Расчет строительных конструкций на несколько динамических воздействий со статическим учетом высших форм колебаний

Полный текст

Введение [1] Строительные конструкции под влиянием динамических воздействий, таких как землетрясение, удар копровой установки, работа двигателя стационарного оборудования, движение автотранспорта и прочее, совершают колебательные движения. Основным подходом к решению задач динамики является метод разложения в ряд по формам собственных колебаний [1-5]. Вопросам определения частот и форм собственных колебаний сложных строительных конструкций до сих пор уделяется значительное внимание [6-8]. Известно, что вклад первых слагаемых ряда, соответствующих низшим формам, в перемещения и внутренние усилия системы является основным, в то время как вклад высших форм, как правило, незначителен. Кроме того, учитывать большое число мод в расчете достаточно сложно, поскольку ресурсы вычислительной техники ограничены. Однако существует ряд случаев, когда возникает необходимость в учете высших форм, например при изучении работы конструкции при сейсмической нагрузке [9-14], где само динамическое воздействие носит сложный характер. Более того, в условиях разработки проектной документации на здание или сооружение при внесении изменений в расчетную схему и ее пересчете может потребоваться значительное количество времени и затрат ресурсов вычислительной техники. Поэтому важно иметь возможность выполнять расчет при небольшом числе учитываемых форм собственных колебаний, так чтобы получить достаточно точный результат. Это возможно в том случае, если получается определенным образом учесть вклад отброшенных мод. Вопросам учета вклада высших форм колебаний посвящено значительное количество работ. В работе [15] рассмотрены различные способы учета вклада высших форм колебаний в задачах сейсмостойкости при использовании линейно-спектрального метода. В работе [16] применительно к задачам сейсмостойкости сооружений автор предлагает приближенный метод оценки реакции системы по всем высокочастотным формам, объединяя их в одну глобальную форму. В статьях [17; 18] показано, что выделение квазистатических составляющих позволяет значительно ускорить сходимость ряда по собственным формам колебаний, что имеет важное значение при действии на сооружение сосредоточенных динамических воздействий. В работе [19] предложен способ учета вклада высших форм при анализе чувствительности форм колебаний к вариациям параметров системы. Подход к учету высших форм колебаний, изучаемый в данной работе, основан на так называемом методе статического учета высших мод колебаний. Первоначально этот метод был назван методом построения матрицы остаточных податливостей [20; 21]. Метод не реализован в существующих программных комплексах, что делает невозможным его использование в первоначальной форме без написания дополнительного программного кода. В дальнейшем этот метод под названием «метод статического учета высших форм колебаний» был независимо предложен в работах [22; 23] для решения задач определения собственных частот и форм колебаний. В работе [24] метод был распространен на задачи о вынужденных колебаниях при действии гармонической нагрузки, причем был разработан вариант метода, ориентированный на использование существующих программных комплексов. Метод предполагает решение задачи динамики способом разложения в ряд по формам собственных колебаний с небольшим числом учитываемых мод с последующим добавлением к этому решению статической поправки, которую можно получить при решении вспомогательной статической задачи в точной и приближенной постановках. В настоящей работе исследуется применение метода статического учета высших форм колебаний при действии на систему одновременно нескольких гармонических нагрузок с разными частотами. Подобная задача может представлять интерес при моделировании сейсмического воздействия в виде нескольких синусоидальных составляющих с экспоненциально убывающей амплитудой [12; 25; 26]. 