Определение критической нагрузки потери устойчивости стержневой и плоской моделей круговой цилиндрической оболочки, взаимодействующей с основанием

Полный текст

Введение1 Определение напряженно-деформированного состояния цилиндрических оболочек, взаимодействующих с окружающим основанием, является неотъемлемой частью планов и проектов большого числа транспортных, коммунальных и других подземных сооружений. Несмотря на то, что эти сооружения работают в естественных условиях нагружения, а именно под собственным весом самого сооружения и вышележащих слоев грунта, особый интерес представляет собой критическая нагрузка, при которой конструкция сооружения теряет устойчивость равновесия. Определение этой нагрузки позволит дать оценку запаса устойчивости сооружения, что позволит избежать аварийных случаев в процессе эксплуатации объекта. В частности, в настоящей работе сделана попытка определения критической нагрузки для оболочки, имитирующей транспортный тоннель. Численный анализ проведен с целью установления критической нагрузки, при которой конструкция круговой цилиндрической оболочки теряет устойчивость равновесия, и определения форм потери устойчивости при линейном и нелинейном расчетных случаях. Критическая нагрузка представлена в кратном виде к естественной действующей нагрузке для удобства определения коэффициента запаса устойчивости. По полученным результатам проведен сравнительный анализ. 1. Численный анализ стержневой модели системы «оболочка - основание» Конечно-элементный комплекс MSC Patran - Nastran позволяет исследовать напряженно-деформированное состояние стержневых и плоских систем и отвечает требованиям поставленной задачи [1; 2]. Первый расчетный случай проведен в линейной постановке с линейно-упругой моделью материала. Связи между оболочкой и основанием заданы двусторонними без возможности отлипания оболочки от основания. Второй расчетный случай проведен в линейной постановке с линейно-упругой моделью материала. Связи между оболочкой и основанием заданы односторонними с возможностью отлипания оболочки от основания. Третий расчетный случай проведен в нелинейной постановке с учетом геометрической нелинейности. Модель материала линейно-упругая. Связи между оболочкой и основанием заданы односторонними с возможностью отлипания оболочки от основания. Расчетные модели состоят из стержневых элементов оболочки и стержневых контактных элементов, аппроксимирующих грунтовое основание. Элементы оболочки и контактные элементы соединены по принципу «узел в узел», эти узлы являются общими. На вторые (свободные) узлы контактных элементов наложены связи по всем степеням свободы [3]. Также все узлы стержневых элементов закреплены от перемещений из плоскости, что обеспечивает геометрическую неизменяемость системы. Диаметр оболочки D = 5 м, толщина оболочки 0,25 м, ширина оболочки 1 м (модель оболочки представляет собой вырезанную полосу из бесконечно длинной оболочки шириной 1 м). Свойства материала оболочки приняты, как для бетона: модуль упругости E = 3,0·1010 Н/м2, коэффициент Пуассона µоб = 0,18, плотность ρоб = 2300 кг/м3. Расстояние от поверхности основания до центра оболочки равно 3,5D, что учтено при сборе нагрузок на оболочку. Объемный вес основания составил γ = 1600 кг/м3, коэффициент Пуассона ν = 0,3. Основанию задан коэффициент постели k = 100 МПа/м (соответствует глинистым грунтам по [4]). Жесткость контактного элемента при сжатии [5; 6] вычислена по формуле St = k·b·Le = 2,45·107 Н/м, где k - коэффициент постели упругого основания; b - ширина элемента оболочки; Le - длина элемента оболочки. Вертикальная нагрузка qв, приложенная к оболочке, составлена от собственного веса вышележащего грунта без учета возможности образования свода обрушения над оболочкой по формуле (1): в = , (1) где γ - объемный вес грунта; z - расстояние от поверхности грунта. Боковая нагрузка qб, действующая на оболочку, определена с помощью коэффициента бокового давления ξ без учета обратного уклона оболочки в нижней зоне по формуле (2): г = , (2) где ξ - коэффициент бокового давления. Таким образом, на оболочку действовали следующие