Принцип наложения как основополагающая ошибка теории ползучести и стандартов по железобетону

Полный текст

Принцип наложения является основой как современной научной теории ползучести бетона, получившей у зарубежных ученых название «мирового гармонизированного формата», так и разработок «в последние десятилетия международных институтов стандартизации... для рекомендаций, норм и технических руководящих документов» [1-3]. Здесь же указывается, что Мак-Генри в США (1943 г.) «обосновал эту тенденцию экспериментальными исследованиями ползучести герметичных образцов по принципу наложения, свойственному теории Вольтерра». Основной закон ползучести бетона приведем в оригинальных обозначениях [1]. t εσ (t )= σ(t0 )J (t, t0 ) + ò J (t, t ¢)dσ(t ¢) , (1а) t0 1 φ(t, t¢) где εσ (t ) - полная деформация от напряжения σ(t); J (t, t¢) = Ec c (t¢) + E (t¢) - функция податливости; Ec (t¢) · нестационарный модуль упругости; φ(t, t¢) - нестационарная характеристика ползучести, учитывающая старение. В научных публикациях обычно интегрируют в (1а) по частям, получая ( ) o t t ¶ é 1 φ t, t ¢ ù εσ (t ) = - ò σ(t ¢) ê ( ) + údt ¢ . (1б) t Ec (t ) 0 ¶t ¢ ë Ec (t ¢) Ec (t ¢)û φ(t, t ¢) Заметим, что слагаемое Ec (t ¢) является мерой ползучести бетона C(t,t′), используемой в публикациях в нашей стране, что предпочтительнее применения характеристики ползучести при обработке экспериментов. Подчеркнем, что в φ(t,t′) и C(t,t′) учитывается старение бетона, а модуль упруго-мгновенной деформации Ec(t′) существенно зависит от возраста бетона. Уравнения (1а), (1б) обосновываются двумя основополагающими допущениями: принципом линейной связи между напряжениями и деформациями εσ (t, t¢) = σ(t¢)J (t, t¢) ; (1в) принципом наложения, словесно сформулированном в различных вариантах изложения в многочисленных общеизвестных публикациях по теории ползучести бетона, справочниках, например в [9]. Серьезные ошибки в (1а) делают нормативную теорию несоответствующей Еврокоду, ненадежной и неэкономичной. При годовом объеме 4 млрд. м3 применения в мире бетона и железобетона, потери от таких норм и расчетов составляют значительную величину. Напомним также о трагедии обрушения Трансвааль-парка (Москва, 2004 г.), обусловленной проблемами ползучести бетона. Отметим, что статья не имеет отношения к «продолжающимся спорам, ...расхождениям и неопределенностям», существующим в данном разделе ползучести железобетона. Также здесь не идет речь об иной точке зрения. Авторы, пользуясь системой Еврокода, выявляют и анализируют ошибки в той области ползучести, где, как свидетельствуют руководители и разработчики норм, есть «установившийся консенсус» [1-3]. Главная математическая ошибка (1а) заключается в ее основе - принципе наложения, появившемся в теории железобетона после работы Мак-Генри. Этот принцип неверно строит ядро ползучести, неправильно описывает процессы изменения мгновенных деформаций и деформации ползучести. Ошибочность принципа наложения можно установить различными способами: например, построением и решением дифференциального уравнения, соответствующего линейной связи (1в); решением обратной задачи классической механики; анализом величины полной скорости