Расчет зависимости прогиба арочной фермы с подвесными элементами от числа панелей

Полный текст

Введение [3] Существующие методы расчета строительных конструкций основаны, как правило, на численных методах, в частности на методе конечных элементов [1-3]. С развитием систем компьютерной математики (Maple, Mathematica, Derive и др.) все большее значение приобретают аналитические методы [4-11]. Формулы, полученные для прогиба и усилий в элементах конструкции, могут быть использованы как для оценки точности численных решений, так и для простого предварительного расчета систем. Ценность аналитических решений тем больше, чем больше независимых параметров геометрии и упругих характеристик объекта. Для конструкций, имеющих регулярную структуру, например периодическую, решения методом индукции могут быть обобщены на произвольное число элементов периодичности. В регулярных фермах элементом периодичности является панель стержней. Если же конструкция имеет форму рамы или арки, то в ней может быть два и более параметра регулярности. В этом случае для обобщения решения на произвольное число панелей необходимо проводить двойную индукцию, например, сначала по числу панелей в ригеле, потом в опорах. Ранее этим методом были получены решения для прогиба плоских решетчатых [4-10], арочных [11-14] и пространственных [15-17] ферм. Более 70 формул для прогиба различных плоских ферм приведены в справочнике [18]. Предлагаемая конструкция (рис. 1, 2) арочной фермы рассчитывается этим методом. 1. Материалы и методы Ригель фермы имеет прямолинейное очертание поясов и нисходящие раскосы длиной . Симметричные части арки соединяются в шарнире C. Высота конструкции равна (k + 3)h, длина пролета Каждая ветвь арки состоит из трех частей: вертикальной высотой 2h, наклонной из k панелей и горизонтальной (ригеля) из n панелей. Угол наклона боковых частей определяется соотношением размеров h и a. Нижний горизонтальный пояс фермы (стяжка) из шарнирно соединенных стержней длиной a крепится упругими вертикальными подвесками к нижнему поясу ригеля. Рис. 1. 3D-модель фермы: n = 4, k = 2 [Figure 1. 3D model of the truss: n = 4, k = 2] Рис. 2. Ферма под действием равномерной нагрузки при n = 6, k = 3 [Figure 2. Truss under uniform load: n = 6, k = 3] Расчет усилий в стержнях выполним в системе компьютерной математики Maple по программе [18] на основе опыта ее применения [4-14] для решения подобных задач для плоских ферм. Сначала в программе задаются координаты узлов и порядок соединения стержней. По этим данным рассчитываются направляющие косинусы усилий, являющиеся элементами матрицы системы уравнений равновесия узлов. На языке системы Maple это имеет вид > m0:=8m+12n+12k+4 > Lxy[1]:=x[N[i][2]]-x[N[i][1]]: > Lxy[2]:=y[N[i][2]]-y[N[i][1]]: > L[i]:=sqrt(Lxy[1]^2+Lxy[2]^2); > for j to 2 do > u:=2N[i][2]-2+j: > if u<=m0 then G[u,i]:=-Lxy[j]/L[i]:fi; > u:=2N[i][1]-2+j: > if u<=m0 then G[u,i]:= Lxy[j]/L[i]:fi; > od; где x[],y[] - координаты шарниров; Lxy[1], Lxy[1] - проекции условно направленных стержней на оси координат; L[i] - длина стержня; m0 - число стержней, включая три опорные; G[,] - матрица системы уравнений равновесия. Решение системы линейных уравнений выполняется средствами системы Maple. Полученное решение для усилий в стержнях можно представить графически, выделив красным цветом растянутые стержни и синим сжатые (рис. 3). Толщина отрезков стержней пропорциональна модулю усилий. Расчет произведен при a = 5 м, h = 2 м. Усилия отмечены значениями, отнесенными к величине нагрузки P и округленными до целого числа. Заметим несколько неожиданное появление сжатых стержней в нижнем поясе ригеля и растянутых в верхнем поясе боковых сторон. Наличие стяжки затрудняет при расчете усилий непосредственное использование метода сечений. Определим по формуле Максвелла - Мора прогиб фермы под действием равномерной нагрузки, приложенной к узлам нижнего пояса: где - усилия от действия внешней нагрузки; - усилия от единичной вертикальной нагрузки, приложенной к сочленяющему узлу C; - длины стержней; - число стержней, включая три опорные стержня. Рис. 3. Распределение усилий в стержнях конструкции: n = 3, k = 2 [Figure 3. Force distribution in the construction rods: n = 3, k = 2] 