К РАСЧЕТУ ДВУХ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ОБОЛОЧЕК НА ОСНОВЕ ОБЪЕМНЫХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Аннотация

Объемные конечные элементы могут эффективно использоваться при исследовании напряженно-деформированного состояния в зонах пересечения оболочек с различной толщиной стенок. В настоящей работе изложен вывод основных соотношений для ортогонально пересекающихся цилиндрических оболочек в зоне их сопряжения. Для восьми узлового шестигранного конечного элемента на границе сочленения двух оболочек получены соотношения для выражения узловых неизвестных одной оболочки через соответствующие неизвестные другой оболочки. Это позволяет исследовать напряженно- деформированное состояние оболочек в зоне их сочленения.

Полный текст

Ля описания геометрии двух пересекающихся под прямым углом цилиндрических оболочек вводятся две системы координат x, y, z для основной оболочки с радиусом r и толщиной t и x',y',z' для примыкающего патрубка с радиусом г1 и толщиной ł (r>r) (рис. 1). Здесь и далее символы без штриха будут относиться к параметрам основной оболочки, со штрихом к патрубку. Положение произвольных точек основной оболочки и примыкающей, будет определяться в криволинейных системах координат x, Θ, г и x, Θ, / радиус- векторами, соответственно для основной оболочки R = xi + rsinO j + г cos Θ k (1) и для примыкающей оболочки Rf = х/і 7 + г7 SinOf у'7 + г7 Cosdf kf . (2) Единичные векторы координатного базиса основной оболочки выражаются через векторы координатного базиса примыкающей оболочки и наоборот, матричными соотношениями {i}=[M ]{7}; {7 J=M 1 {}, (3) Рис. 1. Пересечение цилиндрических оболочек где {·}=^ j,kJ ; {7}={ 7 j7,k7f ; [M] = O O I O O 0 1 0 ; ІІГ1 ] = O 0 0 0 I 100 Дифференцированием уравнения (1) по криволинейным координатам x, Θ, r можно получить ковариантные векторы локального базиса основной оболочки, ÔR j j j например, S1 = — = Rx = i + rx sinΘ j + rx cosΘ к . Для цилиндрической оболочки Ôx r = const, тогда r, x =0,0 и выражения будут иметь вид O1 = i; O2 = RΘ = rcosΘ j + rsinΘ к; an = Rr = sinΘ j + cosΘ к, (4) Аналогично и для примыкающей оболочки aj = if ; a2 = Rθ = r cosθ j + r 8ίηθ k ;an = Rr = 8ίηθ j + cosθ k . (5) Векторы локального базиса можно выразить через соответствующие векторы координатного базиса {a}=[N]{i}, (6) и ja7 }=И{'7} , (7) {a}={a1 ,a2 ,an }; \ef }={î1/, a2 ,aJ } где 10 0 ; N J= 1 0 0 [N ] = 0 r cos θ - r sin θ 0 r7 cos θ7 ■5 si - θ ■5 si -1 cosθ -1 ■5 si cos& Для зоны примыкания одной оболочки к другой с учетом (3) выражение (7) можно привести к виду ja7 }=[n7 JmJ-1 {i} или ja7 }=[l]{/}, (8) 0 0 -1 - r7 sin θ θ rf cos θ/ 0 . 