деформации, соответствующей (1в). На основании последнего способа имеем v (t,t¢) = σ& (t¢)× J (t,t¢) + σ(t¢) ¶J (t,t¢) + σ(t¢) ¶J (t,t¢) . o ¶t ¶t¢ Отсюда видно, что в основном законе (1а) потеряны четыре слагаемых, вызванных скоростью изменения коэффициента податливости - σ(t¢) E&c (t ¢) + σ( ¢) 1 ( ) ¶φ(t, t ¢) 1 o σ t ¢ ( ) ( ) c ¶φ(t, t ¢) E& (t ¢) - σ t ¢ φ t, t ¢ , (2) E 2 (t ) t E (t ¢) ¶t E (t ¢) ¶t ¢ E 2 (t ) c ¢ c c c ¢ причем по значимости они сопоставимы с оставшимся слагаемым. Эти потери вызывают значительные расхождения между теорией и экспериментами, описанные в научной литературе, например [7]. В принципе наложения совершаются с ошибками (и без надобности) противоположные математические действия над известным результатом (1в) классической теории: сначала его дифференцирование, затем интегрирование. В процессе дифференцирования теряются слагаемые: одно у мгновенных деформаций и несколько у деформаций ползучести; после интегрирования потери переходят в значения деформаций, а затем в теорию расчета конструкций. Принцип наложения коверкает классического вида линейную связь (1в), вызывая три вида ошибок [4-5; 8], искажающих теорию ползучести бетона: 1. неверно определяет значения кратковременных линейных деформаций; 2. неправильно находит выражение ядра, описывающего процесс изменения деформаций линейной ползучести; 3. ошибочно причисляет к деформациям ползучести мгновенные упругие деформации. Рассмотрим их подробнее. 1. Скорость упругой деформации равна ε& ¢ = σ& ¢ 1 + σ ¢ ¶ 1 . Интегрируя, имеем у (t ) (t ) Ec c (t ¢) (t ) ¶t ¢ E (t¢) t 1 t ¶ 1 ε у (t )- ε у (t0 ) = ò t0 Ec t c (t ¢) dσ(t ¢) + ò σ(t ¢) ¶t ¢ E 0 (t ¢) dt ¢ . Интегрируя первое слагаемое по частям, найдем ( )- ( ) = σ(t ) - 0 σ(t ) t - ( ¢) ¶ 1 t ¢ + ( ¢) ¶ 1 ¢ ε у t ε у t0 Ec (t ) Ec (t0 ) ò σ t t0 ¶t¢ Ec (t ¢) dt ò σ t t0 ¶t ¢ Ec (t¢) dt . Отсюда кратковременная деформация равна ε (t )= σ(t ) ; (3) у Ec (t ) также видно, что первое слагаемое под знаком интеграла (1б) является лишним, а использование в (1а) и (1б) принципа наложения ε (t ) = 0 σ(t ) t - 1 dσ(t ¢) = σ(t ) t - σ(t ¢) ¶ 1 dt ¢ c у (4) Ec глубоко ошибочно. (t0 ) ò t0 Ec (t ¢) E (t ) ò t0 ¶t ¢ Ec (t¢) Принцип наложения ошибочно реконструирует фактическую, реальную упругую линейную модель бетона с модулем Ec(t); он приделывает к ней несуществующую и нереальную модель линейной вязкой жидкости с коэффициен- E2 (t') том вязкости K (t') = c , образуя таким способом схему Максвелла. c 1 Ė (t') Рассмотрим пример: положив в (3), (4) σ(t) = σ0 = const, получим ε = σ 0 и ε (t ) = σ0 = const. Сравнение этих деформаций показано на у (t ) рис. 1. Ec (t ) у 0 Ec (t0 ) Рис. 1. Сравнение εу(t0) и εу(t) [Fig. 1. Comparison εу(t0) and εу(t)] Кривая 2 на рис. 1 соответствует данным ВНИИГ об изменении модуля упругости Ec(t) во времени. Ошибки в значении упругой деформации при t = 360 дн. достигают ≈ 300%. 2. В области деформаций ползучести число добавочных (фиктивных) тел, возникающих ввиду неверной схемы построения ядра ползучести (наследственной функции I рода), существенно возрастает. Оно зависит от вида функции φ(t,t′), описывающей нестационарную характеристику ползучести в основном законе (1а). Запишем эту функцию в общеизвестном, широко используемом в научной литературе, виде φ(t,t') Ec (t') = φ¥ (t ¢)[1 - e-γ(t-t¢)] Ec (t ¢) , (5) где φ¥ (t¢) - функция, учитывающая старение бетона. В известной монографии И.