Concrete Damage Plasticity Parameters for the Analysis of Reinforced Concrete Structures

Full Text

1. Введение Железобетонные конструкции работают в условиях сложного нелинейного деформирования. При достижении предельных состояний в бетонных элементах развивается упругопластическое поведение с образованием трещин. Точное прогнозирование такого поведения необходимо для надежной оценки прочности и выработки оптимальных проектных решений. Современные численные методы, в частности метод конечных элементов (МКЭ), позволяют моделировать нелинейную работу железобетона и анализировать напряженно-деформированное состояние элементов на различных стадиях нагружения. Специально для бетона разработан ряд современных моделей материала, основанных на комбинации теории пластического течения и механизма повреждений [1-3]. Одной из наиболее популярных является модель Concrete Damage Plasticity (CDP), реализованная в Abaqus. Модель CDP была разработана Лублинером с соавт. [4] и доработана Ли и Фенвесом [5] для учета циклического нагружения. Пластическая часть модели основана на критерии текучести, описанном в работах Друкера [6] и Прагера [7] и модифицированном для учета асимметрии прочности бетона в сжатии и растяжении. Модель сочетает концепции теории пластичности и механики повреждений для описания трещинообразования, накопления необратимых пластических деформаций и деградации (снижения) жесткости бетона под нагрузкой. За счет учета раскрытия трещин при растяжении, дробления материала при сжатии, пластического течения и снижения модуля упругости по мере накопления повреждений модель CDP позволяет воспроизводить поведение бетона вплоть до предельного состояния. Несмотря на широкое распространение, модель CDP чувствительна к выбору параметров пластичности и заданных диаграмм деформирования, что существенно влияет на результаты расчета [8-10]. К параметрам пластичности, задаваемым пользователем, относятся угол дилатансии ψ, эксцентриситет пластического потенциала ϵ, отношение прочности бетона при двуосном и одноосном сжатии σb0/σc0, коэффициент формы поверхности текучести Kc, а также параметр вязкости μ. Корректное назначение этих параметров важно для получения воспроизводимых и физически обоснованных результатов. В последние годы ведется активная работа по повышению точности модели CDP и ее калибровке. Так, Fedoroff с соавт. [11] провели параметрическое исследование влияния угла дилатансии и формы поверхности текучести на работу модели CDP, проанализировав характер деформаций бетона в простых напряженных состояниях. Показано, что неверный выбор ψ или соотношения прочностей по меридианам может приводить к существенным погрешностям в расчете деформаций и напряжений. Qasem с соавт. [12] разработали обобщенный подход к калибровке и оптимизации CDP, включив влияние армирования на работу бетона при растяжении (tension stiffening) и при сжатии (compression softening). Отдельные аспекты модели CDP также улучшаются: например, Alfarah и др. [13] предложили аналитические выражения для эволюции скалярных переменных повреждения в CDP, позволяющие получить реалистичную нисходящую ветвь диаграммы без обширных экспериментов. Rakić с соавт. [14] разработали метод идентификации параметров CDP на основе решения обратной задачи, что помогает подобрать параметры, наилучшим образом согласующиеся с заданными экспериментальными кривыми деформирования. В отечественной научной литературе вопросы нелинейного моделирования бетона с использованием упругопластических моделей с повреждением получили определенное развитие [15; 16], в том числе с применением модели CDP [17-19]. Вместе с тем анализ опубликованных работ показывает, что существующие исследования, как правило, ориентированы на решение частных задач и не формируют единого и методически прозрачного подхода к выбору ключевых параметров модели CDP. Недостаточная систематизация рекомендаций по назначению параметров пластичности и повреждаемости затрудняет практическое применение модели при расчете железобетонных конструкций. В связи с этим актуальной является задача обобщения накопленного опыта и разработки обоснованных рекомендаций по выбору параметров модели Concrete Damage Plasticity, обеспечивающих корректное воспроизведение нелинейного поведения бетона. Цель исследования - обоснование параметров модели CDP и верификация ее применимости для расчета железобетонных элементов при статическом нагружении. 