Stress-Strain State of an Orthotropic Rectangular Plate Simply Supported on All Sides

Full Text

1. Введение Прямоугольные панели широко применяются в конструкциях различного назначения. В гражданском и промышленном строительстве, в авиа-, судо-, автомобилестроении часто используют панели, изготовленные из композиционных материалов. Данные материалы придают элементам конструкции большую прочность при меньшем весе по сравнению с традиционными материалами. Панели из композиционных материалов в общем случае являются анизотропными. Однако на практике часто их изготавливают из ортотропного материала, для которого характерно различие упругих свойств материала вдоль трех взаимно перпендикулярных направлениях. В основу расчета данных конструкций положены основные положения теории тонкой упругой пластинки. Математической моделью пластинок из ортотропного материала является бигармоническое уравнение для их прогиба. Задав определенный вид закрепления краев пластины и вид нагружения, определяют значение прогиба. Используя найденное значение прогиба, можно легко определить все компоненты напряженного состояния: изгибающие моменты и перерезывающие силы. В настоящее время теоретическому исследованию ортотропных пластин посвящены многие работы [1-19]. Для решения задач изгиба ортотропных прямоугольных пластин авторы используют различные методы: методы интегральных преобразований, вариационные методы, метод Канторовича, метод собственных функций и т.д. В работе [1] задача изгиба ортотропной защемленной по всем сторонам пластинки решается расширенным методом Канторовича, а в работе [2] используется симплектический метод. Метод начальных функций используется в статье [3] для исследования поведения ортотропной пластины, находящейся под действием нормальной равномерно распределенной по ее поверхности нагрузки. В работе [4] решение изгиба ортотропной пластины представлено в виде ряда по собственным функциям оператора Гамильтона. Сначала уравнения ортотропной прямоугольной тонкой пластины преобразуют в гамильтонову систему, а соответствующий гамильтонов оператор бесконечной размерности получают с помощью метода разделения переменных. Затем вычисляют собственные значения и соответствующие собственные функции гамильтонова оператора. Наконец, с помощью метода симплектической суперпозиции получают аналитические решения изгиба полностью защемленных ортотропных тонких пластин. В статье [5] с использованием метода Галеркина решается задача изгиба равномерно нагруженной защемленной прямоугольной пластины. В работе [6] для определения изгиба тонкой ортотропной прямоугольной пластины авторы используют полиномы Лежандра и Чебышева первого рода. Метод интерполяции по коэффициенту формы применяют в работе [7] для расчета прямоугольных ортотропных пластин с однородными граничными условиями. Часто для получения решений задач изгиба ортотропных прямоугольных пластин с различными граничными условиями применяют различные типы метода интегрального преобразования. В работах [8; 9] для решения изгиба пластин с различными сложными граничными условиями используют двойное интегральное конечное синус-преобразование Фурье. Авторы работы [10] задействуют метод обобщенного интегрального преобразования (GITT) для получения точного решения изгиба полностью защемленных пластин. В исследованиях [11-15] также применяют метод конечных интегральных преобразований для решения задач изгиба прямоугольных ортотропных тонких пластин с различными условиями закрепления при различных условиях нагружения. Несмотря на известные достижения в теории и методах расчета конструкций из композитных материалов, совершенствование методов расчета таких конструкций остается актуальной задачей. В частности, получение простых математических формул (решений), с помощью которых можно оценить прогибы в прямоугольных пластинах из композиционного материала, шарнирно опертых по всему контуру и находящихся под нагрузкой, не проводя длительных вычислений с использованием компьютера, представляет