ДЕФОРМАЦИИ МАГИСТРАЛЬНОГО ТРУБОПРОВОДА, ВЫЗВАННЫЕ СМЕЩЕНИЕМ ОСНОВАНИЯ В ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ

Аннотация

Геофизические исследования в области структурной геологии показывают, что тектоническая активность и развитие структурных форм продолжается и в современный период [1-3]. Тектонические движения имеют различную пространственную ориентацию, происходят с преобладающей вертикальной или горизонтальной компонентой, причем смещения происходят либо плавно, либо импульсивно или же временно прекращаются. В результате изменяется рельеф местности. Сказанное подтверждается визуальными наблюдениями и другими материалами: районы выхода на дневную поверхность фронтальных частей нарушений земной коры подвержены оврагообразованию, развитию карста и суффозии, усилению оползневых явлений, деформации асфальтового покрытия автодорог и т.д. Ниже рассматриваем деформации и напряженное состояние магистрального трубопровода после его прокладки в результате сдвигов его основания на отдельных участках.

Полный текст

Трубопровод расположен перпендикулярно к линии сдвига. Блоки 1 и 2 (см. на рис.1), смещаются один относительно другого в горизонтальной плоскости в направлении, показанном стрелками. След плоскости, в которой происходит сдвиг, отмечен на рисунке зигзагообразной линией. Трубопровод расположен перпендикулярно к линии сдвига, деформированное положение его показано жирной линией. Поместим начало координат xOy в точке О недеформированного положения трубопровода, направив ось х влево вдоль его оси, ось у - вниз, Рис. 1 как показано на рисунке. В точке B на расстоянии l0 от линии сдвига трубопровод отрывается от грунта. В области x < 0 трубопровод остается параллельным оси x и совершает совместное движение с грунтом. Слева от линии сдвига упругая линия кососимметрична по отношению к оси x и точку, аналогичную точке В, обозначим В\. Длина l0 определяется в процессе решения. В точках В и В\ возникает сосредоточенная сила Rb [4]. В трубопроводе находится жидкость под давлением p. Под действием давления жидкости и в результате разности температур АТ в момент строительства и в рассматриваемый момент времени в нем возникает продольная сила 11 N = %R2p ± 2%Rha* (ΔΤ) E, где R и h - радиус срединной поверхности и толщина стенки трубы, а* и E -коэффициент температурного расширения и модуль упругости материала трубы. Смещение точки B обозначим через Δ. Диаграмма сопротивления грунта поперечным смещениям трубы в горизонтальной плоскости совпадает с диаграммой деформирования упругоидеальнопластического тела [5]. При малых перемещениях трубы сопротивление грунта пропорционально перемещению 0 =ау, (1) где а = 0.12ЕгрЛ[Щй/( 1 - μ%), ЕГр, μφ - модуль деформации и коэффициент Пуассона грунта, D - диаметр трубы, /* - единичная длина, y - смещение трубы (прогиб). Соотношение (1) справедливо в диапазоне перемещений от 1 до 6 см. При больших смещениях трубы сопротивление грунта постоянно, не зависит от перемещения и равно 02 = RrpD , (2) Здесь Rrp - условная несущая способность грунта [5]. Принимаем, что отношение Δ /l0 << 1 и нагрузка на единицу длины проекции искривленного трубопровода на его первоначальное направление также равна q. Рассекаем трубопровод в точках B и Bi, прикладываем силы Rb. Из уравнения равенства нулю суммы моментов всех сил относительно точки A находим Rb = 00 T ^ <3> 2 1O Здесь и ниже в выражениях, имеющих слагаемые с двойным знаком, верхний знак берем, если сила N растягивающая (положительная), нижний знак - если сила N сжимающая (отрицательная). Изгибающий момент в сечении на произвольном расстоянии x равен 2 M (x) = RBx - qX- ± N (Δ-у). (4) Дифференциальное уравнение упругой линии трубопровода имеет вид У" = — EJ q*2 qOx ± Nδ{x -1 2 2 V1O ± Ny (5) где штрих означает производную по x. Пусть смещения трубы малы и реакция грунта определяется выражением (1). Подставляя в (5) вместо q выражение (1), получим дифференциальное уравнение с переменным коэффициентами у" + (-kox2 + ko/ox T k)y = ±^Δ [x//o -1], (6) где ko = a/(2EJ), k2 = N/(EJ). Однородное уравнение (6) совпадает с уравнением 2.55 (стр.379) в [6], если в последнем принять a = b = 0. Следуя [6], принимаем у = U x)esx , где s - корень уравнения 4s2 - k0 = 0 и равен s ± -,Jk^ /2 , однородное уравнение (6) приводим к виду U + 2^/koxU + (ko/ox + -Jko T k2 ) u = o. (7) Здесь использовано положительное значение s. Заменой ^x), ξ = Λ/^ { x - 2 ( u(x) = η(ξ) exp / 12 уравнение (7) сводится к уравнению η" + ξη' + bη = o, (8) 2 где b = ^ko-% + —, = ^Jkô (x - | . Уравнение (8) совпадает с 2.273 (10) в 1 ξ2 ( [6] и имеет решение η = ξ 2e 4 η b -11 ■ ξ 2 4 4’ ~2 2 (9) Используем обозначение k = Ь -1, m = 1 и выражение (9) записываем так 1 ξ2 (_ ξ2Α k,m: ï- η = ξ 2e 4 η 2 где η (k,m; ξ2/2) - функции Уиттекера; в [7] они обозначены через M^m (ξ) и M1 k,-m (ξ) и представляют собой линейно-независимые частные решения одно родного уравнения Уиттекера. Общим решением (8) будет η = C1Mkm (ξ) + СЩ.-m (ξ), (10) где Mkm (ξ) = ξ2 e 2FіI- + m - k, 2m + 1,ξ . . “ a (a +1)... (a + n -1) xn 1F1 (a,b,x) = 1 + > —--—-----ряд Похгаммера; в [8] его называют v 7 n=1 b(b + 1)...(b + n - 1)n! вырожденной гипергеометрической функцией и обозначают <î{a,c,x), где a = 1/2 + m - k, b = 2m +1. Для функции Ф( a, c, x) справедливо правило дифференцирования dn Ф r(a + n )r(c) dФ a . 4 -= —7-г—Ф (a + n,c + n, x); — = — Ф^ +1, c +1, x). dxn r(c + n)r(a) v ’ dx c v ’ После перехода к исходной функции y общее решение однородного уравнения (6) запишется в виде y (ξ) = cI (-y1 ) + C2 (-y2 ) , (11) где y = ξ^ 2Fi ξ' - + m - k, 2m +1,— 22 ξ ( y2 = ξ-me 2iFi 2 A — m - k, -2m +1,— 2 2 Производные функции yi и y2 по ξ имеют вид pm a -ξ ( Уі = I mξm-1 -S^I e 2i Fi 2 A (2m +1 - 2k )ξ 2 (2m +1) v ξ Λ 1 г о и ξ — + m - k, 2m +1,— 22 ξ^ 2iF / ;2 A - + m - k, 2m + 2,— 22 me 2 у2 = Р-"'є (i + 2ηξλ ) _ô iFi iI- ξ2A — m - k, -2m +1,— 22 ξ' me 2 (1 -2m-2k)ξ Wü ^ iFi 2 (1 - 2m) Зависимость ξ от x приведена в уравнении (8). ί з _ g2A — m - k, -2m + 2,— 22 ί + ί + ξ 13 Частное решение V неоднородного уравнения (6) находим методом неопределенных коэффициентов в форме V = C1 (ξ)y1 (ξ) + C2 (ξ)y2 (ξ), где C (ξ)=ί Уі (ξ)/n У2 (ξ) ■ C (ξ)=I f (ξ) dξ k2A У2 (ξ)/n У2 β) ■f (ξ) = η- >г\ ξ л/2/kT Уі (ξ) '2W Уі (ξ) Постоянные интегрирования в (11) определяем с помощью граничных условий y = д, y' = o при x = o, ξ = ^o ; ξo = Имеем где y (ξ) = д yI (ξ) y2 (-ξ0 ) - yI (-ξ0 ) у2 (ξ) + У ^= Уі Ho) У2 Ho )-Уі Ho ) У2 Ho ) +C (ξ) Уі (ξ)± Суі (ξ), (12) (13) ξ C (5)= I f (ξ) dξ -ξ0 Уі (ξ)/n Уі (ξ) ξ ; C ©=| f (ξ) dξ Уі (ξ) -ξ^^" 'Уі (ξ) Длину /o находим из (13), используя условие У = o при x = /o (ξ = ξ0 ). Выражение для изгибающего момента имеет вид У2 (ξ)/П Уі (ξ) ' M ( x ) = qIx (/o - x ) + N У - Δ x 1 - x /o J Координату опасного сечения x* находим из условия Q ( x ) = o по формуле x* = I + ^ . (14) 2 qi/o Из (14) видно, что при N = o наибольший изгибающий момент возникает в сечении x* = /o/2 . Более точное значение x* следует из условия dM/dx = o . Пусть перемещение трубопровода больше предельного значения. Сопротивление грунта определяем по формуле (2). Тогда дифференциальное уравнение упругой линии (5) принимает вид Ґ „ Л У” + kV = k1x ( x - /o ) + k Δ — -1 V /o J (15) где k = OzI(2EJ). В случае N > o решение уравнения (15), удовлетворяющее граничным условиям (12), запишется так У = Δ - , (ch kx -1)- 02 IN kzNy k q2 f Δ изгибающий момент равен M (x) = (1 - ch kx) + — 2N q2/o 1/ 2 1 f q,/o N ΔΛ (sh kx - kx) , (16) sh kx . q2 x2 q2 При N < o имеем У = Δ + 2_. + 2 . _ (coskx -1) + — 2N k2Ny k ( Δ o J Λ --+ · 2N Οχ/o (sinkx - kx) ,(17) M (x) = qX (cos kx -1) +1 k Λ q2/o + N Δ V 2 /o J sin kx . Если N = o, то У = Δ + q^x-fx-/oΊ; Mmax = °°-; /o = J24j^ 12EJ V 2 0 J 8 V q2 I, /o 14 Координату опасного сечения находим из условия dM/dx = 0 по формуле tg kx„ = k I0 + NA . 2 q2I0 \ (18) Если kx„<< 1, то, пользуясь известным разложением в ряд tgz = z + z3/3 + ... и оставляя в разложении первое слагаемое, для х„ получим более простую форln N A мулу: х„= — ч--. 2 ql0 Используя условие y = 0 при х = I0, находим уравнение для определения I0: ( N > 0: N < 0: 1 - ch kl0 + k I0 NA \ q2I0 sh kl0 = 0; ґ 1 - cos kl0 - k I0 N A — +- , 2 q2I0 л sin kl0 = 0. 2. Трубопровод расположен под углом Θ к линии сдвига. На рис. 2 показано деформированное положение трубопровода, направления смещения блоков, приведены геометрические и силовые параметры задачи. Проводим нормальное сечение трубопровода на расстоянии I1 слева и справа от линии сдвига. Из уравнения равенства нулю суммы моментов всех сил относительно точки Oj ini M N определяем Ro = q2I0 + N A V 2 l0 У sin θ . Внутренний момент на произвольном расстоянии x равен M (х) = -sin θ - RoX + Ny. Дифференциальное уравнение упругой линии трубопровода имеет вид 2 EJy'' = -sin θ + ROx + Ny . (19) Здесь штрих означает дифференцирова- Рис. 2 ние по х. Используем обозначения k2 = N ; k, = ; K2 = rO EJ л 2EJ 2 EJ и уравнение (19) приводим к виду y" + k2y = k2x - k,x2 . (20) Пусть сила N растягивающая. Тогда решение уравнения (20), удовлетворяющее условию y = y " = 0 при х = 0 записываем так y(x) = q2 sin θ N 1 - - k,(ch kx -1)+k I0 - NA 2 q2I0 Λ (sh kx - kx) (21) Изгибающий момент определяется по формуле M (x) = q sin θ " 1 f І0 N A' k V2 q2I0 у sh kx - — (ch kx -1) . (22) Координату опасного сечения х„ по-прежнему определяем по формуле ґ tg kx„ = k /о - NA 2 q2I0 Λ Используя условие y = ΔsinΘ при х = I0 из выражения (21) находим уравнение для определения I0: y 2 15 ί 1 - ch k/0 + k i± - N± 2 q2/0 \ sh klo = o. В случае N < 0 выражения для прогиба, изгибающего момента и уравнение для определения x* и l0 имеют вид У = O2 sin θ N — --z (cos kx - 1)+- 2k Λ (sin kx - kx) M (x) = -O1 sin θ x2 - —χ (cos kx -1) + 1 +— k /0 N Δ — +- , 2 qi/o л (sin kx - 2kx) (23) ( 2kx„ + sin kx„ + k /o + ΝΔ 2 q2/0 Λ (cos kx* + 2) = 0; INΔ 1 / ,, ,4 1 f /0 NΔ і . -+ (cosk/0 -1)—I — +-I sin k/0. 02 k 0 k 12 qi/o0 Если N = 0, то q1x sin θί, xI 4 qxsin θ 4 у = qW-1/o-2); M(x) = qxZ-(/o-x); (24) Наибольший изгибающий момент возникает в сечении x* = /0/2, где l0 определяется из выражения /0 = ^JÏÂËJKjqi . На рис.3 приведена расчетная схема для движения блоков в направлении, противоположном рассмотренному выше. Здесь справедливы формулы (21)-(24). 3. Определение предельного значения смещения Δ*. Элемент трубы находится в плоском напряженном состоянии, на гранях элемента возникают напряжения Gx = σΝ + σΜ = N M (x*) PR %Dh πR2h = h Для определения ΔΗρ используем энергетическую теорию прочности и запишем G12 -G1G2 +σ2 = σ']· , где G1 = Gx , σ2 = σφ, στ - предел текучести материала трубы. Если ΔΤ = 0 , то gn = pR/2h и из условия прочности находим предельное значение изгибающего момента Рис. 3 Мпр = nRzh. σ2 3 σ^- 4 PR h 4. Численный пример. В стальной трубе радиусом срединной поверхности R = 0,51м, толщиной стенки h = 0,011м содержится жидкость под давлением P = 50атм, E = 2 · 105 МПа, στ = 300МПа, ΔΤ = 0 . Труба находится в песчаном грунте с параметрами Eip = 30 МПа, μφ = 0,25 , Rp = 0,4M Па [5]. По результатам расчетов построены графики. На рис. 4 приведена кривая зависимости величины деформированного участка трубопровода /0 от смещения Δ . На величину /0 не влияет угол Θ, а также давление жидкости и соответственно растягивающая сила N . 2 2 16 Рис. 4 Рис. 5 На рис. 5 показаны графики изменения изгибающего момента в опасном сечении M (x*) в зависимости от Δ при θ = 0 разных значениях смещения. Горизонтальные линии представляют предельный момент Mnp. Сплошные линии соответствуют давлению p = 50атм, штриховые и штрихпунктирные линии давлению p = 30 и p = 10атм . В диапазоне 0 < θ < π/2 влияние на Δ* давления жидкости в трубопроводе и соответственно растягивающей силы N не превышает 1 %. На рис. 6 дан график зависимости предельного смещения Δ* от углового положения трубопровода Θ. Из графика следует, что с увеличением Θ. величина предельного смещения Δ* уменьшается и наоборот. Как видно из графика в диапазоне изменения 60° < θ <