Сравнительный расчет оптимальных параметров швеллерных гнутых и гнутозамкнутых профилей

Полный текст

Введение 1 Гнутые и прокатные швеллеры относятся к сортовым и фасонным профилям стального проката, имеющим повышенный спрос в промышленно- гражданском строительстве. Швеллерный гнутый профиль по определению образован стенкой и двумя полками, расположенными по одну сторону от стенки под прямым углом (рис. 1, а) [45. С. 7]. Область его рационального применения заметно расширилась за счет легких стальных тонкостенных конструкций (ЛСТК) различных зданий и сооружений [1-3], где в качестве основного конструкционного материала используется тонколистовая оцинкованная сталь. В эту область входят каркасы стеновых и кровельных панелей, балки перекрытий и покрытий, надстройки и мансарды, стропила и стеллажи, ригели и витражи, рамно-стержневые и ферменные системы, а также другие несущие и ограждающие конструкции [4-13]. Швеллерный гнутозамкнутый профиль (ГЗП) отличается от гнутого швеллера составным сечением, в котором стенка и трубчатые полки сопряжены друг с другом посредством зубчатых замыканий продольных кромок и взаимного опирания в зоне контакта двух его листовых заготовок. Из них наружная по своему очертанию ничем не отличается от гнутого швеллера, а внутренняя в поперечном сечении имеет форму круглого полукольца диаметром, равным высоте стенки (рис. 1, б) [14]. Предлагаемое (новое) техническое решение гнутозамкнутого швеллера также относится к области строительства и может быть использовано в качестве стержневых и балочных элементов при разработке строительных конструкций. В частности, это могут быть стержневые элементы ферм покрытий, стеновые ригели или кровельные прогоны. а б в г д е ж и Рис. 1. Схемы швеллерных профилей: а - гнутого; б - гнутозамкнутого; в - гнутого с цилиндрическими впадинами; г - гнутого с продольными гофрами; д - гнутоклепаного с трубчатыми полками; е, ж, и - гнутосварного с трубчатыми полками [Figure 1. Scheme channel profiles: а - bent; б - bent closed; в - bent with cylindrical hollows; г - bent with longitudinal corrugations; д - bent riveted with tubular shelves; е, ж, и - bent welded with tubular shelves] К известному техническому решению можно отнести гнутый швеллерный профиль толщиной 0,8…3,5 мм, стенка которого сопряжена с полками посредством участков изгиба с радиусной внутренней поверхностью и внешней поверхностью с впадинами в форме цилиндров определенных размеров (рис. 1, в) [15]. Такие впадины способствуют росту местной (локальной) устойчивости тонкостенного профиля и, как следствие, увеличению его несущей способности. Однако их выполнение сопровождается дополнительными затратами, а при использовании сталей повышенной и высокой прочности может привести к образованию трещин. Другим техническим решением является гнутый профиль швеллерного типа из оцинкованной стали толщиной 0,5…1,0 мм, содержащий полки и гофрированную стенку с заданной величиной радиуса изгиба между ними. Профиль дополнительно содержит продольные гофры на полках и отбортовки по их кромкам определенных размеров (рис. 1, г) [16]. Гофрирование увеличивает ресурсы местной (локальной) устойчивости и формы тонкостенного сечения, несущая способность которого, однако, ограничена из-за незначительной толщины открытого (незамкнутого) профиля. Трубчатыми (замкнутыми) полками, имеющими в поперечном сечении форму прямоугольной трапеции, отличается техническое решение швеллерного гнутоклепаного профиля (рис. 1, д) [17]. Оно позволяет использовать тонколистовую оцинкованную сталь, но применение в нем заклепочных соединений вызывает дополнительные затраты. Наиболее близким к предлагаемому (принятым в качестве прототипа) является техническое решение в виде швеллерного гнутосварного профиля (ГСП), стенка которого сопряжена с трубчатыми полками полуплоскоовального или прямоугольного сечения определенных размеров (рис. 1, е, ж, и) [18; 19]. Параметры стенки и полок соразмерны толщине такого профиля и подобраны весьма рационально. При этом наличие в его составе двух сварных швов является ограничением минимальной толщины свариваемых элементов и препятствием для использования оцинкованной стали. Еще одно техническое решение (принятое за аналог) представляет собой ГЗП прямоугольного сечения со стыком по середине одной из длинных граней, где каждая часть состыкованной грани имеет продолжение в форме ребра. Листовая заготовка такого профиля выполнена по