ТРЕЩИНА В СЕЧЕНИИ ДОРОЖНОГО ПОКРЫТИЯ

Аннотация

Исследуется плоская задача с продольной трещиной, возникающей в сечении дорожного покрытия, сцепленного с упругим основанием из другого материала, когда к поверхности покрытия приложена нормальная нагрузка (давление колеса).

Полный текст

Настоящее время важной общегосударственной задачей является увеличение объема строительства автомобильных дорог при одновременном повышении качества, надежности и долговечности строительства, снижении расхода дефицитных материалов. В связи с этим на первый план выдвигаются проблемы научно обоснованных комплексных методов расчета строительных конструкций на прочность и долговечность, позволяющих на основе полного учета реального состояния материала осуществлять оптимальное проектирование строительных конструкций, обладающих повышенной прочностью, надежностью и долговечностью. Все это в полной мере относится к дорожным покрытиям. Разработка расчетных моделей для исследования повреждения твердого дорожного покрытия представляет собой актуальную проблему. Для обеспечения надежной и безаварийной работы автомобильного транспорта важное значение играет своевременное обнаружение различных повреждений дорожного покрытия. Значительный интерес в связи с этим представляют дефекты типа трещин. Важной проблемой для повышения долговечности дорожного покрытия является установление норм допустимой дефектности, выбор способов и периодичности контроля пути. При оценке долговечности дорожного покрытия необходимо исходить из возможности наличия в сечении дорожного покрытия наиболее опасных невы-явленных дефектов. В связи с этим разработка расчетных моделей для исследования повреждений дорожного покрытия представляет собой актуальную проблему. Примем следующие упрощающие предположения относительно работы дорожного покрытия: 1) дорожное покрытие является неразрезной полосой бесконечной длины неизменного поперечного сечения, лежащей на сплошном упругом основании; 2) вертикальные силы приложены в плоскости симметрии дорожного покрытия, а боковые и продольные силы не влияют на изгибающий момент и на напряженно-деформированное состояние, вызванное процессом контактирования колеса с дорожным покрытием. На основании этих принятых предположений для расчета напряженно-деформированного состояния пары дорожное покрытие - упругое основание приходим к следующей задаче теории упругости. 39 В декартовых координатах х, у рассмотрим пару «дорожное покрытие - упругое основание». Дорожное покрытие представляет собой полосу толщиной h с упругими характеристиками Gj (модуль сдвига) и μι (коэффициент Пуассона), сцепленную с полуплоскостью (упругое основание) с характеристиками G2 и μ2. Пусть в точке X = 0, y = h (рис. 1) к поверхности покрытия приложена нормальная нагрузка в виде сосредоточенной силы Pk (давление колеса). Остальная поверхность покрытия принята не нагруженной. Пусть в сечении покрытия имеется прямолинейная трещина длиной 21, расположенная на отрезке Ix1I < l, y = h/2. В центре трещины разместим начало локальной системы координат X1Ojy1, ось X1 совпадает с линией трещины и параллельна с осью х. Берега і Pk I y г G1^1 ί · і χ1 і -I г ? W \ O \ X O ' G2,M2 Рис. 1 Расчетная схема задачи трещины приняты свободны от внешних нагрузок. Граничные условия задачи запишем в следующей форме: при y = h : σ^-1 = -PkS(х) ; -τ(1) - ι TXy" = 0 при y = 0 : при y1 = 0 : u(1) + ш(1) = u(2) + ίυ(2) ; σ(1) + /τ(1) = σ(2) + /τ(2). u