Теория «растворения» и «конденсации» физико-геометрических характеристик поперечного сечения произвольной формы при кручении стержней

Полный текст

Введение1 Из сопротивления материалов известно, что задачу определения напряжений и деформаций при кручении стержни некруглого поперечного сечения нельзя решить методами, базирующимися на упрошенных предпосылках этой экспериментально-тео- ретической науки, являющейся одним из разделов строительной механики. Такая задача обычно решается с использованием методов теории упругости и пластичности [1-3]. Тем не менее использование рабочих гипотез сопротивления материалов применительно к стержневым конструкциям весьма привлекательно. В связи с этим возникает резонный вопрос о степени категоричности утверждения о том, что нельзя решить обозначенную выше задачу методами сопротивления материалов? Все ли подходы [4-12] и резервы при этом исчерпаны? Целью настоящего исследования является продолжение разработки методики определения напряженно-деформированного состояния стержней при кручении методами сопротивления материалов. В задачи исследования входила разработка оригинальных подходов и методик для достижения поставленной цели. 1. Расчетная модель. Решение основных задач В ходе исследования попытаемся получить решение поставленных задач, оставаясь в рамках гипотез сопротивления материалов. Для решения задачи будем аппроксимировать различные сечения стержней с помощью разбивки их на малые квадраты с последующим вписыванием в эти квадраты кругов. Тогда применительно к этим малым кругам, составляющим поперечное сечение стержней любой формы, будут справедливы формулы сопротивления материалов, полученные для круглых поперечных сечений. При этом необходимо решить три сопутствующие задачи: во-первых, учесть депланацию поперечных сечений стержней некруглой произвольной формы с помощью какой-либо рекуррентной формулы; во-вторых, корректно просуммировать элементарные круги, посредством которых аппроксимируется поперечное сечение любой формы с распределением приходящихся на них крутящих моментов; в-третьих, учесть наличие концентрации деформаций в зоне входящих углов поперечного сечения произвольной формы и местной депланации в углах и других резко изменяющихся геометрических параметрах, а также ее «возврата» в местах, соседствующих с квадратами с нулевой жесткостью. Решение первой из этих задач предложено нами в работах [7; 13]. При этом основные поправки будут касаться депланации некруглых поперечных сечений. Для решения второй задачи, будем использовать следующий подход. Вокруг некруглого поперечного сечения описывается большой круг, в котором условно «растворяется» фигура поперечного сечения. При этом все поле большого круга разбивается на ряд квадратов, которые впоследствии заменяются вписанными в них малыми кругами. Малые круги, попавшие в зону, ограниченную контуром поперечного сечения стержня, служат в качестве «конденсирующих» - в них сосредотачиваются элементы жесткости и эффективные значения параметров напряженно-деформированного состояния, которые обеспечивают сопротив- Проанализировав все недостатки отмеченного разбиения, мы усовершенствовали предлагаемый подход. А именно: описываемый круг включает в себя уже не три малых круга, а целый набор таких кругов, которые аппроксимируют любое поперечное сечение, например фигура А - В - С - D для прямоугольного сечения (рис. 1). Рис. 1. Аппроксимация прямоугольного поперечного сечения стержня с помощью квадратов и вписанных в них кругов [Figure 1. Approximation of a rectangular cross-section of rods using squares and circles inscribed in them] Теперь применительно к большому кругу, включающему в себя в том числе и поперечное сечение произвольной формы (рис. 1), можно использовать формулы сопротивления материалов для круглых стержней. Такие формулы справедливы и для каждого из малых кругов, на которые в свою очередь разбит большой круг. В результате предоставляется возможным записать рекуррентные формулы применительно к расчету стержней произвольного поперечного сечения с введением необходимых поправочных коэффициентов. 