нагрузки от грунтового основания: вертикальная постоянная нагрузка γz1 = 235,4 Н/м2, горизонтальная трапециевидная нагрузка - при z1 = 3D равна ξγz1 = 94,2 кН/м, при z2 = 4D равна ξγz2 = 125,5 Н/м. На рис. 1 показана схема нагружения оболочки, контактные элементы отпора основания не показаны, так как заранее неизвестно, где возникнут зоны отпора основания в случае односторонней работы контактных элементов. Рис. 1. Схема нагружения оболочки [Figure 1. Shell loading scheme] 2. Первый расчетный случай. Линейный расчет стержневой модели с двусторонними связями Первый расчетный случай выполнен с помощью описанной выше стержневой модели. Контактные элементы между оболочкой и окружающим основанием приняты двусторонними. Таким образом, контакт воспринимает как сжимающее, так и растягивающее усилие. Недостатком данной постановки контактного взаимодействия является то, что при прогибе верхнего свода оболочки ее элементы тянут за собой элементы основания, чего в действительности не наблюдается. Задача решена в линейной постановке. Данные допущения для расчетной модели широко используются в инженерных расчетах транспортных тоннелей и коммуникаций, аппроксимированных цилиндрической оболочкой. Расчет устойчивости первого расчетного случая реализован процедурой определения собственных значений методом Ланцоша. Рис. 2. Форма потери устойчивости стержневой модели при линейном расчете с двусторонними связями [Figure 2. The form of stability loss of the rod model in the linear calculation with two-way links] Рис. 3. Сжатые контактные элементы стержневой модели при линейном расчете с двусторонними связями [Figure 3. Short contact elements truss model for the linear calculation with two-way links] По результатам расчета критическая нагрузка составляет 235γz1. На рис. 2 представлена соответствующая форма потери устойчивости оболочки. Критическая нагрузка определена как запас устойчивости по отношению к действующей нагрузке γz1. На рис. 3 показаны только сжатые контактные элементы модели. 3. Второй расчетный случай. Линейный расчет стержневой модели с односторонними связями Второй расчетный случай выполнен с использованием ранее описанной стержневой модели. Контактные элементы между оболочкой и окружающим основанием приняты односторонними [7-9]. Таким образом, контакт воспринимает только сжимающее усилие, жесткость на растяжение принята нулевой. Задача решена в линейной постановке. Рис. 4. Вид отредактированной стержневой модели при линейном расчете с односторонними связями после предварительного расчета [Figure 4. View of the edited rod model in a linear calculation with one-way links after preliminary calculation] Однако в данной модели растягивающие элементы исключены другим путем. Проведен предварительный расчет от действующей нагрузки γz1. Контактные элементы, воспринимающие растягивающие усилие, удалены из модели для выполнения последующего расчета на устойчивость. На рис. 4 показана отредактированная расчетная модель после предварительного расчета. Отметим, что данная расчетная модель оболочки и основания правдоподобнее предыдущей модели, так как основание воспринимает только сжимающие усилия. Расчет устойчивости второго расчетного случая реализован процедурой определения собственных значений методом Ланцоша. По результатам расчета критическая нагрузка составляет 105γz1. На рис. 5 представлена соответствующая форма потери устойчивости оболочки. В результате повторного расчета устойчивости зона отлипания оболочки изменена. На рис. 6 показаны только сжимаемые контактные элементы модели после повторного расчета. Рис. 5. Форма потери устойчивости стержневой модели при линейном расчете с односторонними связями [Figure 5. The form of stability loss of the rod model in the linear calculation with one-way links] Рис. 6. Сжатые контактные элементы стержневой модели при линейном расчете с односторонними связями [Figure 6. Compressed contact elements of the rod model in a linear calculation with one-way links] 4. Третий расчетный случай. Нелинейный расчет стержневой модели с односторонними связями Третий расчетный случай выполнен с