0 где [L] = cosθ sin θ Векторы координатного базиса основной оболочки выражаются через векторы локального базиса примыкающей оболочки {i}=[L]lia/}. (9) Таким образом, в зоне примыкания оболочек можно получить матричное выражение векторов локального базиса основной оболочки через векторы локального базиса примыкающей {a}=[N ][l]_1 {a7} или {a}=^]^/} , (10) где [A] = —- sin θ r cosθ r sinθ r cos θ-1 cos& rcosθsinθ/ r/ - cos θ sin θ —— cos θ θ sin θ sin θ 7 r В узлах, расположенных на гранях сопряжения оболочек, вводятся следующие векторы узловых неизвестных для основной оболочки и примыкающей, соответственно {иУу } ={u,u 1, u 2, u 3, v,v 1, v 2, v3, w, w 1, w 2, w 3}; { uj f = {u7,u1 ,uf2 У3 ,vf ,v/1 ,vf2 ,vf3, wf ,w{,w/2 w }, (11,«) (11,6) где u,u,j,v,v,j,w,w,j u7,u/]-,v/,v/]-,w/,w,j (j = 1, 2, 3) компоненты вектора перемещений и их первые производные в координатах x, θ, r и x7, θ, r7. При составлении матрицы жесткости системы в элементах, расположенных на гранях сопряжения, в качестве неизвестных принимались компоненты вектора (11,о). После формирования матрицы жесткости конечного элемента примыкающей оболочки, узлы которой расположены на грани сопряжения, выполняется преобразование указанной матрицы жесткости конечного элемента и вектора усилий рассматриваемого элемента, обусловленное переходом от вектора узловых неизвестных (11,о) к вектору (11,б). Вектор перемещений точки, расположенной на грани сопряжения можно представить компонентами, отнесенными к базисам векторов {a} и \af} V = ua1 + va2 + wa3 ; V = u/a17 + v7a27 + w7a37 , (12) 0 70 Используем очевидное равенство правых частей уравнений (12) V }f M=V7 JO7}, (13) где {v} ={u,v,w} и V7 J ={l7,v7,w7 }. Используя выражение (10), компоненты вектора перемещения основной оболочки можно привести к локальному базису векторов примыкающей оболочки VJ [Alf7 И" JO7}. (14) Из выражения (14) компоненты вектора примыкающей оболочки можно выразить через компоненты вектора основной оболочки u7 = vr si^ - wcosΘ; v7 = -u — sin& + vrcosΘ — cos& + wsi^ —cos&; r7 r7 r7 (15) w7 = ucos& + vrcosΘ sinΘ7 + wsinΘ sinΘ7. Производные вектора перемещений точки, расположенной на грани пересечения оболочек по направлениям x7,Θ7,r7 примыкающей оболочки в системе координат xß,r основной оболочки определяются по формуле Vj7 = SjgradVj , (j = 1, 2, 3) (16) где gradV = a 1V1 + a 2V2 + a 3V3 - вектор-градиент векторного поля перемещения. Из формулы (16) получим v / = a7 (s 1Vj1 + a 2vj 2 + a 3V 3 ) (17) Выражения производных векторов перемещений основной оболочки и для примыкающей оболочек будут иметь вид V 1 = u 1 a + v a + w, Ćn; V 2 = u 2 2 a! + (v, 2 +1 w)a 2 + (-rv + w, 2 )ün; r (18) j , v j j V3 = u 3O1 + ( — + v 3 )a2 + w 3an. r Tj 7 7 j 7 , 7 j 7 , 7 j 7 V 1 = u 1 O1 + v 1 a2 + w 1 an ; V 27 = u227S1 7 + (v 227 + \w7 )ü27 + (-r'v7 + w,27Jan7; r Tj 7 7 j ZlSv', 7 ! j 7, 7 j 7 V 3 = u 3 O1 + ( —- + v 3 )a 2 + w 3 an . ' ' r ' ' Преобразовав выражение (17) с учетом (18), получим V17 = V2rsinΘ-V3 cosΘ ; V2 7 =-Vl-^—sitâ7 +V2 rcosΘ-—-cosΘ7 +V3 sinΘ-—-cosΘ7 ; r r r V37 = V1 cosΘ +V2rcosΘsinΘ7 +V3 sMsin& . (19) С использованием производных (19) можно получить зависимости производных компонент вектора перемещений на грани пересечения оболочек u / =| v 2 +1 w |r2 sin1 Θ + ί rv - v - v 3 - w 2 \rsinΘcosΘ- w r cos2 Θ; v 17 =-u 2 -^—sitô7 si^ + u 3-^-sitâ7 cosΘ7 +(- rv + w 2)rsin2 Θ-—-cosΘ7 + r r r + I v 2 +1 w |r2 sinΘcosΘ-—-cosΘ/ - ίv + v 3 \rcosΘ2 -1- cosΘ7 - w 3 sinΘ -——cosΘ7 cosΘ; r I r I r 'I r r r r 71 ZL ! 