1. Метод решения Уравнение движения системы при вынужденных колебаниях можно записать в виде (1) где - искомое перемещение; - плотность элементов системы; - внешняя динамическая нагрузка; - оператор статической задачи, зависящий от характера работы конструкции. Можно привести следующие примеры вида оператора статической задачи : a) - для задач растяжения - сжатия стержней; б) - для задач изгиба стержней; с) - для задач изгиба пластин. Пусть на систему действует внешняя гармоническая нагрузка , тогда для установившегося режима колебаний решение можно искать в виде и уравнение для определения амплитуды будет иметь вид (2) Решение уравнения (2) ищется в виде разложения по собственным формам колебаний: (3) где n - число учитываемых мод колебаний; - амплитудное значение k-той моды колебаний . Решение динамической задачи по формуле (3) подразумевает выбор такого числа учитываемых в расчете мод собственных колебаний системы, которое будет достаточно для нахождения искомого решения с необходимой точностью. Это число может быть значительным, что приведет к существенным затратам времени и ресурсов. Можно подойти к решению данной задачи другим способом: принять в формуле (3) небольшое число слагаемых , а остальную часть (высшие моды колебаний) учесть в расчете статически. Для этого необходимо рассмотреть решение вспомогательной статической задачи от действия статической силы . Точное статическое перемещение определяется при решении дифференциального уравнения равновесия: (4) Следующим шагом решается та же статическая задача, но с помощью метода разложения в ряд по формам собственных колебаний. Аналогично решению динамической задачи можно записать решение задачи (4) в виде (5) Получив решения и , можно найти искомое решение задачи (2) при учете небольшого числа мод собственных колебаний в следующем виде: (6) где - решение динамической задачи по формуле (3) при n = N; - точное решение статической задачи (4); - приближенное решение статической задачи по формуле (5). Разность является статическим вкладом высших мод колебаний. Как отмечалось выше, вспомогательная статическая задача должна решаться методом разложения в ряд по формам собственных колебаний. При выполнении расчетов на стандартных программных комплексах для этого выполняется решение динамической задачи с внешней нагрузкой в виде , где задается очень маленькое значение угловой частоты . При → 0 решение динамической задачи стремится к решению статической. 2. Результаты и обсуждение 2.1. Описание задачи Рассматривается пространственная рама, которая состоит из стержневых конечных элементов (рис. 1). Габаритные размеры расчетной схемы составляют 12×10×14 м, нижние узлы - жестко защемлены. В качестве материала принят бетон В25, размеры поперечных сечений элементов: 20×20, 35×40, 50×50 см2 (рис. 2). Для железобетонных конструкций принят коэффициент неупругого сопротивления материала . Первые собственные частоты системы приведены в табл. 1. На систему действует три внешние гармонические нагрузки, изменяющиеся во времени по закону . Их параметры приведены в табл. 2. Рис. 1. Схема пространственной рамы [Figure 1. Spatial frame scheme] Рис. 2. Жесткости элементов схемы [Figure 2. Stiffness of scheme elements] Таблица 1 Cобственные частоты колебаний [Table 1. Natural frequencies of the structure] Номер собственной формы [Number of the natural mode] Собственные частоты [Natural frequencies] Техническая частота, Гц [Technical frequency, Hz] Угловая частота, рад/с [Angular frequency, rad/sec] 1 1,71 10,73 2 1,81 11,40 3 2,31 14,52 4 3,80 23,82 8 5,98 37,58 15 10,41 65,43 25 15,24 95,81 Таблица 2 Параметры вынуждающих динамических нагрузок [Table 2. External harmonic loads] i Номер узла [Number of the node] Направление действия силы [Direction of force] Амплитуда силы (P0i), кН [Amplitude of force (P0i), kN] Вынуждающая частота (θi) [Driving frequency (θi)] Гц [Hz] рад/с [rad/sec] 1 15 по оси X 1000 2,1 13,19 2 24 по оси X 500 3,0 18,84 3 33 по оси Z 1500 5,0 31,40 Далее в работе приводятся перемещения узлов 2 и 25 по направлению Х, перемещение узла 33 по направлению Z, а также изгибающий момент относительно оси Y в элементе N57 (на рис. 1 выделен толстой линией). 