использованием ранее описанной стержневой модели. Расчет проведен в геометрически нелинейной постановке. Учет нелинейности позволяет отслеживать изменение зоны отлипания оболочки от основания и изменение положения оболочки в процессе нагружения. Контактные элементы между оболочкой и окружающим основанием приняты односторонними. Таким образом, контакт воспринимает только сжимающее усилие, жесткость на растяжение принята нулевой. Величина критической нагрузки получилась равной 69γz1, что меньше величин, полученных в предыдущих расчетных случаях, проведенных в линейной постановке [10; 11]. На рис. 7 показан деформированный вид стержневой модели оболочки перед потерей устойчивости, на рис. 8 - только соответствующие сжатые контактные элементы модели, на рис. 9 - форма стержневой модели после потери устойчивости. Рис. 7. Деформированный вид стержневой модели при нелинейном расчете с односторонними связями перед потерей устойчивости [Figure 7. Deformed view of the rod model in a nonlinear calculation with one-way links before buckling] Рис. 8. Сжатые контактные элементы стержневой модели при нелинейном расчете с односторонними связями перед потерей устойчивости [Figure 8. Short contact elements for rod models in the nonlinear calculation with unilateral constraints before buckling] Рис. 9. Деформированный вид стержневой модели при нелинейном расчете с односторонними связями после хлопка [Figure 9. Deformed view of rod model in nonlinear analysis with one-way links after snap-through] Следует отметить, что полученная форма стержневой модели после хлопка (рис. 9) не является корректной, так как в расчетах не учитывалось контактное взаимодействие между стержневыми конечными элементами оболочки в зонах их пересечения [12; 13]. Ниже в табл. 1 приведены величины критичения. В линейных расчетах эти особенности деформирования не учитываются [14; 15]. Таблица 1 Величины критической нагрузки стержневой модели оболочки и основания [Table 1. Critical load values of the core shell and base model] ских нагрузок для выполненных расчетных случаев стержневой модели оболочки и основания. Расчетный случай [Settlement case] Критическая нагрузка [Critical load] Из табл. 1 следует вывод, что при определении критической нагрузки потери устойчивости стержневой модели нелинейный расчет приводит к значительно меньшей величине нагрузки относительно линейного расчета. Это связано с тем, что в нелинейной модели учтено изменение геометрии оболочки в процессе шагового нагруже- 1 235γz1 2 105γz1 3 69γz1 На рис. 10 показана кривая зависимости перемещения верхнего узла оболочки от прикладываемой нагрузки. На графике присутствует момент потери устойчивости модели - хлопок. Рис. 10. Кривая зависимости перемещения верхнего узла оболочки от прикладываемой нагрузки стержневой модели при нелинейном расчете с односторонними связями [Figure 10. The curve of dependence of movement of the top node of the shell on the applied load of the rod model in a nonlinear calculation with one-way links] 5. Численный анализ плоской модели системы «оболочка - основание» Следующие расчетные случаи выполнены с использованием плоских элементов, аппроксимирующих основание. Четвертый расчетный случай проведен в линейной постановке с линейно-упругой моделью материала. Связи между оболочкой и основанием заданы односторонними с возможностью отлипания оболочки от основания. Пятый расчетный случай проведен с учетом геометрической нелинейности. Модель материала линейно-упругая. Связи между оболочкой и основанием заданы односторонними ного плоскими элементами. Взаимодействие оболочки и основания реализовано с помощью контактных односторонних элементов. Габариты оболочки взяты из стержневой модели. Общая ширина расчетной модели составляет W = 11D, где D - диаметр оболочки. Общая высота расчетной модели составляет H = 5D. Нагрузкой является собственный вес системы. На боковые и нижний торцы основания наложены связи по перемещениям для корректной работы основания. Материалы приняты неограниченно линейноупругими. Материал оболочки взят из стержневой модели. Свойства материала окружающего осно- 6 с возможностью отлипания оболочки от основания. вания: модуль деформации Eгр = 14·10 Па, коэф- Расчетная модель состоит из оболочки, заданной стержневыми элементами, и основания, заданфициент поперечной деформации µгр = 0,3, плотность ρгр = 1600 кг/м3, ускорение свободного падения g = 9,81 м/с2. Свойства контактных элементов: при растяжении жесткость равна нулю (очень малое число), а при сжатии - бесконечность (очень большое число). 