Surface parameterization complex geometry

Full Text

Введение Оболочки, сочетающие легкость с высокой прочностью, находят широкое применение. Среди них особенно эффективными по своим характеристикам являются оболочки сложной геометрии [1; 2]. Наряду с малым весом они имеют высокие механические характеристики по жесткости и прочности. Варьируя форму поверхности, можно создавать легкие, высокопрочные и архитектурно выразительные конструкции. Для более эффективного использования оболочек сложной геометрии необходимо научиться определять их физико-механические качества, оценивать напряженно-деформированное состояние и устойчивость под действием различных нагрузок. Среди трудностей, связанных с более широким распространением оболочек сложной геометрии, следует отметить сложность технологии их изготовления. В связи с бурным развитием 3D-печати здесь открываются большие возможности в решении этой проблемы. Для расчета напряженно-деформированного состояния (НДС) оболочек сложной геометрии и структуры используют различные методы и модели, в частности модификации метода конечных разностей, методы коллокации, метод граничных элементов, экспериментальные методы, вариационные методы, теоретико-экспериментальные методы, метод конечных элементов [3-25]. Интенсивно разрабатываются варианты метода конечных элементов, в частности, сплайновый вариант метода конечных элементов, базирующийся на синтезе идеи параметризации поверхности сложной геометрии и метода конечных элементов [18-23]. Различают оболочки сложной канонической геометрии, когда срединная поверхность описывается аналитическими формулами, и оболочки сложной неканонической геометрии, когда срединная поверхность не описывается аналитическими формулами, а задается точечно. При рассмотрении оболочек сложной неканонической геометрии, возникают трудности на этапе задания параметров поверхности - трудности этапа параметризации. Сплайновый вариант метода конечных элементов Сплайновый вариант метода конечных элементов для расчета напряженно-деформированного состояния тонкостенных конструкций сложной геометрии представляет собой синтез идеи параметризации и метода конечных элементов [18-23]. Область, занимаемая срединной поверхностью оболочки параметризуется координатами единичного квадрата таким образом, чтобы прямоугольной сетке в области единичного квадрата соответствовала криволинейная сетка. При этом должны удовлетворяться следующие условия: 1) радиус-вектор должен описывать контурные линии рассматриваемой области при движении вдоль контурных линий единичного квадрата; 2) пропорциональному шагу на единичном квадрате должны соответствовать пропорциональные длины дуг на криволинейной координатной линии, рассматриваемой области. Если рассматриваемая область не задана аналитически, то задача построения сетки сводится к решению нелинейной задачи методом последовательных приближений. Каждый участок поверхности представляется двумерными кубическими интерполяционными сплайнами. Параметры сплайна определяются из условия непрерывности сплайна и его первых двух производных во всех внутренних узлах сетки и краевых условий для сплайна. Проведя параметризацию рассматриваемой области и выразив все векторные и тензорные величины в построенном базисе, задача определения напряженно-деформированного состояния сводится к классическому виду - вместо заданной сложной области, рассматривается каноническая область в виде единичного квадрата. Единичный квадрат разбивается на прямоугольные области, решение в каждом из которых представляется в виде Эрмитового бикубического сплайна двух переменных. Для вывода разрешающих уравнений используется вариационный принцип Лагранжа. В традиционном МКЭ при рассмотрении оболочек сложной геометрии трудно обеспечить неразрывность конечных элементов. Также возникает проблема обеспечения непрерывности искомых функций, не говоря уже о первых производных этих функций между элементами. В сплайновом варианте применение параметризации и представление решения в каждом из прямоугольников в виде кубического сплайна обеспечивают непрерывность функции перемещений и их первых производных во всей рассматриваемой области, что является одним из условий сходимости к точному решению при уменьшении размеров прямоугольников. Таким образом, удалось получить совместные элементы на базе гипотез Кирхгоффа - Лява для оболочек сложной формы. На базе разработанного метода были решены ряд важных прикладных задач. Известные способы параметризации Известны способы измерения горизонтальных неровностей[35] и определения кривизны и уклонов профиля поверхности[36], которые не позволяют формировать линии и поверхности сложной геометрии и определять неровности двумерных объектов. Известен экспериментальный способ параметризации минимальных поверхностей, основанный на решении двухмерного уравнения