всей длине с зубчатыми продольными кромками, зубцы которых расположены относительно друг друга в шахматном порядке и взаимно загнуты в пазах между собой после замыкания гнутого профиля по ребру (рис. 2, а, б) [20]. Зубчатое замыкание формирует профиль без сварки, что позволяет применять оцинкованную тонколистовую сталь. Поперечное сечение аналога оптимизировано по критерию равноустойчивости, рациональной для стержневых элементов, оказывающих силовое сопротивление продольным нагрузкам, но требует определенной доработки для балочных элементов. Патентная экспертиза предлагаемого профиля выявила еще два технических решения, похожих на принятый аналог. Первое из них можно отнести к воздуховодам и вентиляционным системам, а второе - к профильным трубам повышенной тонкостенности. а б в г д е ж Рис. 2. Схемы гнутозамкнутых профилей (ГЗП): а, б - оптимизированных по критерию равноустойчивости; в, г - с креплением фальцевого типа; д, е, ж - из двух С-образных заготовок [Figure 2. Schemes of curved closed profiles (CCP): а, б - optimized by the criterion of equilibrium; в, г - with fastening seam type; д, е, ж - from two C-shaped blanks] Гнутозамкнутым креплением фальцевого типа отличается способ изготовления и соединения коробчатого элемента из тонколистовой заготовки, кромки которой отгибают, совмещают, разрезают и загибают в противоположные стороны по линии, соединяющей основания разрезов (рис. 2, в, г) [21]. Зубчатые крепления замкового типа использованы в способе изготовления замкнутого металлического профиля и технологическом комплексе для его осуществления из двух С-образных заготовок (рис. 2, д, е, ж) [22]. Для увеличения несущей способности стенки и полки С-образных заготовок усилены продольными гофрами, а зубчатые крепления после их замыкания остаются внутри замкнутого профиля. Сравнивая такой профиль с гнутозамкнутым швеллером, можно заметить, что несущая способность последнего обеспечена замкнутыми контурами его полок без продольных гофров, а зубчатые крепления более доступны и, как следствие, более технологичны. В приведенных технических решениях, исключая аналог, несущая способность профилей обеспечена из условия их силового сопротивления поперечным нагрузкам и воздействиям, свойственным балочным конструкциям. Этим профилям можно придать замкнутую, но достаточно компактную форму поперечного сечения с отношением габаритов по ширине и высоте 1/2, довольно устойчивую из плоскости и в плоскости несущей конструкции, что применимо и для таких стержневых элементов, как пояса ферм. Подобная проработка швеллерных ГЗП, включающая замыкания зубчатых креплений по конструктивно-компоновочному решению из аналога, может увеличить ресурсы несущей способности, а дополнительный расчет оптимальных параметров - повысить их основные характеристики. 1. Швеллерный ГЗП и его расчет Техническим результатом предлагаемого решения является достаточная местная (локальная) и общая устойчивость профилей из плоскости и в плоскости несущей конструкции, расширение области рационального применения, а также уменьшение дополнительных затрат. Указанный результат достигается тем, что в швеллерном ГЗП стенка и трубчатые полки сопряжены друг с другом посредством зубчатых замыканий продольных кромок и взаимного опирания в зоне контакта двух его листовых заготовок, где внутренняя грань стенки и полок в поперечном сечении имеет форму круглого полукольца диаметром, равным высоте стенки [14]. Швеллерный ГЗП обладает достаточно универсальным техническим решением, с реализацией которого для его изготовления можно использовать не только зубчатые замыкания, но и сварные, болтовые или заклепочные соединения. При изготовлении гнутозамкнутых профилей с зубчатыми замыканиями параметры зубцов продольных кромок их листовых заготовок целесообразно подобрать так, чтобы одним зигзагообразным резом формировать кромки сразу двух заготовок (рис. 3, а). Тогда издержки производства будут минимальными, что обеспечит уменьшение дополнительных затрат. Загибы зубчатых креплений ГЗП увеличивают толщину смятия, что может способствовать определенному росту несущей способности соединений тонкостенных элементов, работающих в основном на сдвиг [23-30]. Также они способствуют сохранению местной (локальной) устойчивости и формы сечения тонкостенных элементов до достижения предельного состояния, что позволяет рассчитывать не редуцированные сечения, а сечения нетто [31-36]. Кроме того, загибы зубчатых