2. Методы Для достижения поставленной цели выполнен анализ отечественных и зарубежных работ, посвященных численному моделированию бетона и железобетонных конструкций с использованием модели Concrete Damage Plasticity. На основе обобщения литературных данных проведено численное исследование поведения бетона в программном комплексе Abaqus/Standard для типовых элементов из бетона и железобетона. Анализировалось влияние каждого параметра CDP на расчетную жесткость, прочность и характер разрушения материала. На основе обоснованных значений параметров выполнена верификация модели путем сопоставления результатов численного моделирования с данными физических экспериментов. Для обеспечения корректного численного моделирования необходимо учитывать физический смысл используемой модели и заложенные в нее предположения. В связи с этим ниже кратко представлены положения модели CDP, необходимые для интерпретации входных параметров и результатов расчета. В рамках модели пластическое течение бетона описывается поверхностью текучести в пространстве инвариантов напряжений. Форма поверхности текучести характеризуется параметрами, определяемыми через отношение прочности бетона при двуосном и одноосном сжатии σb0/σc0 и коэффициент формы поверхности текучести Kc. Принято, что для тяжелого бетона отношение σb0/σc0 = 1,16. Стандартное значение Kc = 2/3 соответствует критерию Виллама - Варнке и отражает соотношение расчетной прочности бетона при чистом сдвиге и всестороннем сжатии. Несмотря на широкое применение стандартных значений параметров, они получены для идеализированных условий нагружения и не учитывают особенности реального напряженного состояния в железобетонных элементах. В связи с этим идентификация параметров σb0/σc0 и Kc позволяет повысить достоверность численного моделирования и обеспечить корректное воспроизведение несущей способности и механизма разрушения бетона. В качестве пластического потенциала в Abaqus используется сглаженный гиперболический потенциал Друкера - Прагера[10]. Его форма задается двумя параметрами: углом дилатансии ψ и эксцентриситетом ϵ. Угол дилатансии определяет способность материала к объемному расширению (поперечному разбуханию) при пластическом сдвиге и регулирует долю пластической объемной деформации относительно продольной. В литературе отмечается широкий диапазон значений угла дилатансии ψ (приблизительно от 5° до 55°), что указывает на отсутствие универсального значения данного параметра и подчеркивает необходимость его обоснования по экспериментальным данным для конкретного класса бетона и типа напряженного состояния. Аналогично и для эксцентриситета пластического потенциала, наиболее часто используемые значения которого варьируются в диапазоне 0,05-0,2. Это свидетельствует о вариативности настроек численной модели к форме поверхности течения и подтверждает целесообразность идентификации данного параметра с учетом условий нагружения и особенностей рассматриваемой расчетной постановки. Для регуляризации решения в условиях разрушения в модель вводится параметр вязкости μ, придающий материалу искусственную вязкопластичность и улучшающий сходимость итерационного процесса. В литературе указывается на значительный разброс рекомендуемых значений параметра вязкости μ. Отмечается, что без вязкопластической регуляризации расчеты нелинейного бетона часто не доходят до стадии полного разрушения из-за потери сходимости на нисходящей ветви диаграммы [12]. Несмотря на нефизическую природу данного параметра, его выбор для конкретной расчетной постановки оказывает заметное влияние на устойчивость расчета и характер нелинейного отклика. Для моделирования поведения бетона под нагрузкой в модель CDP вводятся диаграммы «напряжение - неупругая деформация» при сжатии и растяжении, служащие основой для вычисления пластических деформаций и повреждений. Аналитический обзор существующих подходов показывает, что для надежного