ценность для проектировщиков конструкций, работающих во многих областях промышленности. Цель исследования - с использованием метода интегрального преобразования (преобразования Лапласа) получить решения изгиба ортотропных прямоугольных тонких пластин, шарнирно опертых по всему контуру и находящихся под действием нормально приложенной нагрузки. Задачи исследования: - вывести решения изгиба ортотропных прямоугольных тонких пластин, шарнирно опертых по всему контуру и находящихся под действием нормально приложенной нагрузки; - исследовать напряженно-деформированное состояние пластины при действии нагрузки, равномерно распределенной по всей поверхности пластины; - проверить достоверность и точность получаемых по этому методу результатов на основе сравнения их с данными, опубликованными в научной литературе. 2. Постановка задачи и метод решения Рассмотрена шарнирно опертая по всему контуру прямоугольная ортотропная пластинка (рис. 1), которая изгибается нормально приложенной нагрузкой , распределенной по закону (1) где n =1, 3, 5… Рис. 1. Схема пластинки при действии полосовой нагрузки И с т о ч н и к: выполнено Д.А. Сурниным Figure 1. Diagram of the plate under the action of a strip load S o u r c e: made by D.A. Surnin Главные направления упругости совпадали с направлениями сторон (рис. 1). Граничные условия для свободно опертых краев: ; (2) Дифференциальное уравнение изогнутой поверхности пластинки имеет вид [20; 21] (3) где - модули упругости; - коэффициенты Пуассона; G - модуль сдвига; - толщина пластинки. Решение уравнения (3) приняли в виде (4) Подставляя (4) в (3), после сокращения всех членов на , получили обыкновенное дифференциальное уравнение (5) где Для решения дифференциального уравнения 4 порядка применили операционное исчисление, связанное с преобразованием Лапласа [22]. Преобразование Лапласа позволило уменьшить количество нахождения произвольных постоянных в два раза и снизить математическую сложность решения задачи путем преобразования исходного дифференциального уравнения 4-го порядка в алгебраическое уравнение в пространстве изображений. Решив полученное алгебраическое уравнение в пространстве изображений, получили выражение для перемещений в виде функций комплексной переменной (изображений). Затем полученное выражение для изображений преобразовали обратно в исходную пространственную область с помощью обратного преобразования Лапласа, возвращая решение в физическую плоскость. Полагая и учитывая граничные условия при , по теореме дифференцирования оригинала получили (6) где р - комплексный параметр; - произвольные постоянные. Изображение правой части уравнения (5) имеет вид [22] (7) Переходя в уравнении (5) от оригиналов к выражениям (6), (7), получили операторное уравнение (8) Из (8) нашли (9) Переходя в выражении (9) от изображений к оригиналам [22; 23], получили искомое решение. Произвольные постоянные нашли из граничных условий (2) при . Так как при решении уравнения можем иметь действительные, кратные и мнимые корни, то соответственно получили и три различных искомых решений уравнения. Ввиду громоздкости все промежуточные операции не приводятся. Окончательно имеем: при (10) где - единичная функция, которая при равна 1 и при равна 0; - единичная функция, которая при равна 1 и при равна 0. При (11) где При (12) где Обращаем внимание на то, что единичные функции и приняты только для сокращения записи выражений. Они указывают, с какого значения координаты х появляется в выражении данное слагаемое. Имея , можно получить выражения для [20; 21]. Выражения (10), (11), (12) позволяют рассчитать ортотропную пластинку при любом положении полосовой нагрузки и при различных размерах участка нагружения . Из выражений (10), (11), (12) можно получить различные частные решения. Положив в выражениях (10), (11), (12) и , получили решение для случая, когда нагрузка действует по всей поверхности пластинки (рис. 2). При (13) где При (14) где При (15) где Рис. 2. Схема пластинки при действии неравномерно распределенной нагрузки по всей поверхности пластинки И с т о ч н и к: выполнено Д.