ФОРМООБРАЗОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ НА ЗАДАННЫХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ПЛАНАХ

Аннотация

Современное градостроительство требует создания новых форм конструкций при строительстве общественных зданий, выставочных павильонов, спортивных и про- мышленных сооружений. В статье рассматриваются возможности построения по- верхностей на криволинейных планах, в том числе 4-х, 3-х и 2-хугольных планах с криво- линейным контуром. Также рассматривается возможность конструирования поверх- ностей на аналитических замкнутых контурных кривых с заданием опорных точек

Полный текст

В строительстве, машиностроении и других областях техники широко ис- пользуются поверхности на криволинейных планах. В большинстве это кано- нические формы поверхностей [1] - поверхности вращения, цилиндрические и конические поверхности, поверхности зонтичного типа, эллипсоидальные по- верхности, поверхности в форме гиперболического гиперболоида. Современные формы архитектурных конструкций все более широко используются в совре- менном градостроительстве [2]. В тоже время формы корпусов автомобилей, самолетов и вертолетов невозможно описать одним общим уравнением. Такие конструкции обычно разбиваются на отдельные криволинейные отсеки, путем вырезания их плоскими сечениями из общей конструкции. В 1960 году Амери- канский ученый Стивен А. Кунс предложил способ задания поверхности двой- ной кривизны с помощью граничных кривых на четырехугольных планах, по- лучившей его имя (лоскут Кунса - Coons patch, поверхности Кунса). Опублико- ванный им в 1967 г. препринт "Surfaces for Computer-Aided Design in Space Form" [3] получил широкую известность как «Малая красная книга». Предло- женный им аппарат граничных кривых и функций сопряжения дал основу для всех дальнейших исследований в этой области. Поверхности Кунса используются при создании сложных конструктивных форм, которые не возможно описать единым уравнением: корпуса аэропланов, кораблей, автомобилей и т.п. Разбивая плоскими сечениями сложные поверхно- стные формы на отсеки, каждый отсек аппроксимируется поверхностью Кунса. В Большинстве работ посвященных поверхностям Кунса, рассматриваются во- просы компьютерного моделирования сложных конструктивных форм, обеспе- чению непрерывности сопряжения отсеков на граница отсеков [4] . Однако, подход к построению поверхностей на опорных кривых четырех и трех угольных планах позволяет создавать новые формы пространственных строительных конструкций, в том числе на криволинейных планах. Эти вопро- сы были рассмотрены в работах [5-7]. В статье [6] рассматривались вопросы образования модифицированных по- верхностей Кунса на наклонных плоских опорных кривых. Некоторые их опор- ных кривых могут лежать в горизонтальной плоскости. Если все опорные кри- вые модифицированной поверхности Кунса расположены в горизонтальной плоскости, то поверхность вырождается в плоскость. При этом, в области огра- ниченной опорными кривыми образуется плоская криволинейная система коор- динат, включающая контурные кривые криволинейного плана. Если задаться некоторой функцией вертикальной координаты в полученной координатной системе, это дает возможность создавать новые формы поверхностей на криво- линейных планах. Рассмотрим трапециевидный план в плоскости ху с угловыми точками (р1, р2, р3, р4), соединенными плоскими кривыми ?1(t1) ? ?4(t4) в той же плоскости (рис. 1). Получим координатную систему, включающую контурные кривые. Противоположные линии контура параметризуем через общие параметры по формулам , i = 1, 3; , j = 2, 4. (1) Векторное уравнение трапециевидного криволинейного плана, получим в виде: , (2) где ; . Очевидно: ; ; ; . На рис. 2 приведены координатные системы 4-х угольных планов, вклю- чающие заданные контурные кривые: а) опорные кривые: 1 - парабола с вершиной внутрь плана; 2, 4 - синусоиды на две полуволны; 3 - синусоида на три полуволны; б) опорные кривые: 1 - парабола с вершиной внутрь плана; 2, 4 - синусоиды на одну полуволну; 3 - косинусоида на четыре полуволны; в) опорные кривые: 1 - парабола с вершиной из плана; 2, 4 - синусоиды на две полуволны; 3 - полуэллипс; г) опорные кривые: 1 - парабола с вершиной из плана; 2, 4 - синусоиды на две полуволны; 3 - двойная циклоида; д) опорные кривые: 1, 3 - параболы с вершинами внутрь плана; 2, 4 - сину- соиды на три полуволны; е) опорные кривые: 1, 3 - параболы с вершинами из плана; 2, 4 - синусои- ды на три полуволны Задаваясь функцией z(u,v) получаем уравнение поверхности на заданном криволинейном плане: . (3) Функцию z(u,v) можно задавать, в частности, независимыми функциями ко- ординат u,v - ?