креплений, распределенные равномерно по всей длине швеллерного ГЗП, обеспечивают его монолитность в большей степени, чем зоны контакта с трением соединения фальцевого типа в прямоугольном профиле балки с креплениями торцов к зацепам, что позволило считать поперечное сечение балки монолитным [37-40]. а б Рис. 3. Аксонометрия листовых заготовок швеллерного ГЗП (а) и расчетная схема его поперечного сечения нетто (б) [Figure 3. Axonometry of the sheet blanks of channel CCP (а) and design diagram of its net cross section (б)] Для количественной оценки ресурсов несущей способности швеллерного ГЗП целесообразно расy I = tU 3 (0, 296114 + 3,14(0,36304 - 0, 29974)2 + 2 3 2 считать площадь A , а также моменты инерции его + 2×0, 29974 + 2(1 /12 +1(0,5 - 0, 29974) )) = сечения I x и I y относительно главных централь- = 0, 7352826tU 3. ных осей. Сечение такого профиля можно считать составной фигурой, включающей круглое полукольцо толщиной t и радиусом U , пару прямоуголь- Момент сопротивления расчетного сечения нетто швеллерного ГЗП в плоскости конструкции: ников размерами t ´U , а также прямоугольник раз- W = 2I / V = 2×4, 2366666tU 3 / (2U ) = мерами t ´V , где U - габарит ГЗП по ширине; V - x x = 4, 2366666tU 2 . габарит того же профиля по высоте, V = 2U (рис. 3, б). Расчетные выкладки при этом допустимо выполнять по средней линии тонкостенного сечения без учета его угловых закруглений и численных величин, содержащих значения толщины, возведенной во вторую и третью степени ( t 2 , t 3 ) [41]. Поперечное сечение внутренней грани швеллерного ГЗП представляет собой круглое полукольцо, к которому вполне применимы расчетные формулы, протестированные при оптимизации параметров полуплоскоовальных труб для ферменных и балочных конструкций [42]: 3 Если принять, что площадь сечения и толщина исходной заготовки являются постоянными величинами ( A = const , t = const ), а отношение габаритов по ширине и высоте в общем случае не является постоянным ( n = U / V ≠const ), то расчетные параметры швеллерного ГЗП при n = U /V = = 0,5 = 1/ 2 можно переписать следующим образом: U = A /(7,14t) = 0,140056A / t ; V = 0,280112A / t ; x0 = 0, 29974(0,140056A / t) = 0, 0419803A / t; x0,пк = 0, 36304U ; Ix,пк = 1, 57tU ; I = 4, 2366666tU 3 = I y,пк = 0, 2961146tU ; Aпк = 3,14tU , x = 4, 2366666t(0,140056A / t)3 = 3 2 где x0,пк , Ix,пк , I y,пк , Aпк - абсцисса центра тяже- = 0, 0116389 A / t ; сти, моменты инерции относительно осей x - x и I = 0, 7352826tU 3 = y - y , площадь сечения полукольца соответственно; U - ширина полки, равная радиусу полукольца по средней линии его сечения; t - толщина полукольца, равная толщине грани. Расчетная площадь сечения нетто швеллерного ГЗП складывается из расчетных площадей сечеy = 0, 7352826t(0,140056 A / t)3 = ; = 0, 0020199 A3 / t 2 ; x W = 2(0, 0116389A3 / t2 ) / (0, 280112A / t) = 2 ний нетто одного полукольца и трех прямоуголь- = 0, 0831017 A / t, ных участков стенки и полок: A = tU (3,14 + 2 + 2 ´1) = 7,14tU . Абсцисса центра тяжести сечения швеллерного ГЗП относительно средней линии его стенки составляет: x0 = (3,14tU ×0,36304U + 2tU ×0,5U) / (7,14tU) = = 0, 2997386U ≈0, 29974U. Моменты инерции расчетного сечения нетто швеллерного ГЗП относительно центральных осей: x I = tU 3 (1, 57 + 2, 03 / 12 + 2×1, 0×1, 02 ) = = 4, 2366666tU 3 ; где исходная заготовка подлежит зигзагообразному резу на две части (наружную и внутреннюю). Практическое значение имеет дальнейшее уточнение расчетных параметров с добавлением зубчатых креплений. Для этого в рассмотренном профиле необходимо подобрать размеры элементов зубчатого крепления (зубцов), которые должны быть не меньше 1/10 габаритного размера сечения [46]. В данном случае этот размер составляет 0,1U , где U - габарит гнутозамкнутого профиля по ширине. В расчетных выкладках параметр зубчатых креплений (размер зубцов) отразится 4-кратным образом, так как швеллерный ГЗП имеет составное сечение из двух листовых заготовок с продольными кромками зубчатой формы: Aбрутто = A + DA = 7,14tU + 2×2×0,1tU = 7,54tU; A / Aбрутто = 7,14 / 7, 54 = 0, 9469496≈0, 95, что не превышает ослабления редуцированных сечений стержневых и балочных элементов ЛСТК. 2. Пример реализации швеллерного ГЗП Пример реализации предлагаемого ГЗП можно A = 0,2(3,14 ´ 6,0 + 4 ´ 3,0) = 6,168 см2; x0 = (3,14×6, 0×0, 2(0,36304×6, 0) + + 2(3, 0×0, 2×7,5+ 3, 0×0, 2×9, 0) / 6,168 = = 4,5407924≈4,541 см; 3 Ix = 1, 57×0, 2×6, 