Анализ надежности материала георешетки со случайными нелинейными вязкоупругими характеристиками

Полный текст

Введение Известно, что георешетки широко применяются в транспортном строительстве, а именно при сооружении оснований для аэродромов, самолетных ангаров, вертолетных площадок, армировании конструктивных дорожных одежд автодорог, укреплении поверхностей откосов земляного полотна автои железных дорог и т.д. Одновременно возникает проблема обеспечения безотказной работы георешеток в течение заданного срока служ- бы. В различных методических документах, например в [1], отмечается, что заданный срок службы должен быть обеспечен с уровнем надежности не ниже 0,95. Отметим, что продолжительность срока службы георешеток зависит от их назначения. Так, срок службы георешеток, используемых для усиления откосов насыпей земляного полотна железных и автодорог может быть ограничен временем образования дернового слоя на поверхности откоса (примерно 2 месяца), повышающего устойчивость откоса к размывам. Заметим также, что достоверный прогноз продолжительности срока службы георешеток, т.е. их долговечности, может быть дан только на основе длительных испытаний, позволяющих выявить вязкоупругие свойства материала. Экспериментальным исследованиям вязкоупругих свойств материала георешеток посвящены работы [2-6]. В [2] приводятся результаты статистического анализа характеристик вязкоупругости материала георешеток различных типов при растяжении. Показано, что изучаемый материал обладает свойством нелинейной ползучести, причем характеристики вязкоупругости имеют значительный статистический разброс. В [3] исследуются вязкоупругие свойства геополотенец и георешеток различной структуры в режимах ползучести и релаксации. Отмечено, что геосинтетические материалы обладают существенным различием в их вязкоупругих свойствах. В [4] на основе краткосрочных испытаний на ползучесть геосеток из полиэфира и георешеток из полипропилена при повышенных температурах с помощью метода температурно-временной аналогии дается прогноз их поведения в течение 30 лет эксплуатации. Подчеркивается, что образцы из полиэфира менее подвержены ползучести по сравнению с образцами из полипропилена. В [5] рассматривается изменение показателей прочности геосинтетических материалов с течением времени путем сравнения указанных параметров для материала, бывшего длительное время в эксплуатации, с прочностными характеристиками образцов нового аналогичного материала. Полученная на основе указанных опытов зависимость прочности от времени сравнивается с теоретическими подходами, заложенными в европейские нормы проектирования армогрунтовых конструкций (EBGEO). В [6] сравниваются результаты длительных испытаний георешеток из нетканого полипропилена, размещенных в массиве плотного песка, с лабораторными опытами, а также результатами, полученными другими исследователями. Для анализа результатов натурных испытаний предложена аналитическая модель. Исследованию поведения во времени на основе метода конечных элементов георешеток с учетом нелинейной ползучести при их взаимодействии с массивом грунта посвящены работы [7-9]. В [7] представлены результаты расчета нескольких ячеек георешетки при их анкерном креплении в тело откоса насыпи. В [8] проводится имитирование поведения во времени массива песка, усиленного полимерной георешеткой. В [9] выполнено исследование влияния ползучести геосинтетического усиления на сдвиговые деформации оснований насыпей, укрепленных колоннами. Следует отметить, что в вышеперечисленных трудах задача решалась в детерминистической постановке. Однако характеристики вязкоупругости геосинтетиков, как отмечалось ранее, имеют существенный статистический разброс, поэтому такие задачи целесообразно решать в вероятностной постановке. Цель Целью данной работы является исследование влияния различных факторов (уровень действующих напряжений, замена постоянной нагрузки на случайную, количество имитируемых реализаций случайного процесса относительной деформации) на обеспечение требуемого срока службы материала георешетки при заданном уровне надежности. Под надежностью понимается вероятность безотказной работы, причем отказом считается первое превышение случайной относительной деформацией некоторого заданного уровня. В качестве последнего принята величина относительной деформации, отвечающая условному пределу текучести материала георешетки, равная, согласно исследованиям, представленным в [2], 0,05. Методы В [2] для материала георешетки Геомат С-60 была принята следующая зависимость относительной продольной деформации ε от времени t: σ k β ε( )t  cσ t . (1) E Согласно [2], k = 2,175, а коэффициенты E, lnβ, c являются компонентами