ИНТЕГРАЛЬНЫЙ МОДУЛЬ ДЕФОРМАЦИИ С УЧЕТОМ НИСПАДАЮЩЕЙ ВЕТВИ ДИАГРАММЫ " ε - σ"

Аннотация

Полный текст

Экспериментальные исследования силовых деформаций сжатых бетонных образцов, осуществляемых в условиях стеснения их деформаций, показывают появление в диаграмме " ε - σ" ниспадающей ветви (рис. 1). В реальных конструкциях дефор- мации бетона стесняются либо менее нагружен ными волокнами бетона и арматурой при неоднородном напряженном состоянии (например, при изгибе или в нецентральном сжатии), либо арма турой при центральном сжатии. Sr Su В результате стеснения в бетоне прорабатыва ла 1. Диаграмма ε - σ ется ниспадающая ветвь диаграммы “ε - σ” и начатая бет°™ блюдается значительное превышение перед разрушением деформации Su над деформацией sr, ограничивающей восходящую ветвь диаграммы. Зависимость σ = σ(ε) предполагается установленной. Для описания диаграммы “ε - σ” с учетом ниспадающей ветви при кратковременном нагружении используются, например, функции [1, 2] σ(ε) = Εε· e~s/SR , (1) σ^ = R^a1 (s/sr ). (2) i=0 Согласно предпосылкам о взаимонезависимости и суммируемости частных деформаций и суперпозиции деформаций ползучести получены нелинейные уравнения силового сопротивления бетона [1] s(t’ t0) = + C* (t·t)Sn [σ()]- I Sn \σ(ί(t.--d-’ (3) Ε0 (t ) to дгде EQ (t ) - начальный модуль мгновенных деформаций ко времени t; CQ (t.-) - начальная мера простой ползучести к моменту t при загружении в момент -; Sm )] и Sn \σ(ΐ)] - нелинейные функции напряжений для мгновенных деформаций и деформаций ползучести; t0,-,t - время начала нагружения, текущее время и момент наблюдения. С.В. Бондаренко по функциям нелинейности напряжений sM \σ(ί)] = sM σ)]/σ() и Sn \σ(ί)] = Sn \σ(ί)]/σ() построил общую для мгновенных и запаздывающих деформаций функцию нелинейности напряжений S0 \σ( )] и представил s(t,t0 ) в виде [3] ε (t,to ) = S 0 \σ(ί)] · σ (tVE7 (t,tO ) , (4) где Ев (t, t0 ) - временный линейный модуль деформаций Ев (t.to ) = î1«+Cο (·.·)-1 σ-д-Cο Eм (t) " v ' ' І σ() д- (5) Согласно формул (1), (2), (4) и (5) имеем σ(ε^.t0)= ЕЛр(t.t0) ε(ΐ,10)e s(t,to)/Sr(t’to), (6) 50 σ W (s,t,t0 )= E7 (t,t0 ) s(t,t0 )X a s(t,t0 ) Sr (t,tо ) (7) Расчет железобетонных конструкций сопряжен в частности с необходимостью определения жесткости сечений их элементов. При однородном напряженно-деформированном состоянии (НДС) жесткость сечения с абсциссой v (ось v направлена по длине элемента) определяется по формуле Д(v, t)= Eb (t, t0 )A, (8) где А - площадь нормального сечения элемента. Когда напряжения σ(ζ,t ) по высоте сечения распределяются линейно, то д (v, t )= E-; (t, to )· J, (9) где J - момент инерции сечения относительно оси, проходящей через его центр тяжести параллельно нейтральной оси. Если же это распределение нелинейно, то нахождение Д(v,t) становится нелегкой задачей. При наличии в сечении двузначной эпюры напряжений определяются жесткости Дс (v, t ) и Д p (v, t ) его сжатой и растянутой зон и ^vt) s(vt ) Д (v,t)= Дс (v,t ) + ДР (v,t) . (z,v,t) т.е. s(z,t) = (z / х)Єф (v,t), (10) где εφ(ν, t) - деформация фибрового волокна (рис. 2). В силу формулы (10) z = xs / sf , (11) σ Нейтральная Рис. 2. Распределение деформаций и напряжений по высоте ( л F а потому σ(ζ,v,t ) = σ s v (v,t ) s(z,v,t ) . (12) нормального сечения бетонного элемента Для интегральных оценок нелинейных и неравновесных свойств железобетона В.М. Бондаренко ввел и использовал [4] понятие интегрального модуля деформаций Eh(v t), который находится при минимизации по 1/Eh(v t) величины c\euh (v,t)]= J[aô(z)zm ]2 dz . (13) В выражении (13) b(z) - ширина сечения; m - показатель моментности отклонения; p и q - пределы z по сечению; Δ = s(z,v,i)-sUH(z,v,t), (14) где Suh (z, v, t ) = σ (z,v,t )/ Euh (v,t ). (15) В частности для сжатой зоны прямоугольного сечения [1] при m = 1 / 2 и ■(z,v,t )=|z| σφ(v,t > s (z,t )=|z| sφ(y,t ) имеем Euh (v, t) = 2 + Us + n · Еф (v, t). (16) (17) 2 + 2πσ Введем, следуя идее В.