2. Введение понятий и формулировка теорем Анализируя предложенный подход, возникает необходимость во введении понятия эквивалентности между характеристиками крутильной жесткости прямоугольного сечения и круга, описанного вокруг этого прямоугольного сечения: ление поперечного сечения стержня сдвигу при n 2 кручении. G × I Grec × å(It,i + rj × Ai ) Ранее нами была рассмотрена подобная задача только с одним рядом разбивки по ширине прямоугольного сечения на малые круги [7]. Gequ = rec rec = Ibcir i=1 Ibcir , (1) где Ibcir - полярный момент инерции большого ствующего i-того квадрата-круга относительно геокруга, описанного вокруг прямоугольного сечения; метрического центра O большого круга, равный Grec - модуль сдвига материала прямоугольного собственному полярному моменту инерции It,i , сечения; Irec - полярный момент инерции прямоскладываемому с добавочным, равным произведеугольного сечения; It,i, j - полярный момент инернию квадрата расстояния rj между центром O и ции малых квадратов-кругов, попадающих в контур центром i-того малого квадрата-круга Oi на плопрямоугольного сечения; n - число малых квадратов-кругов, попадающих в контур прямоугольного щадь i-того малого квадрата-круга Ai . сечения; Gequ - «эквивалентный» модуль сдвига, Действительно, сумма Mt,i , стоящего в числисвязанный с «растворением» в большом круге поперечного сечения произвольной формы, состоящетеле формулы (4), равна суммарному моменту Mt в формуле (3). Таким образом, формула (4) предго из ряда малых кругов; rj - расстояние между ставляет собой некое разложение формулы (3) по приращениям. При этом отдельное приращение центрами большого круга O и малого круга Oi ; может иметь качественно иной вид, чем сумма этих Ai - площадь i-того круга. Для приведения значений полярных моментов к большому кругу будем использовать коэффициент α , отыскиваемый по формуле приращений. Здесь можно провести аналогию между касательными напряжениями τ и накапливаемыми сдвигающими силами T [14]. Запишем формулу для определения касательных напряжений τ2 , вычисленных для каждого из α = Grec . Gequ (2) малых квадратов-кругов в полоске (сечении) вертикальной или горизонтальной аналогично фор- В предложенном подходе будем различать не муле (3): только касательные напряжения τ1 , возникающие f при кручении круглых сечений, но и их приращения Δτ при рассмотрении полосок (сечений), располагаемых от периметра прямоугольного сечения å Mt,i τ2 = i=1 × It,i, j × α rj . (5) или сечения сложной формы («растворяемых» в описанном большом круге) к его центру, а также значения касательных напряжений, вычисленные для каждого из малых квадратов-кругов в полоске (сечении) и обозначенные как τ2 . Согласно определению касательных напряже- Распределение крутящего момента, действующего в большом круге на его составляющие, приходящиеся на каждый малый i-тый квадраткруг, определяется по формуле, вытекающей из пропорциональности сдвиговых жесткостей: ний, в любом круге τ1 находится по формуле M = M · Ai × Grec = M · Ai . (6) t,i t A × G t A τ = Mt 1 I · rj = I j Mt × r = åDτ, α (3) rec rec rec где Mt bcir rec · крутящий момент, действующий на прямо- Важно заметить, что для распределенного крутящего момента должно выполняться соотугольное сечение. Применительно к Dτ для любой полоски (сечения), расположенной в пределах большого круга, формула (3) может быть преобразована к виду f f ношение, вытекающее из условия равновесия: n å Mt,i = Mt . i=1 (7) å Mt,i Dτ = i=1 Ibcir å Mt,i o rj = i=1 Irec × α o rj , (4) При обобщении предложенного подхода были выявлены некоторые общие закономерности, которые могут быть представлены в виде следующих теорем. где Mt,i - крутящий момент, приходящийся на Теорема 1. Сумма приращений касательных каждый i-тый малый квадрат-круг; f - число малых квадратов-кругов в одной полоске (сеченапряжений Δτ , накапливаемых в полосках (сечениях) от краев к середине прямоугольного сечения, вписанного в большой круг относительно центра нии); It,i, j - полярный момент инерции соответэтого большого круга, совпадающего с центром прямоугольника, равна касательным напряжениям τ1 в любой выбранной точке этого большого круга с учетом соответствующих «эквивалентных» и «конденсируемых» характеристик. f