Эффективные модули двухфазных строительных композитов с зернистым заполнителем

Полный текст

Введение 1 Интенсивное развитие строительных композиционных материалов (СКМ) стимулирует их тео- ретическое исследование. При этом развивается и углубляется теория СКМ, направленная на рост числа прикладных задач механики композитов [2-4; 6-17, ]. В данном исследовании решается одна из таких задач. В механике СКМ модель представительного объема (модель ПО) для зернистого композита достаточно часто имеет вид двухфазной модели, в которой в матрицу (толстостенную сферу) включен шарообразный заполнитель (рис. 1). Материал каждой из фаз представлен упругим твердым телом (сплошным однородным и изотропным). e = Eм = 3K , g = Eм = 2G , (3) м 2R 2a м 1- 2n м м м 1+n м Рис. 1. Диаметральное сечение модели ПО зернистого композита [Figure 1. The diametrical section of the model software granular composite] Под действием равномерного наружного давления q модель ПО деформируется, в результате чего в точках раздела фаз возникает контактное давление p. Равновесное состояние такой неоднородной гетерогенной модели ПО (рис. 1) можно описать совокупностью однородных моделей, составленной из трех расчетных схем (рис. 2). где Eм и νм - модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала матрицы соответственно; Kм - объемный модуль; Gм - модуль сдвига матрицы; eм - шаровой модуль объемных деформаций; gм - девиаторный модуль сдвига матрицы; ηм - отношение модулей матрицы; Kз и eз - объемный и шаровой модули материала заполнителя соответственно; θ - отношение объемных модулей материалов матрицы и заполнителя. Если теперь с учетом (1) приравняем радиальные перемещения в наружных точках эффективной модели (рис. 2, а) и модели матрицы (рис. 2, б), то в результате получим (снова без выкладок) формулу для вычисления величины безразмерного эффективного модуля двухфазного композита: k = K = Kм (1+ 2ηм w)+ 2ηмθV V + θ(2ηм + w) , (4) Рис. 2. Расчетные схемы модели ПО, представленные: а - эффективной однородной моделью (сплошной шар); б - моделью однородной матрицы (пустотелый шар); где k - объемный модуль композита (K), выраженный в долях от модуля матрицы (Kм). При этом обратная формула для вычисления эффективного объемного модуля K примет вид в - моделью однородного заполнителя (сплошной шар) = = (1+ 2ηм w) + 2ηмθV (5) [Figure 2. The design schemes of the software model, presented: а - effective homogeneous model (solid ball); б - a model of a homogeneous matrix (hollow ball); K Kм k Kм V + θ(2ηм . · w) в - a model of a homogeneous filler (solid ball)] Контактное давление p можно найти из условия равенства радиальных перемещений в смеж- Ранее в работе Р.М. Кристенсена [17] была получена формула, аналогичная формуле (5), которая в наших обозначениях имеет вид ных точках матрицы и заполнителя (рис. 2, б и в). Такая задача решается в элементарных алгебраи- K - Kм Kз - Kм = w . (6) 1+ (1- w)(Kз - Kм ) ческих выражениях, если воспользоваться применительно к матрице (рис. 2, б) решением задачи Ламе для толстостенной сферы [1; 18]. Не приводя выкладок, в результате получим следующее выражение: K + 4 G м 3 м В такой форме Кристенсеном с учетом парадигмы Хашина [19] получена формула для вычисления величины объемного модуля упругости (K) в полидисперсных композитах со сферическим p = q 1+ 2ηм (1+ 2ηм w)+ 2ηмθV , (1) включением (заполнителем). Простые преобразования формулы (6) с учетом обозначений (1) - (3) приводят нас снова к формулам (4) и (5). Следогде w - объемная доля материала заполнителя, w = a3/R3 (рис. 1); V - объемная доля материала матрицы, V = 1-w. Кроме того, в формуле (1) приняты обозначения, использованные авторами работ [5] и [18]: вательно, формулы (4), (5) и (6) идентичны друг другу. Способ получения формулы (4) посредством использования решения задачи Ламе менее трудоемок, так как требует выполнения только элементарных алгебраических преобразований. Крим η = gм = 1- 2n м = 2Gм , θ = eм = Kм , (2) стенсен же получил формулу (6) более сложным образом, непосредственно используя уравнения лиeм 1+n м 3Kм eз Kз нейной теории упругости. 1. Расчетные формулы эффективного модуля (k) композитов В формулах (4) - (6) зафиксирован факт того, что материал моделей на расчетных схемах, имеющих форму шара (рис. 2, а и в), представлен только одной упругой константой (модулем K или Kз), а материал матрицы, имеющей форму толстостенной сферы (рис. 2, б) - двумя константами (модулями Kм и Gм). Этот факт с точки зрения упругих свойств служит признаком особенностей определения эффективного модуля K, присущих только двухфазным композитам, в отличие от эффективного модуля других (многофазных) композитов. Исследуя формулу (4), заметим, что параметры ηм и w имеют одинаковый и удобный интервал (0, 1) их значений. Однако значения моду- В отличие от формул (4) и (6) в зависимостях (9) и (10) влияние модуля сдвига матрицы (Gм) не учитывается. Именно в этом и заключается главным образом приближенность оценок по Фойгту и по Рейссу. Величины модулей KФ и KР соответственно служат, как правило, верхней и нижней границей значений реальных модулей K композита. Однако, анализ решения Кристенсена (6), представленного формулами (4), (7) и (8), позволяет уточнить данное правило (в смысле верхней и нижней оценки вилки Фойгта - Рейсса) применительно к двухфазной структуре зернистых СКМ. Но сначала выразим модули KФ и KР в долях от модуля Kм (матрицы) и получим формулы для безразмерных величин тех же модулей: ля k и параметра θ изменяются в другом интерваk = KФ = V + w , KР 1 ле (0, ∞) чисел. Поэтому интервал (0, ∞) расчленим на 2 интервала: интервал малых (0, 1] и ин- Ф Kм θ kР = = Kм V + θw . (11) тервал больших [1, ∞) чисел. В таком случае получим два рабочих варианта формулы (4): - вариант 1 - для чисел модуля (k1 ≥ 1) при значениях θ = θ1 ≤ 1: Применительно к расчетным формулам (7) и (8) выражения (11) примут соответствующий вид: - вариант 1 (при θ ≤ 1): K1 k1 = Kм (1+ 2ηм w) + 2ηмθ1V = ; (7) V + θ1 (2ηм + w) θ Ф1 k = (1- w) + w 1 1 , kР1 = ; (12) (1- w) + θ1w - вариант 2 - для чисел модуля (k2 ≤ 1) при значениях θ = θ2 ≥ 1: - вариант 2 (при θ ≥ 1): 2 k = K2 Kм (1+ 2ηм w)+ 2ηмθ2V = V + θ2 (2ηм + w) . (8) kФ2 Р2 = (1- w) + w , k = θ2 1 (1- w) + θ2 w . (13) Особо отметим, что в формулах (7) и (8) параметры θ1 и θ2 имеют инверсивную связь (с коэффициентом инверсии, равным единице), так как их произведение θ1 ∙ θ2 = 1. Это свойство облегчает анализ расчетных формул. Но предварительно вспомним гипотезы Фойгта [21] и Рейса [20]. 