гауссовского слу-r чайного вектора θ = ( ,lnβ, )E c t с характеристиками: <E> = 264 МПа; SE = 45,7 МПа; <lnβ> = -1,14; Slnβ = 0,13; <c> = 0,00043 (МПа)-k × (сутки)-β; Sc = 0,00013 (МПа)-k × (сутки)-β; rE_c = -0,04; rE_lnβ = 0,44; rc_lnβ = -0,48. Здесь угловыми скобками обозначены оценки среднего значения случайной величины, символом S - оценки среднеквадратического отклонения, символом r - оценки коэффициента корреляции между соответствующими случайными величинами. Реализации гауссовского случайного вектора r  с заданной корреляционной матрицей можно численно моделировать с помощью метода линейного преобразования [10]. Согласно указанному методу процентрируем и r пронормируем случайный вектор . Полученный r таким образом вектор обозначим α = (α ,α ,α )1 2 3 t . r Для справедливо соотношение r  Hr . (2) Здесь γ = (γ ,γ ,γ )r 1 2 3 t - вектор, координаты которого являются независимыми гауссовскими случайными числами с параметрами (0,1); Н - матрица 3-го порядка. Приняв ее в треугольном виде, найдем α1  h11 1γ α2  h21 1γ + γh22 2 (3) 3  h311 h322  h333 . Коэффициенты hij определяются из соотношения rij  <α α >.i j (4) r Реализацию случайного вектора r  получим на основе реализации вектора , проведя необходимые преобразования с его компонентами: ESE1E β  exp(Slnβα2  lnβ ) (5) с Sс3 с . Результаты В таблице представлены статистические харакr теристики случайного вектора , найденные численно на основе различного числа реализаций. Они сопоставляются с аналогичными характеристиками, определенными по экспериментальным данным, указанным выше. Можно заметить, что при увеличении количества реализаций параметры имитируемого случайного вектора приближаются к заданным значениям. Исследуем поведение во времени материала георешетки при растяжении с учетом его случайных свойств. На рис. 1-3 представлены графики функций математического ожидания и среднеквадратического отклонения случайного процесса относительной продольной деформации материала георешетки, а также функции вероятности его безотказной работы, полученные при различном числе моделируемых реализаций, а именно 1000, 5000, 10 000, для уровня напряжений, составляющего 35 % от разрушающего. Как видно из представленных результатов, соответствующие кривые, полученные на основе статистического анализа 1000, 5000 и 10 000 реализаций, практически совпадают. Таким образом, для анализа поведения во времени материала георешетки можно ограничиться моделированием 10 000 реализаций случайного процесса относительной деформации. Результаты, приведенные ниже, получены путем статистического анализа именно такого количества реализаций. Таблица r Статистические характеристики случайного вектора θ r Число реализаций [The number of implementations] <E> SE <lnβ> Slnβ <c> × 105 Sc × 105 rE_lnβ rE_c rc_lnβ 1000 265 44,7 -1,14 0,13 43 13 0,45 -0,07 -0,49 5000 264 45,1 -1,14 0,13 43 13 0,43 -0,05 -0,46 10 000 265 45,4 -1,14 0,13 42 13 0,42 -0,04 -0,47 Опыт [Experience] 264 45,7 -1,14 0,13 43 13 0,44 -0,04 -0,48 [Table. Statistical characteristics of a random vectorθ] Рис. 1. Функция математического ожидания относительной деформации при различном числе моделируемых реализаций [Figure 1. Function of mathematical expectation of strain under different number of imitated realizations] Отметим нестационарность случайного процесса относительной деформации. Кроме того, функция математического ожидания относительной деформации оказывается очень близкой к решению детерминированной задачи, получаемому на основе соотношения (1), если приравнять в этом соотношении случайные величины E, β, c соответствующим средним значениям. Рис. 2. Функция среднеквадратического отклонения относительной деформации при различном числе моделируемых реализаций [Figure 2. Function of standard deviation of strain under different number of imitated realizations] Рис. 3. Функция вероятности безотказной работы при различном числе моделируемых реализаций [Figure 3. Function of probability of no-failure under different number of imitated realizations] На рис. 4-5 приведены графики функций математического ожидания и среднеквадратического отклонения случайной относительной деформации материала георешетки, полученные при различных уровнях растягивающих напряжений. Здесь нижние кривые соответствуют напряжениям, равным 25 % от разрушающего напряжения, средние кривые - 30 %, верхние - 35 %. Из рис. 4 следует, что для детерминированной задачи при уровнях напряжений, равных 35 и 30 % от разрушающего, долговечность материала георешетки составляет 6 и 22 суток соответственно, при уровне напряжений 25 % от разрушающего долговечность превышает заданный срок службы. Под долговечностью в данном случае понимается