Dynamic Response of Doubly-Curved Shallow Shells to Periodic External Action

Full Text

1. Введение Тонкостенные оболочки, являясь элементами различных конструкций, могут быть подвержены воздействию нагрузок, зависящих от времени, что приводит к необходимости исследования их устойчивости в задаче динамики [1-7] и колебаний [1; 6; 8-15]. Функционал полной энергии деформации оболочки при динамическом нагружении включает в себя кинетическую и потенциальную энергии оболочки, а также работу внешних сил. Математические модели деформирования конструкций на основе функционала энергии деформации использовались в работах [6; 11; 14-19]. Нахождением первой вариации этого функционала и приравниванием ее к нулю выводятся уравнения движения оболочки (система дифференциальных уравнений в частных производных при заданных краевых и начальных условиях). Эти уравнения представляют собой уравнения равновесия оболочки (задача статики), дополненные инерционными членами [20]. Таким образом, точность математической модели деформирования оболочки при динамическом нагружении зависит от точности тех же соотношений, которые используются в задачах статики. Основу этих соотношений составляют применяемые гипотезы теории оболочек. Если учитываются поперечные сдвиги, то тогда в выражении кинетической энергии деформации оболочки будет учитываться инерция вращения. Влияние учета поперечных сдвигов на процесс деформирования пластин и оболочек рассматривалось в работах [21; 22] и др. Среди работ, в которых исследуются пологие оболочки двоякой кривизны, следует отметить [6; 11; 15; 23-27]. Динамическое нагружение может быть разных видов, например, ударная нагрузка [5; 28-30], линейно возрастающая [31; 32] или периодическое воздействие [7; 19; 32; 33]. Процессы, возникающие в ортотропной оболочечной конструкции при таких нагрузках, изучены пока еще недостаточно. Современное состояние вопросов динамики тонкостенных оболочек можно найти в обширных обзорных статьях [8; 13; 17; 18; 34-38]. Моделирование процесса потери устойчивости при действии динамической нагрузки является сложной задачей, поскольку в таком случае система обыкновенных дифференциальных уравнений становится жесткой и ее решение требует применения специальных численных методов и существенно больших вычислительных мощностей. Azarboni, Ansari и Nazarinezhad [26] численно исследуют нелинейное деформирование пологих оболочек двоякой кривизны при динамическом нагружении. Для решения уравнений движения применяется метод Галеркина, используется тригонометрическая аппроксимация. Найдены значения критических нагрузок, фазовый портрет и другие характеристики системы. Lavrenčič и Brank [3] изучают процесс потери устойчивости оболочки с помощью неявных численных схем. Расчетные примеры включают в себя в том числе классические задачи: например, потеря устойчивости цилиндрической оболочки под действием осевой нагрузки. Результаты, полученные для задачи динамики, сравниваются с результатами для задачи статики (используется метод продолжения решения). Чаще всего для решения таких систем применяется метод Рунге - Кутта [2; 10; 12; 26; 32; 39] 4 порядка точности, однако при использовании явной схемы метода Рунге - Кутта приходится брать очень мелкий шаг по временной координате. Это вызвано тем, что уравнения движения для оболочечных конструкций относятся к так называемым жестким системам уравнений. Для решения жестких систем уравнений существуют специальные методы, например, методы Гира, Розенброка, BDF. Цель данного исследования - развитие методов и моделей расчета тонкостенных ортотропных оболочек на новые виды динамических воздействий, важные для обеспечения безопасной работы конструкций, в частности периодического воздействия. 2. Методы Будем рассматривать тонкостенные оболочечные конструкции произвольного вида толщиной h, находящиеся под действием внешней механической нагрузки, которая будет зависеть от времени, то есть Px = P x y tx( , , ), Py = Py(x y t, , ), q = q x y t( , , ). Срединную поверхность оболочки примем за координатную поверхность. Оси x, y направим по линиям главных кривизн, ось z - по нормали к срединной поверхности в сторону вогнутости. Функционал полной энергии деформации тонкостенной оболочки при динамическом нагружении имеет следующий вид: t1 I = (Ek - Es )dt, (1) t0 где Ek - кинетическая энергия деформации системы; Es = -E Ap - разность потенциальной энергии деформации системы и работы внешних сил, соответствующая функционалу; t - время. Для математической модели деформирования оболочек Тимошенко - Рейсснера учитывается наличие поперечных сдвигов, что позволяет также учесть инерцию вращения [40]. В таком случае для оболочки постоянной толщины кинетическая энергия будет записана в виде [40; 41] =ρ a b ∂U 2 Ek 1 h ∂t + ∂∂Vt 2 + ∂∂Wt 2 +12h3 ∂Ψ∂tx 2 + ∂Ψ∂ty 2 ABdxdy. (2) 2 a 0 Функционал статической задачи Es = -Ep A равен разности потенциальной энергии деформации системы и работы внешних сил, для оболочки постоянной толщины равен Es = 12 a b Nxε +x Nyε +y 12(Nxy + Nyx )γxy + Mxχ1 + M yχ2 + (Mxy + M yx )χ12 + a10 +Qx (Ψ -θ +x 1) Qy (Ψ -θ -y 2) 2(PUx + P Vy + qW ) ABdxdy. (3) В соответствии с методом Л.