Structural Mechanics of Engineering Constructions and BuildingsStructural Mechanics of Engineering Constructions and BuildingsСтроительная механика инженерных конструкций и сооружений1815-52352587-8700Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)5252110.22363/1815-5235-2026-22-3-235-252LFEAKEAnalytical and numerical methods of analysis of structuresАналитические и численные методы расчета конструкцийResearch ArticleBending of an Orthotropic Thin Plate Simply Supported on all SidesИзгиб ортотропной тонкой пластинки, свободно опертой по всем сторонамhttps://orcid.org/0009-0001-6962-93559726-5456ShagivaleevKamil F.ШагивалеевКамиль Фатыхович

Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Building Materials, Structures and echnologies

кандидат технических наук, доцент кафедры строительных материалов, конструкций и технологий

kfshag@yandex.ruhttps://orcid.org/0009-0005-5373-88049654-2120SurninDmitry A.СурнинДмитрий Аркадьевич

Postgraduate student of the Department of Transport Construction

аспирант кафедры транспортного строительства

dasurnin98@mail.ruhttps://orcid.org/0000-0003-2500-12565584-2282SurninaElena K.СурнинаЕлена Камилевна

Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Transport Construction

кандидат технических наук, доцент кафедры транспортного строительства

eksurnina@mail.ruYuri Gagarin State Technical University of SaratovСаратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А30092026223VOL 22, NO2 (2025)ТОМ 22, №2 (2025)23525230092026Copyright ©; 2026, Shagivaleev K.F., Surnin D.A., Surnina E.K.Copyright ©; 2026, Шагивалеев К.Ф., Сурнин Д.А., Сурнина Е.К.2026Shagivaleev K.F., Surnin D.A., Surnina E.K.Шагивалеев К.Ф., Сурнин Д.А., Сурнина Е.К.https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0https://journals.rudn.ru/structural-mechanics/article/view/52521

The effectiveness of using composite materials in various structures primarily depends on the sophistication of the calculation methods and design accuracy. Considering the widespread use of plates made of composite materials in engineering structures, problems associated with their bending under load are solved using various mathematical methods. The present study considers a thin rectangular plate of constant thickness. The plate material is elastic and orthotropic. The underlying equation is the equation of the classical theory of bending of thin anisotropic plates, which is based on the well-known hypothesis of non-deformable normal lines. The objective is to construct analytical solutions for a thin orthotropic plate, simply supported on all sides and subjected to a static load applied over a limited area. Two loading cases are considered: the first is the action of a strip load, the second is the action of a load applied over a rectangular area. To solve the equation of static bending of the plate, operational calculus associated with the Laplace transform is used. Examples of calculations are given. A carbon fiber plate under the action of a uniformly distributed load over a rectangular area is considered as a test problem. Numerical calculations were performed using the MathCAD computer algebra software. Comparative studies for verification of the reliability of the obtained results were carried out.

Эффективность использования композиционных материалов в различных конструкциях в первую очередь зависит от совершенства расчетных методов и точности проектирования. Учитывая широкое применение пластин из композиционных материалов в инженерных конструкциях, задачи, связанные с их изгибом под действием нагрузки, решаются с использованием различных математических методов. Рассмотрена тонкая прямоугольная пластинка постоянной толщины. Материал пластинки упругий и ортотропный. В качестве исходного уравнения используется уравнение классической теории изгиба тонких анизотропных пластин, в основе которой лежит известная гипотеза недеформируемых нормалей. Поставлена задача построения аналитических решений для тонкой ортотропной пластинки, шарнирно опертой по всем сторонам и находящейся под действием статической нагрузки, приложенной на ограниченной области. Представлены два варианта нагружения: первый - действие полосовой нагрузки, второй - действие нагрузки, приложенной в пределах прямоугольной области. Для решения уравнения статического изгиба пластинки применяется операционное исчисление, связанное с преобразованием Лапласа. Приведены примеры расчетов. В качестве тестовых задач рассмотрена пластинка из углепластика под действием нагрузки, равномерно приложенной по прямоугольной области. Численные расчеты выполнены с использованием пакета компьютерной алгебры MathCAD. Проведены сравнительные исследования для проверки достоверности полученных результатов.