Таким образом интегральная эпюра Δτ (просуммированная) трансформируется в эпюру τ1 , построенную для центрального сечения круга. Доказательство теоремы 1. Просуммируем составляющие, стоящие в числителе формул, для определения Δτ по всем полоскам (включающим наn/2 M k å Mt,i i=1 t бор малых квадратов-кругов вдоль выбранного сече- å Dτ = å I rj = τ1 = × α I rj , (8) ния) от краев до середины прямоугольного сечения. i=1 m=1 rec bcir Тогда в числителе получим значение полного где k - число полосок (сечений) вертикальных или момента Mt , а в знаменателе - значение полного горизонтальных, на которые разбивается прямоугольное поперечное сечение (рис. 2, c) от края сечения до момента инерции для произвольного поперечного сечения, «растворяемого» в большом круге. Полученсечения, в котором определяется τ1 ; f - число маная эпюра принимает вид, обусловленный формулой лых квадратов-кругов в одной полоске (сечении). для определения касательных напряжений τ1 . a b c d e f g h Рис. 2. Эпюры приращений касательных напряжений (a, c) и эпюры касательных напряжений в различных сечениях (b, c) для прямоугольного сечения и описанного вокруг него большого круга; поперечное сечение малого i-того круга (d) с усредненной эпюрой касательных напряжений кручения τt,j,j,spr в i-том круге (e), эпюрой местных напряжений τloc в i-том круге (f) и суммарной эпюрой τt,j,i,spr и τloc в i-том круге(g), эпюрой местных напряжений на расстоянии 0,5 ri от центра Оi (h) [Figure 2. Diagrams of increments of tangential stresses (a, c) and diagrams of tangential stresses in various sections (b, c) for a rectangular section and a large circle described around it; the cross section of the small i-th circle (d) with the averaged diagram of tangential torsional stresses τt, j, j, spr in the i-circle (e), the diagram of local stresses τloc in the i-th circle (f) and the total diagram of τt, j, i, spr and τloc in the i-th circle (g), the diagram of local stress at a distance of 0.5 ri from the center Оi (h)] Теорема 2. Значения касательных напряжений, вычисленные для каждого из малых квадраf å Mt ,i = i=1 × = D × (9) тов-кругов τ2 , могут быть выражены через прира- τ2 rj It ,i, j × α τ p, щения Δτ . где p - функция от It,i, j . Доказательство теоремы 2. Введем в числитель и знаменатель полярный момент инерции большого круга Ibcir , после заменим часть выражения p = Ibcir It,i, j ×α = Ibcir . j (It,i + Ai × r2 )× α (11) на Δτ по формуле (4). Часть, оставшуюся без изменений, обозначим через p. f f Как видно из полученного выражения, значение p имеет зависимость от It,i, j . Теорема 2 позволяет установить связь между å Mt,i å Mt,i касательными напряжениями τ2 и касательными = i=1 × r = i=1 Ibcir r = напряжениями большого круга τ через их при- τ2 j I × α I I × α j 1 t,i, j bcir f t,i, j ращение Δτ . Следствие из теоремы 2. Установленная å Mt,i взаимосвязь эпюр τ1 и τ2 через Dτ позволяет = i=1 Ibcir rj × p = Dτ × p. (10) сравнить их и отметить, что с учетом знаков они взаимодополняют друг друга до прямоугольников (рис. 4). Рис. 3. Аппроксимация прямоугольного поперечного сечения при помощи малых квадратов-кругов (a); эпюры приращений Dτ в сечениях 1-1 - 5-5 (b-f); суммарная эпюра (g); эпюра касательных напряжений τ1 в большом круге (h); прямоугольное сечение с эпюрами τ1 в центральных сечениях и эпюрами τ2 на гранях сечения (i); эпюры τ2 в сечениях 1-1 - 5-5 (j-n) [Figure 3. Approximation of a rectangular cross-section using small squares-circles (a); distribution of increments Dτ in sections 1-1 - 5-5 (b-f); summed distribution (g); distribution of tangential stresses in a large circle (h); rectangular cross-section with distribution of τ1 in the central sections and distribution of τ2 on the edges of the section (i); distribution of τ2 in sections 1-1 - 5-5 (j-n)] Теорема 3. Значения касательных напряжений, вычисленные для каждого из малых квадратов-кру- Mt τ2 = A × 1 . r (12) гов, обозначенные через t j τ2 , для сечений (полосок, включающих набор малых квадратов-кругов вдоль выбранного сечения), расположенных вблизи контурных граней прямоугольника, то есть достаточно удаленных от центра