Bending of an Orthotropic Thin Plate Simply Supported on all Sides

Full Text

1. Введение Современные композиционные материалы благодаря своей высокой удельной прочности и жесткости позволяют создавать легкие, прочные и долговечные конструкции, которые используют в различных отраслях промышленности. В отличие от изотропных материалов (сталь, алюминий), свойства которых одинаковы во всех направлениях, композиты часто имеют три взаимно перпендикулярные плоскости упругой симметрии, то есть являются ортотропными материалами. Это позволяет максимально эффективно использовать прочность волокон в направлении главных напряжений. Ортотропная прямоугольная пластина считается классическим примером применения композиционных материалов в машиностроении, гражданском строительстве, судостроении, нефтегазовой и авиакосмической промышленности. Поэтому исследования поведения ортотропных пластин под действием разных видов нагрузок вызывают неослабевающий интерес ученых и инженеров на протяжении уже многих лет. Обзор литературы показывает, что для исследования напряженно-деформированного состояния пластин широко применяются численные методы, такие как метод конечных элементов [1; 2], метод конечных разностей [3], метод граничных элементов [4], бессеточный метод [5] и др., с помощью которых можно проанализировать изгиб пластин с различными краевыми условиями, схемами нагружения и свойствами материала. Однако, хотя вышеупомянутые численные методы удовлетворяют инженерным требованиям с приемлемой погрешностью, они дают приближенное решение, что является их главным недостатком. Поэтому исследователи продолжают изучать аналитические и полуаналитические методы для более достоверного анализа рассматриваемой задачи и разработки точных аналитических решений для проверки численных (приближенных) решений [6-21]. Для анализа изгиба прямоугольных тонких пластин применяют классические традиционные полуобратные методы, такие как решение Навье и решение Леви [6], с помощью которых можно решать только статические задачи изгиба пластины с двумя противоположными шарнирно-опорными краями. Полуобратный метод обычно не позволяет получить единый алгоритм решения, поскольку требует подбора пробных функций для каждого случая, удовлетворяющих как разрешающему уравнению, так и граничным условиям. Для исследования пластин используют также метод суперпозиции [7; 8], метод симплектической суперпозиции [8-10], расширенный метод Канторовича [11; 12], метод конечного интегрального преобразования [13-18] и др. Метод симплектической суперпозиции [8-10] широко используется для решения задач изгиба пластин. Однако метод включает в себя сложные математические операции, требующие квалифицированных специалистов в области математики и механики. Метод конечного интегрального преобразования - эффективный математический метод, который успешно применяется для решения задач изгиба с различными граничными условиями. Этот метод позволяет получить аналитическое решение напрямую из дифференциального уравнения изгиба пластины. В [13] для исследования изгиба пластин с различными сложными граничными условиями авторы применяют двойное интегральное конечное синус-преобразование Фурье. В [14] изучают изгиб ортотропных пластин с комбинированными граничными условиями, используя двойные общие интегральные преобразования. Авторы работы [17] используют двумерный обобщенный метод конечного интегрального преобразования для получения новых аналитических решений изгиба ортотропных прямоугольных тонких фундаментных плит. В [18] для изучения поведения при изгибе прямоугольных тонких пластин с линейно изменяющейся толщиной, расположенных на двухпараметрическом основании, авторы предлагают обобщенный метод интегрального преобразования. Цель исследования - с использованием метода интегрального преобразования (преобразования Лапласа) продолжить исследования изгиба ортотропных тонких прямоугольных пластин, начатые в [19]. Задачи исследования: - получить аналитические решения изгиба ортотропных прямоугольных тонких пластин, шарнирно опертых по всему контуру и находящихся под действием полосовой равномерно распределенной нагрузки и нагрузки, равномерно распределенной по прямоугольной области; - исследовать напряженно-деформированное состояние пластины при действии нагрузки, равномерно распределенной по прямоугольной области; - проверить достоверность и точность получаемых по этому методу результатов на основе сравнения их с данными, опубликованными в научной литературе. 2. Постановка задачи и метод решения В [19] выведены решения для ортотропной прямоугольной пластинки, свободно опертой по всем сторонам при действии нагрузки, распределенной по полосе по (рис. 1). Рис. 1. Схема пластинки при действии полосовой нагрузки И с т о ч н и к: выполнено К.