y ' 1 L xy u y ' 1 L Xy ? (1) σ(1) = 0 ; τ(1) = ι Здесь верхний индекс (1) соответствует покрытию, верхний индекс (2) -полуплоскости; S (x) - импульсная функция Дирака; i - мнимая единица. Считается, что при y ^ -да перемещения и напряжения исчезают, и на границе раздела сред (покрытие и основание) имеет место равенство напряжений и перемещений (условия полного сцепления). Используем принцип суперпозиции. Тогда напряженное и деформированное состояние двухслойного тела с трещиной можно представить в виде суммы двух состояний. Первое состояние будет определяться из решения следующей краевой задачи для двухслойного тела при отсутствии трещины: при y = h : σ(1 = -PkS(x) ; -(1) - 1 TXy' = 0 при y = 0 : u(1) + ш(1) = u(2) + ш(2) ; σ(1) + iT(l) = σ(2) + iT(2) u y T ' L Xy u y T ' L Xy ■ (2) Второе состояние определяется из решения краевой задачи для полосы с трещиной, на берегах которой действуют усилия, определяемые первым состоянием. Краевые условия второй задачи имеют вид: при y1 = 0 : при y = h : = - P1 (x1 ) ; σ y = 0; % =- P(x1) *xy= 0 ( X1 ^ ή, X < да), (3) 40 при y = 0 : CTy = 0; T2cy = 0 . Здесь Pxi ) и Pi (Xi ) - нормальные и касательные напряжения, возникающие в сплошной полосе по оси Xi от приложения заданных нагрузок, снимающих напряжения на границе полосы. Решение первой задачи. Для решения граничной задачи (2) используем функции Папковича-Нейбера F^ (x, y) (n, m = і, 2) : по две для полосы (верхний индекс і) и полуплоскости (верхний индекс 2). Как известно [і], перемещения и напряжения выражаются через эти функции по следующим формулам ягл-) ягл-) ягл-) яр(т <(т) = —іг - y-fT- ; υ(-)=(3 - 4μ-)F2(m) - -4— y-2ox Gy -y -y ct(-) -F(т) o2 f (т) o2 f (т) = 2(i - μη )—2---iT--y-2^, (4) IG- Ит' Gy -y У Oy2 W t- O xy U IGm Ox т -F(m) OF(m) (i - 2μ- )F2-)--y -fOy -y Учитывая симметрию задачи по х, используем cos-преобразование Фурье и примем ад ад Fi(i) = f[Ashay + Bchay]cosaxda , F2(i) = j[Cshay + Dchay\acosaxda, 00 ад ад Fi(2) = IEeay cosaxda , F2(2) = fFeaya cosaxda . (5) 00 С помощью соотношений (4) и (5) находим напряжения и перемещения CTi'- , tÇ-), u(-), υ(-). Затем удовлетворяя ими граничным условиям (2) получим систему шести линейных алгебраических уравнений относительно шести неизвестных функций A, B, C, D, E, F параметра a : P 2(1 - μi )(Cchah + Dshah) - Ashah - Bchah - ah(Cshah + Dchah) =---, 2^Gia (і - 2μ1 )(Cshah + Dchah)- Achah - Bshah - ah(Cchah + Dshah)= 0 , B = E, (3 - 4^)D - A = (3 - 4μ2)F - E, Gi[i(i - fJi)C - B\ = G2 [l(i - μ2 )F - E\, Gi [(i - 2μΐ )D - A\ = G2 [(i - 2μ2 )F - E \ . (6) Решая систему (6) методом последовательного исключения, находим функции A, B, C, D, E, F. Ввиду некоторой громоздкости они не приводятся в явном виде. По формулам (4) при y = h/2, |x| < I находятся величины p(x) и pi(x). Следуя [2] для задачи, описывающей второе напряженное состояние, получим интегральное уравнение Г g (η)d + f [g'^)R^] + g(η,ξξ\(!η = πρ0(ξ), (7) Ji η-ξ Ji Ρ0(ξ) = ρ(ξ)+гPi(ξ), \ξ\ <i, /(i+^g ( x) = —:[u +- u + /(υ+-υ0\. IGi ox Здесь к0 - постоянная Мусхелишвили для материала полосы. 