Моделирование случайной статической нагрузки на покрытия сооружений при неполной статистической информации

Полный текст

Введение [1] В соответствии с Межгосударственным стандартом ГОСТ 27751-2014 «Надежность строительных конструкций и оснований» рекомендуется применять вероятностно-статистические методы для обоснования нормативных и расчетных характеристик нагрузок и коэффициентов сочетаний. Применение таких методов допускается при наличии эффективных вероятностных методик учета случайной изменчивости основных параметров. При моделировании нагрузки на сооружение на основе вероятностно-статистических методов необходимо учитывать два типа неопределенности: алеаторную, обусловленную естественной природой изменчивости климатических нагрузок и неоднородностью физико-механических свойств, и эпистемологическую, связанную с использованием ограниченной по объему статистической выборки и принятием отдельных статистических гипотез. В исследовании [1] отмечается, что фактическая надежность конструкций покрытия в ряде случаев получается ниже расчетного уровня надежности вследствие изменчивости снеговой нагрузки. В работе [2] приведены различные подходы к описанию снеговой нагрузки на конструкции покрытий сооружений. В [3] также отмечается многообразие подходов к вероятностно-статистическому моделированию снеговой нагрузки на покрытие. Проблема выбора конкретных вероятностно-статистических распределений для снеговой нагрузки может быть решена путем использования математических методов моделирования при неполной статистической информации. Широкое распространение получили методы вероятностного проектирования и расчета надежности в условиях неопределенности на основе p-блоков [4]. В работе [5] рассматривается перспективное направление использования топологической оптимизации с учетом неопределенности в параметрах нагрузки. 1. Цель исследования Множество различных подходов к моделированию эксплуатационной нагрузки как случайной величины формирует эпистемологическую неопределенность в рамках анализа надежности элементов покрытия сооружения. В данной работе предлагается рассмотреть подход к моделированию случайной статической нагрузки на конструкции покрытий сооружений с учетом неопределенности в виде неточных (интервальных) оценок статистических параметров в математической модели нагрузки. 2. Материалы и методы В общем виде условие прочности изгибаемой конструкции покрытия можно записать в виде: , (1) где - функция изгибающего момента, зависящая от случайных (по значению) нагрузок на конструкцию покрытия ; - предельный допустимый изгибающий момент. В общем виде нагрузки на покрытие можно классифицировать на нагрузки от собственного веса элементов конструкции покрытия, климатические нагрузки и технологические нагрузки. Нагрузки от собственного веса элементов конструкции покрытия могут быть описаны нормальным законом распределения. Так, в приложении С Eurocode 0 «Basis of structural design» отмечено, что нормальное распределение допустимо использовать для описания распределения собственного веса конструкций. Для моделирования снеговой нагрузки чаще используется закон распределения Гумбеля (или двойной экспоненциальный) [6]: (2) где - мера рассеяния распределения Гумбеля, - среднеквадратическое отклонение случайной величины X; - мера центра распределения Гумблея, - постоянная Эйлера - Маскерони. В случае ограниченной по объему выборки возможно ввести поправки для оценки коэффициентов и в виде и . Числовые параметры математического ожидания и стандартного отклонения для снеговой нагрузки содержатся в работе [6]. Эти параметры представляют собой некоторую неопределенность, одним из способов оценки которой является представление данных параметров в виде интервалов значений и . Предположим, что по результатам статистического анализа данных о снеговой нагрузке получены следующие доверительные интервалы: кгс/м2 и кгс/м2. Различные возможные функции распределения (2) по граничным значениям параметров приведены на рис. 1. Рис. 1. Граничные функции распределения, формирующие p-блок для снеговой нагрузки [Figure 1. Boundary distribution functions as a p-box for snow load] Подмножество возможных функций распределения формируют область, которая называется p-box (probability box), или p-блоки. Предполагается, что действительная функция распределения снеговой нагрузки будет проходить внутри