Ф. Шагивалеевым и др. [19]. Figure 1. Diagram of a plate under the action of a strip load S o u r c e: by K.F. Shagivaleev et al. [19]. При расчете пластинки использовалось дифференциальное уравнение классической теории анизотропных пластинок [20]: (1) где - модули упругости; - коэффициенты Пуассона; G - модуль сдвига; - толщина пластинки; Для решения дифференциального уравнения (1) применили операционное исчисление, связанное с преобразованием Лапласа. Решения дифференциального уравнения (1) имеют вид: ¡ при (2) где - единичная функция, которая при равна 1и при равна 0; - единичная функция, которая при равна 1 и при равна 0. Обращаем внимание на то, что единичные функции и приняты только для сокращения записи выражений. Они указывают, с какого значения координаты х появляется в выражении данное слагаемое. ¡ При (3) где ¡ При (4) где В [19] было отмечено, что полученные решения можно использовать при исследовании изгиба ортотропной пластинки при действии нагрузки, распределенной вдоль оси у по любому закону. В данной работе поставлена задача получения аналитических выражений для определения перемещений, усилий и моментов в прямоугольной тонкой пластинке (а×b), свободно опертой по всем сторонам и находящейся под действием статической нагрузки, приложенной на ограниченной области: полосовой равномерно распределенной нагрузки (рис. 2) и нагрузки, действующей по ограниченной прямоугольной области (рис. 3). Материал пластинки упругий ортотропный. Рис. 2. Схема пластинки при действии полосовой равномерно распределенной нагрузки И с т о ч н и к: выполнено Д.А. Сурниным. Figure 2. Diagram of a plate under the action of a uniformly distributed strip load S o u r c e: made by D.A. Surnin. Рис. 3. Схема пластинки при действии сплошной нагрузки интенсивностью , равномерно распределенной по прямоугольнику со сторонами И с т о ч н и к: выполнено Д.А. Сурниным. Figure 3. Diagram of a plate under the action of a continuous load of intensity , uniformly distributed over a rectangle with sides S o u r c e: made by D.A. Surnin. В первом случае рассмотрена прямоугольная ортотропная пластинка, на которую действовала полосовая равномерно распределенная нагрузка интенсивностью (рис. 2). Нагрузку разложили в тригонометрический ряд по переменной : (5) Используя приведенные решения (2-4), получили выражения для определения перемещения, усилий и моментов при действии рассматриваемой нагрузки (5). ¡ При [П14] [П15] - (6) где ¡ При (7) где ¡ При (8) где Положив во всех приведенных выражениях и , можно получить решения для изотропной пластинки. Во втором случае на прямоугольную ортотропную пластинку действовала сплошная нагрузка интенсивностью , равномерно распределенная по прямоугольнику со сторонами (см. рис. 3). Разложили нагрузку в тригонометрический ряд по переменной (9) где Используя приведенные решения (2-4), получили выражения для определения перемещения, усилий и моментов при действии рассматриваемой нагрузки (9). ¡ При (10) ¡ При (11) ¡ При (12) где При больших значениях необходимо перейти от гиперболических функций к показательным. Решения (10-12) получены в общем виде. Они позволяют рассчитать ортотропную прямоугольную пластинку, свободно опертую по всем сторонам, при действии сплошной нагрузки интенсивностью , равномерно распределенной по прямоугольной области при разных размерах площадки нагружения, при любом расположении площадки нагружения на поверхности пластинки, при разных размерах прямоугольной пластинки, при разных упругих характеристиках материала пластинки. 3. Результаты и обсуждение В качестве примера для исследования напряженно-деформированного состояния пластинки рассмотрена ортотропная прямоугольная пластинка со следующими геометрическими параметрами: отношение сторон пластинки Нагрузка интенсивностью равномерно распределена по прямоугольнику со сторонами и Центр площадки нагружения совпадал с серединой пластинки. Материал пластинки - углепластик, имеющий следующие характеристики [24]: (13) Главные направления упругости совпадали с направлениями сторон пластинки. Таблица 1. Результаты расчета ортотропной пластинки при действии сплошной нагрузки интенсивностью , равномерно распределенной по прямоугольнику со сторонами Table 1. The results of the calculation of an orthotropic plate under the action of a continuous load with an intensity evenly distributed over a rectangle with sides x 0 0 0 0 0,0331649 0 0 0,1a 0,0000285 0,0027625 0,00061233 0,0349372 0 0 0,2a 0,0000550 0,0058880 0,00125763 0,0410292 0 0 0,3a 0,0000774 0,0098894 0,00195391 0,0540592 0 0 0,4a 0,0000931 0,0156032 0,00264889 0,0788915 0 0 0,5a 0,0000989 0,0190189 0,00298238 0 0 0 0,6a 0,0000931 0,0156032 0,00264889 -0,0788915 0 0 0,7a 0,0000774 0,0098894 0,00195391 -0,0540592 0 0 0,8a 0,0000550 0,0058880 0,00125763 -0,0410292 0 0 0,9a 0,0000285 0,0027625 0,00061233 -0,0349372 0 0 a 0 0 0 -0,0331649 0 0 И с т о ч н и к: выполнено Д.