rectangular platecomposite materialelasticitystatic loaddifferential equationoperational calculusanalytical solutionпрямоугольная пластинкакомпозиционный материалупругостьстатическая нагрузкадифференциальное уравнениеоперационное исчислениеаналитическое решениеPetrakov IE, Sadovskii VM, Sadovskaya OV. Analysis of bending of composite plates with account for the difference in resistance to tension and compression. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 2021;62(5):851–860. https://doi.org/10.1134/S0021894421050175 EDN: MDADLWПетраков И.Е., Садовский В.М., Садовский О.В. Анализ изгиба композитных пластин с учетом различия сопротивлений растяжению и сжатию // Прикладная механика и техническая физика. 2021. Т. 62. № 5 (369). С. 172-183. https://doi.org/10.15372/PMTF20210517 EDN: XIVALMEshmatov BKh, Abdikarimov RA. Bending of fiber-reinforced composite wing-like plates. AIP Conference Proceedings. Ensuring Seismic Safety and Seismic Stability of Buildings and Structures, Applied Problems of Mechanics. 2025;3265(1). https://doi.org/10.1063/5.0265306Eshmatov B.Kh., Abdikarimov R.A. Bending of fiber-reinforced composite wing-like plates // AIP Conference Proceedings. Ensuring Seismic Safety and Seismic Stability of Buildings and Structures, Applied Problems of Mechanics. 2025. Vol. 3265. Issue 1. https://doi.org/10.1063/5.0265306Uvarova NB, Filatov VV, Chubarova AA. The use of generalized equations of finite difference method for calculation of orthotropic plates. Industrial and Civil Engineering. 2018;(2):48–52. (In Russ.) EDN: VZQJKHУварова Н.Б., Филатов В.В., Чубарова А.А. Расчет ортотропных пластин с применением обобщенных уравнений метода конечных разностей // Промышленное и гражданское строительство. 2018. № 2. С. 48-52. EDN: VZQJKHVelikanov PG. Alternative methods for obtaining fundamental solutions of differential equations and partial differential systems for isotropic and orthotropic materials. Part II. Ecological Bulletin of Research Centers of the Black Sea Economic Cooperation. 2025:22(2):15–30. (In Russ.) https://doi.org/10.31429/vestnik-22-2-15-30 EDN: SBDBCPВеликанов П.Г. Альтернативные методы получения фундаментальных решений дифференциальных уравнений и систем в частных производных для изо- и ортотропных материалов. Часть II // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2025. Т. 22. № 2. С. 15-30. https://doi.org/10.31429/vestnik-22-2-15-30 EDN: SBDBCPMarkous NA. Boundary mesh free method with distributed sources for Kirchhoff plate bending problems Author links open overlay panel. Applied Mathematical Modelling. 2021;94:139–151. https://doi.org/10.1016/j.apm.2021.01.015 EDN: ROHSCYMarkous N.A. Boundary mesh free method with distributed sources for Kirchhoff plate bending problems Author links open overlay panel // Applied Mathematical Modelling. 2021. Vol. 94. P. 139-151. https://doi.org/10.1016/j.apm.2021.01.015 EDN: ROHSCYThai Y-T, Kim S-E. Analytical solution of a two variable refined plate theory for bending analysis of orthotropic Levy-type plates. International Journal of Mechanical Sciences. 2012;54(1):269–276. https://doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2011.11.007Thai Y.-T., Kim S.-E. Analytical solution of a two variable refined plate theory for bending analysis of orthotropic Levy-type plates // International Journal of Mechanical Sciences. 2012. Vol. 54. No. 1. Р. 269-276. https://doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2011.11.007Bhaskar K, Sivaram A. Untruncated infinite series superposition method for accurate flexural analysis of isotropic/orthotropic rectangular plates with arbitrary edge conditions. Composite Structures. 2008;83(1):83–92. https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2007.04.001 EDN: KULAKNBhaskar K., Sivaram A. Untruncated infinite series superposition method for accurate flexural analysis of isotropic/orthotropic rectangular plates with arbitrary edge conditions // Composite Structures. 