Е. Прокоповича характеристика ползучести φ(t,t′) у зарубежных ученых имеет обозначение C (t, τ) - это тождественные величины. В случае (5) основной закон (1а) образует четыре лишних (фиктивных) тела: два тела типа Фойгта и два вязких элемента, соединенных последовательно между собой. Деформации этих тел равны t 1 -γ t -t¢ (t′) EEcс (t¢) ε1ф (t ) = ò σ(t¢) ( ) e ( )dt¢ , η1ф (t¢) = φ& (t¢) ; (6) t0 η1ф t¢ ¥ t η ε 2ф (t ) = ò σ(t ¢) 1 (t ¢) dt ¢ , η2ф (t¢) = E 2 (t' ) 1 c ; Ė (t') φ (t') (7) t0 2ф c ¥ t 1 -γ t -t¢ E 2 (t' ) 1 ε3ф (t ) = ò σ(t¢) ( ) e c ( )dt¢ , η3ф (t¢) = ; (8) t η3ф t¢ 0 t 1 Ėc (t') φ¥ (t') (t′) EEcс (t¢) ε 4ф (t ) = ò σ(t ¢) t0 η4ф (t¢) dt¢ , η4ф (t¢) = - φ& ¥ (t¢) , (9) где η1ф, ... , η4ф - коэффициенты вязкости или коэффициенты внутреннего сопротивления фиктивных тел, причем тела (8) Фойгта и (9) вязкого элемента при сжатии расширяются. Деформации ползучести (6-9), вызванные воздействием принципа наложения на классическую связь (1в), являются фикцией; они суммируются также с кратковременной фиктивной деформацией t ¶ 1 ¶ ¢ ε5ф (t ) = - ò σ(t¢) dt': (10) t0 t 5 Ec (t' ) εσф (t )= åε iф (t ) i=1 и вносят большие погрешности в значение полной деформации εσ(t), определяемые законом ползучести (1б). К примеру (Рекомендации, 1988 г.), при постоянных напряжениях ошибка от применения принципа наложения для деформаций ползучести доходит до 100%: t òΩ(τ) f (t - τ)dτ εcσ (t )ошибки t0 εcσ ( (t )принцип = 1 - Ω t0 ) f (t - t0 )dτ , где Ω(τ) - функция влияния старения на меру ползучести; f (t - τ) - функция, учитывающая нарастание во времени меры ползучести. 3. Факт появления в ядре ползучести интегрального уравнения (1б) еди- 1 ничной кратковременной деформации : Ec (t') ¶ [ε (t ¢) + C(t, t ¢)]= ¶ ê у ( ) + C(t, t ¢)ú éε t ¢ ù ¶t ¢ у,1 ¶t ¢ êë σ(t ¢) úû привел к соблазну ошибочной подмены свойств кратковременной деформации εу,1(t′) свойствами деформаций наследственного типа εу,1(t,t′). Ошибка подправляется совершением новых ошибок. Бетон имеет существенно нелинейные свойства при кратковременном и длительном загружениях. Кратковременная диаграмма загружения имеет ниспадающий участок и ограниченную протяженность (рис. 2). В основном законе (1а), (1б) учитывается только линейная деформация εл (t) = εу (t) и игнорируется нелинейная деформация εн(t) (рис. 2). С.В. Александровский указывает на причину этого обстоятельства: «Учесть одновременно зависимость модуля упругости от напряжений и от возраста бетона весьма трудно. Поэтому современная теория ползучести бетона учитывает только изменение модуля во времени...». Рис. 2. Искажение диаграммы σ-ε бетона [Fig. 2. The distortion of the σ-ε diagram of concrete] Рассмотрим два типа такой подмены. Первая подмена. На представительном форуме ставится ошибочная задача об «учете влияния предыстории деформирования на модуль упруго-мгновенных деформаций». Основное уравнение теории ползучести приобретает вид (в оригинальных обозначениях) o t t ¶ é 1 ù ε(t )= () - ò