2. Плоское пространство значений модулей k Применяя правило смеси, сначала определим, согласно [21], эффективный объемный модуль (K) композита (рис. 1, 2). В результате получим зави- В случаях, когда величина отношения θ неизменна (θ = const), выражения (12) и (13) становятся функциями одного аргумента: kФ = kФ(w) и kР = kР(w). Следовательно, эти функции могут быть представлены графически в плоском пространстве осей k и w (рис. 3). О наглядности такого пространства, использованного при анализе формул (4) - (6), свидетельствует содержание работы [6]. k θ 2 ● симость по Фойгту: 1 ● KФ = KмV + Kз w . (9) Затем, применив то же правило, определим, 0 согласно [20], эффективную объемную податли- 0,5 § θ2 θ1 w 1 вость (1/K) материала и получим зависимость по Рейссу: Рис. 3. Область плоского пространства k - w, ограниченная осями k, θ и w. Пунктиром выделены 2 отрезка функции kФ = kФ(θ, w) при значениях θ = θ1 и θ = θ2 1 = V KР Kм w + . (10) Kз [Figure 3. The region of flat space k - w bounded by the axes k, θ and w. The dashed line marks 2 segments of the function kФ = kФ (θ, w) for the values θ = θ1 and θ = θ2] В обозначенной области пространства k - w функции модулей по Фойгту, например, аналогично формулам (12) и (13), примут вид ней оценок величины эффективного модуля упругости в двухфазных композитах. С этой целью выделим две группы композитов. В первой из них w w отношение объемных модулей компонентов θ приkФ1 = (1- w) + , kФ2 = (1- w) + . θ1 θ2 Эти функции отображаются двумя семействами прямолинейных отрезков, исходящих из их общей точки с координатами (0, 1). На рис. 3 пунктирными линиями изображены два таких отрезка, по одному из каждого семейства. Правые концы выбранных отрезков имеют координаты (1, θ2) и (1, θ1) (на рис. 3 выделены жирными точками). Функции модулей по Рейсу и по Кристенсену (в той же области пространства k - w) имеют криволинейное очертание; их графики расположены ниже отрезков по Фойгту и непосредственно примыкают к этим отрезкам своими концами в точках (0, 1), (1, θ2) или (1, θ1) (рис. 3). Для более четкого описания этих функций рассмотрим два численных примера. 1. Сравнительный анализ оценок по Фойгту, Рейссу и Кристенсену Проведем анализ расчетных формул (7), (8) и формул (12) и (13) для сравнения верхней и нижмем равным 0,25, то есть меньше единицы; во второй - больше единицы (θ = 4). Задавшись шагом Δw = 0,125, вычислим модули kФ и kР по формулам (12), (13) как для первой, так и для второй группы композитов. Результаты вычислений представлены в табл. 1. Затем для этих же групп вычислим модули k по формулам (7) и (8) при значениях отношения ηм, равных 1, ½ и 0, которым соответствуют значения коэффициента Пуассона νм, равные 0, 0,2 и 0,5. Результаты отображены в табл. 2. Сопоставив таблицы, отметим, что значения строки 3 в табл. 2 совпали со значениями строки 2 в табл. 1. Значения же строки 6 в табл. 2 в свою очередь повторяют значения строки 4 в табл. 1. Таким образом, нижняя граница значений эффективных модулей k, вычисляемых по Кристенсену (табл. 2) точно совпала с оценкой модулей kР по Рейсу (табл. 1). Однако оценки по Фойгту и по Кристенсену различны. Это следует из сопоставления других строк тех же таблиц. Значения модулей по Фойгту (kФ) и по Рейссу (kР) для двух групп композитов [Table 1. The values of the modules according to Voigt (kФ) and Reuss (kР) for two groups of composites] Таблица 1 Группа [Group] 1 2 Модуль [Module] 0 0,125 0,25 0,375 0,5 0,625 0,75 0,875 1 по Фойгту [according to Voigt] 1 1,375 1,75 2,125 2,5 2,875 3,25 3,625 4 по Рейссу [according to Reuss] 1 1,103 1,231 1,391 1,6 1,882 2,286 2,909 4 по Фойгту [according to Voigt] 1 0,906 0,813 0,719 0,625 0,531 0,438 0,344 0,25 по Рейссу [according to Reuss] 1 0,727 0,571 0,471 0,4 0,348 0,308 0,276 0,25 Объемная доля заполнителя (w) [Volume fraction of aggregate (w)] Таблица 2 Значения модулей k (по Кристенсену) в двух группах композитов (θ = 1/4 и θ = 4) при трех значениях параметра ηм [Table 2. The values of the modules k (according to Christensen) in two groups of composites (θ = 1/4 and θ = 4) for three values of the parameter ηм] Параметры [Options] Объемная доля заполнителя (w) [Volume fraction of aggregate (w)] θ ηм 0 0,125 0,25 0,375 0,5 0,625 0,75 0,875 w®1 0,25 1 1 1,2 1,429 1,692 2 2,364 2,8 3,333 4 0,25 0,5 1 1,162 1,353 1,581 1,857 2,2 2,636 3,211 4 0,25 0 1 1,103 1,231 1,391 1,6 1,882 2,286 2,909 4 4 1 1 0,88 0,769 0,667 0,571 0,483 0,4 0,323 0,25 4 0,5 1 0,86 0,739 0,633 0,538 0,455 0,379 0,311 0,25 4 0 1 0,727 0,571 0,471 0,4 0,348 0,308 0,276 0,25 Для большей наглядности рассмотрим два графических примера. Пример 1. Совместим в одном рисунке графические зависимости, построенные по данным табл. 1 и 2 для первой группы выбранных материалов (рис. 4). При этом все значения эффективных модулей лежат в интервале чисел 1 < k < 4. Концевые точки всех криволинейных графиков (рис. 4) совмещены с концевыми точками прямолинейного отрезка по Фойгту. Нижний график значений модулей по Рейсу дает нижнюю оценку значений эффективных модулей реальных композитов. Область плоского пространства, ограниченная верхним и нижним графиками, наглядно демонстрирует так называемую вилку Фойгта - Рейсса. группы материалов (рис. 5), но со значениями модулей k ≤ 1. 0,95 4 3,5 Значения k 3 2,5 2 1,5 1 kФ k, ηм=1 k, ηм=0,5 kР 0 0,125 0,25 0,375 0,5 0,625 0,75 0,875 1 Объемная доля заполнителя, w 0,85 Значения k 0,75 0,65 0,55 0,45 0,35 0,25 0 0,125 0,25 0,375 0,5 0,625 0,75 0,875 1 Объемная доля заполнителя, w Рис. 5. Зависимости модулей kФ2, kР2 и k2 от величины объемной доли w. Значения k2 kФ k, ηм=1 k, ηм=0,5 kР Рис. 4. Зависимости модулей kФ1, kР1 и k1 от величины объемной доли w. Значения k1 соответствуют значениям ηм, равным 1, ½ и 0 [Figure 4. Dependences of the modules kФ1, kР1 and k1 on the volume fraction w. The values of k1 correspond to the values of ηм equal to 1, ½, and 0] На рис. 4 также отображены зависимости значений модулей k1 по Кристенсену - три криволинейных графика, соответствующих значениям коэффициента Пуассона νм = 0, 0,2 и 0,5. При этом нижний график (со значением νм = 0,5) точно совпал с графиком модулей kР1 (по Рейссу). Следовательно, нижняя оценка по Рейссу, определяемая второй из формул (12), является и частным случаем формулы (7) при значении ηм = 0 (или νм = 0,5, соответствуют значениям параметра ηм, равным 1, ½ и 0 [Figure 5. Dependences of the modules kФ2, kР2 and k2 on the volume fraction w. The values of k2 correspond to the values of the parameter ηм equal to 1, ½ and 0] Последовательность в расположении графиков на рис. 5 сохраняется такой же, как и на рис. 4. Основные различия рисунков заключаются в том, что: 1) прямолинейный отрезок на рис. 4 изображен восходящим, а на рис. 5 аналогичный отрезок - нисходящим; 2) рис. 4 характеризует композиты первой группы (при θ < 1), рис. 5 - композиты второй группы (при θ > 1). Зависимости по Кристенсену (2-й и 4-й графики на рис. 5), определяемые формулой (8), при значениях ηм = 1 и ηм = 0 принимают вид функций (1+ 2w)+ 2θ V что то же самое). Оценка по Фойгту (верхний график) не совпадает с верхней оценкой по Кристенсену (2-й график сверху) (рис. 4), которая, согласно выражеmax k2 = k 2 V + θ2 (2 + w) 1 , (15) нию (7), при значении ηм = 1 определяется формулой min 2 = V · θ2 w . (16) max k1 (1+ 2w)+ 2θ V = 1 . (14) V + θ1 (2 + w) Таким образом, зависимость (16) как частный случай формулы Кристенсена (8) совпадает с формулой Рейса (13). Значениям max k1 отвечают материалы матрицы, коэффициент Пуассона которых νм = 0. Такие материалы лучше других материалов (со значениями νм > 0) сопротивляются деформациям сдвига. Другими словами, чем меньше величина коэффициента νм, тем выше жесткость (и прочность) композита. Пример 2. Аналогично поступим и со второй группой выбранных композитов. Совместив в одном рисунке зависимости, построенные по данным табл. 1 и 2, получим графики, подобные графикам первой Заключение Расчетная формула (6) Р.М. Кристенсена [17] для величины эффективного объемного модуля полидисперсных композитов существует уже почти 40 лет и имеет достаточно широкую известность. Тем не менее, к сожалению, она фактически не используется в строительном материаловедении. Вышеизложенные численные исследования этой формулы позволили выявить и графически проиллюстрировать ряд несомненных ее достоинств. Во-первых, относительно верхних и нижних оценок величины объемных модулей реальных композитов формула выявляет суженную вилку оценок по Кристенсену, по сравнению с общеизвестной вилкой Фойгта - Рейсса». Во-вторых, нижние оценки по Рейссу (13) и по Кристенсену (16) совпадают. Это уточняет положение вилки по Кристенсену в рамках вилки Фойгта - Рейсса. В-третьих, наши интерпретации формулы Кристенсена имеют вид элементарных алгебраических функций трех безразмерных параметров (ηм = 2Gм/3Kм, θ = Kм/Kз и w = a3/R3). Это существенно облегчает их численный анализ и практическое пользование ими. И, наконец, в-четвертых, безразмерная форма представления величины эффективного модуля зернистого композита (k = K/Kм) позволяет построить в плоском пространстве k - w систему бесконечного множества графических зависимостей модуля k от количественного содержания объемной доли заполнителя. Это дает возможность в каждом конкретном композите вычислить место его эффективного модуля в плоском пространстве модулей, определяемых формулой Кристенсена, и в случае необходимости усилить (или ослабить) те или иные механических свойства композита.

Об авторах

Владимир Трофимович Ерофеев

Национальный исследовательский Мордовский государственный университет имени Н.П. Огарева

Автор, ответственный за переписку.
Email: tingaev.s1@gmail.com

д. т. н., профессор, заведующий кафедрой строительных материалов и технологий; академик Российской академии архитектуры и строительных наук

Российская Федерация, 430005, Саранск, ул. Большевистская, 68

Алексей Сергеевич Тюряхин

Национальный исследовательский Мордовский государственный университет имени Н.П. Огарева

Email: tingaev.s1@gmail.com

к. т. н., доцент кафедры прикладной механики

Российская Федерация, 430005, Саранск, ул. Большевистская, 68

Татьяна Павловна Тюряхина

Национальный исследовательский Мордовский государственный университет имени Н.П. Огарева

Email: tingaev.s1@gmail.com

аспирант кафедры строительных материалов и технологий

Российская Федерация, 430005, Саранск, ул. Большевистская, 68

Александр Васильевич Тиньгаев

Национальный исследовательский Мордовский государственный университет имени Н.П. Огарева

Email: tingaev.s1@gmail.com

магистрант кафедры строительных материалов и технологий

Российская Федерация, 430005, Саранск, ул. Большевистская, 68

Список литературы