АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ «ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ» В РАМКАХ НЕКЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

Полный текст

Введение Построение уточненных теорий и методов определения НДС пластинок и оболочек позволит решить проблему расчета на прочность таких авиационных конструкций, как силовые корпуса летательных аппаратов, различные переходные зоны и соединения, а также элементов конструкций в различных отраслях машиностроения и в строительном деле. Учет трёхмерности НДС в элементах конструкций в сочетании с методами механики разрушения дает возможность оценить трещиностойкость в наиболее нагруженных зонах, более обоснованно выбрать тип конструкционного материала и рациональным образом распределить его вблизи концентраторов напряжений. Результаты расчета общего, местного НДС пластинок и оболочек могут быть использованы при обосновании режимов лабораторных испытаний на действие статических нагрузок, вибраций и ударов. Один из возможных путей построения математически обоснованной теории пластинок и оболочек состоит в применении метода прямого асимптотического разложения компонентов НДС в ряды по малому параметру -относительной толщине трехмерного тела и последующем интегрировании уравнений трехмерной теории упругости. Сформулированные краевые задачи, в силу сложности соответствующих им дифференциальных уравнений и различного типа граничных условий, напрямую решить затруднительно. В связи с этим, в работах [1, 4], указанные краевые задачи с помощью вариационного метода Власова-Канторовича решены и доведены до численных результатов для прямоугольных пластинок и цилиндрических оболочек переменной толщины. Другой подход к построению уточненной теории, называемый энергетически согласованным, заключается в разложении перемещений в полиномиальные ряды по нормальной координате и последующем применении вариационного принципа Лагранжа. Особенность этого подхода при построении уточненной теории оболочек состоит в том, что деформации оболочки находятся с помощью геометрических соотношений, тангенциальные напряжения определяются из соотношений закона Гука и поперечные напряжения получаются интегрированием уравнений равновесия трехмерной теории упругости. Следует отметить, что построенные в рамках энергетически согласованного подхода краевые задачи для цилиндрических оболочек[2] были обобщены на случай произвольных ортотропных оболочек [6], а также оболочек переменной толщины[5]. В данной работе на основе энергетически согласованного подхода представлены два варианта уточненной теории расчета, условно обозначаемые «К=2» и «К=3». Эти варианты отличаются степенью полиномов, аппроксимирующих искомые перемещения по толщине оболочки. Указанные полиномы имеют степень на одну или две выше по сравнению с аналогичными функциями классической теории типа Кирхгофа-Лява. Приводится сравнение результатов расчетов по двум вариантам уточненной теории между собой и по классической теории. Оценивается влияние напряженного состояния «пограничный слой» на прочность оболочки. Напряженное состояние «пограничный слой» Рассматривается замкнутая круговая цилиндрическая оболочка постоянной толщины hиз изотропного материала, отнесенная к ортогональной системе координат , , z(рис. 1). Рис. 1. Цилиндрическая оболочка Здесь ? представляет собой относительное (измеренное в долях ) расстояние по образующей, - центральный угол, а ось направлена по внешней нормали к срединной поверхности радиуса R. Считаем, что на лицевых поверхностях оболочки заданы следующие граничные условия: где обозначают осесимметричные нагрузки, действующие на верхней и нижней поверхностях оболочки в направлении координаты z. Будем предполагать в дальнейшем, что искомые упругие перемещения , , допускают асимптотические представления вида: (1) где индексы 1,2 соответствуют осям ? и z соответственно. Аппроксимирующие полиномы (1) соответствуют варианту теории K=3. Для варианта теории K=2 в формулах (1) отбрасываются последние слагаемые, для классической теории типа Кирхгофа - Лява - по два последних слагаемых. Используя вариационный принцип Лагранжа, с учетом разложения (1), получим систему дифференциальных уравнений в перемещениях [6], которая для рассматриваемого случая принимает вид: с граничными условиями на жестко защемленных краях оболочки следующего вида при ? = 0, ? = L/R . В уравнениях (2) коэффициенты Kl, Kj с буквенными и числовыми индексами представляют собой постоянные величины, зависящие от геометрических параметров и упругих постоянных материала оболочки; ui,wk- коэффициенты разложений искомых перемещений в выражениях (1). Формулы для указанных коэффициентов в более общем случае нагружения приведены в [6]. В матричном виде однородные уравнения, соответствующие (2), записываются как . (3) Здесь - квадратная матрица размером 7?7 коэффициентов уравнений (3), - нулевой вектор. Пусть есть решение уравнения (3), т.е. , где - определитель матрицы . Тогда , , определяемые формулами дают решение однородного уравнения (3). Здесь - минор определителя , соответствующий элементу (s,m) матрицы . Дифференциальному уравнению (3) соответствует характеристическое уравнение, которое можно представить как , (4) где - постоянные коэффициенты, зависящие от величины и коэффициента Пуассона ??. Кроме нулевых корней, уравнение (4) имеет следующие корни: , , , . Тогда можно представить в виде Таким образом, общее решение уравнения (3) получается в виде где Анализ результатов показывает, что при расчете оболочек корни характеристического уравнения разделяются на две группы: асимптотически малые и большие , , корни. Асимптотически малым корням соответствуют основные НДС, которые приближенно определяются по классической теории оболочек. Асимптотически большим корням , , соответствуют напряженные состояния оболочки, которые назовем дополнительными краевыми эффектами типа «погранслой». Для нахождения частного решения уравнений (2) используется преобразование Лапласа. Частные решения для более общего случая нагружения цилиндрической оболочки приводятся в [3]. Результаты расчетов и их сравнение с классической теорией На рис. 2- 5 показаны результаты расчета НДС оболочки, имеющей следующие параметры: относительная длина , радиус , относительная полутолщина , коэффициент Пуассона . Оболочка жестко защемлена на двух концах. Распределенная по контуру постоянная сосредоточенная сила P приложена в середине оболочки. На данных рисунках аббревиатура “Gol” соответствует результатам расчета по классической теории. Анализируя графики на рис. 2-3, можно установить: максимальные нормальные напряжения ?11, соответствующие уточненной теории «К=3», превышают значения этих же напряжений, определяемых по классической теории, на 65%; различие в величинах этих напряжений, полученных по уточненным теориям «К=2» и «К=3», составляет 25%; Максимальные нормальные напряжения ?22, полученные по уточненной теории «К=3» превышают напряжения, соответствующие классической теории, на 60%, разница в величинах этих напряжений, определяемых по уточненным теориям «К=3» и «К=2»,составляет около 10%; а) б) Рис. 2. Изменение тангенциальных нормальных напряжений по толщине оболочки в точке приложения силы: а) ?11; б) ?22 а) б) Рис. 3. Изменение поперечных напряжений по толщине оболочки в точке приложения силы: а) ?33 , б) ?13 Максимальные поперечные нормальные напряжения ?33, величины которых составляют 55% от ?11, по уточненным теориям «К=3» и «К=2» отличаются друг от друга в два раза, а также характером распределения по толщине. Выводы На основании полученных результатов, можно сделать вывод, что, по сравнению с классической теорией, уточненная теория оболочек учитывает дополнительные краевые эффекты типа «погранслой», которые вносят существенный вклад в общее НДС оболочки вблизи зон искажения напряженного состояния, например, вблизи жестко защемленного края, зоны действия локальной нагрузки, в окрестности скачкообразного изменения жесткостных характеристик и др.

Об авторах

ВАЛЕРИЙ ВАСИЛЬЕВИЧ ФИРСАНОВ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» «МАИ»

Email: mailto:k906@mai.ru
д-р техн. наук, профессор 125993 Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д.4 k

Список литературы