А. Сурниным / S o u r c e: made by D.A. Surnin. Таблица 2. Максимальные значения перемещения, моментов и перерезывающей силы в ортотропной пластинке при разном числе удерживающих членов ряда Table 2. Maximum values of displacement, moments and shear force in an orthotropic plate for different numbers of holding row members Число членов ряда / Number of row members 1 0,0000682 0,0110209 0,00051772 0,025891 0 0 3 0,0000930 0,0159260 0,00159281 0,045363 0 0 5 0,0000989 0,0177488 0,00226380 0,059084 0 0 7 0,0001006 0,0186042 0,00257293 0,068530 0 0 9 0,0001013 0,0190189 0,00284236 0,074444 0 0 11 0,0001013 0,0192012 0,00294444 0,077631 0 0 13 0,0001013 0,0192605 0,00298238 0,078891 0 0 И с т о ч н и к: выполнено Д.А. Сурниным / S o u r c e: made by D.A. Surnin. Результаты расчета показали (см. табл. 2), что при вычислении прогиба достаточно взять 5 членов ряда; при вычислении - 6 членов ряда; при вычислении и - 7 членов ряда. Был выполнен расчет ортотропной прямоугольной пластинки с исходными параметрами по формуле, приведенной в работе [20] (с применением двойного тригонометрического ряда). Максимальный прогиб При вычислении было взято 10 членов ряда. Расхождение составило 9,5 %. Максимальное значение При вычислении было взято 32 члена ряда. Расхождение составило 3,1 %. Положив во всех приведенных выражениях и , получили решения для изотропной пластинки . (14) где По полученным в данной работе выражениям был выполнен расчет изотропной прямоугольной пластинки с исходными геометрическими параметрами и Результаты расчета представлены в табл. 3. Таблица 3. Максимальные значения перемещения, моментов и перерезывающей силы в изотропной пластинке при действии сплошной нагрузки интенсивностью равномерно распределенной по прямоугольнику со сторонами и Table 3. Maximum values of displacement, moments and shearing force in an isotropic plate under the action of a continuous load with an intensity uniformly distributed over a rectangle with sides and Число членов ряда / Number of row members 1 0,0005163 0,0070022 0,0041930 0,0228609 0 0 3 0,0005614 0,0086516 0,0063553 0,0371292 0 0 5 0,0005791 0,0093023 0,0074014 0,0463640 0 0 7 0,0005815 0,0095962 0,0079490 0,0522046 0 0 9 0,0005822 0,0097304 0,0082323 0,0556913 0 0 11 0,0005825 0,0097873 0,0083651 0,0575396 0 0 13 0,0005825 0,0098057 0,0084120 0,0582680 0 0 И с т о ч н и к: выполнено Д.А. Сурниным / S o u r c e: made by D.A. Surnin. Значения, приведенные в табл. 3, необходимо умножить: для на для на для на для на Результаты расчета табл. 3 полностью совпадают с данными, приведенными в работе [25, с. 163-164]. Анализ результатов выполненных расчетов показал, что при расчетах ортотропной прямоугольной пластинки по полученным формулам при действии сплошной нагрузки интенсивностью , равномерно распределенной по прямоугольнику со сторонами и , получается более быстрая сходимость решений и значительно уменьшается вычислительная работа по сравнению с ранее применяемыми методами. 4. Выводы 1. Получены аналитические решения изгиба ортотропных прямоугольных тонких пластин, шарнирно опертых по всему контуру и находящихся под действием полосовой нагрузки и нагрузки, действующей по прямоугольной области. 2. Исследовано напряженно-деформированное состояние пластины при действии нагрузки, равномерно распределенной по прямоугольной области. 3. Представленные результаты показывают, что при расчетах ортотропной прямоугольной пластинки по полученным формулам при действии нормально приложенной нагрузки по прямоугольной области получается более быстрая сходимость решений и значительно уменьшается вычислительная работа по сравнению с ранее применяемыми методами. 4. Полученные результаты, как ожидается, послужат точным решением для проверки численных (приближенных) решений.

About the authors

Kamil F. Shagivaleev

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Email: kfshag@yandex.ru
ORCID iD: 0009-0001-6962-9355
SPIN-code: 9726-5456

Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Building Materials, Structures and echnologies

77 Politechnicheskaya St, Saratov, 410054, Russian Federation

Dmitry A. Surnin

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Email: dasurnin98@mail.ru
ORCID iD: 0009-0005-5373-8804
SPIN-code: 9654-2120

Postgraduate student of the Department of Transport Construction

77 Politechnicheskaya St, Saratov, 410054, Russian Federation

Elena K. Surnina

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Author for correspondence.
Email: eksurnina@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-2500-1256
SPIN-code: 5584-2282

Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Transport Construction

77 Politechnicheskaya St, Saratov, 410054, Russian Federation

References

Supplementary files