О, обратно пропорциональны радиусам rj , проведенным из центра большого круга Доказательство теоремы 3. В соответствии с формулой (4) полярный момент инерции соответствующего i-того квадрата-круга относительно центра тяжести O большого круга It,i, j равен собствендо центра соответствующего i-того квадрата-круга. ному полярному моменту инерции It,i , складываемому с добавочным, равным произведению квадрата расстояния между центром O и центром i-того го материала, для поперечных сечений произвольной формы (для составных стержней отмеченные малого квадрата-круга Oi на площадь i-того квадаспекты учитываются аналогично). рата-круга. При этом, если квадраты-круги находятся в сечениях - полосках, включающих набор малых квадратов-кругов вдоль выбранного сечения, удаленных от центра O (например, в сечениях, расположенных вблизи контурных граней прямоугольника), значениями собственных полярных моментов инерции можно пренебречь по срав- Картина распределения деформаций на участках стержней, прилегающих к нормальным сечениям, вырезающим узел [7; 13], напоминает, еще до появления трещин, картину, аналогичную выявленной В.И. Мурашевым в стадии трещинообразования. Поэтому представляется наиболее приемлемым учитывать такую концентрацию деформанению с добавочными моментами инерции. Тогда ций с помощью коэффициента ψb,τ по физическоиз формулы (4) получим: A f f å Mt,i Mt × å i му смыслу, аналогичному коэффициенту ψs , введенному в теорию железобетона В.И. Мурашевым [14]. Это позволяет оперировать в проведен- τ2 = i=1 It,i, j = Mt × f Arec × α × α × rj = × 1 . rj j i=1 Arec × r = j Ai × r2 × α (13) ных сечениях средними значениями деформаций, для которых уже справедлива гипотеза плоских поворотов. В стадии, когда сопротивление железобетонного стержня близко к упругому, коэффициент ψb,τ определяется с привлечением коэффициента концентрации деформаций k [7, 13]: В полученной формуле (13) τ2 обратно про- ψb,τ = 1 - ωγ k - 1 , (14) порционально rj , что и требовалось доказать. Использование эпюр таких напряжений τ2 позволяет выполнить аппроксимацию распределения касательных напряжений кручения прямоугольников как в центральных сечениях, так и в сечениях, расположенных по его периметру (рис. 2, a-c и 3, a-h). Рис. 4. Дополнение эпюр Dτ (I) до прямоугольников k где ωγ - коэффициент наполнения эпюры деформаций растянутой арматуры (или сжатого бетона) на участках, отстоящих на h от центра узла. При этом значения коэффициента k определяются по справочным данным или могут быть получены с использованием метода конечных элементов (МКЭ). Важным элементом предлагаемого подхода является также предоставляемая возможность (из-за разбиения сечения на малые квадраты-круги) учета местной депланации в углах и других резко изменяющихся геометрических параметрах, а также ее «возврата» в местах, соседствующих с квадратами с нулевой жесткостью. При учете местной депланации получим: Mt эпюрами τ2 (II) и τdep (III) в сечениях 1-1 - 5-5 [Figure 4. Adding diagrams Δτ (I) to rectangles w = G × It × f ( y, z ) × f2 ( x) = 2 2 with diagrams τ2 (II) and τdep (III) in sections 1-1 - 5-5] = Mt × a* - b* × y × z × l × æ1 - x ö + w , (15) G × I a2 b2 ç l ÷ loc 3. Методика для учета депланации t * + * è ø и концентрации угловых деформаций где wloc § местная депланация. Теперь остановимся на таких аспектах решения задачи, как учет концентрации напряженно-дефор- Ее целесообразно выразить сразу через составляющие относительных угловых деформаций мированного состояния (решение третьей задачи) и γdep, yx,loc и γdep,zx,loc , которые отсчитываются в учет местной депланации. Для простоты рассмотрим эти аспекты на стержнях, состоящих из однопредлагаемой методике относительно плоскости большого круга. ± = Mt * * a2 - b2 æ × × l × x ö - × z ± с учетом особенностей работы зоны сопряжения как γdep, yx γdep, yx,loc G × I 2 2 ç1 l ÷ плосконапряженного (или объемного) элемента при t a* + b* è ø его упругом сопротивлении. В итоге касательные напряжения в произволь- I × α × G ±æ Mt § r + Mt,i ö § r £ (16) çç è t equ j, A* It,i × α × G i, A* ÷÷ øyx γdep, yx,ul , ной точке поперечного сечения произвольной формы с учетом предлагаемых