моделирования необходимо задавать реалистичные диаграммы с плавной нисходящей ветвью. Использование упрощенных диаграмм с мгновенным обрывом может приводить к некорректному учету энергии разрушения, что ведет к зависимости результата от размера конечных элементов [13]. В качестве универсальной модели для сжатия принят обобщенный закон Поповича [20] с модификацией нисходящей ветви по Теренфольдту - Коллинзу (1)-(3) [21; 22]. С ростом класса бетона повышаются начальный модуль упругости и крутизна восходящей ветви, а нисходящая ветвь становится более крутой, отражая возрастание хрупкости материала (рис. 1, а): , (1) , (2) . (3) В формулах выше: σс - текущее напряжение при сжатии, МПа; fc - цилиндрическая прочность бетона при сжатии, МПа; Eс - модуль упругости, МПа; εc - текущая относительная деформация; εc1 - относительная деформация, соответствующая пику диаграммы; n - коэффициент кривизны восходящей части; k - коэффициент постпикового участка диаграммы. Коэффициент поврежденности бетона при сжатии dc вычислялся на основе разложения полной неупругой деформации на неупругую и пластическую составляющие (4) (рис. 1, б). , (4) где εcin - неупругая деформация бетона при сжатии; εcpl - пластическая деформация бетона при сжатии, вычисляемая феноменологически как часть полной неупругой деформации после предела прочности, при этом фиксированная доля прироста неупругой деформации, равная 0,2, относилась к поврежденной составляющей. Диаграмма растяжения бетона принята двусоставной: линейно-упругой до предела прочности и с убывающей ветвью после образования первой трещины. В качестве ниспадающей части диаграммы растяжения использован экспоненциальный закон уменьшения напряжения от ширины раскрытия трещины w, предложенный Хордейком (5) (рис. 2, а) [23]: , (5) где σt - текущее напряжение при растяжении, МПа; fcr - прочность бетона при осевом растяжении, МПа; w - текущая ширина раскрытия трещины, мм; wcr - критическое раскрытие трещины, мм; с1 и с2 - эмпирические коэффициенты, равные 3 и 6,93 соответственно. Критическое раскрытие wcr вычислялось из условия равенства площади под кривой σ-w энергии трещинообразования Gf (6): . (6) Надпись: / Mpa / MPa / MPa / MPa Надпись: / MPaНадпись: / MPaНадпись: / MPaНадпись: / MPa а б Рис. 1. Диаграммы деформирования бетона при сжатии по модели Поповича - Теренфольда - Коллинза для различных классов бетона и соответствующая эволюция коэффициента поврежденности: а - зависимости «напряжение-деформация» бетона при одноосном сжатии; б - изменение коэффициента поврежденности в зависимости от деформации при сжатии И с т о ч н и к: выполнено Е.А. Исаковым. Figure 1. Concrete compressive stress-strain relationship according to the Popovics - Thorenfeldt - Collins model for different concrete strength classes and corresponding damage variable evolution: а - stress-strain relationships of concrete in compression; б - evolution of the compressive damage variable as a function of strain S o u r c e: made by E.A. Isakov. а б Рис. 2. Диаграммы деформирования бетона при растяжении по модели Хордейка, откалиброванные для различных размеров конечного элемента и соответствующая эволюция коэффициента поврежденности: а - зависимости «напряжение-деформация» бетона при растяжении с учетом энергии трещинообразования; б - изменение коэффициента поврежденности в зависимости от деформации при растяжении И с т о ч н и к: выполнено Е.А. Исаковым. Figure 2. Concrete tensile stress-strain relationship based on the Hordijk model calibrated for different finite element characteristic lengths and corresponding damage variable evolution: а - stress-strain curves of concrete in tension according to fracture energy; б - evolution of the tensile damage variable as a function of strain S o u r c e: made by E.A. Isakov. Прочность бетона на осевое растяжение fcr определялась через прочность при сжатии по эмпирической зависимости (7). Энергия разрушения Gf (Н/м) оценивалась по fib Model Code[11][С1] в зависимости от максимального размера заполнителя da (мм) и прочности бетона (8): ; (7) . (8) Для учета масштабного эффекта и уменьшения зависимости результатов от размера конечных элементов применялась