АНАЛИЗ ПРОГИБА АРОЧНОЙ ФЕРМЫ

Аннотация

Геометрия плоской статически определимой фермы с двумя неподвижными шарнирными опорами задается длинами стержней, числом панелей в опорных частях и числом панелей в ригеле. Методом индукции по этим параметрам выводятся общие формулы для прогиба фермы под действием сосредоточенной и распределенной нагрузки. Символьные преобразования выполнены в системе компьютерной математики Maple. Найдены асимптотические свойства решений. Получены формулы для реакций опор и усилий в наиболее сжатых и растянутых стержнях фермы.

Полный текст

Постановка задачи. Хорошо отлаженные и проверенные численные алгоритмы, встроенные в стандартные пакеты для расчетов строительных конструкций, дают решения для широкого класса задач о напряженном и деформированном состоянии конструкций. Лидирует здесь в основном метод конечных элементов. Современные компьютеры имеют достаточно большой запас точности и быстродействия, чтобы получить численное решение различных сложных задач строительной механики. Практически параллельно с численными, хотя с некоторым запозданием, развивались и аналитические методы расчета строительных конструкций. Не всегда такие расчеты приводили к компактным и обозримым формулам, пригодным как для экспресс оценки состояния сооружения, так и для его оптимизации на этапе проектирования [1]. Несмотря на то, что даже самым лучшим аналитическим решениям недоступны те решения, которые дают численные методы, определенные преимущества аналитических решений неоспоримы. Прежде всего, это простота, надежность и точность расчетов. К этому добавляется и возможность оптимизации систем с целью уменьшения веса и увеличения жесткости, где это необходимо. Для решения задач, содержащих не только размеры и нагрузки, но и некоторое натуральное число, характеризующее сложность сооружения, например, число панелей или стержней в фермах, весьма важна способность символьных решений преодолевать "проклятие размерности", проявляющееся в неизбежном накоплении ошибок округления численных методов. Заметный прогресс в направлении получения аналитических решений произошел с появлением систем символьных вычислений (Reduce, Mathematica, Maple и др.). Методом индукции были получены решения задач о прогибе плоских [2-5] и пространственных регулярных ферм [6] с произвольным числом панелей. При этом, как правило, сложность геометрии фермы определялась лишь одним целочисленным параметром, например, числом панелей. Решенные задачи с двумя параметрами значительно сложнее и редки [7]. В настоящей работе предлагается схема статически определимой арочной фермы и выводится двухпараметрическая формула для прогиба. Симметричная ферма (рис. 1) составлена из трех частей. Две боковые наклонные части имеют треугольную решетку и содержат по m панелей. Средняя горизонтальная часть с крестообразной решеткой содержит 2n панелей. Ставится задача вывести формулу для прогиба фермы в зависимости от числа панелей. Рис. 1. Ферма, n = 3, m = 2 Вывод формул для прогиба. Воспользуемся программой [8] для определения усилий в стержнях в аналитической форме. В программе используется метод вырезания узлов. В исследуемой ферме 4(n+m)+2 шарниров и стержней вместе с четырьмя стержнями, моделирующими неподвижные опорные шарниры. Конфигурация решетки фермы задается в программе специальными векторами, содержащими номера концов стержней. Матрица системы уравнений равновесия в проекциях на оси координат заполняется направляющими косинусами стержней, вычисляемыми по координатам узлов и векторам номеров концов стержней [2-7]. Из решения системы уравнений с помощью операторов Maple находятся усилия в стержнях в символьной форме. Для ускорения счета используется метод обратной матрицы. Выражение для прогиба по найденным усилиям получается с помощью интеграла Мора. За контрольную точку прогиба принят средний узел нижнего пояса. Рассмотрим сначала нагружение фермы одной силой в этой точке. Согласно интегралу Мора имеем следующую сумму: где - усилия от действия единичной внешней нагрузки. Здесь обозначено: - длины стержней, EF - жесткость стержней. Жесткость принимается одинаковой для всех стержней. Общий вид решения