МЕТОД ДИНАМИЧЕСКОГО РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ ЗАЩИТНЫХ СООРУЖЕНИЙ НА ОСНОВЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

Аннотация

Полный текст

В этом методе конструкцию сводят к системе с одной степенью свободы путем приведения дифференциального уравнения движения элемента 4-го порядка в частных производных к решению дифференциальных уравнений 2-го порядка. Решение уравнения движения балки представляем в виде произведения двух деформаций y(x,t ) = pF (x)T (t), (1) где Fr) - функция, равная перемещениям балки от действия статической нагрузки, T(t) - функция, описывающая перемещение конструкций во времени; p- 25 Метод динамического расчета конструкций защитных соору жений на основе решения уравнения движения В.Н. ШУЛЬГИН*, канд. техн. наук. В.И. ЛАРИОНОВ**, д-р техн. наук. Академия Государственной противопожарной службы, Москва Центр исследований экстремальных ситуаций, Москва В этом методе конструкцию сводят к системе с одной степенью свободы путем приведения дифференциального уравнения движения элемента 4-го порядка в частных производных к решению дифференциальных уравнений 2-го порядка. Решение уравнения движения балки представляем в виде произведения двух деформаций y(x,t ) = pF (x)T (t), (!) где Fr) - функция, равная перемещениям балки от действия статической нагрузки, T(t) - функция, описывающая перемещение конструкций во времени; р— 25 наибольшее значение динамической нагрузки. Одна из этих функций F(x) зависит лишь от координаты х, тогда как другая T(t) является лишь функцией времени t. Функцию T(t) обычно называют функцией динамичности. Таким образом, динамическую нагрузку представляем в следующем виде P(x,t ) = pf(x)f (t ), (2) где f1(x) и ft) - функции, характеризующие изменение нагрузки по пролету и времени. Далее умножив L(x,t) на функцию F(x) и проинтегрировав по пролету, l согласно методу Бубнова-Галеркина jL(x, t) ■ F(x)dx = 0, (3) 0 получим дифференциальное уравнение для функции T(t) rT (t ) + ^2T (t ) = ω2 f (t ), (4) =π! B 12V m’ где ω - круговая частота колебаний балки; В - жесткость балки; m - масса, приходящаяся на единицу длины балки; I - расчетный пролет балки. Жесткость балки определяется по формуле В = 0,85EsAs(h0- x)(h0 - 0,5х), (5) где Es - модуль упругости арматуры; As - площадь арматуры в растянутой зоне; х - высота сжатой зоны бетона; h0 - толщина балки без учета защитного слоя бетона в растянутой зоне. Низшие частоты собственных колебаний балок определяются по формулам - для шарнирно-опертых балок: ω =9,876 B ; (6) l2 \m - для балок с жестко защемленными концами: , 22,37 B ; (7) ω I2 im где m = qcT /g - сумма погонных постоянных и временно длительно действующих нагрузок; g = 9,8 м/с2. Уравнение (4) представляет неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Найдем решение уравнения для нагрузки видар(ї)=Р(\- t/z^). Общее решение уравнения будет иметь вид T (t ) + œ2T (t ) = 0; T (t ) = Qcosœt + Qsinœt, (8) где Сі и C2 - произвольные постоянные. Частное решение функции T(t) имеет вид T (t ) = 1 -1/ хэф. (9) Общее решение неоднородного дифференцированного уравнения характеризуется формулой T(t) = C1Cos ω t + C2 sin ω t + 1 -1 / хэф. (10) Постоянные C1 и C2 находим из начальных условий T (0) = 0; Т( 0 ) = 0. Имеем T(0) = C1 + 1, то есть Q= -1; T (0) = шС2 -1/хэф = 0; C2 = 1/(штэф). Таким образом, T (t) = 1 -1/тэф - cos t + sin ωΐ /(ωτ^). (11) Функцию F(x) определяют из решения уравнения изгиба балки для условий статики Вд4 у/дх4 = f1 (x). (12) При условии, что У1(х) = 1, функция F(x) имеет вид 26 FM = — I il - X + H I. (I3) 12 В ( 2 2 j В этом случае прогиб в середине пролета 1/2 от единичной статической нагрузки составит F ( L ! = _!_. Il (14) 2j 384 B Подставляя уравнение (14) в (5), получим y( L Л = _А_. É—. T(t) (15) ч2’ j 384 B Подставляя в уравнение (15) функцию T(t) (11), получим прогиб для середины пролета шарнирно опертой балки y(t) = —— · (1 —-— cos rot + sin rot /(ωχ.)). (16) 344 By хэф эф При расчете защемленной на опорах балки прогиб посредине пролета будет равен y = -P-— (1 —— cos rot + sin rot /(ro x^)^ (17) 384B хэф эф где ω - частота собственных колебаний балки, защемленной на опорах, определяется по формуле (7). Максимальное перемещение система достигает в момент времени -мзкс, при котором Т(t) = 0 . Максимальное значение функции динамичности для внезапно приложенной нагрузки, изменяющейся по треугольному закону, определяется по формуле (11) при значении t = -мзкс. Подставляя в левую часть уравнения предельное значение упругого прогиба, можно получить значение динамической нагрузки Р, при которой максимальный прогиб элемента достигает предельного упругого прогиба. Предельное значение упругого прогиба можно определить из соотношений y = 5p-4 T(ί )=5LL.PtT(t )== Mt (18) 384B 48B 8 48B 0 9,6В ' Для защемленной на опорах балки значение упругого прогиба равно y = Л?- Ttt ) = -L^P2 T(t ) = Mt. (19) 384B 32B 12 32B Существуют и другие методы приведения балки к системе с одной степенью свободы. Так, в вариационном методе расчета исходят не из дифференциальных уравнений движения конструкции, а непосредственно из вариационных принципов, выражающих общие законы механики. Согласно этим принципам, система движется в промежутке времени от -і до t2 таким образ