(u) и ?(v), и их комбинациями: , , , и др. На рис. 3 построены поверхности на трапециевидном плане, соответствую- щем рис. 2,б, с функциями ; , варианты: а) , а = 1; б) ; b = -4; в) , а = 1; b = -2; г) ; а = 1; b = -2; Так как система координат в плоскости криволинейная, координатная линии на поверхности - пространственные кривые, в том числе, в общем случае и кон- турные кривые. В случае, когда функция координаты z является функцией од- ного аргумента (варианты а, б), то две опорные кривые являются плоскими кри- выми и лежат в плоскости криволинейного плана. Пространственные контурные кривые можно сделать плоскими (в горизон- тальной плоскости), если функцию домножать на множители: u - 4-я контурная кривая будет плоской; (1-u) - 2-я контурная кривая плоская; v - 1-я контурная кривая плоская; (1-v) - 3-я контурная кривая плоская. На рис. 4 поверхности на аналогичном плане и функцией : Если функцию вертикальной координаты задать в виде суммы функций от координат u и v, то, варьируя горизонтальные и пространственные контурные кривые, можно получить 15 вариантов поверхности. В предыдущих примерах поверхности строились на симметричном трапециевидном плане. Как и в случае поверхностей Кунса опорные точки плана можно смещать [5, 6], получая план в виде произвольного четырехугольник, параллелограмма, а совмещая опорные точки получаем поверхность на тре- угольном или двухугольном (опорные точки на одной прямой) криволинейных планах. На рис. 5 поверхности на аналогичном плане и функцией . На рис. 6 поверхности с синусоидальными функциями вертикальной координаты на пять полуволн: , ; ; . Рис. 6,а-в ?=0 - 3-я опорная кривая пространственная линия; рис. 6,г-з ?=1 - все опорные кривые - плоские, в горизонтальной плоскости. Планы опорных точек: а) прямоугольный; б) параллелограммовидный; в) 4-х угольный с одним прямым углом; г-е) треугольные планы; ж-з) опорные точки на одной прямой. На рис. 6,г 3-я и 4-я опорные точки совмещены на оси симметрии прямо- угольного плана; рис. 6,д 1-я и 2-я опорные точки совмещены на оси симмет- рии прямоугольного плана; рис. 6,е 2-я и 3-я опорные точки совмещены на оси симметрии прямоугольного плана. Рис. 6,ж - 4-я и 3-я опорные точки совме- щены с 1-й и 2-й точками соответственно на одной прямой.. Рис. 6,з - 2-я и 4-я опорные точки совмещены со 1-й и 3-й точками соответственно на одной прямой на диагонали прямоугольного плана. На рис. 7 показана возможность построения поверхностей на круговом плане. На окружности устанавливаются опорные точки. Контурными кривыми являются отрезки окружности между опорными точками. На рис. 7,а,б опорные точки образуют прямоугольный план. На рис.7,в опорные точки попарно со- вмещены. Функция вертикальной координаты - контурные кривые в горизонтальной плоскости, , . Положение опорных точек определяется радиусом с направляющим углом ? от оси симметрии прямоугольного плана (ось х): а) ? = 0,25?, опорные точки на квадратном плане; б) ? = 0,15? - прямоугольный план; в) ? = 0,15? - две опорных точки, контурные кривые две полуокружности. На рис. 7 в верхнем ряду приведены координатные системы на круговых планах, в нижних рядах общий вид поверхностей. В среднем ряду функции: - синусоида на три полуволны, - парабола. В нижнем ряду поверхности с функциями вертикальной координаты: ; . Аналогично можно формировать поверхности на других замкнутых кри- вых, используя опорные точки. На рис. 8 представлены поверхности на эллипсоидальном плане: а, б - с четырьмя симметричными опорными точками (прямоугольный план опорных точек); в, г - с тремя опорными точками (равнобедренный тре- угольный план опорных точек). На рис. 8,а,б - синусоидальные функции вертикальной координаты: ; ; а - р=5, t=1; б - р=3, t=3. На рис. 8,в,г - косинусоидальные функции: ; ; в - р=3, t=2; б - р=5, t=4. Отметим, что координатная система на замкнутых кривых, отличается от полярной координатной системы круга или параметрической системы коорди- нат эллипсоидального плана.