для прогиба при различных m и n имеет вид: (1) где , EF - жесткость стержней, принятая одинаковой для всех стрежней фермы. Заметим, что вид формулы прогиба для рассматриваемой фермы не меняется для различных m и n, различаясь лишь величинами коэффициентов. Это справедливо не для всех регулярных конструкций. Например, для ферм с трапециевидным очертанием верхнего пояса это не выполняется, с ростом числа панелей формула удлиняется, увеличивая число слагаемых. Определение коэффициентов как функций m и n - главная часть поставленной задачи. Для того, чтобы получить формулу с произвольными числами m и n, необходимо провести индукцию в два этапа. На первом этапе при фиксированном числе панелей в боковых частях (сначала m = 1) получаются формулы для прогиба ферм с различным числом n = 1,2,3... Коэффициенты в этих формулах образуют последовательности, для которых с помощью оператора rgf_findrecur системы Maple находятся соответствующие однородные линейные рекуррентные уравнения. Например, для имеем уравнение седьмого порядка при любом m: . (2) Решения этих уравнений, выявляющие закономерность образования коэффициентов, дает оператор rsolve. Получается зависимость коэффициентов , и от n при m=1. Затем процедура повторяется для m=2,3,4.... и получаются соответствующие формулы: На втором этапе также с помощью тех же операторов находится обобщение полученных формул по числу m. Здесь уже составляются последовательности коэффициентов при степенях n. В данном случае получаем следующее окончательное выражение для коэффициента при : Аналогично получаются и другие коэффициенты формулы (1): , . Равномерная нагрузка. Несколько сложнее, но по этой же методике получается решение для равномерной нагрузки по верхнему поясу (рис. 2). Рис. 2. Равномерная нагрузка, n = m = 3 Формула для прогиба схожа с выражением (1), однако для вывода закономерностей образования коэффициентов требуется большая длина последовательностей и значительно большая мощность компьютера, работающего в символьной моде на пределе своих возможностей: (3) Наибольший порядок рекуррентного уравнения получился для (4) Интересно отметить, что уравнения (2) и (4) образованы биноминальными коэффициентами. Решения рекуррентных уравнений дает следующие закономерности: Для проверки полученного решения применялась та же программа [8], но в численной моде, дающей результаты практически мгновенно и не имеющей в системе Maple ограничений по числу уравнений. Усилия в критических стержнях и асимптотика. Для оценки устойчивости и прочности фермы требуются формулы для усилий в наиболее сжатых и растянутых стержнях. Методом индукции получаем, что наиболее растянутый стержень () в ферме под действием распределенной нагрузки (рис. 2) будет стержень в середине нижнего пояса: , наиболее сжатый - в середине верхнего пояса: Выражения для вертикальных реакций опор очевидны , горизонтальные же реакции из обычных уравнений равновесия фермы найти нельзя. Для их определения приходится рассчитывать усилия во всех стержнях. Методом индукции по восьми фермам с n=1,2,..8 получаем . Имея аналитическое решение, можно получить асимптотику решения для прогиба фермы. Для решения (1) при условии фиксированного пролета L=2(n+m)a и общей нагрузке имеются два предела , Здесь введен безразмерный прогиб . Для решения (3) асимптотик нет. Выводы. Получены аналитические решения для внешне статически неопределимой арочной фермы. В отличие от аналогичных точных решений [9-13] в рассмотренной постановке, помимо геометрических параметров, имеется два параметра, определяющие пропорции конструкции. Поэтому для получения более общего решения при выводе зависимостей коэффициентов итоговой формулы от числа панелей потребовалась индукция по двум параметрам, что привело к значительным трудностям при выполнении символьных преобразований. Наиболее общее решение удалось получить для задачи о нагружении фермы сосредоточенной силой. В случае действия распределенной нагрузки найдено решение при n=m. Решение выявило наличие горизонтальных асимптот. Получены формулы для реакций опор и усилий в критических стержнях. Построенные решения позволяют проводить оптимизацию конструкции.