, of a node along the x axis at points] Опорные реакции грунта Pi, кН, по оси х в точках [Constrain force Pi, kN, along the x axis at points] V1 V2 V3 Р1 Р2 Р3 1 Численно-аналитические методы расчета [Numerical and analytical methods of calculation] [15] 1.1 Численно-аналитические методы [Numerical and analytical methods] 0,02800 0,01100 -0,0039 56,000 88,000 -44,000 2 Метод конечных элементов [Finite element method] 2.1 Модель 1.Стержневая модель сваи с упругими опорами Spring [Model 1. Bar model of piles with discrete elastic supports] 0,02794 0,01103 -0,00394 55,871 88,257 -44,129 2.2 Модель 2. Пространственная модель сваи с грунтом [Model 2. The solid model “pile - soil”] 0,02790 0,01120 -0,00534 - - - 2.3 Модель 3. Пространственно-стержневая модель с элементами Rigid [Model 3. Solid-bar model with Rigid elements] 0,02800 0,01060 -0,00668 - - - На рис. 8 представлен график сходимости результатов расчета от действия горизонтальной силы Р = 100 000 Н, полученный для трех моделей «свая - грунт» с учетом размера разбиения сетки s, м. Результаты численного метода практически подтвердили сходство с аналитическим методом (табл. 4). Если сравнить результаты расчетов моделей 1, 2 и 3 с аналогичными результатами, полученными альтернативными методами [14; 15], то они совпадают с достаточно высокой точностью. Рис. 8. График сходимости результатов (с точностью до 0,0001 м), полученных численно-аналитическими методами расчета, на примере трех расчетных моделей «свая - грунт» [Figure 8. The graph of convergence of the results obtained by numerical and analytical methods of calculation on the example of three calculation models “pile - soil”] Отметим ряд особенностей, отражающих специфику формирования и применения расчетных моделей «свая - грунт» и влияющих на анализ результатов расчета. Модель 1. Стержневая модель сваи с дискретными упругими опорами (пружинками) Преимуществом данной модели является наименьшая трудоемкость в создании геометрической и расчетной моделей, и отсюда - экономия времени на выполнение расчета. Из-за малого числа конечных элементов и узлов время численного анализа и число решаемых уравнений, как и следовало ожидать, оказалось существенно меньше, чем у моделей 2 и 3. Основным недостатком модели 1 является трудоемкий расчет по определению коэффициентов жесткости Сi, кН/м, каждой i-упругой опоры (Spring), выполняемый аналитическими методами. Так, трудоемкость существенно возрастает при заданных гидрогеологических условиях строительной площадки, имеющей сложную схему геологического разреза по слоям и типам грунта. К тому же, в научно-технической литературе коэффициент постели (коэффициент жесткости) грунта Сh, кН/м3, имеет весьма размытые границы, что затрудняет его практический выбор. Результатами анализа модели являются перемещения и деформации сваи, изгибающие и крутящие моменты, продольные и перерезывающие силы, нормальные и касательные напряжения в свае, вызванные кручением, а также реакции грунта, заданные в дискретном виде. Модель 2. Пространственная модель сваи с грунтом Преимущество модели 2 заключается в относительной простоте ввода в расчет заданных физико-механических свойств грунта, определяемых по результатам инженерно-геологических изысканий, включая создание точных переходов между слоями различных типов грунта. Однако данная задача является очень трудоемкой на начальной стадии создания геометрической и конечно-элементной пространственных моделей грунтового основания. Отсюда увеличение порядка решаемых алгебраических уравнений за счет большого числа КЭ и существенное увеличение продолжительности численного анализа. Поскольку каждый КЭ расчетной модели подземной части здания имеет по три линейных перемещения в узлах и полилинейную аппроксимацию перемещений, то могут возникнуть сложности при ее стыковке с надземной частью конструкции, конечные элементы которой имеют иную аппроксимацию полей перемещений. Характерным примером может служить стыковка стержневой удерживающей колонны здания с объемной сваей, приводящая к потере точности ряда анализируемых внутренних силовых факторов. Результатами расчетов являются все характеристики НДС, включая перемещения по осям x, y, z, и компоненты тензора напряжений и деформаций. Модель 3. Пространственно-стержневая модель с элементами Rigid Модель 3 характерна использованием стержневой сваи, имеющей по шесть узловых степеней свободы, что позволяет стыковать ее с узлами надземной части без потери точности результата. При этом в точках стыковки сохраняется полный набор внутренних силовых факторов, что выгодно отличает ее, например, от модели 2. К тому же модель 3 сохраняет все преимущества развернутого анализа НДС объемного грунтового массива с учетом разнообразных реологических свойств. В данной модели для анализа доступны все характеристики НДС, предусмотренные для стержневого и объемного КЭ. Заключение В статье проведено сопоставление трех расчетных конечно-элементных моделей подземной части здания (подсистемы «свая - грунт»), предназначенных для численного анализа статики и динамики большой механической системы «здание - фундамент - основание». Каждая расчетная модель обладает своими достоинствами и недостатками. Окончательный выбор зависит от заданных условий задачи, объема исходной информации, знаний и профессионального опыта инженера-конструктора, технических характеристик используемой электронно-вычислительной машины, а также лимита времени, предусмотренного на выполнение всего комплекса инженерных расчетов.

Об авторах

Эльвира Рафаэльевна Кужахметова

Автор, ответственный за переписку.
Email: elja_09@bk.ru
SPIN-код: 1949-1140

аспирант, старший преподаватель кафедры машиноведения и технических систем

Список литературы