теория полосы трещин (crack band theory) [24]. В соответствии с этим подходом вводится характеристическая ширина локализации lch (мм), связанная с размером конечного элемента в направлении распространения трещины. Далее ширина раскрытия w переводится в эквивалентную локальную деформацию εt по формуле εt = εcr + w/lch, где εcr - деформация, соответствующая началу трещинообразования. Этот прием обеспечивает распределение раскрытия трещины по элементу и делает результаты менее зависимыми от шага сетки. В результате достигается правильное затухание напряжений на нисходящей ветви независимо от размера КЭ, а полная энергия Gf, рассеиваемая при разрушении, остается постоянной. Коэффициент поврежденности бетона при растяжении dt вычислялся через степень снижения действующих напряжений по отношению к пределу прочности бетона (9) (рис. 2, б): . (9) 3. Результаты и обсуждение На основании выполненного анализа литературы и численного анализа систематизированы эффекты каждого параметра CDP на поведение бетона и сформулированы рекомендации по их выбору. Ниже приведены ключевые результаты об их влиянии на жесткость, прочность и характер разрушения материала. ¡ Выполненный[I2] анализ литературных источников и результаты численного исследования подтвердили, что угол дилатансии ψ является одним из наиболее чувствительных параметров модели Concrete Damage Plasticity и существенно влияет на расчетную жесткость, несущую способность и прогнозируемый характер разрушения бетонных и железобетонных элементов [8-14]. Увеличение значения ψ в рамках модели, как правило, приводит к росту несущей способности при сдвиговых и сложных напряженных состояниях, что обусловлено развитием поперечного расширения (дилатации), создающего эффект дополнительного бокового обжатия материала. При малых значениях ψ пластическое течение сопровождается меньшим объемным расширением, что снижает расчетное сопротивление сдвигу и может приводить к более хрупкому характеру разрушения. Для тяжелых бетонов нормальной прочности в качестве базового значения угла дилатансии целесообразно рассматривать ψ ≈ 30-35° [10; 12; 14]. Вариация ψ в диапазоне 20-40° в ряде постановок приводит к изменению расчетной несущей способности порядка 5-10 %, что позволяет использовать данный интервал как ориентировочный для инженерных расчетов при отсутствии калибровки по эксперименту. Для элементов, работающих преимущественно в условиях одноосного сжатия и изгиба, наилучшее согласование с экспериментальными данными, как правило, достигается при умеренных значениях угла дилатансии [18]. В диапазоне ψ ≈ 25-35° возможно корректное воспроизведение жесткости, несущей способности и постпикового поведения без искусственного упрочнения. Для типичных железобетонных колонн прямоугольного сечения из тяжелого бетона в ряде работ оптимальным указывается значение ψ порядка 35° [10]. Для элементов с выраженным трехосным сжатием или близких к плоской деформации (короткие колонны, массивные элементы, опорные зоны) дилатативная способность бетона подавляется всесторонним давлением [11; 26]. В этих условиях рекомендуется использовать пониженные значения угла дилатансии порядка ψ ≈ 10-20°, что позволяет учитывать снижение дилатации при высоком уровне обжатия [11; 12]. Для элементов, разрушение которых определяется развитием наклонных трещин и сдвиговых деформаций (например, короткие консоли), может быть оправданно применение повышенных значений ψ. Отдельные расчеты показывают, что ψ ≈ 45-50° позволяет описывать диагональный характер трещинообразования и согласуется с экспериментальными наблюдениями [9]. Для ультравысокопрочных композитов типа UHPC в отдельных исследованиях приводятся повышенные значения угла дилатансии вплоть до ψ ≈ 55° [25]. Влияние класса бетона на оптимальное значение угла дилатансии носит вторичный характер по сравнению с типом напряженно-деформированного состояния и принятыми параметрами CDP [12; 19]. Для бетонов нормальной прочности (B25-B40) допустимо использование средних значений ψ в указанных диапазонах. Для высокопрочных бетонов целесообразно рассматривать значения ψ ближе к нижней границе соответствующих диапазонов, тогда как для