6. Четвертый расчетный случай. Линейный расчет плоской модели с односторонними связями Четвертый расчетный случай выполнен с использованием описанной ранее плоской модели. Контактные элементы между оболочкой и окружающим основанием приняты односторонними. Таким образом, на контакте возникает только сжатие, жесткость при растяжении принята нулевой. Задача решена в линейной постановке [16-18]. Расчет устойчивости четвертого расчетного случая реализован процедурой определения собственных значений методом Ланцоша. Величина критической нагрузки равна 14,4γz1. На рис. 11 показана форма потери устойчивости оболочки в четвертом расчетном случае. Потеря устойчивости возникает в нижних слоях основания. дует считать критической. На рис. 12 показано соответствующее поле полных перемещений плоской модели. Рис. 12. Поле полных перемещений плоской модели при нелинейном расчете с односторонними связями [Figure 12. The full displacement of the flat model in the nonlinear calculation with unilateral constraints] В табл. 2 приведены величины критической нагрузки для двух выполненных расчетных случаев плоской модели оболочки и основания. Таблица 2 Величины критической нагрузки плоской модели оболочки и основания [Table 2. Critical load values of the flat shell and base model] Расчетный случай [Settlement case] Критическая нагрузка [Critical load] 4 14,4γz1 5 26,5γz1 Рис. 11. Форма потери устойчивости плоской модели при линейном расчете с односторонними связями [Figure 11. The form of loss of stability of a plane model in a linear calculation with one-way links] 7. Пятый расчетный случай. Нелинейный расчет плоской модели с односторонними связями Пятый расчетный случай выполнен с использованием ранее описанной плоской модели. Расчет проведен в геометрически нелинейной постановке. Учет нелинейности позволяет отслеживать изменение зоны отлипания оболочки от основания и изменение положения оболочки и основания во времени. Контактные элементы между оболочкой и окружающим основанием приняты односторонними. Таким образом, на контакте возникает только сжимающее усилие, жесткость при растяжении принята нулевой. Наибольшая величина нагрузки, при которой итерации сошлись, оказалась равной 26,5γz1. Ее сле- Выводы Вследствие проведенного численного анализа стержневой и плоской моделей оболочки, взаимодействующей с основанием, выполнена поставленная задача: определены критические нагрузки, при которых конструкция оболочки теряет устойчивость равновесия, и найдены формы потери устойчивости в линейном и нелинейном расчетных случаях. Величина критической нагрузки стержневой модели оболочки, взаимодействующей с основанием, при нелинейном расчете с односторонними связями составляет 69γz1. При переходе от стержневой модели к плоской значение критической нагрузки снизилось с 69γz1 до 26,5γz1. Следовательно, использование плоских элементов, аппроксимирующих основание, значительно уменьшает величину критической нагрузки. Основываясь на полученных результатах, можно сделать вывод, что данная конструкция оболочки, взаимодействующая с основанием, имеет достаточно большой запас устойчивости относительно действующей нагрузки.

Об авторах

Сергей Борисович Косицын

Российский университет транспорта

Автор, ответственный за переписку.
Email: kositsyn-s@yandex.ru
SPIN-код: 9390-7610

советник РААСН, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической механики

Российская Федерация, 127994, Москва, ул. Образцова, 9

Владимир Юрьевич Акулич

Российский университет транспорта

Email: kositsyn-s@yandex.ru

аспирант, кафедра теоретической механики

Российская Федерация, 127994, Москва, ул. Образцова, 9

Список литературы