подходов складываются из следующих составляющих: γdep,zx ± γdep,zx,loc = Mt G × I a2 - b2 × * * 2 2 ç × l × æ1 x ö - ÷ × y ± l τt, A = τt, j, A,cond + τt,i, A,cond + τloc + τconc ± τconc,loc = t a* + b* è ø = Mt × r § Mt,i × r + + ± = I × α × G ±æ Mt § r + Mt,i ö § r £ (17) j, A i, A τloc τconc τconc,loc çç è t equ j, A* It,i × α × G i, A* ÷÷ øzx γdep,zx,ul , It ×α = Mt × y2 It,i × α + z2 § Mt,i × y2 + z2 + где γdep, yx,ul и γdep,zx,ul - составляющие предель- It ×α j, A j, A It,i ×α i, A i, A ных относительных угловых деформаций деплана- +τ + τ ± τ £ τ . (19) ции; γdep, yx и γdep,zx - составляющие относительloc conc conc,loc t,u ных угловых деформаций депланации; γdep, yx,loc Здесь τt, j, A,cond и τt,i, A,cond o касательные и γdep,zx,loc o составляющие относительных углонапряжения в произвольной точке А большого вых деформаций местной депланации, возникающих в малых квадратах-кругах, расположенных на гранях сечения и в других местах с резко изменяющимися геометрическими параметрами, точках A*, переходящих из плоскости поперечного сечения YOZ во взаимно перпендикулярные плоскости XOZ круга, описанного вокруг произвольного поперечного сечения после «конденсации» статико-геометрических характеристик сечения, «растворенного» по этому кругу, и касательные напряжения в произвольной точке А малого квадрата-круга после «конденсации» соответственно, эквивалентные и YOX. касательным напряжениям τ1 , вычисленным по Составляющие γdep, yx,loc и γdep,zx,loc опреформуле для круглого сечения (рис. 2, d, e, f, g); деляются с использованием закона парности касательных напряжений, при этом выбор знака перед rj, A , y j,A , z j, A - расстояния от центра большоними выполняется в зависимости от того, в каком квадранте прямоугольников (на которые разбивается поперечное сечение любой формы) расположена точка А*. Наконец, необходимо учесть наличие концентрации угловых деформаций в углах и других го круга, описанного вокруг поперечного сечения стержня, до произвольной точки А, находящейся в малом j-том круге, в которой определяются значения касательных напряжений кручения τt и ее координаты в общей системе координат YOZ; Mt - крутящий момент, действующий в поперечрезко изменяющихся геометрических параметрах, а также в направлении оси х, то есть применительном сечении стержня; It - площадь и полярный но к местной депланации. При этом коэффициент момент инерции поперечного сечения стержня, аппроксимированного малыми квадратами-кругами; концентрации ψb,τ,loc вдоль продольной оси стерж- τconc , τconc,loc o касательные напряжения, обусловня х определяется по аналогии с зависимостью (14) с привлечением коэффициента концентрации деформаций kloc : ленные силовой, геометрической и межсредовой концентрацией деформаций, а также составляющие, вызванные местной концентрацией, находят- ψb,τ,loc = 1 - ωγ,loc kloc -1, kloc (18) ся путем умножения касательных напряжений в зонах концентрации на коэффициенты, полученные где параметры ωγ,loc и kloc по смыслу аналогичны из формул (14) и (18) соответственно; ri, A , yi, A , параметрам, используемым в формуле (14), с той только разницей, что они характеризуют местное, а не общее поле угловых деформаций. zi, A - расстояния от центра малого i-того круга до произвольной точки А, находящейся в малом i-том круге, в которой определяются значения касатель- При этом значения коэффициента kloc легко ных напряжений кручения τt и ее координаты в могут быть получены с использованием МКЭ и местной системе координат YiOiZi; Mt,i - крутящий момент, приходящийся на i-тый малый круг, на которые разбито поперечное сечение стержня; It,i - полярный момент инерции i-того малого круга, на которые разбито поперечное сечение стержня (складывается из собственного полярного момен- Выводы По результатам проведенного исследования предложен новый подход в виде разработанной методики для определения касательных напряжений кручения для стержней произвольного поперечноj i та инерции и добавочного, равного r2 × A ); τ t,u - го сечения, базирующийся на упрощенных предпосылках сопротивления материалов. Его особенпредельные значения касательных напряжений кручения. ность заключается в