0 + + 2(0, 2×3, 03 / 12 + 0, 2×3, 0×7, 52 + 3 2 привести, если в качестве базового объекта для сравнения в первом приближении принять такой + 3, 0×0, 2 / 12 + 0, 2×3, 0×6, 0 ) = 4 же по очертанию его внутренней грани и тонкостен- = 179, 4280 см (100%); ности профиль в виде полукруглого желоба с усиленными полками (рис. 4, а) [42]. Стенка такого профиля в сечении имеет форму круглого полукольца ( R = 60 мм, t = 2 мм) и сопряжена с полками, сечения которых представляют собой равнополочные уголки (∟ 30 ´ 30 ´ 2 мм). Расчетные параметры профиля базового объy I = 0, 2961146×0, 2×6, 03 + + 3,14×0, 2×6, 0(6, 0 - 4,541)2 + + 2(0, 2×3, 03 /12 + 0, 2×3, 0(7,5 - 4,541)2 + + 3, 0×0, 23 /12 + 0, 2×3, 0(9, 0 - 4,541)2 ) = 4 екта составляют: = 56, 083048 см (100%), n = U / V = (60 + 30) / (30 + 60 + 60 + 30) = = 90 / 180 = 0, 5 = 1 / 2; где эталонные (100-процентные) значения приняты для сопоставления с аналогичными величинами по предлагаемому техническому решению. а б Рис. 4. Схемы гнутых профилей: а - в виде полукруглого желоба; б - швеллерного типа [Figure 4. Schemes of bent profiles: а - in the form of a semicircular trough; б - channel type] Расчетные параметры швеллерного ГЗП, альтернативного профилю базового объекта, составляют: Aбрутто = 7,54×0, 09×9, 0 = = 6,1074 см2 (99,02 %); t = Aбрутто / (7, 54U ) = 6,168 / (7, 54×9, 0) = A = 0, 95Aбрутто = 0,95×6,1074 = = 0, 090893≈0, 09 см; = 5,89203 см2 (94,07 %); x I = 4, 2366666×0, 09×9, 03 = = 277, 96769 см4 (154,9 %); y I = 0, 7352826×0, 09×9, 03 = лены в одну сторону, и двумя полками, направленными наружу профиля [45. С. 8]. Тем не менее, вполне очевидно, что швеллерный ГЗП по предлагаемому техническому решению достаточно перспективен для дальнейшей проработки и оптимизации. Поэтому пример его реализации = 48, 241891 см4 (86,02 %). Сравнительный расчет показывает, что замена профиля базового объекта на швеллерный ГЗП сопровождается при прочих равных условиях уменьшением расхода конструкционного материала, увеможно продолжить, если в качестве базового объекта для сравнения во втором приближении выбрать профили повышенной жесткости марок ПГС100Ш (профили гнутые стальные, номинальной высоты 100 мм, швеллерного типа) с отношением габаритличением геометрических (статических) характеристик в силовой плоскости несущей конструкных размеров ширины и высоты = 0, 4803921 = 1/ 2, 0816326≈1/ 2 n = V /U = 49 /102 = (рис. 4, б) [47]. ции и сокращением таких характеристик из плоскости. Выявленное сокращение можно объяснить тем, что полукруглый желоб с усиленными полками представляет собой профиль не столько швел- Расчетные выкладки более наглядны в табличной форме (табл. 1), где за эталонные (100-процентные) значения приняты параметры гнутых профилей, а выбранные толщины ГЗП ( t = 0,40 мм, лерного, сколько корытного типа. Корытный проt = 0,45 мм и t = 0,50 мм) отвечают требованифиль образован, согласно определению, тремя стенками, две из которых одинакового размера направям [48], что снижает дополнительные затраты до минимума. Расчетные параметры гнутых и гнутозамкнутых профилей [Table 1. Design parameters of bent and curved closed profiles] Таблица 1 Профили [Profiles] ПГС100Ш t = 0,8 мм [mm] ГЗП [CCP] 100×50 t = 0,4 мм [mm] ПГС100Ш t = 0,9 мм [mm] ГЗП [CCP] 100×50 t = 0,45 мм [mm] ПГС100Ш t = 1,0 мм [mm] ГЗП [CCP] 100×50 t = 0,50 мм [mm] A, см2 [sm2] 1,33 1,433 1,52 1,612 1,72 1,791 % 100 107,7 100 106,1 100 104,1 Aбрутто, см2 [sm2] 1,60 1,508 1,80 1,697 2,0 1,885 % 100 94,25 100 94,28 100 94,25 A/Àбрутто 0,83 0,95 0,84 0,95 0,86 0,95 Ix, см4 [sm4] 20,0 21,183 22,5 23,831 25,0 26,479 % 100 105,9 100 105,9 100 105,9 Iy, см4 [sm4] 3,54 3,676 3,98 4,136 4,44 4,596 % 100 103,8 100 103,9 100 103,5 Wx, см3 [sm3] 3,08 4,236 3,46 4,766 3,85 5,296 % 100 137,5 100 137,7 100 137,6 Как видно, расчетный переход от гнутых профилей швеллерного типа к швеллерным ГЗП при прочих равных условиях сопровождается, с одной стороны, уменьшением расхода конструкционного материала, а с другой стороны - увеличением геометрических (статических) характеристик как из плоскости конструкции, так и в ее плоскости, что можно признать достаточно корректным обоснованием перспективности предлагаемого профиля для его дальнейшей оптимизации и применения в несущих конструкциях зданий и сооружений. Характеристики сечений [Cross section characteristics] 3. Оптимизация швеллерного ГЗП на изгиб Все приведенные выше расчетные выкладки относятся