Лапласа[37], который не позволяет получать непрерывные и гладкие контуры произвольной конфигурации, свободно ориентированные в пространстве. Известны также способ параметризации минимальных поверхностей со сложным контуром[38] и способ параметризации трехмерных тел сложной геометрии[39] [24], в которых не предусмотрена возможность задания координаты конкретной внутренней точки поверхности. Вариант параметризации поверхности сложной неканонической формы Рассмотрен вариант параметризации поверхности сложной неканонической формы, ограниченной четырьмя криволинейными контурами Г1, Г2, Г3 и Г4 и заданной координатой конкретной внутренней точки A поверхности (рис. 1). Параметризация минимальной поверхности сложной формы, ограниченной четырьмя криволинейными контурами и заданной координатой внутренней точки поверхности. В начале изготавливаем пространственный каркас из криволинейных формообразующих ребер a-b, b-c, c-d и d-a, совпадающих с контурами Г1, Г2, Г3 и Г4 (рис. 1). На этих ребрах делаем метки в соответствии с заданным типом разбивки. Изготавливаем двумерную сеть в виде единичного квадрата из эластичных (например, резиновых) нитей 1, которые соединены в узлах 2 (рис. 2). На каркас натягиваем пространственную двумерную сеть. Каркас фиксируем на координатной плоскости в точках a, b, c, d относительно базисного основания при помощи опор. Затем, натягиваем узел сети, соответствующей точке А, до координаты заданной для точки А, и фиксируем этот узел установкой дополнительной опоры (рис. 3). При этом координаты узлов двумерной сети соответствуют минимальной поверхности. Далее, для всех узлов двумерной сети (рис. 3) замеряем координаты в декартовой системе x, y, z при соответствующих параметрах t1 и t2 единичного квадрата, то есть получаем координаты x(t1, t2), y(t1, t2), z(t1, t2) и определяем радиус-векторы в узлах сетки по формуле (1) где - единичные орты в декартовой системе координат. Рис. 1. Поверхность сложной геометрии Figure 1. Surface of complex geometry Рис. 2. Сеть из эластичных нитей Figure 2. A network of elastic threads Рис. 3. Каркас с сетью на опорах и в точке А Figure 3. A frame with a network on supports and at point A Дифференцируя выражение (1) по t1 и t2, определяем координатные векторы r̅1 и r̅2 для каждой точки сети: (2) где i, j - идентификационные номера узловых точек по соответствующим направлениям координатных осей. Далее, исходя из (2), нетрудно определить для каждой точки сети ковариантные а11, а12, а22: (3) фундаментальный определитель а: (4) и контравариантные а11, а12, а22 компоненты первого основного метрического тензора: (5) Далее, используя (2) и (4), определяем вектор единичной нормали m̅ для каждой точки сети: (6) Исходя из (3), определяем символы Кристоффеля второго рода , , , , , для каждой точки сети: (7) Таким образом, определяем координаты, компоненты метрического тензора и символов Кристоффеля для каждой точки сети, необходимые при решении задачи параметризации поверхности сложной геометрии в сплайновом варианте метода конечных элементов [18-22]. Заключение Оболочки сложной геометрии выделяются высокими жесткостными и прочностными характеристиками и архитектурной гармоничностью. Для более широкого применения оболочек сложной геометрии необходимо достоверно оценивать их напряженно-деформированное состояние. Эффективным методом расчета оболочек сложной геометрии является сплайновый вариант метода конечных элементов, составной частью которого является этап параметризации срединной поверхности. Разработан способ параметризации минимальной поверхности сложной неканонической геометрии, ограниченной четырьмя криволинейными контурами и одной фиксированной координатой внутренней точки поверхности. Описан алгоритм построения пространственной сети, а также определения координат, компонент метрического тензора и символов Кристоффеля, необходимых при решении задач параметризации в сплайновом варианте метода конечных элементов. Подход может быть расширен для случаев параметризации поверхности сложной неканонической формы, когда фиксируется на поверхности несколько точек.

About the authors

Samat N. Yakupov

Federal Research Center “Kazan Scientific Center of Russian Academy of Sciences”

Author for correspondence.
Email: tamas_86@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-0047-3679

PhD in Technical Sciences, senior researcher, Institute of Mechanics and Engineering

2/31 Lobachevsky St, Kazan, 420111, Russian Federation

Guzial Kh. Nizamova

Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)

Email: guzelnizamova2009@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-7193-9125

PhD in Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Mechanical Engineering Technologies, Academy of Engineering

6 Miklukho-Maklaya St, Moscow, 117198, Russian Federation

References

Supplementary files