аппроксимации прямоугольных и любых сложных поперечных сечений конструк- Дополнительно к равнодействующим τt, A , ций (в том числе железобетонных) с помощью их отыскиваемым по формуле (19), для соответствующих кругов необходимо учитывать составляющие, связанные с депланацией прямоугольного сечения [7]. Тогда, складывая составляющие касательных напряжений при кручении τt, A,xy , τt, A,xz , τdep, yx и τdep,zx , получим результирующие напряжение разбивки на квадраты с вписанными в них кругами. При этом для определения касательных напряжений кручения в произвольной точке А в соответствующем круге поперечного сечения, расположенном на расстоянии х от опоры, вначале отыскиваются касательные напряжения для этой точки в большом круге после «растворения» его статико-геометрических характеристик по этому кру- τsum, A . τsum, A = ( )2 ( )2 гу, которые затем суммируются с касательными напряжениями малого круга для этой же точки А. В пределах большого и каждого i-ого круга становится справедливой зависимость касательных напряжений кручения от расстояния до центра рас- = τt, A,xy + τdep,sum,xy § τt, A,xz + τdep,sum,xz , (20) сматриваемого круга, до произвольной точки А, расположенной в большом круге, в i-том малом где τdep,sum,xy, и τdep,sum,zx - суммарные составкруге. Максимальные напряжения, согласно предляющие касательных напряжений депланации, общей и местной, усредненные в i-том круге. Разработанную методику также можно применять для стержней составного сечения, но при этом необходимо принимать во внимание, что распределение действующего в поперечном сечении крутящего момента выполняется пропорционально соотношениям между общей сдвиговой жесткостью поперечного сечения и сдвиговой жесткостью каждого из приведенных малых кругов (на которые разбито поперечное сечение) относительно общего геометрического центра поперечного сечения: лагаемой методике, достигаются в серединах длинных сторон прямоугольника, что соответствует их действительному распределению. При этом такая модель позволяет снять вопрос о необходимости использования специальных таблиц для расчета и не только в упругой стадии. Предлагаемый подход также позволяет отделить напряженно-деформированное состояние в целом наборе круглых сечений от дополнительного поля, связанного с депланацией прямоугольного сечения. Нами откорректированы и существенно дополнены зависимости для учета депланации стержня прямоугольного поперечного сечения, введено Mt,1 = M At,1 × G1 = M t At × G1 t At,2 × G2 At,1 , At понятие и предложены зависимости для учета местной депланации. Акцентируется внимание на физической сути продольных перемещений, обусловленных депланацией, проводится аналогия с эле- Mt,2 = Mt A × G , ... ментарными перемещениями, вызываемыми сдвиt 1 говыми усилиями. Предложенная методика позволяет учитывать Mt,i = Mt At,i × Gi , At × G1 (21) концентрацию угловых деформаций во входящих углах и других резко изменяющихся геометрических параметрах как относительно плоскости погде G1, G2 , Gi - модули сдвига для 1, 2 и i-того перечного сечения, так и в направлении продольмалых кругов соответственно (для кругов, попадающих в большой круг, но выходящих за контуры поперечного сечения стержня произвольной формы, принимаются равным нулю). ной оси стержня. При этом используется прием, аналогичный введенному в теорию железобетона В.И. Мурашевым [14], который применим и после появления трещин в железобетонных стержнях.

Об авторах

Владимир Иванович Колчунов

Юго-Западный государственный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: vlik52@mail.ru

доктор технических наук, профессор кафедры уникальных зданий и сооружений

Российская Федерация, 305040, Курск, ул. 50 лет Октября, 94

Алексей Иванович Демьянов

Юго-Западный государственный университет

Email: vlik52@mail.ru

кандидат технических наук, доцент кафедры уникальных зданий и сооружений.

Российская Федерация, 305040, Курск, ул. 50 лет Октября, 94

Николай Валерьевич Наумов

Юго-Западный государственный университет

Email: vlik52@mail.ru

аспирант кафедры уникальных зданий и сооружений

Российская Федерация, 305040, Курск, ул. 50 лет Октября, 94

Список литературы