σ(τ) ê + C(t, τ)údτ . (11) t Ec (t, t ¢) 0 ¶τ ë Ec (t, τ) û Появляется «экспериментально обоснованное» выражение для модуля упругой деформации бетона Et,τ = Et + an,τφt Eτ , где φt - характеристика ползучести бетона. Появляются и другие ошибочные формы основного закона ползучести + ε(t )= σ(t ) E(t ) ò ¶ t σ(τ) ¶τ ò ¶ t χ(t, τ)dτ - σ(τ) C * (t, τ)dτ , (12) ¶τ ¶ * ¶ é 1 τ1 τ1 + ù где C ¶τ (t, τ) = ê τ ë E τ ¶ ( ) C(t, τ)ú ; χ(t,τ) - имеет название «снижающая поправ- û ка... к текущим удельным упруго-мгновенным деформациям». Вторая подмена. Нелинейная кратковременная деформация εн(t) ошибочно наделяется свойствами деформации наследственного типа εн(t,t′), привлекается ошибочный принцип наложения, и, вместо простой алгебраической формулы εн (t )= B2 (t )σ 2 (t ) (B2 - известный коэффициент), измысливается интеграл t (t )= ò (t ¢) ¶ ε (t, t ¢) t dt ¢ = ò (t ¢) ¶ C (t t ¢)d ¢ εн σ t0 ¶t ¢ н σ(t ¢) o н , t ¶t ¢ 0 t , (13) где Cн(t,t′) - называется мерой быстронатекающей ползучести. Мера быстронатекающей ползучести Cн(t,t′) складывается с обычной мерой ползучести C(t, t') + C H (t, t') = 1 j(t, t') + φ (t, t' ) , [ H ] Ec (t') (14) учитываемой в (1б). Грубые просчеты теории от такой подмены кратковременной нелинейности бетона мы рассмотрели в [4] и [8]. Известные зарубежные ученые переименовали «быстронатекающую ползучесть» в «минутную ползучесть», а ошибочную идею второй подмены преподносят как свое важное достижение. Принцип наложения в теории ползучести бетона является математической ошибкой, совершаемой при расширительном толковании принципа линейной суперпозиции Больцмана. В международных нормах железобетона он оценивается неверно: якобы это «тенденция исследования ползучести... по принципу наложения, свойственному теории Вольтерра». Рассмотрим данную ситуацию подробнее. Сущность и вторичность схемы Больцмана для теории ползучести бетона исследуем на примере бетона, рассматриваемого в известной работе Г.Н. Маслова под № 4. Здесь бетон имеет стационарные свойства, соответствующие классической теории. В обозначениях Г.Н. Маслова функция податливости имеет вид J (t - t¢) = Φ(t - τ) = a - be-β(t-τ) , где 0 a = C0 + E0 ; E C0 E0 - модуль упругости; b = 1 ; E0 η = C0 , η - стационарный β коэффициент линейной вязкости. Основополагающее в теории ползучести решение соответствующего дифференциального уравнения, как известно, имеет вид t σ ε (t ) = σ(t ) - ò σ(t¢) 1 ¶φ(t - t¢) dt¢ , (15а) E0 t0 E0 ¶t¢ где φ(t - t ¢) = E 1 0 C0 [1 - e -β(t -t¢) ] - характеристика ползучести. Случай Больцмана получается из решения (15а) путем ряда его преобразований, математически соответствующих лишь в условиях стационарных свойств é 1 1 ù t é 1 1 ù εσ (t ) = σ 0 ê + φ(t - t0 )ú + ò ê + φ(t - t¢)údσ(t¢). (15б) ë E0 E0 û t0 ë E0 E0 û В преобразовании (15б), в отличие от (15а), используется функция податливости, что привлекло внимание ученых. Однако, преобразование (15б) возможно только при существенных и весьма сильных отграничениях. При расширительном толковании податливости эти отграничения не учли, и теория ползучести бетона оказалась глубоко ошибочной. Здесь, во-первых, мгновенной деформации с крайне простым физическим смыслом для