данной области. Таким образом, для снеговой нагрузки можно сформировать две граничные функции распределения: Нагрузка от собственного веса конструкций, как было отмечено выше, зачастую описывается нормальным законом распределения, для которого в условиях интервальных оценок его параметров также может быть построена модель p-box. Так как нагрузка от собственного веса представлена суммой нагрузок от собственных весов элементов конструкции покрытия со своими доверительными оценками, то параметры для нормального распределения вычисляются по общеизвестным формулам: и . В интервальной форме значения параметров суммируются по правилам интервальной арифметики [7]: и С учетом вышеизложенного математическую модель предельного состояния (1) запишем в виде (3) где - снеговая нагрузка; - нагрузка от веса конструкций. Случайные статические нагрузки в модели (3) представлены p-блоками. Для суммирования p-блоков необходимо их преобразовать в структуру типа Демпстера - Шефера [8]. Непрерывные граничные функции распределения в p-блоках дискретизируются на определенное число блоков (рис. 2). Распределения при дискретизации ограничиваются 0,05 и 99,5 перцентилями [9]. Рис. 2. Дискретизация p-блока на фокальные элементы Ai с базовыми вероятностями mi [Figure 2. P-box discretization to focal elements Ai with basic probabilities mi] Шаг дискретизации обычно принимают 0,01 с учетом . В данном случае мы получаем 100 интервальных оценок случайной величины X. Следовательно, дискретизируя p-блоки для снеговой нагрузки, получим 100 интервалов: , , … . Аналогично можно получить 100 интервалов для нагрузки от собственного веса элементов конструкции покрытия , , … . Для построения p-блока суммарной статической нагрузки необходимо каждый интервал снеговой нагрузки сложить с каждым интервалом нагрузки от собственного веса элементов конструкции покрытия. Табличная форма решения продемонстрирована в табл. 1. Таблица 1 Объединение двух структур (комбинация) Демпстера - Шефера [8] [Table 1. Combination of two Dempster - Shafer structures] , 0,01 , 0,01 … , 0,01 , 0,01 , 0,0001 , 0,0001 … , 0,0001 , 0,01 , 0,0001 , 0,0001 … , 0,0001 …. … … … … , 0,01 , 0,0001 , 0,0001 … , 0,0001 Элементы в табл. 1 записаны по принципу , , где - нижняя и верхняя границы интервала фокального элемента ; - базовая вероятность для фокального элемента . В итоге получим 100 100 = 10 000 интервалов. По этим интервалам можно построить нижнюю и верхнюю граничные функции распределения на основе положений теории свидетельств Демпстера - Шефера [10]. Данные граничные функции распределения будут создавать p-блок суммарной нагрузки от собственного веса элементов конструкции покрытия и снеговой нагрузки. 3. Результаты Пусть для стального прогона покрытия даны статистические характеристики нагрузок: 1. Собственный вес : математическое ожидание [0, 14; 0, 15] кН/м; среднеквадратическое отклонение [0, 005; 0, 010] кН/м. 2. Панель покрытия : математическое ожидание [0, 50; 0, 55] кН/м; среднеквадратическое отклонение [0, 02; 0, 04] кН/м. 3. Снеговая нагрузка : математическое ожидание [2, 20; 2, 50] кН/м; среднеквадратическое отклонение [0, 10; 0, 30] кН/м. Математическое ожидание нагрузки от собственного веса элементов конструкции покрытия: кН/м. Среднеквадратическое отклонение нагрузки от собственного веса элементов конструкции покрытия: кН/м. В общем виде граничные функции для нормального распределения нагрузки от собственного веса элементов покрытия можно записать в виде где - функция закона нормального распределения. В примере рассмотрим дискретизацию p-блоков нагрузок на 10 элементов (рис. 3). В рамках дискретизации на 10 элементов получим следующие интервалы: [0,535 (0,05 перцентиль); 0,673]; [0, 588; 0, 682]; [0, 606; 0, 689]; [0, 619; 0, 695]; [0, 630; 0, 700]; [0, 640; 0, 710]; [0, 646; 0, 722]; [0, 651; 0, 735]; [0, 658; 0, 752]; [0,668; 0,805 (99,5 перцентиль)] кН/м. При дискретизации распределения снеговой нагрузки на 10 элементов получим следующие интервалы: [1,680 (0,05 перцентиль); 2,390]; [1, 870; 2, 418]; [1, 954; 2, 440]; [2, 022; 2, 462]; [2, 084; 2, 484]; [2, 150; 2, 522]; [2, 208; 2, 607]; [2, 236; 2, 716]; [2, 272; 2, 891]; [2,330; 3,600 (99,5 перцентиль)] кН/м. Рис. 3. Дискретизация p-блоков снеговой нагрузки (а) и нагрузки от собственного веса конструкций (б), кН/м [Figure 3. The snow load (a) and