к швеллерным ГЗП со строго фиксированными параметрами, включая отношение габаритных размеров ширины и высоты, равное 1/2 (рис. 5). При увеличении значений этого отношения можно заметить некоторые подвижки в контуре профилей, когда их наружные грани меняют свои швеллерные очертания на П-образные, а внутренние грани - полукольцевые - на U-образные. В таком случае для продолжения оптимизационного расчета швеллерных ГЗП более предпочтительны те из них, у которых отношения габаритных размеров по ширине и высоте не превышают 1/2. Тогда увеличивается внешнее сходство швеллерных ГЗП с гнутыми и прокатными швеллерами, а приведенная методика приближенного расчета тонкостенного сечения по его средней линии не нуждается в корректировке. а б в Рис. 5. Схемы швеллерных ГЗП: а - при n = U / V = 1/ 2 ; б - при n = U / V > 1/ 2 ; в - при n = U /V < 1/ 2 [Figure 5. Schemes of channel hot water supply: а - with n = U /V = 1/ 2 ; б - with n = U / V > 1/ 2 ; в - with n = U /V < 1/ 2 ] Сечение швеллерного ГЗП при n = U /V < 1/ 2 сительно оси x - x , момент инерции сечения отможно считать составной фигурой из пары замкнуносительно оси y - y , площадь сечения половитых (полых) частей треугольного очертания и вертикального прямоугольника между ними. В свою очередь каждая из замкнутых частей в отдельности также представима составной фигурой из половины круглого полукольца ( R = U ) и горизонтального прямоугольника ( t ´U ). Замкнутые части соединены по вертикали разновысокими прямоны полукольца и радиус половины полукольца по ее средней линии соответственно. Расчетная площадь сечения нетто швеллерного ГЗП складывается из расчетных площадей сечений нетто двух половин полуколец и трех прямоугольных участков стенки и полок: угольниками (рис. 6, а): t ´V = tU / n = tU ((1 / n) - 2)) . и t ×(V - 2U ) = A = tU (2×1, 57 + (1 / n) + + 2×1+ (1 / n) - 2) = tU (2 / n + 3,14). За составную часть в виде половины полукольца можно принять фрагмент тонкостенного коль- Абсцисса центра тяжести сечения швеллерца с угловым параметром (рис. 6, б) [44]: a = 45° = p / 4 = 0, 785 ного ГЗП относительно средней линии его стенки составляет Aппк = 2atR = 2×0, 785tR = 1, 57tR ; y0,ппк = R sin a / a = R×0, 7071 / 0, 785 = = 0, 9008R; x0 = U (2×1, 57×0, 36304 + + 2×1×0, 5) / (2 / n + 3,14) = = 2,13982U / (2 / n + 3,14). Ix,ппк I y ,ппк = (2a + sin a - 4 sin2 a / a)tR3 / 2 = = (2×0, 785 +1- 4× × 0, 70712 / 0 / 785)tR3 / 2 = = 0, 011115tR3 ; = (2a - sin 2a)tR3 / 2 = = (2×0, 785 -1)tR3 / 2 = 0, 2850tR3 , Моменты инерции расчетного сечения нетто швеллерного ГЗП относительно центральных осей: x I = tU 3 ((1 / n)3 / 12 + 2×1×(0, 5 / n)2 + + 2(0, 011115×0, 5 + 0, 2850×0, 5 + +1, 57(0, 5 / n - 0, 36304)2 ) - 2× ×1(0, 5 / n - 0, 5)2 - 2×13 / 12) = 3 3 2 где y0,ппк , Iх,ппк , I y,ппк , Aппк , R - ордината центра = tU (0,1666666 / n + 0, 785 / n - тяжести сечения, момент инерции сечения отно- - 0,13982 / n + 0, 043203); y I = tU 3 (2(1/ n -1)(2,13982 / (2 / n + + 3,14))2 + 2×13 / 12 + 2(0,5 - Момент сопротивления расчетного сечения нетто швеллерного ГЗП в плоскости конструкции: 3 3 - 2,13982 / (2 / n + 3,14))2 + Wx = 2Ix / V = 2tU 2 (0,1666666 / n + + (0, 2850×0,5 +1,57× + 0, 785 / n - 0,13982 / n + ×2(0,36304 - 2,13982 / (2 / n + + 3,14))2 ) = tU 3 (5, 506145 / n2 + + 8,131636 / n - 0,8054282) / (2 / n + 3,14)2 . + 0, 043203) / (U / n) = = tU 2 (0, 3333332 / n2 + +1, 57 / n - 0, 27964 + 0, 086406n). б а в Рис. 6. Расчетные схемы сечения швеллерного ГЗП (а) и его составных частей (б, в) [Figure 6. The design scheme of the cross section of the channel CCP (a) and its components (б, в)] Если в полученные формулы подставить Чтобы найти экстремальное значение момента n = U /V = 1/ 2 = 0,5 , то итоги численных выкласопротивления Wx , его выражение необходимо док совпадут с уже найденными значениями, что продифференцировать по переменной n и, приусловно можно принять за положительный тест. В качестве критерия оптимизации для продолравняв к нулю производную ( dWx / dn = 0 ), пожения расчета швеллерного ГЗП целесообразно использовать максимум момента сопротивления его сечения в силовой плоскости несущей конструкции, который обеспечивает наибольший запас прочности при изгибе: лучить уравнение четвертой степени 0,8519285n4 + 2,1705186n3 - -17, 954978n2 + 2, 093335 = 0 с корнями x W = ( A2 / t)(0, 3333332 / n2 + +1, 57 / n - 0, 27964 + + 0, 086406n) / (4 / n2 + +12, 56 / n + 9,8596), n1 = -5,8407069 ; n2 = -0,6369427 ; n3 = 0,1759477 ; n4 = 3,7539311. Из найденных корней практический интерес представляет третий, значение которого можно округгде U 2 = ( A2 / t 2 ) /(2 / n + 3,14) 2 , A = const , t = const . лить до n = 0,1759477 = 1/ 5,683507 » 1/ 5,68 . Тогда расчетные параметры оптимизированного профиля составят: A = tU(2 / n + 3,14) = tU(2 / 0,1759477+ 3,14) = = 14,507014tU; U = 0,0689321A / t ; V = 0,3911776A / t ; x0 = 2,13982U / (2 / n + 3,14) = = 2,13982(0, 0689321A / t) / 14, 507014 = ; = 0, 0101676 A / t; x I = tU 3 (0,1666666 / n3 + 0, 785 / n2 - - 0,13982 / n + 0, 043203) = = tU 3 (0,1666666 / 0,17594773 + + 0, 758 / 0,17594772 - - 0,13982 / 0,1759477 + 0, 043203) = = 55, 204988tU 3 = = 55, 204988t(0, 0689321A / t)3 = = 0, 0180818A3 / t 2 ; y I = tU3 (5,506145 / n2 +8,131636 / n + + 0,8054282) / (2 / n + 3,14)2 = = tU3 (5,506145 / 0,17594772 + +8,131636 / 0,1759477 - - 0,8054282) /14,5070142 = 1,0609075tU3 = Aбрутто = A + DA = 14, 507014tU + + 2×2×0,1tU = 14, 907014tU ; A / Aбрутто = 14, 507014 / 14, 907014 = = 0, 9731669≈0, 97. 4. Оптимизация гнутого швеллера на изгиб Для более корректного сравнения оптимальных параметров швеллерного ГЗП и гнутого швеллера необходимо гнутый профиль оптимизировать на изгиб, применив в качестве критерия оптимизации максимум момента сопротивления его сечения в силовой плоскости несущей конструкции. В таком случае вполне допустимо воспользоваться расчетной схемой поперечного сечения нетто ГЗП, исключив из него закругления внутренней грани (рис. 6, а). Расчетная площадь сечения гнутого швеллера складывается из расчетных площадей сечений трех прямоугольных участков стенки и полок: A = tU (2 + 1/ n) . Абсцисса центра тяжести сечения гнутого швеллера относительно средней линии его стенки составляет: x0 = U (2 +1 / n -1-1 / n) / (2 +1 / n) = = U / (2 +1 / n). Моменты инерции расчетного сечения гнутого швеллера относительно центральных осей: 3 3 2 = 1,0609075t(0,0689321A / t)3 = Ix = tU = tU ((1 / n) / 12 + 2×1(0, 5 / n) ) = ; 3 (0, 0833333 / n + 0, 5) / n2 ; = 0,0003474A3 / t2 ; Wx = Wx,max = = 2(0, 0180818A3 / t2 ) / (0,3911776A / t) = = 0, 092448A2 / t. Сравнивая расчетные параметры швеллерного ГЗП, полученные до и после оптимизации, можно y I = tU 3 (2(13 /12 +1(0,5 -1/ (2 +1/ n))2 )+ +1/ n(1/ (2 +1/ n))2 ) = tU 3 (0, 6666666 / n2 + +1, 6666666 / n + 0, 6666666) / (2 +1/ n)2. Момент сопротивления расчетного сечения гнутого швеллера в плоскости конструкции: Wx = 2Ix / V = 2nIx / U = убедиться в ее эффективности, поскольку с увеличением габарита по высоте в 0, 3911776 / 0, 280112 = = tU . 2 (0,1666666 / n +1) / n. = 1, 4 раза момент инерции сечения в плоскости кон- Полученные формулы целесообразно протестиструкции возрос в 0,0180818 / 0,0116389 = 1,6 раза, ровать с использованием расчетных параметров саа момент сопротивления - в 0, 092448 / 0, 0831017 = = 1,1 раза. К выявленной эффективности оптимизации швеллерного ГЗП на изгиб следует добавить снижение ослабления расчетного сечения нетто, что является следствием сужения оптимизированного профиля по ширине: мых крупнокалиберных гнутых швеллеров из стандартных сортаментов отечественных и зарубежных изготовителей стальных профилей. Как видно из основных результатов тестирования (табл. 2), расчет гнутых швеллеров по приближенной методике достаточно корректен для практического использования в вариантном проектировании и решении оптимизационных задач. Обоснование [Rationale] Характеристики сечений [Cross section characteristics] чение, мм -section, mm] 400×100×2 400×100×3 400×100×4 400×100×2 400×100×3 400×100×4 400×100×2 400×100×3 400×100×4 A, см2 [cm2] 11,92 17,82 23,68 11,83 17,68 23,4 11,85 17,66 23,4 % 100 100 100 99,24 99,21 98,82 99,41 99,10 98,82 x0, см [cm] 1,644 1,633 1,622 1,66 1,65 1,64 1,80 1,80 1,80 % 100 100 100 101,0 101,04 101,1 109,8 110,2 111,0 Ix, см4 [cm4] 2618,9 3892,9 5143,6 2584,5 3836,40 5034,2 2591,1 3830,5 5033,0 % 100 100 100 98,69 98,55 97,88 98,94 98,40 97,85 Iy, см4 [cm4] 97,138 143,59 188,66 96,91 143,26 188,03 96,96 143,2 188,1 % 100 100 100 99,77 99,77 99,66 99,82 99,73 99,70 Wx, см3 [cm3] 130,95 194,65 257,18 129,87 193,27 254,56 129,6 191,5 251,65 % 100 100 100 99,17 99,29 98,98 98,99 98,38 97,85 Се [Cross Расчетные параметры швеллерных гнутых профилей [Table 2. Design parameters of channel bent profiles] По расчету [According to the calculation] ТУ 112000-001-12586100-2009 [49] Таблица 2 Украинский стандарт [50] [Ukrainian standard [50]] Если принять, что площадь сечения и толщина листовой заготовки являются постоянными няв к нулю производную ( dWx / dn = 0 ), получить уравнение второй степени величинами ( A = const , t = const ), а отношение габаритов по ширине и высоте в общем случае не является постоянным ( n = U / V ≠const ), то протестированные формулы гнутого швеллера можно переписать следующим образом: U = ( A / t) /(2 + 1/ n) ; V = ( A / t) /(1 + 2n) ; x0 = (( A / t) / (2 +1/ n)) / (2 +1 / n) = = ( A / t) / (2 +1/ n)2 ; n2 + 0,3333332n - 0,0833334 = 0 с корнями n1 = -0,5 ; n2 = 0,1666666 . Из найденных корней практический интерес представляет второй, значение которого можно округлить до n = 0,1666666 » 1/ 6,0 . Тогда расчетные параметры оптимизированного профиля составят: x I = tU3(0,0833333/ n+0,5)/ n2 = = t((A/ t) / (2+1/ n))3(0,0833333/ n+0,5)/ n2 = = (A3 / t2 )(0,0833333/ n+0,5)/ (n2 (2+1/ n)3); U = ( A / t) /(2 + 6) = 0,125A / t ; V = ( A / t) /(1 + 2 / 6) = 0,75A / t ; 2 y I = tU 3 (0, 6666666 / n2 + x0 = ( A / t) /(2 + 6) = 0,015625A / t ; +1, 6666666 / n + 0, 6666666) / (2 +1/ n)2 = = t(( A / t) / (2 +1/ n))3 (0, 6666666 / n2 + x I = ( A3 / t2 )(2 + 6)3 (0, 0833333×6 + 0,5)62 = = 0, 0703125A3 / t; +1, 6666666 / n + 0, 6666666) / (2 +1/ n)2 = I ( A3 /t2 )(0, 6666666 / n2 1, 6666666 / n = ( A3 /t2 )(0, 6666666 / n2 + +1, 6666666 / n + 0, 6666666) / (2 +1/ n)5 ; W = tU 2 (0,1666666 / n +1) / n = x = t((A / t) / (2 +1/ n))2 (0,1666666 / n +1) / n = = (A2 / t)(0,1666666 / n +1) / (n(2+1/ n)2 ). Чтобы найти экстремальное значение момента сопротивления Wx , его выражение необходимо продифференцировать по переменной n и, приравy = + + + 0, 6666666) / (2 +1/ n)5 = = ( A3 / t2 )(0, 6666666×62 +1, 6666666× ×6 + 0, 6666666) / (2 + 6)5 = = 0, 0018807 A3 / t2 ; Wx = Wx,max = = 2(0, 0703125A3 / t 2 ) / (0, 75A / t) = = 0,1875A2 / t. Из сравнения расчетных параметров гнутого швеллера, полученных до и после оптимизации, ее эффективность очевидна, так как с увеличением габарита по высоте в 0,75 / 0,5 = 1,5 раза момент инерции сечения в плоскости конструкции возрос W = 21,154761t U 2 = x,ГЗП ГЗП [ = 11,178207tU 3 (93,15 %). При n = U /V = 1/ 5,68 : в 0,0703125/ 0,0416666 = 1,7 раза, а момент со- - для швеллерного ГЗП противления - в 0,1875 / 0,1666666 = 1,1 раза, где A = 14, 507014tГЗПU ; V = 0,5A/t ; x x I = 0,0416666A3 / t 2 ; W = 0,1666666A2 / t при n = U /V = 0,5 = 1/ 2 . Здесь также можно заметить, что в швеллерном ГЗП аналогичная эффективность достижима в результате меньшего увеличения габарита по высоте, а в случае одинакового роста высотного параметра он более предx,ГЗП ГЗП I = 55, 204988t U 3 (100 %); y,ГЗП ГЗП I = 1, 0609075t U 3 (100 %); 2 ( ) почтителен. Заключение Wx,ГЗП = 19, 438375tГЗПU - для гнутого швеллера 100 % ; Отношения габаритных размеров по средним линиям расчетных сечений гнутого швеллера и швеллерного ГЗП, оптимизированных на изгиб, разнятся между собой на 100(6 - 5, 68) / (6...5, 68) = = 5, 3...5, 6 % . Поэтому для сравнительного анализа оптимальных параметров, когда моменты сопротивления их сечений максимальны, представляется целесообразным рассмотрение в первом приближении двух расчетных случаев. Для одного из них оба сопоставимых профиля имеют отношение n = U /V = 1/ 6 (рис. 7, а), а для другого - n = U /V = 1/ 5,68 (рис. 7, б). A = 7,683507t[U ; t[ = 1,8880719tГЗП ; x,[ [ I = 31, 450293t U 3 = ГЗП = 59, 380414t U 3 (107, 6 %); I = 0, 5365177t U 3 = y,[ [ ГЗП = 1, 0129839t U 3 (95, 48 %); x,[ [ W = 11, 067213t U 2 = ГЗП = 20,895693t U 3 (107, 5 %). При n = U /V = 1/ 6 : - для гнутого швеллера 3 A = 8t[U ; I x,[ = 36,0t[U 3 (100%); Как видно по результатам первого приближения, при одинаковых значениях расчетной площади сечения без учета ее ослаблений в силовой плоскости несущей конструкции более предпочтительны гнутые швеллеры, а из плоскости - швеллерные ГЗП. I y,[ = 0,4074073t[U 2 ( ) (100%); Продолжить сравнительный анализ во втором приближении можно, если полученные результаты уточнить с использованием ослаблений сече- Wx,[ = 12, 0t[U 100% ; ний, выявленных в приведенных расчетных вы- - для швеллерного ГЗП кладках: A / Абрутто = 0,86 для гнутых швеллеров и A = 15,14tГЗПU ; tГЗП = 8t[ / 15,14 = 0, 5284015t[ ; A / Абрутто = 0,95 для швеллерных ГЗП. При n = U /V = 1/ 6 : - для гнутого швеллера 3 ( ) x,ГЗП ГЗП I = 63, 464283t U 3 = Ix,[ = 31,32t[U 100 % ; [ = 33, 534622tU 3 (93,15 %); I y ,[ = 0,3544443t[U 