бетонов пониженной прочности возможны несколько более высокие значения при аналогичном НДС [10; 12]. ¡ Эксцентриситет пластического потенциала в диапазоне 0-0,2 при фиксированных прочих параметрах, как правило, оказывает ограниченное влияние на расчетную жесткость и предельную несущую способность при типовых постановках [11; 12; 19]. Вместе с тем слишком малое ϵ может затруднить сходимость решения, а слишком большое ϵ может завышать эффект дилатансии при низком гидростатическом давлении и тем самым искажать поведение модели. В инженерных расчетах целесообразно принимать ϵ = 0,1 (значение по умолчанию в Abaqus) как компромисс между устойчивостью вычислений и физической правдоподобностью, а отклонение от этого значения - выполнять только при наличии экспериментальной калибровки. ¡ Параметр σb0/σc0 (отношение прочности при двухосном сжатии к прочности при одноосном сжатии) определяет форму поверхности текучести CDP в области высоких всесторонних давлений и поэтому существенен для элементов, работающих при заметном обжатии и сложном напряженном состоянии [11; 12; 19]. При занижении параметра модель может недооценивать несущую способность при сложном напряженном состоянии, тогда как при завышении возможна переоценка прочности и завышенная жесткость [10; 14]. Для тяжелого бетона нормальной прочности при отсутствии специальных данных целесообразно использовать диапазон 1,1-1,2 как ориентировочный, принимая базовое значение σb0/σc0 = 1,16 (настройка по умолчанию в Abaqus). ¡ Коэффициент формы поверхности текучести Kc в большинстве практических реализаций CDP принимается равным 2/3 [11; 12; 14; 19]. Расчеты показывают, что изменение Kc в диапазоне 0,5-0,8 обычно слабо влияет на расчетную жесткость и пиковую прочность, однако заметно влияет на локализацию деформаций, ориентацию и развитие зон повреждения. Для обычного тяжелого бетона при отсутствии данных калибровки рекомендуется использовать Kc = 2/3, рассматривая отклонения от этого значения как часть процедуры параметрической идентификации под конкретные условия. ¡ В статических расчетах вязкопластический параметр μ целесообразно принимать μ = 0, чтобы модель отражала квазистатическое поведение без введения искусственной вязкостной регуляризации. При проблемах со сходимостью допустимо задавать малое ненулевое значение μ, достаточное для стабилизации решения при минимальном влиянии на результаты расчета. В качестве исходного ориентировочного уровня можно использовать μ ≈ 10-4 при обязательной проверке чувствительности результатов к его изменению и фиксации того, что введенная регуляризация не искажает ключевые расчетные характеристики. 3.1. Верификация и сравнение с экспериментом Модель CDP была проверена по экспериментальным данным. На уровне материала расчетные диаграммы сжатия сравнивались с результатами испытаний Купфера [26]. В его работе образцы 200×200×50 мм из бетона прочностью Rb = 32,2 МПа испытывались при различных соотношениях главных напряжений. По результатам численного расчета достигнуто удовлетворительное совпадение вплоть до разрушения (рис. 3). Рис. 3. Сравнение результатов численных и лабораторных испытаний И с т о ч н и к: выполнено Е.А. Исаковым по [26]. Figure 3. Comparison of the numerical model response and laboratory test results S o u r c e: made by E.A. Isakov on [26]. Нисходящая ветвь диаграммы растяжения и энергия трещинообразования Gf дополнительно проверялись на задаче изгиба балки с надрезом и сопоставлялись с экспериментальными данными (рис. 4) [27]. Энергия трещинообразования была принята Gf = 77 Н/м для заполнителя размером da = 12 мм и пределом прочности на растяжение Rbt = 3,33 МПа. Стабильность работы модели на стадии разупрочнения была проверена при различных размерах конечно-элементной сетки. Рис. 4. Сравнение результатов численных испытаний образцов с разным размером конечного элемента с лабораторными испытаниями И с т о ч н и к: выполнено Е.