41 R(n4)=l S (η,ξ) = ] 1 1 - + sh2τ + 2τ sh2r - 2τ 1 1 + ' sh2τ + 2τ sh2τ - 2τ 11 \Η1(ξ,η,τ,°) + Ρ1(ξ,η,τ,0) dτ. (8) sh2τ + 2τ sh2τ - 2τ Η 2 (ξ,η,τ,0) + + 11 -+- ^ΐ(ξ,η,τ,0) dτ чsh2τ +2τ sh2τ - 2τ где H1 (ξ, η, τ,0) = H2 (ξ, η, τ,0) = (λ / 2) ·(-1 - 2τ2 + e~2τ )sin [λτ(η - ξ)]; 0*(ξ,η,τ,0) = Θ*(ξ,η,τ,0)= -λτδίη[λτ(η - ξ)]; λ = I/h . Ядра R^) и S(η,ξ) действительны, интегральное уравнение (7), как и следовало ожидать, распадается на два действительных уравнения. В случае симметричной задачи (трещина нормального разрыва), когда на берегах трещины действуют только нормальные усилия p(x), находим | _L + 2τ2^5-2τ)sin λτ{η- ξ^η υ'(η)dη = πρ(ξ), |ξ| < 1. (9) η - ξ J sh2τ + 2τ да 1 Если воспользоваться значением интеграла Г sin zxdx = — , принимаемом в J x обобщенном смысле Абеля, интегральное уравнение можно записать в виде [2] 1 да h2 - 2 |υ'(η)^ (η- ξ)άη = πρ(ξ), \ξ\ < 1, Κ1(η)= 2λ|-S τ sh 2 τ + 2 τ sin λτηάη , (10) -1 0 которое преобразуется в интегральное уравнение Фредгольма T ξ φ(ξ>=- -1 - і 2 f p(η)dη + J 2 2 η 0 где F (η,ξ) = λ2η| 1 + 2τ + 2τ 2 - e~2T sh2 + 2 ΙΌ, IF (η,ξ)φ(η)dη, 0 <η< 1, J0 (λη τ J0 (λξ τ)τ d τ , (11) υ( x) = uφ(u)du Γ~2 2 Vu x > I 0 < x < I Iu - X J0 (u ) - функция Бесселя первого порядка. При действии только касательных усилий на берегах трещины (трещина поперечного сдвига) интегральное уравнение преобразуется к виду I u ' (η) K2 (η- ξ^η = π^ξ), |ξ| < 1 -1 да где K2 (η) = λ| Ζ(τ ) sin λ τηdη ; L{t) = 2 Коэффициенты интенсивности напряжений находим по формулам 42 Kj - iKjj = + lim x——±i Ιπ(£2 - x2 i Решения интегральных уравнений сводились к решению системы неоднородных алгебраических уравнений M x M. Проведенный численный анализ показывает, что для получения устойчивого значения искомых функций необходимо взять M > I0 . ад a Функции Ki (η,ξ) и K 2 (η,ξ) вычислялись так. Вместо | взято было | . 0 0 Анализ показывает, что подынтегральные функции экспоненциально убывают при t — ад . Для того, чтобы исследовать как влияет значение А на значение искомых функций, были взяты следующие значения А = 10, 20, 30, 100. При этом найдено, что если А = 100, то значения функций Κ1(η,ξ) и Κ2(η,ξ) при фиксированном значении η,ξ є [- і,і\ с точностью 10-4 равно значению функции Κ1(η,ξ) и Κ2(η,ξ), соответственно, при А = 10. Для численного расчета принято А = i0. Анализ результатов вычислений для трещины нормального разрыва (рис. 2) позволяет сделать следующие выводы: а) если Gi/G2 > і, то при постоянной внешней нагрузке Pk и при фиксированных значениях других параметров задачи с увеличением длины трещины коэффициент интенсивности напряжений K1 увеличивается; 0 0,2 0,4 0,6 0,8 i,0 iIh Рис. 2. Зависимости коэффициента интенсивности напряжения Kj от длины трещины б) если Gi/G2 <і, то при постоянной внешней нагрузке и при фиксированных значениях других параметров задачи, безразмерный коэффициент интенсивности напряжений K1 с увеличением длины трещины сначала увеличивается, а затем, начиная с некоторого значения l/h, медленно уменьшается. Приравнивая K1 на трещиностойкость Klc покрытия, содержащего в сечении трещину, находим критическую нагрузку или критическую длину трещины, приводящих разрушению дорожного покрытия. 43 Для облегчения расчетов при вычислении коэффициентов интенсивности напряжений поступали следующим образом. Находили максимальные значения Тогда для коэффициентов интенсивности напряжений можно использовать следующие известные формулы Другой способ учета усилий p(x) и P1(X) заключается в том, что вместо истинного их распределения: учитываем их результирующую силу, приложенную в ее середине, т.е. С помощью формул (13), (14) для коэффициентов интенсивности напряжений и критерия хрупкого разрушения Ирвина [3] можно исследовать предельное состояние дорожного