В. Канторовича в (1) подставляются разложения в ряды для неизвестных функций перемещений. После этого становится возможным вычисление интегралов по переменным x и y и задача сводится к одномерному функционалу относительно функций Uij ( )t -Ψyij ( )t . Далее для построения системы уравнений используется известное уравнение Эйлера - Лагранжа [42]: d ∂Ek + ∂Es = 0, j =1, 2,..., 5N, (4) dt X∂ & j ( )t ∂X j ( )t где X t( )=(Uij ( )t V, ij ( )t W, ij ( )t ,Ψxij ( )t ,Ψ yij ( )t )T , i j, =1,.., N , а точкой обозначена производная по времени. В начальный момент времени все компоненты вектора X и их первые производные по времени принимаются равными нулю (начальные условия). Далее решение рассматриваемой задачи сводится к решению начальной задачи для системы ОДУ. Следует отметить, что в полученной таким образом модели производные по временной координате от искомых функций имеют второй порядок. Путем замены переменных такая система сводится к нормальному виду. Полученная таким образом система ОДУ может быть решена специальными средствами, предназначенными для жестких систем уравнений, встроенными в программные комплексы, например, в Maple, MatLab и др. В данной работе процесс формирования системы ОДУ был запрограммирован автором в среде аналитических вычислений Maple. Полученная система ОДУ решалась численно методом Розенброка [43; 44], который эффективен при решении жестких систем. 3. Результаты и обсуждение Для демонстрации применимости предложенной математической модели и алгоритма проведем расчеты устойчивости оболочечных конструкций из изотропного материала (стали С345 (E = 2,1·105 МПа, μ = 0,3, ρ = 7800 кг/м3)). Рис. 1. Пологая оболочка двоякой кривизны И с т о ч н и к : выполнено А.А. Семеновым Figure 1. Doubly-curved shallow shell S o u r c e : made by A.A. Semenov Для исследования процесса деформирования рассмотрим следующий вариант оболочечной конструкции: пологая оболочка двоякой кривизны (рис. 1), толщина h = 0,09 м, протяженность вдоль криволинейных осей координат a = b = 18 м, радиусы главных кривизн R1 = R2 = 45,27 м, закрепление контура шарнирно-неподвижное. Для дальнейших вычислений в методе Л.В. Канторовича примем N =9 . Исследовать будем реакцию конструкции на периодическое вынужденное воздействие q = q0 sinω +0t qsv , q0 = 10 МПа, изменяя при этом параметр частоты ω0 от 32,5 до 260 рад/с с шагом 32,5 рад/с (qsv - составляющая нагрузки от собственного веса). Количество точек решения (значений времени, при которых получены расчетные данные) для каждого варианта задачи составляет 2000. Шаг по времени 0,0002 с. На рис. 2 показаны динамические отклики системы, полученные при указанных параметрах. Красными кривыми показаны перемещения в центральной точке (то есть при x = a/2, y = b/2), синими кривыми - в точке четверти (x = a/4, y = b/4). Анализируя полученные данные, можно заметить, что с увеличением значения частоты колебательный процесс на рассматриваемом участке становится с меньшей амплитудой, при этом видно, что она начинает нарастать. t, сек Рис. 2. Динамический отклик конструкции при: а - ω0 = 32,5 рад/с; б - ω0 = 65 рад/с, в - ω0 = 97,5 рад/с; г - ω0 = 130 рад/с; д - ω0 = 162,5 рад/с; е - ω0 = 195 рад/с; ж - ω0 = 227,5 рад/с; з - ω0 = 260 рад/с И с т о ч н и к : выполнено А.А. Семеновым Figure 2. Dynamic response of the shell at: а - ω0 = 32.5 rad/s; б - ω0 = 65 rad/s; в - ω0 = 97.5 rad/s; г - ω0 = 130 rad/s; д - ω0 = 162.5 rad/s; е - ω0 = 195 rad/s; ж - ω0 = 227.5 rad/s; з - ω0 = 260 rad/s S o u r c e : made by A.A. Semenov Далее рассмотрим подробнее вариант задачи при значении частоты 65 рад/с. Выявим на графике (риc. 3, а) пиковые значения амплитуды, соответствующие максимумам в центральной точке: 1) t = 0,095 с, Wc = 3,945 м; 2) t = 0,111 с, Wc = - 2,014 м, и построим соответствующие им поля прогибов (рис. 3, б, в). а) Рис. 3. Результаты для конструкции при ω0 = 65 рад/с: а - динамический отклик с указанием пиковых значений амплитуды; б - поле прогибов в момент времени t = 0,095 с; в - поле прогибов в момент времени t = 0,111 с И с т о ч н и к : выполнено А.А. Семеновым Figure 3. Numerical results for the shell at ω0 = 65 rad/s: а - dynamic response with indication of peak amplitude values; б - deflections at the time t = 0.095 s; в - deflections at the time t = 0.111 s S o u r c e : made by A.A. Semenov Полученные изображения позволяют оценить характер распределения прогибов по области конструкции. 4. Заключение В результате выполненного исследования следует отметить следующее: 1) расчеты показали, что все рассмотренные виды нагружения приводят к колебательному процессу, который носит существенно нелинейный характер; 2) показано, что в разных точках конструкции колебания могут совершаться в противофазе, что повышает риск достижения предельно допустимых значений напряжений; 3) выявлено, что с увеличением значения частоты колебательный процесс на рассматриваемом участке проходит с меньшей амплитудой, при этом видно, что она начинает нарастать; 4) полученные результаты позволяют расширить применимость разработанных моделей и алгоритмов расчета на более широкий класс задач и подготовить основу для дальнейших исследований.

About the authors

Alexey A. Semenov

Saint Petersburg State University of Architecture and Civil Engineering

Author for correspondence.
Email: sw.semenov@gmail.com
ORCID iD: 0000-0001-9490-7364
SPIN-code: 9057-9882

Doctor of Technical Sciences, Professor of the Department of Information Systems and Technologies

Saint Petersburg, Russia

References

Supplementary files