А. Исаковым по [27]. Figure 4. Comparison of the numerical model response with different finite element sizes with laboratory test results S o u r c e: made by E.A. Isakov on [27]. На уровне конструкции проведена верификация на примере железобетонной балки по данным Обернихина и Никулина (рис. 5) [28]. Характеристики бетона в расчете приняты: Eb = 30,0 ГПа, Rb = 22,5 МПа. Арматура была смоделирована двулинейным упругопластическим материалом. Рис. 5. Конструкция и расчетная модель испытываемой балки И с т о ч н и к: выполнено Е.А. Исаковым. Figure 5. Structural configuration and numerical model of the tested beam S o u r c e: made by E.A. Isakov. Результаты расчета балки нормального армирования показали удовлетворительное совпадение с экспериментальными данными вплоть до разрушающей нагрузки (табл.). Так, для балки трапециевидного сечения серии БТВ отклонение расчетной предельной нагрузки от средней экспериментальной не превысило 5 %. Жесткость на этапе трещинообразования и развития пластических деформаций была спрогнозирована моделью с погрешностью менее 10 % по прогибу. Характер трещинообразования в балке, оцененный по распределению коэффициента поврежденности бетона dt, показан на рис. 6. Сравнение результатов численного расчета с лабораторными данными Comparison of the numerical model response and laboratory test results Исследуемая величина / Quantity Средние значения прогибов балок в мм при нагрузке, кН / Average mid-span deflection of beams at mm at load, kN Средняя предельная нагрузка, кН / Average ultimate load, kN 16 24 32 Результаты экспериментов / Experimental results 2,19 3,66 5,17 39,27 Результаты расчета в Abaqus / Numerical results (Abaqus) 1,71 3,30 5,14 37,60 Погрешность, % / Error, % -22 -10 -1 -4 И с т о ч н и к: выполнено Е.А. Исаковым / S o u r c e: made by E.A. Isakov. Рис. 6. Численное распределение трещин, представленное через коэффициент поврежденности dt И с т о ч н и к: выполнено Е.А. Исаковым. Figure 6. Numerical crack pattern represented by the concrete damage parameter dt S o u r c e: made by E.A. Isakov. 4. Заключение В работе выполнено обоснование параметров модели Concrete Damage Plasticity (CDP) для применения в расчетах железобетонных конструкций. 1. Проведен анализ влияния ключевых параметров (ψ, ϵ, σb0/σc0, Kc, μ) на результаты численного моделирования, а также обоснован выбор диаграмм деформирования бетона. 2. Установлено, что угол дилатансии ψ оказывает наиболее заметное влияние на несущую способность и деформативность модели. Для тяжелого бетона при статическом нагружении рекомендуется принимать ψ ≈ 30-35° с возможной корректировкой в пределах 20-40° в зависимости от типа напряженно-деформированного состояния, а также класса бетона. Эксцентриситет пластического потенциала целесообразно принимать равным ϵ = 0,1 как базовое значение, обеспечивающее устойчивость вычислений при удовлетворительной физической правдоподобности. Отношение прочностей σb0/σc0 для тяжелого бетона при отсутствии специальных данных рекомендуется принимать равным 1,16, коэффициент формы поверхности текучести Kc = 2/3. В статических задачах параметр вязкости μ рекомендуется задавать равным нулю. При проблемах со сходимостью возможно использование малого ненулевого значения μ порядка 10-4 при обязательном контроле влияния на диаграммы деформирования. Для корректного воспроизведения нелинейного поведения бетона и постпикового отклика необходимо использовать диаграммы деформирования, согласованные с энергетическим критерием разрушения. Для сжатия рекомендуется применять обобщенную кривую Поповича, для растяжения - экспоненциальную зависимость на основе энергии разрушения Gf с регуляризацией по размеру конечного элемента. Данные диаграммы верифицированы на основе экспериментальных данных испытаний материала. Соблюдение указанных рекомендаций позволяет получить устойчивые и физически обоснованные результаты численного моделирования работы бетона вплоть до разрушения в рамках выбранных параметров CDP.

About the authors

Egor A. Isakov

Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University

Author for correspondence.
Email: isakoww3@yandex.ru
ORCID iD: 0009-0006-9228-4574
SPIN-code: 1616-6935

postgraduate student of the Institute of Civil Engineering of the Higher School of Hydraulic and Power Engineering

Russian Federation, 195251, Saint Petersburg, Polytechnicheskaya, 29

References

Supplementary files