М. Бондаренко, интегральный модуль деформаций Euh (v,t), минимизируя по Euh (v,t) величину q 2 à [e uh (v, t)] = J [~~b (z)] dz (18) г=0 n n 51 где Δ = σ(ζ,ν.t)-συΗ (z.v.t), (19) συΗ (z.v.t)=Еин (v.t) · s(z.v.t). (20) Согласно выражений (16) и (18) для сжатой зоны прямоугольного сечения Eин (v. t) = 1 + 2ϊ1ε · Еф (v. t). 1 + ηε + ησ При допущении гипотезы плоских сечений интегральные модули ~ 3 Еин (v.t) = —--Еф (v.t), (22) (21) 2 + η. Еин (v.t ) = ^3 + n · Еф (v.t ) (23) 2 + 2n практически совпадают и в качестве приближения Еин (v. t) в [1] взят Еин (v. t). Функция σ(ζ.v.t)=(z/x)ησ ·σφ(v.t)описывает распределение напряжений лишь на восходящей ветви диафрагмы " ε - σ" , а для нахождения интегрального модуля деформаций с учетом ниспадающей ветви необходимо задание σ(ζ. v. t) на промежутке \θ. Su ]. В то же время гипотеза плоских сечений часто приемлема для полной диаграммы "ε - σ" и при заданной функции σ(ε) позволяет находить Еин(v.t). В самом деле (~\e ин (v, t )]=i bz )\σ(ε)-ε ин (v, t ε]2 d (24) и поскольку z = XsjSf , то Используя условие а\_Еин(v.t)]= — J|^(ε)\σ(ε)-Еин(v.t)ε]| ds . (25) sf O da\Em (v.t )^ dEm (v.t ) = O, (26) f(vt ) f (v't) получим Еин(v.t)= Jό(ε)σ(ε)ε/ε / Jδ(ε)ε2ds . (27) В линейном случае и при однородном НДС из (27) следует, что Еин (v.t ) = Еф (v.t ). Для прямоугольного сечения b(z) = const и согласно (27) ~ , ч sf(vt ) / Еин (v, t) = = 3 Jb(s]sds/sj· (v. t). (28) В целях упрощения выкладок дальнейшие рассмотрения проведем для случая b(z ) = const. Если напряжения σ(ε. 1.10 ) заданы выражениями (6) и (7), то в силу (28) Еин (v. t ) = 3- Еин (v. t ) = ( ^3 ε Sf V f J 2(1 - e^s/Sr )-2 V ίείλ V sR J EZ(v. t), (29) 3 Sr 3 ε ■H— a2 4 2 ε +... EZ (v.t ). (30) ' f R J С помощью модуля Еин (v.t ) напряжениям σ(ζ.v.t ) сопоставляются условные напряжения σ (z.v.t ) = Еин (v.t ) ε (z.v.t ), распределенные по высоте элемента линейно при ε (z.v.t ) = (z / x )еф (v.t ). В физическом аспекте этой трансформации отвечает сопоставление бетонному элементу некоторого условного элемента (с теми же геометрическими характеристиками и с модулем деформаций 52 Euh(v,t)), обладающим линейным по высоте распределением напряжением. Существенно, что при этом суммарные по всей сжатой зоне моменты М и M , порождаемые соответственно напряжениями a(z,v,t ) и <~(z,v,t ) одинаковы. x x2 Ξ/ В самом деле M =(a(s)zdz =—(a(s)sds, (31) 0 ε f 0 /zЛ / Ч Euh(v,t)· xz ·ε f M = JEuh(v, tJεф(v, t)· zdz =-3-f- (32) и согласно (28) имеем M = M . (33) Предполагая, что линейное распределение напряжений получено с помощью некоторого интегрального модуля деформаций Eiun (v, t), оставляющего момент М инвариантным, в силу (31) и (32) получим E (v, t ) = Euh (v, t ). (34) Итак, математический подход нахождения Euh (v,t ) минимизацией \euh (v,t)] эквивалентен физическому подходу его определения из условия инвариантности М. Это обстоятельство приводит к новому способу нахождения интегрального модуля деформаций с помощью равенств (31), (32) и (33). Следует отметить, что инвариантность М при сопоставлении G(z,v,t)^ ff(z,v,t) = Eluh(v,t) s(z,t) (35) следует из линейного по высоте сжатой зоны сечения элемента распределения напряжений ff(z,v,t ). Линеаризация (35) обеспечивает не только сохранение момента М, но и, что не менее важно, сохранение деформаций ^z,v,t) и, следовательно, прогибов u(v,t). Одинаковость деформаций и прогибов в сечениях при равных моментах М и M возможна лишь при равных жесткостях бетонного элемента и сопоставляемого ему условного элемента Д (v,t )= Д (v,t ). (36) Согласно (36) жесткость сжатой зоны сечения Дс (v,t) находится с помощью формулы Дс (v, t) = Euh (v, t)· Jc, где Jc - момент инерции этой зоны. При необходимости учета жесткости растянуто