произвольного t навязывается свойство процесса, создающего соблазн расширения теории и превращающегося в указанную выше грубую ошибку при нестационарных E(t′), сопровождающую нормативную линейную теорию ползучести бетона. В научной литературе даже имеется авторитетное утверждение, что «упруго-мгновенные деформации строго подчиняются... принципу наложения». Во-вторых, нужно проинтегрировать (15а) по частям, что при расширительном толковании функции податливости в условиях старения бетона (1а) создает дополнительный соблазн, традиционно приводящий к еще одной грубой ошибке при нахождении ядра интегрального уравнения; как известно, при нестационарных свойствах бетона деформация ползучести получается из иного решения дифференциального уравнения, записываемого в более сложном виде é t 1 ù ε cc (t )= e -F (t )êε c0 + ò σ(t ) ( ) e F (t )dt ú , ë û ê t0 η t ú t F (t ) = òβ(t )dt , t0 когда параметры η(t) и β(t) в (15а) являются функциями времени. В бетоне Г.Н. Маслова скорость деформации вырождается из-за разностного ядра. В случае же расширительного толкования коэффициента податливости применение принципа Больцмана обычно становится неверным. Нестационарная модель бетона Маслова с коэффициентом вязкости η(t ) = C0 (t ) β и модулем E0(t), зависящими от времени, демонстрирует следующее: · удовлетворяет экспериментам с простым загружением при низких уровнях σ » 0,1Rпр ; · удовлетворяет требования классической механики; · не удовлетворяет условиям принципа Больцмана. Принцип Больцмана коверкает сущность нестационарной модели Маслова. Одно классическое тело ползучести бетона он заменяет цепной моделью последовательно соединенных тел с набором ошибочных свойств. В теории ползучести бетона присутствует случай, когда и при разностном ядре расширительное толкование функции податливости недопустимо. Например, ядро ползучести в ряде известных работ представляется в виде (второй случай) -β(t-t¢) K (t - t¢) = Ae . (t - t¢)α-1 Этому кинематическому уравнению движения, в связи с решением обратной задачи механики, соответствуют определенные силы. Здесь из анализа дифференциального уравнения ползучести выявляется, что в этом ядре присутствует сила сопротивления с коэффициентом вязкости линейной модели, равным η(t,t¢) = 1 (t - t¢)α-1 , что невозможно, как в вышеотмеченном случае примене- A ния наследственных свойств модуля упругости E(t,t′) и по тем же причинам. Третий случай соответствует расширительному толкованию функции податливости в «цепной модели». Он присутствует в теоретической реологии, а как повторение - в нормах железобетона. Предварительно запишем схему Больцмана для тела Максвелла в виде é 1 1 ù t é 1 1 ù εσ (t ) = σ 0 ê + (t - t0 )ú + ò ê + (t - t ¢)údσ(t ¢) , (16) ë E0 η û t0 ë E0 η û где η - стационарный коэффициент вязкости. При переменном коэффициенте вязкости рения бетона (Ф. Дишингер, Ч. С. Уитни): η(t ) = E0 получаем теорию стаφ& (t ) φ(t ) = φ¥ (1 - e-bt ), которая путем разложения в ряд дает функцию Фройденталя тами Дэвиса и Гленвилля. φ(t) = φ¥t 1 b + t , обоснованную опы- В «цепной модели» путем последовательного соединения тел (15а) и (16) имеем расширительную запись функции податливости J (t - t ¢) = 1 E0 + 1 φ(t - t¢) + 1 (t - t ¢). (17а) E0 η Пару интегральных уравнений, соответствующих расширительной гипотезе (17а) и разрешенных либо относительно деформаций εσ(t), либо относительно напряжений σ(t), в теоретической реологии называют «уравнениями Больцмана - Вольтерры»; также указано, что эта пара «представляет полную математическую формулировку принципа линейной суперпозиции». Однако такая цепная модель с расширительным толкованием коэффициента податливости является существенно ошибочной; об этом свидетельствует приведение ее к дифференциальной форме: &ε& (t ) η + ε& (t )η = σ&(t ) η æ + σ& (t )ç η + 1 + ö η ÷ + σ(t ) . (17б) o β σ è E0β ç E0 ø β C0 ÷ Из (17б) видно, что в ней присутствует сила сопротивления &ε&σ (t )η , про- β порциональная ускорению, что несовместимо с классической механикой, и, в связи со ст. 5.1.1(3)P Еврокода 0, цепная модель является несоответствующей расчетной моделью. Составляющие силы расчетной модели могут быть функцией от положения εσ (t ) , скорости ε& σ (t ) , времени и других величин. Если же присутствует (среди прочих) сила, пропорциональная ускорению &ε&σ (t ) , то оказывается нарушенным фундаментальный принцип механики о независимости действия сил. Известный ученый Л. Паре установил неприемлемость таких сил и в задачах механики, и в приложениях [6]. К сожалению, в научной литературе по бетону и международных нормах присутствует целый ряд ошибок, аналогичных описанной и состоящих в расширительном толковании функции податливости в виде цепной модели [1], в том числе для учета быстронатекающей ползучести. Так, в случае последовательного соединения теории Г.Н. Маслова и теории старения бетона (Мак-Генри, А.В. Яшин, Т. Хансен, И.Е. Прокопович и И.И. Улицкий), уравнение ползучести имеет вид 1 æ φ& t β β ö æ φ&t φ& t ö &ε&(t )+ βε&(t ) = σ&(t ) E + σ& (t )çç E + E + C ÷÷ + σ(t )çç E + E ÷÷ . 0 è 0 0 0 ø è 0 0 ø Если к этой цепочке присоединить еще один вязкий элемент (с вязкостью η(t )= Δe-α1t ) для учета быстронатекающей ползучести, что предполагалось разработчиками Еврокода до его утверждения, то мы получим еще один ошибочный вариант теории (записано без усреднения) æ 1 ç φ& t β + 1 ö ÷ + æ ç φ& t t βφ& + ö + β - η& (t )÷ &ε&(t )+ βε&(t )= &σ&(t ) + σ& (t )ç + η( )÷ σ(t ) ç η() . ø 2 ( ) E0 è E0 E0 t ø è E0 E0 t η t ÷ При принятии Еврокода 2 из этой модели убрали теорию старения и вязкий элемент, ошибка аннулирована. В правилах Еврокода оставлен только классический бетон Г.Н. Маслова; из его характеристики ползучести получен нормативный коэффициент развития ползучести é β c (t, t0 ) = ê t - t0 ù 0,3 ú , где βн = 1 β . ëβн + t - t0 û Он получен путем разложения e -β(t -t0 ) в ряд с использованием двух членов. Показатель 0,3 степенной функции осредненно учитывает старение бетона. В случае учета нелинейной ползучести и кратковременной нелинейности по Еврокоду применение схемы Больцмана также ошибочно. При нелинейной ползучести бетона Г.