2.2. Решение задачи методом статического учета высших мод колебаний Задача решалась с помощью программы SCAD Office 21.1.9.3. Результат расчета рамы на динамическую нагрузку от каждой силы по отдельности приведен в табл. 3. Таблица 3 Решение динамической задачи от каждой силы [Table 3. Dynamic frame calculation] Силы [Force] Число учитываемых форм колебаний [Number of modes] u2 - x, мм [mm] u25 - x, мм [mm] u33 - z, мм [mm] M57, кН⸱м [kN·m] Мах Min p1(t) 8 -56,184 146,524 0,810 -1331,74 -403,13 p2(t) 15 -21,821 182,744 5,435 -520,42 -156,35 p3(t) 25 4,492 -26,728 250,019 -636,13 428,88 Отметим, что рассматриваемая расчетная схема имеет 243 динамических степеней свободы, таким образом число учтенных в расчетах форм колебаний мало по сравнению с их полным количеством. Далее была точно решена вспомогательная статическая задача от статических сил, равных амплитудам вынуждающих нагрузок . Точные статические перемещения узлов 2, 25 и 33, а также изгибающий момент в элементе N57 приведены в табл. 4. Таблица 4 Точное решение статической задачи от каждой из внешних сил [Table 4. Exact solution of the static problem for each loads] Cилы [Force] u2 - x, мм [mm] u25 - x, мм [mm] u33 - z, мм [mm] M57, кН⸱м [kN·m] Мах Min P0_1 -39,220 -44,965 -1,588 -921,62 -291,56 P0_2 -11,058 -320,103 -6,504 -254,17 -85,52 P0_3 -1,843 -44,540 -156,728 237,57 -162,53 На следующем шаге вспомогательная статическая задача была решена динамическим методом при задании в программе очень малой частоты каждой вынуждающей силы, равной , причем амплитуда сил не менялась. При такой частоте решение динамической задачи практически совпадает с решением задачи статики с условием учета всех форм колебаний. Использование небольшого числа собственных форм позволит получить приближенное решение статической задачи. Результаты расчета при разном числе учитываемых мод приведены в табл. 5. Таблица 5 Решение вспомогательной статической задачи от каждой из внешних сил [Table 5. The solution of the auxiliary static problem by the dynamic method for each loads] Силы [Force] Число учитываемых форм колебаний [Number of modes] u2 - x, мм [mm] u25 - x, мм [mm] u33 - z, мм [mm] M57, кН⸱м [kN·m] Мах Min p1(t) N = 8 -42,704 -43,682 -2,117 -1010,52 -307,65 p2(t) N = 15 -9,872 -320,322 -6,559 -227,73 -76,71 p3(t) N = 25 -1,886 -44,474 -138,673 227,93 -158,15 В табл. 6 приводятся решения динамических задач от каждой силы по предлагаемому методу согласно формуле (6). Таблица 6 Результаты решения задачи методом статического учета высших мод колебаний для каждой силы [Table 6. The results of solving the problem by the method of static accounting of higher vibration forms for each load] Силы [Force] Число учитываемых форм колебаний [Number of modes] u2 - x, мм [mm] u25 - x, мм [mm] u33 - z, мм [mm] M57, кН⸱м [kN·m] Мах Min p1(t) N = 8 52,700 145,241 1,339 1242,84 387,04 p2(t) N = 15 23,007 182,963 5,490 546,86 165,16 p3(t) N = 25 4,535 26,794 231,964 626,49 424,50 В случае одновременного действия трех сил перемещения и моменты рассчитываются как сумма решений от каждой из сил в отдельности. Результаты приведены в табл. 7. Таблица 7 Результаты решения задачи методом статического учета высших мод колебаний от одновременного действия всех внешних сил [Table 7. The results of solving the problem by the method of static accounting of higher vibration forms from the simultaneous action of all external loads] Силы [Force] u2 - x, мм [mm] u25 - x, мм [mm] u33 - z, мм [mm] M57, кН⸱м [kN·m] Мах Min p1(t) + p2(t) + p3(t) 80,242 354,998 238,793 2416,19 976,70 Решение задачи прямым интегрированием уравнений движения. Для оценки точности предлагаемого подхода исходная задача о действии одновременно трех сил была решена в программном комплексе SCAD с помощью прямого интегрирования уравнений движения. Таким же методом были решены задачи о действии каждой силы по