2008. Vol. 83. No. 1. Р. 83-92. https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2007.04.001 EDN: KULAKNShi W, Li X, Wang C. Bending of a rectangular plate with rotationally restrained edges under a concentrated force. Applied Mathematics and Computation. 2016;286:265–278. https://doi.org/10.1016/j.amc.2016.04.029 EDN: XZEWBTShi W., Li X., Wang C. Bending of a rectangular plate with rotationally restrained edges under a concentrated force // Applied Mathematics and Computation. 2016. Vol. 286. Р. 265-278. https://doi.org/10.1016/j.amc.2016.04.029 EDN: XZEWBTYao WA, Hu X, Xiao F. Symplectic system based analytical solution for bending of rectan-gular orthotropic plates on winkler elastic foundation. Acta Mechanica Sinica. 2011;27(6):929–37. https://doi.org/10.1007/s10409-011-0532-y EDN: ISEUUZYao W.A., Hu X., Xiao F. Symplectic system based analytical solution for bending of rectangular orthotropic plates on winkler elastic foundation // Acta Mechanica Sinica. 2011. Vol. 27. No. 6. Р. 929-37. https://doi.org/10.1007/s10409-011-0532-y EDN: ISEUUZLi R, Wang В, Li Р. Hamiltonian system-based benchmark bending solutions of rectangular thin plates with a corner point-supported. International Journal of Mechanical Sciences. 2014;85:212–218. https://doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2014.05.004Li R., Wang В., Li Р. Hamiltonian system-based benchmark bending solutions of rectangular thin plates witha corner point-supported // International Journal of Mechanical Sciences. 2014. Vol. 85. Р. 212-218. https://doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2014.05.004Goloskokov DP, Matrosov AV. Bending of a clamped thin orthotropic plate by the Kantorovich method. Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes. 2025;21(3):345–360. (In Russ.) https://doi.org/10.21638/spbu10.2025.303 EDN: PLHUYSГолоскоков Д.П., Матросов А.В. Изгиб защемленной тонкой ортотропной пластины методом Канторовича // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2025. Т. 21. Вып. 3. С. 345-360. https://doi.org/10.21638/spbu10.2025.303 EDN: PLHUYSHassan AHA, Kurgan N, Can N. The correct derivation of the buckling equations of the sheardeformable FGM plates for the extended Kantorovich method. Meccanica. 2022;57:441–456. https://doi.org/10.1007/s11012-021-01441-0 EDN: EIRFCWHassan A.H.A., Kurgan N., Can N. The correct derivation of the buckling equations of the sheardeformable FGM plates for the extended Kantorovich method // Meccanica. 2022. Vol. 57. P. 441-456. https://doi.org/10.1007/s11012-021-01441-0 EDN: EIRFCWLi R, Tian B, Zhong Y. Analytical bending solutions of free orthotropic rectangular thin plates under arbitrary loading. Meccanica. 2013;48(10):2497–2510. https://doi.org/10.1007/s11012-013-9764-1 EDN: DFLXOXLi R., Tian B., Zhong Y. Analytical bending solutions of free orthotropic rectangular thin plates under arbitrary loading // Meccanica. 2013. Vol. 48. No. 10. Р. 2497-2510. https://doi.org/10.1007/s11012-013-9764-1 EDN: DFLXOXHe Y, Duan M, Su J. Bending of rectangular orthotropic plates with rotationally restrained and free edges: Generalized integral transform solutions. Engineering Structures. 2021;247:113129. https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2021.113129 EDN: LHNYSMHe Y., Duan M., Su J. Bending of rectangular orthotropic plates with rotationally restrained and free edges: Generalized integral transform solutions // Engineering Structures. 2021. Vol. 247. Article no. 113129. https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2021.113129 EDN: LHNYSMXu Q, Yang Z, Ullah S, Zhang J, Gao Y. Analytical bending solutions of orthotropic rectangular thin plates with two adjacent edges free and the others clamped or simply supported using finite integral transform method. Advances in Civil Engineering. Adv. Civ. Eng. 2020 ;2020:8848879. https://doi.org/10.1155/2020/8848879 EDN: JUIHRIXu Q., Yang Z., Ullah S., Zhang J., Gao Y. Analytical bending solutions of orthotropic rectangular thin plates with two adjacent edges free and the others clamped or simply supported using finite integral transform method // Advances in Civil Engineering. 