2. Результаты Замечено, что при расчете прогиба вид результата для разного числа панелей не меняется: Вывод общих формул для коэффициентов в этом выражении производится в два этапа. Сначала фиксируется k = 1 и вводится зависимость коэффициентов от n при этом значении k. Затем данный вывод повторяется при k = 2,3,4,... ровно столько раз, сколько необходимо для получения закономерности по k. Особенность оператора rgf_findrecur пакета genfunc системы Maple состоит в том, что число членов анализируемой последовательности должно быть четным. При k = 1 коэффициенты образуют последовательность 51, 232, 703, 1704, 3555, 6656, 11487, 18608 ... . Оператор rgf_findrecur дает однородное рекуррентное уравнение, которому удовлетворяют члены последовательности: Оператор rsolve решает это уравнение: Аналогично при других значениях k имеем следующие выражения: Второй этап индукции - обобщение полученных выражений по k. Для этого используются те же операторы - rgf_findrecur и rsolve. В итоге имеем: Проверку этих зависимостей можно выполнить, поменяв порядок индукции: сначала по k, потом по n. На рис. 4 даны кривые найденного решения для безразмерного прогиба при фиксированной длине пролета L = 2a(n + k + 1) =100 м, заданной общей нагрузке и ограниченной сумме панелей k + n = 15. Последнее ограничение сделано для иллюстрации влияния выбора соотношения размеров ригеля и боковых сторон на жесткость сооружения. На рисунке видно, что при малых n и, следовательно, больших k прогиб очень мал или даже отрицательный. Такое соотношение n и k соответствует высоким аркам, а большие значения n - низким конструкциям с большим пролетом и большим прогибом. Если же просто увеличивать число панелей k в боковых частях арки, то прогиб монотонно уменьшается (рис. 5), причем тем быстрее, чем меньше высота панели h. Более того, при некотором значении k прогиб обращается в ноль и даже становится отрицательным. Это - следствие прямолинейности боковых сторон арки. Будь прогиб криволинейным с выпуклостью вверх, этого бы не произошло. Кривые зависимости прогиба от числа панелей имеют точки перегиба, но не имеют экстремальных точек. Отметим, что при выбранном значении пролета L = 100 м и n = 4 длина панели в случае прогиба, близкого к нулю, то есть при k = 11, равна a = 3,1 м, а при k = 44 (в районе самопересечения кривых) a = 1,0 м. Рис. 4. Зависимость прогиба от соотношений числа панелей: L = 100 м [Figure 4. Deflection dependence on the ratio of the number of panels: L = 100 m] Рис. 5. Зависимость прогиба от числа k панелей: n = 4 [Figure 5. Deflection dependence on the number of panels k: n = 4] Операторы системы Maple могут найти и асимптотические свойства решения, иллюстрирующие характер зависимостей в принятой постановке (фиксированная нагрузка и заданный пролет). Рост прогиба по числу k панелей имеет квадратичный характер c выпуклостью параболы вверх: Аналогичный порядок асимптотики имеет решения по числу n панелей в ригеле для произвольного параметра k: Заключение Предложена схема плоской модели статически определимой фермы арочного типа с дополнительным нижним поясом, выполняющим роль стяжки. Схема может быть рассчитана в аналитической форме. Решение для прогиба в зависимости от числа панелей достаточно компактно, а два независимых параметра n и k дают возможность использовать это решение для широкого класса ферм арочного типа. При решении была выбрана система Maple, однако это не принципиальный выбор. С не меньшим успехом для расчета усилий и прогиба в аналитической форме можно использовать и системы Mathematica, Maxima, Derive, Reduce и др. Трудности для некоторых систем возникают при составлении и решении рекуррентных уравнений, для которых не во всех системах имеются специальные операторы. В таких случаях можно использовать существующие онлайн-сервисы, например на базе Mathematica, или писать свои программы.

Об авторах

Михаил Николаевич Кирсанов

Национальный исследовательский университет «Московский энергетический институт»

Автор, ответственный за переписку.
Email: c216@ya.ru

доктор физико-математических наук, профессор, кафедра робототехники, мехатроники, динамики и прочности машин

Российская Федерация, 111250, Москва, ул. Красноказарменная, 14

Список литературы