Н. Маслова (четвертый случай) в рамках общепринятых гипотез скорость деформации равна 1 vσ {t, t ¢, F[μ(t ¢), t ¢]}= σ& (t ¢)× F[μ(t ¢), t ¢] E0 φ(t - t ¢) + σ(t ¢)× μ& (t¢) ¶F[μ(t ¢), t ¢] 1 ¶μ E0 φ(t - t ¢) + + σ(t ¢)× ¶F[μ(t ¢), t ¢] 1 φ(t - t¢) + σ(t¢)× F[μ(t¢), t¢] 1 é¶φ(t - t ¢) ¶φ(t - t ¢)ù + , ¶t¢ E0 ë û E0 ê ¶t ¶t¢ ú что не учитывается в традиционной теории. Здесь F[μ(t¢),t¢] - функция нелинейности, в которой в качестве параметра нелинейности обычно принимают (после работы У. Лидермана) напряжение μ(t¢) = σ(t¢), что является неверным: методы классической механики показывают, что такое допущение является весьма поверхностным предположением. Этой проблеме мы посвятим отдельную статью. Например, при таком допущении ряд кратных интегралов Вольтерра - Фреше εσ (t ) = t ò J1(t - t¢)dσ(t¢) + -¥ t t ò ò J 2 (t - t¢, t - t¢ )dσ(t¢)dσ(t¢ )+K -¥ -¥ является неинтегральной формой [10] εσ (t ) = J1 (t )σ + J 2 (t, t )σ 2 + J 3 (t, t, t )σ 3 + K . В последнее время появились работы, разрабатывающие «модификацию принципа наложения деформаций для нелинейной ползучести» в виде t é 1 ù E(τ) ε(t, t0 ) = ε(t0 ) + ò ê + C(t, τ)údσс (τ) , (18а) t0 ë û где σс (τ) = S[σ(τ)] - известная функция напряжений σ[τ]. Ошибочность этой записи аналогична той, которая применяется в (1а). Полная скорость деформации здесь равна é 1 ù d 1 ( ) ( ) vσ (t, τ) = S&[σ(τ)]ê + C(t, τ)ú + S[σ(τ)] + E τ dτ E τ ë û (18б) + S[σ(τ)] ¶ C(t, τ) + S[σ(τ)] ¶ C(t, τ). ¶τ ¶t Отсюда видно, что в (18а) потеряны три последних слагаемых из (18б). Значимость этих слагаемых тождественна той значимости, которую мы выше описали в пунктах 1-3. Нужно дополнительно обратить внимание, что неверной также является тождественность нелинейной функции S[σ(τ)] для кратковременных и длительных деформаций. Но, даже если применить другую функцию Sg[σ(τ)] для деформаций ползучести, то, как отмечено выше, такое допущение является весьма поверхностным предположением, не соответствующим реальной нелинейной теории ползучести бетона, которая будет опубликована позже. К принципу наложения эта теория не имеет никакого отношения.

Об авторах

Рудольф Сергеевич Санжаровский

Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева

Автор, ответственный за переписку.
Email: stmj@rudn.university

доктор технических наук, профессор, главный научный сотрудник, Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева. Область научных интересов: разработка теории ползучести бетона с учетом мгновенной и длительной нелинейности, а также их учет в расчетах конструкций

ул. Сатпаева, 2, Астана, Республика Казахстан, 010000

Татьяна Николаевна Тер-Эммануильян

Казахстанско-Британский технический университет

Email: stmj@rudn.university

доктор технических наук, профессор, главный научный сотрудник, Казахстанско-Британский технический университет. Область научных интересов: разработка новых численных методов расчета строительных конструкций с учетом ползучести материалов

ул. Толе Би, 59, Алма-Ата, Республика Казахстан, 050000

Максим Михайлович Манченко

Крыловский государственный научный центр

Email: stmj@rudn.university

кандидат технических наук, старший научный сотрудник, Крыловский научный центр. Область научных интересов: ползучесть бетона с учетом мгновенной и длительной нелинейности; прочность корпусных конструкций кораблей из полимерных композиционных материалов

Московское шоссе, 44, Санкт-Петербург, Российская Федерация, 196158

Список литературы