2020. Vol. 2020. Article no. 8848879. https://doi.org/10.1155/2020/8848879 EDN: JUIHRIHe Y, An C, Su J. Bending of orthotropic rectangular thin plates with two opposite edges clamped. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science. 2020;234(6):1220–30. https://doi.org/10.1177/0954406219889082 EDN: LAHOZSHe Y., An C., Su J. Bending of orthotropic rectangular thin plates with two opposite edges clamped // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science. 2020. Vol. 234. No. 6. Р. 1220-1230. https://doi.org/10.1177/0954406219889082 EDN: LAHOZSZhang J, Zhou C, Ullah S, Zhong Y, Li R. Two-dimensional generalized finite integral transform method for new analytic bending solutions of orthotropic rectangular thin foundation plates. Applied Mathematics Letters. 2019;92:8–14. https://doi.org/10.1016/j.aml.2018.12.019Zhang J., Zhou C., Ullah S., Zhong Y., Li R. Two-dimensional generalized finite integral transform method for new analytic bending solutions of orthotropic rectangular thin foundation plates // Applied Mathematics Letters. 2019. Vol. 92. Р. 8-14. https://doi.org/10.1016/j.aml.2018.12.019Fu G, Tuo Y, Su B, Shi C, Su J. Bending of variable thickness rectangular thin plates rest-ing on a double-parameter foundation: integral transform solution. Engineering Computations. 2022;39(7):2689-2704. https://doi.org/10.1108/EC-11-2021-0692 EDN: OVLSIKFu G., Tuo Y., Su, B., Shi C., Su J. Bending of variable thickness rectangular thin plates resting on a double-parameter foundation: integral transform solution // Engineering Computations. 2022. Vol. 39. No. 7. Р. 2689-2704. https://doi.org/10.1108/EC-11-2021-0692 EDN: OVLSIKShagivaleev KF, Surnin DA, Surnina EK. Stress-strain state of an orthotropic rectangular plate simply supported on all sides. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2025;21(4):307–320. http://doi.org/10.22363/1815-5235-2025-21-4-307-320 EDN: CFFLUIШагивалеев К.Ф., Сурнин Д.А., Сурнина Е.К. Напряженно-деформированное состояние ортотропной прямоугольной пластинки, свободно опертой по всем сторонам // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2025. Т. 21. № 4. С. 307-320. http://doi.org/10.22363/1815-5235-2025-21-4-307-320 EDN: CFFLUILekhnitsky SG. Anisotropic plates. Moscow, Leningrad: Gostekhizdat Publ.; 1947. (In Russ.)Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М., Л. : Гостехиздат, 1947. 355 с.Bazhanov VL, Goldenblat II, Kopnov VA, Pospelov AD, Sinyukov AM. Fiberglass Plates and Shells. Edited by I.I. Goldenblat. Moscow: Vysshaya Shkola Publ.; 1970. (In Russ.)Бажанов В.Л., Гольденблат И.И., Копнов В.А., Поспелов А.Д., Синюков А.М. Пластинки и оболочки из стеклопластиков / под ред. И.И. Гольденблата. Москва : Высшая школа, 1970. 407 с.Aramanovich IG, Lunts GL, Elsgolts LE. Functions of a complex variable. Operational calculus. Stability theory. Moscow: Nauka Publ.; 1968. (In Russ.)Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. Москва : Наука, 1968. 416 с.Bateman G, Erdelyi A. Tables of integral transforms. Vol. 1. Fourier, Laplace, Mellin transforms. Moscow: Nauka Publ.; 1969. (In Russ.)Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. 1 : Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. Москва : Наука, 1969. 343 с.Smerdov AA, Buyanov IA, Chudnov IV. Analysis of optimal combinations of requirements to developed CFRP for large space-rocket designs. BMSTU Journal of Mechanical Engineering. 2012;8:70–77. (In Russ.) EDN: PBJFXBСмердов А.А., Буянов И.А., Чуднов И.В. Анализ оптимальных сочетаний требований к разрабатываемым углепластикам для крупногабаритных ракетно-космических конструкций // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2012. № 8. С. 70-77. EDN: PBJFXBTimoshenko SP, Woinowsky-Krieger S. Theory of Plates and Shells. McGraw-Hill, New York; 1959. ISBN 0070858209, 9780070858206Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. Москва : Наука, 1966. 635 с.