3 (100 %); I = 1, 0741035t U 3 = Wx,[ = 10, 44t[U 2 (100 %); y ,ГЗП ГЗП = 0, 5675579tU 3 (139, 3 %); - для швеллерного ГЗП 3 ( ) [ I x,ГЗП = 31,8579t[U 101, 7 % ; I y ,ГЗП = 0,53918t[U 3 (152,1 %); Wx,[ = 18,1793tГЗПU 3 (98, 44 %). Wx,ГЗП = 10, 6193t[U 3 (101, 7 %). Из итогов второго приближения следует, что при тех же значениях расчетной площади, но уже При n = U /V = 1/ 5,68 : - для швеллерного ГЗП 3 ( ) с учетом ее ослаблений в силовой плоскости несущей конструкции, а также из этой плоскости более предпочтительны швеллерные ГЗП. Здесь следует добавить, что с приближением к оптимальным Ix,ГЗП = 52, 4447tГЗПU 100 % ; 3 ( ) параметрам n = U /V = 1/ 6...1/ 5,68 ослабления I y ,ГЗП = 1, 007862tГЗПU 100 % ; расчетной площади сечения гнутых швеллеров из-за Wx,ГЗП = 18, 4668tГЗПU 2 (100 %); ее редуцирования увеличиваются еще больше, в то время как ослабления расчетной площади нетто - для гнутого швеллера швеллерных ГЗП уменьшаются. Так, применительно к гнутым швеллерам сечением 250×50×1,5…2,0 мм Ix,[ = 51, 66098tГЗПU 3 (98,51 %); ( n = U /V = 1/ 5 ) A / Абрутто = 0,389...0,503 . Поэтому I y ,[ = 0,881296tГЗПU 3 (87, 44 %); предпочтение швеллерных ГЗП становится еще более обоснованным. а б в Рис. 7. Сравнительные схемы оптимизированных профилей (а, б) и графики изменений расчетных параметров гнутых швеллеров (сплошные линии) и швеллерных ГЗП (пунктирные линии) в зависимости от роста отношения их габаритных размеров (в) [Figure 7. Comparative schemes of optimized profiles (а, б) and graphs of changes in the design parameters of bent channels (solid lines) and channel water distribution channels (dashed lines) in depending on the growth ratio of their overall dimensions (в)] Расчетные параметры гнутых швеллеров и швеллерных ГЗП по новому техническому решению, а также основные результаты их оптимизации более наглядны на графиках в зависимости от отношения габаритных размеров ширины и высоты (рис. 7, в). На приведенных графиках обозначения с единицей в индексе относятся к параметрам гнутых швеллеров, имеющих одиночные стенки и такие же полки, а обозначения с двойкой в индексе - к параметрам швеллерных ГЗП, отличающихся двойными стенками и трубчатыми полками. При этом в единицах измерений по оси ординат использованы обозначения площади сечения и толщина листовой заготовки гнутых швеллеров, которая условно принята исходной заготовкой и для швеллерных ГЗП ( A = const , t = const ). Итоговые графики позволяют сделать некоторые выводы и обобщения. 1. Швеллерные гнутые профили с одиночной стенкой и двумя такими же полками характеризуются сравнительно узким, но высоким поперечным сечением с максимальным моментом сопротивления, когда отношение габаритных размеров ширины и высоты по средней линии расчетного сечения составляет 1/6. 2. Швеллерные ГЗП с двойной стенкой и двумя трубчатыми полками имеют более компактное поперечное сечение, момент сопротивления которого максимален при отношении габаритных размеров ширины и высоты, равном 1/5,68 по средней линии расчетного сечения. 3. Когда отношение габаритных размеров ширины и высоты швеллерного ГЗП составляет 1/2 по средней линии расчетного сечения, внутренняя грань его стенки и полок имеет в разрезе форму круглого полукольца. Расчетные параметры такого профиля обладают фиксированными значениями, при которых его ширина равна радиусу, а высота - диаметру полукольцевой грани. Если развивать профиль в ширину при постоянной высоте, равной диаметру, то его наружная грань изменит швеллерное очертание на П-образное, а внутренняя грань - полукольцевое на U-образное. В случае развития профиля по высоте при постоянной ширине, равной радиусу, увеличивается его сходство с гнутыми и прокатными швеллерами. 4. Швеллерные ГЗП по новому техническому решению достаточно эффективны для использования в несущих конструкциях зданий и сооружений. В частности, прослеживается определенная перспективность их дальнейших проработок применительно к балкам с гофрированными и перфорированными стенками.

Об авторах

Александр Суренович Марутян

Институт сервиса, туризма и дизайна (филиал Северо-Кавказского федерального университета) в г. Пятигорске

Автор, ответственный за переписку.
Email: al_marut@mail.ru

кандидат технических наук, доцент, старший научный сотрудник отдела организации проектно-грантовой деятельности, преподаватель колледжа

Российская Федерация, 357500, Пятигорск, пр-кт 40 лет Октября, 56

Список литературы