отдельности. Задачи решались на интервале времени от 0 до 10 с при шаге по времени 0,005 с. Таблица 8 Решение динамической задачи методом прямого интегрирования уравнений движения [Table 8. Solution of a dynamic problem by direct integration of the equations of motion] Силы [Force] u2 - x, мм [mm] u25 - x, мм [mm] u33 - z, мм [mm] M57, кН⸱м [kN·m] Мах Min p1(t) 52,579 146,646 1,335 1239,87 386,35 p2(t) 22,839 183,977 5,506 538,6 162,9 p3(t) 4,591 25,775 227,884 602,45 406,71 78,635 350,509 232,171 2366,08 932,89 В табл. 8 приведены результаты решения динамической задачи от каждой силы в отдельности и при их одновременном действии. Сравнение результатов решения предлагаемым методом и методом прямого интегрирования уравнений движения. В табл. 9 проводится сравнение результатов расчетов. Таблица 9 Сравнение результатов предлагаемого метода и метода прямого интегрирования уравнений движения [Table 9. Comparison of the results of the proposed method and the method of direct integration of the equations of motion] Силы [Force] Вид расчета [Calculation methods] u2 - x, мм [mm] u25 - x, мм [mm] u33 - z, мм [mm] M57, кН⸱м [kN·m] Max Min p1(t) (1) 52,700 145,241 1,339 1242,84 387,04 (2) 52,579 146,646 1,335 1239,87 386,35 ε (%) 0,23 0,96 0,30 0,24 0,18 p2(t) (1) 23,007 182,525 5,380 546,86 165,16 (2) 22,839 183,977 5,506 538,60 162,90 ε (%) 0,74 0,55 0,29 1,54 1,40 p3(t) (1) 4,449 26,794 268,074 645,77 433,26 (2) 4,591 25,775 227,884 602,45 406,71 ε (%) 1,22 3,95 1,79 3,99 4,37 (1) 80,242 354,998 238,793 2416,19 976,70 (2) 78,635 350,509 232,171 2366,08 932,89 ε (%) 2,04 1,28 2,85 2,12 4,70 Примечание: (1) - предлагаемый метод; (2) - метод прямого интегрирования уравнений движения; ε - относительная погрешность. Анализ результатов, приведенных в табл. 9, позволяет сделать следующие выводы: 1) погрешность предлагаемого метода при учете небольшого количества форм колебаний нигде не превосходит 5 %, то есть метод имеет достаточную для инженерных расчетов точность; 2) достаточно высокая точность результатов достигается как по перемещениям, так и по усилиям; 3) использованный в работе простой способ суммирования результатов от действия трех сил с разными частотами возможен, так как существуют моменты времени, в которые вклады от каждой силы одновременно достигают максимальных значений. Заключение В настоящей работе метод статического учета высших форм колебаний распространен на задачи динамики при действии на сооружение одновременно нескольких гармонических нагрузок с разными частотами. При этом используется такой вариант метода, который позволяет получать результаты с использованием существующих программных комплексов. Предлагаемый вариант метода с использованием стандартных программных комплексов требует решения двух динамических задач с малым числом мод и одной статической задачи, причем вспомогательная динамическая задача должна решаться с малой величиной частоты вынуждающей нагрузки. На численном примере показано, что предложенный метод дает достаточно высокую точность решения при учете небольшого количества собственных форм колебаний по сравнению с полным количеством динамических степеней свободы. Высокая точность решения получается не только по перемещениям, но и по усилиям. Установлено, что при одновременном действии трех гармонических динамических воздействий с разными частотами, результирующие искомые величины могут быть получены как сумма решений задачи от каждой из внешних сил в отдельности.

Об авторах

Владимир Владимирович Лалин

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого

Автор, ответственный за переписку.
Email: quangtrung1690@gmail.com

доктор технических наук, профессор, Инженерно-строительный институт

Российская Федерация, 195251 Санкт-Петербург, ул. Политехническая, 29

Ты Куанг Чунг Ле

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого

Email: quangtrung1690@gmail.com

аспирант, Инженерно-строительный институт

Российская Федерация, 195251 Санкт-Петербург, ул. Политехническая, 29

Список литературы