self-weight load (б) p-boxes discretization, kN/m] Рис. 4. Граничные функции распределения и , формирующие p-блок суммарной нагрузки на покрытие [Figure 4. Boundary distribution functions and as p-box of common load on structural surface] Таблица 2 Объединение двух нагрузок в общую структуру [Table 2. Combinations of two types of loads in common structure] [0, 535; 0, 673] [0, 588; 0, 682] [0, 606; 0, 689] [0, 619; 0, 695] [0, 630; 0, 700] [0, 640; 0, 710] [0, 646; 0, 722] [0, 651; 0, 735] [0, 658; 0, 752] [0, 668; 0, 805] [1, 680; 2, 390] [2, 215; 3, 063] [2, 268; 3, 072] [2, 286; 3, 079] [2, 299; 3, 085] [2, 310; 3, 090] [2, 320; 3, 100] [2, 326; 3, 100] [2, 331; 3, 125] [2, 338; 3, 142] [2, 348; 3, 195] [1, 870; 2, 418] [2, 405; 3, 091] [2, 458; 3, 100] [2, 476; 3, 107] [2, 489; 3, 113] [2, 500; 3, 118] [2, 510; 3, 128] [2, 516; 3, 128] [2, 521; 3, 153] [2, 528; 3, 170] [2, 538; 3, 223] [1, 954; 2, 440] [2, 489; 3, 113] [2, 542; 3, 112] [2, 560; 3, 219] [2, 573; 3, 135] [2, 584; 3, 140] [2, 594; 3, 150] [2, 600; 3, 150] [2, 605; 3, 175] [2, 612; 3, 192] [2, 622; 3, 245] [2, 022; 2, 462] [2, 557; 3, 135] [2, 610; 3, 144] [2, 628; 3, 151] [2, 641; 3, 157] [2, 652; 3, 162] [2, 662; 3, 172] [2, 668; 3, 172] [2, 673; 3, 197] [2, 680; 3, 214] [2, 690; 3, 267] [2, 084; 2, 484] [2, 619; 3, 157] [2, 672; 3, 166] [2, 690; 3, 173] [2, 703; 3, 179] [2, 714; 3, 184] [2, 724; 3, 194] [2, 730; 3, 194] [2, 735; 3, 219] [2, 742; 3, 236] [2, 752; 3, 289] [2, 150; 2, 522] [2, 685; 3, 195] [2, 738; 3, 204] [2, 756; 3, 211] [2, 769; 3, 217] [2, 780; 3, 222] [2, 790; 3, 232] [2, 796; 3, 232] [2, 801; 3, 257] [2, 808; 3, 274] [2, 818; 3, 327] [2, 208; 2, 607] [2, 743; 3, 280] [2, 796; 3, 289] [2, 814; 3, 296] [2, 827; 3, 302] [2, 838; 3, 416] [2, 848; 3, 317] [2, 854; 3, 317] [2, 859; 3, 342] [2, 866; 3, 359] [2, 876; 3, 412] [2, 236; 2, 716] [2, 771; 3, 389] [2, 824; 3, 398] [2, 842; 3, 405] [2, 855; 3, 411] [2, 866; 3, 416] [2, 876; 3, 426] [2, 882; 3, 426] [2, 887; 3, 451] [2, 894; 3, 468] [2, 904; 3, 521] [2, 272; 2, 891] [2, 807; 3, 564] [2, 860; 3, 573] [2, 878; 3, 580] [2, 891; 3, 586] [2, 902; 3, 591] [2, 912; 3, 601] [2, 918; 3, 601] [2, 923; 3, 626] [2, 930; 3, 643] [2, 940; 3, 696] [2, 330; 3, 600] [2, 865; 4, 273] [2, 918; 4, 282] [2, 936; 4, 289] [2, 949; 4, 295] [2, 960; 4, 300] [2, 970; 4, 310] [2, 976; 4, 310] [2, 981; 4, 335] [2, 988; 4, 352] [2, 998; 4, 405] Пример объединения нагрузки от собственного веса и снеговой нагрузки в единую структуру типа Демпстера - Шефера для заданных значений приведен в табл. 4 На рис. 4 представлен p-блок, который характеризует граничные функции распределения суммарной случайной нагрузки на покрытие. 4. Обсуждение Полученные граничные функции распределения могут быть использованы при анализе надежности элементов покрытия [1; 11; 12]. Если несущая способность элемента покрытия может быть представлена в виде плотностей распределения с граничными функциями и , то верхняя и нижняя границы вероятностей безотказной работы вычисляются по формулам где и - граничные функции распределения случайной нагрузки на элемент; и - функции плотности граничных распределений несущей способности элемента. Информацию о допустимых значениях вероятностей безотказной работы и вероятностей отказа можно найти в работах [13; 14]. Заключение В статье описан подход к моделированию случайной нагрузки на конструкции покрытий сооружений при ограниченной статистической информации о нагрузках. Интервальная оценка параметров функций распределения и формирование p-блоков позволяют более осторожно подойти к вероятностным задачам строительной механики. Продемонстрирован способ суммирования случайных нагрузок, характеризующихся различными p-блоками, путем их дискретизации в структуры Демпстера - Шефера; Представление нагрузки в виде p-блоков может быть использовано в задачах по расчету вероятности безотказной работы элемента сооружений, при оценке риска аварии рассматриваемого элемента сооружений, а также при подборе сечения элемента по заданному уровню надежности (индексу надежности).

Об авторах

Сергей Александрович Соловьев

Вологодский государственный университет

Email: solovevsa@vogu35.ru
SPIN-код: 4738-8927
доцент кафедры промышленного и гражданского строительства, кандидат технических наук Российская Федерация, 160000, Вологда, ул. Ленина, 15

Список литературы