7 Q UlS Q UlS Q SOD £Лі - /Q UlS Q z UlS £‘A + — j + fQ UlS Q τ SOO Ą Ζ'Лі + АЛ - - QUlS Q SOD QUlS Μ--h zA j + Q SOD Q SOD ҐЛі - Q SOD Q UlS Л ҐА = £‘П /' І лі J ' ' ’ / / / / / ) .1 / Q SOD-Q UlS Лі + /д SOD-Q SOD JA + / Q UlS--U- J _HIV ^AA I /Л Ivn_ nillV nillV 17Π / ε Q SOD -QUlS Q UlS с Лі+ Q SOD-Q UlS Q UlS Q SOD Jl Λ + / 7 I 7 I ■ 7 V л /л ■ /л + / Q ^ SOD-QUlS £ η+ / Q SOD-Q SOD J fQUlS QUlS^ Ζ ЛІ + ΑΛ /J ( Л Λ Ζ/Λ - η 111V η Vηη /--L ^ A -L η VПП - Π VПП I + Q SOD- QUlS Q SOD J\--h 6 Λ + Q SOD-Q SOD Jl H + / I г I лі J I /л /л /л ‘ + /Qz uIs-θ uIs 1 Μ - / θ ζ uIs θ SO°-л1 A- f Q UlS- / Q SOD 1H- = J Лі J / Q UlS QUlS Лі+ fQ UlS Q SOD JA+ fQ SOD wj-z/d ■ Z/J ( ■ ·*λ - fQ ^ SOD —-— Q ZUIS £ ЛІ+ Q UlS fQ SOD —— Q SOD І ^ + “1 + + Q UlS / Q SOD / Q UlS iH - / Q ^ SOD Q SOD Q UlS J^ Z M + AU -) + z/A ( Л Л /л ■ + Q SOD-Q SOD Л\ Лі — + 3 Λ + Q SOD Q SOD Q UlS- Z Π- / z I г V I J ΐ Q UlS Q SOD Q UlS ҐЛІ- Q UlS Q SOD Q SOD J1'A- ,Q7 UlS 1H= tA / / J / / J / ^ J / A A f d\ ,d ■ ,QSOD-QSOD QUlS i M- QSOD-Q UlS Ą £‘л + — + ,QSOD-Q SOD J ҐЛІ + AJ-)- ' j ' Т І л J І /л ( л Λ ,л . / -ґ\ с пп тле /V лл--L^a _L тле-n с пп ΐ/ΐΛ-L тле-тле Λ а_— - QSOD-QSOD QUlS ЛХ ЛІ —+СЛ + QUlS-QSOD1Ai+ QUlS-QUlSJiA-= lII 7 I V I J l ' І 7 !QSOD / Q SOD QUlS £‘Лі - fQUlS Q zSOD εΛ H--j - fQUlS Q ZUIS ĄZ‘Лі + АЛ-) + + QUlS QUlS QSOD Л\ Лі — + ҐЛ\ + QSOD QSOD £‘П- QUlS J Q SOD ҐП= Ґ Лі / J ) / / 7 v 37 = -u j —— sin Θ7 cos& + v 1r cos Θ —— cos'2 Θ + w j sin Θ —— cos2 Θ -r r r σ, даН/см2 / „ л , σ, даН/см2 У 2 7 I w I 2 2 1 ' 7 7 - u 9r cos Θ sin Θ +I v 2 +— Ir cos Θ — cos Θ sin Θ + ,2 2 r J r7 + (- rv + w2)sinΘ cos Θ —j cos Θ7 sin Θ - u 3 sin Θ -1 sin2 Θ + r r v + v 3 Ir cos Θ -1 cos Θ sin Θ sin Θ + w 3 sin2 Θ -1 cos Θ sin Θ r ’ J r / ’ r , х, см — I —-sinΘ7u + vr cos Θ -7- cos& + w sin Θ —— cos& r I r r r w 37 = u 1 cos2 ΘΘ + v 1r cos^ sin^ cosΘ' + w 1 sin Θ sin Θ cosΘ' + 7 7 I w I 2 2 2 7 + u 2 cosΘ r cosΘ sin Θ +I v2 +— Ir cos Θ sin Θ + + (- rv + w 2)sin dr cos Θ sin2 Θ7 + u 3 cos Θ7 sin Θ sin Θ7 + I v I 2 7 22 7 + \~ + v 3 Ir cos Θ sin Θ sin Θ + w 3 sin Θ sin Θ . Рис. 2 Рис. 3 Вектор узловых неизвестных примыкающей оболочки с использованием ной оболочх!, см σ, даН/см (21) ки на грани- (22) рмированное цилиндриче-. Были при-=0.00254 м, нт Пуассона аличия двух онструкции. элемент [1]. проверялась Рис. 4 Рис. 5 CX Cv ч Л Im I4 ч ^ ъ > 01 • 0 2, 0 3, 0 4 0 5, ' 73 0 0 На рисунках 2-5 представлены расчетные кривые изменения меридиональных (сплошные линии) и кольцевых (пунктирные линии) напряжений в продольном сечении рассчитываемой конструкции. На рисунках 2 и 3 изображены графики изменения напряжений во внутренних и наружных волокнах примыкающего цилиндра, соответственно, а на рисунках 4 и 5 - то же самое для основного цилиндра. Экспериментальные значения кольцевых напряжений обозначены светлыми кружками, меридиональных - темными кружками. Анализ полученных графиков показывает