время, проходящее до момента превышения относительной деформацией допускаемой величины. Рис. 4. Функция математического ожидания относительной деформации при различных уровнях растягивающих напряжений [Figure 4. Function of mathematical expectation of strain under different values of tension stresses] Время, сутки Рис. 5. Функция среднеквадратического отклонения относительной деформации при различных уровнях растягивающих напряжений [Figure 5. Function of standard deviation of strain under different values of tension stresses] На рис. 6 представлены графики функции вероятности безотказной работы материала георешетки, полученные при различных уровнях растягивающих напряжений. Нижняя сплошная кривая соответствует напряжениям, равным 35 % от разрушающего напряжения, средняя сплошная кривая - 30 %, верхняя прямая - 25 %. При уровне напряжений, равном 25 % от разрушающего, в течение заданного интервала времени отказа не происходит, т.е. уровень надежности составляет 1. При уровнях напряжений 30 и 35 % от разрушающего срок службы материала георешетки при уровне надежности 0,95 составляет 6 и 1 сутки соответственно, что существенно ниже оценок долговечности, полученных при детерминированной постановке задачи (22 и 6 суток). Штриховая кривая на рис. 6 соответствует функции вероятности безотказной работы материала георешетки при уровне напряжений, равном 35 % от разрушающего, и более высокой допускаемой величине относительной деформации (0,1). Следовательно, двукратное повышение допускаемой деформации при прочих равных условиях приводит к резкому повышению надежности рассматриваемой системы. На рис. 7 представлены графики функции вероятности безотказной работы материала георешетки, причем штриховая кривая отвечает действию постоянной нагрузки, равной 35 % от разрушающей, сплошная кривая соответствует действию нагрузки в виде гауссовой случайной величины с математическим ожиданием, равным 35 %, и среднеквадратическим отклонением, равным 3,5 % от разрушающей нагрузки. Рис. 6. Функция вероятности безотказной работы при различных уровнях растягивающих напряжений [Figure 6. Function of probability of no-failure under different values of tension stresses] На начальном временном интервале (примерно 5 суток) вероятность безотказной работы элемента георешетки с постоянной нагрузкой несколько выше аналогичного фактора элемента со случайной нагрузкой. С течением времени картина меняется на противоположную. Подчеркнем, что приведенные результаты получены для отдельного образца материала георешетки. Между тем в работе [7] показано, что учет свойств грунта заполнения георешеток, а также сил трения, появляющихся на поверхности контакта грунта заполнения и откоса насыпи, приводит к существенному замедлению роста деформаций ползучести во времени. Однако в представленной работе на простом примере проиллюстрирована необходимость учета случайной природы свойств материала и нагрузок при решении подобных задач. Рис. 7. Функция вероятности безотказной работы при действии постоянной и случайной нагрузок [Figure 7. Function of probability of no-failure under constant and random loadings] Рис. 8. Гистограмма долговечности материала георешетки [Figure 8. Bar chart of geogrid material durability] Следует отметить, что в рамках вероятностного решения можно помимо функции вероятности безотказной работы системы получить вероятностное распределение долговечности, которая является случайной величиной. На рис. 8 представлена 6-ти разрядная гистограмма долговечности материала георешетки со случайными характеристиками вязкоупругости при действии постоянных напряжений, равных 35 % от разрушающего. При этом среднее значение долговечности равно 13,7 суток, а коэффициент вариации равен 0,3. Очевидно, что приведенное вероятностное распределение долговечности затруднительно аппроксимировать каким-либо статистическим законом. Выводы Проведено численное исследование поведения во времени материала георешетки со случайными нелинейными вязкоупругими свойствами. Показано, что решение задачи в вероятностной постановке приводит к существенному снижению оценок долговечности по сравнению с аналогичной задачей, решаемой в детерминированной постановке. В вероятностном решении увеличение допускаемого уровня относительной деформации приводит к повышению надежности рассматриваемой системы, а замена постоянной нагрузки на нагрузку в виде гауссовской случайной величины с малым коэффициентом вариации оказывает неоднозначное влияние на функцию безотказной работы.

Об авторах

Александр Игоревич Марасанов

Автор, ответственный за переписку.
Email: marasanovai@yandex.ru

кандидат технических наук, доцент кафедры строительной механики

Список литературы