А. Сурниным Figure 2. Diagram of the plate under the action of an unevenly distributed load over the entire plate surface S o u r c e: made by D.A. Surnin Выражениями (10), (11), (12) можно воспользоваться при получении решений для свободно опертой ортотропной прямоугольной пластинки при действии нагрузки, равномерно распределенной вдоль оси x и распределенной вдоль оси y по любому закону. С той целью нагрузку надо представить в виде тригонометрического ряда. Так, в случае действия нагрузки, равномерно распределенной по всей поверхности пластинки, имеем (16) где n = 1, 3, 5. При (17) При (18) При (19) 3. Результаты и обсуждение В качестве примера для исследования напряженно-деформированного состояния рассмотрена ортотропная прямоугольная пластинка с отношением сторон Материал пластинки - углепластик [24]: ; (20) В табл. 1 и 2 приведены результаты расчета ортотропной прямоугольной пластинки при действии равномерно распределенной нагрузки. Значения, приведенные в табл. 1 и 2, необходимо умножить: для на для на для на для на Результаты расчета (табл. 2) показали, что при вычислении прогиба достаточно взять три члена ряда; при вычислении - 5 членов ряда; при вычислении и - 7 членов ряда. Полученные выражения позволяют решать многочисленные задачи оптимального проектирования пластинок. В работе [20] указано, как можно решить задачу, если пластинка изготовлена из ортотропного материала так, что главные направления упругости материала не совпадают с направлениями координатных линий и . Таблица 1 / Table 1 Результаты расчета ортотропной пластинки при действии равномерно распределенной нагрузки / Calculation results of the orthotropic plate under the action of a uniformly distributed load x 0 0 0 0 0,517665 0 0 0,1a 0,000292 0,046344 0,001232 0,414555 0 0 0,2a 0,000553 0,082382 0,002209 0,312134 0 0 0,3a 0,000757 0,108186 0,002921 0,208866 0 0 0,4a 0,000886 0,123707 0,003355 0,104684 0 0 0,5a 0,0009305 0,1288888 0,0035014 0 0 0 0,6a 0,000886 0,123707 0,003355 - 0,104684 0 0 0,7a 0,000757 0,108186 0,002921 - 0,208866 0 0 0,8a 0,000553 0,082382 0,002209 - 0,312134 0 0 0,9a 0,000292 0,046344 0,001232 - 0,414555 0 0 a 0 0 0 - 0,517665 0 0 И с т о ч н и к: выполнено Д.А. Сурниным / S o u r c e: made by D.A. Surnin Таблица 2 / Table 2 Максимальные значения перемещения, моментов и перерезывающей силы в ортотропной пластинке при разном числе удерживающих членов ряда / Maximum values of displacement, moments and shear force in the orthotropic plate for different numbers of retained series terms Число членов ряда / Number of terms in series 1 0,00104302 0,1454828 0,0074583 0,60942727 0 0 3 0,0009305 0,1292586 0,0040447 0,52788353 0 0 5 0,0009277 0,1288888 0,00359 0,51996853 0 0 7 0,0009274 0,128863 0,0035014 0,51766495 0 0 9 0,0009274 0,1288558 0,0034744 0,5166987 0 0 И с т о ч н и к: выполнено Д.А. Сурниным / S o u r c e: made by D.A. Surnin Положив во всех приведенных выражениях и , получим решения для изотропной пластинки. Для проверки достоверности и точности получаемых по данному методу результатов было проведено сравнение их с данными, опубликованными в научной литературе [20; 25]. Был выполнен расчет ортотропной прямоугольной пластинки с исходными параметрами по формуле (с применением двойного тригонометрического ряда), приведенной в [20]. При вычислении было взято 16 членов ряда. В результате расчетов получили максимальный прогиб Расхождение значений, полученных по формулам из работы [20], и значений, вычисленных с использованием формулы (19), составило 3,8 %. Также был выполнен по полученным в данной работе выражениям расчет изотропной прямоугольной пластинки с исходными геометрическими параметрами и Результаты расчета представлены в табл. 3. Таблица 3 / Table 3 Результаты расчета изотропной пластинки при действии равномерно распределенной нагрузки / Results of calculation of the isotropic plate under the action of a uniformly distributed load Число членов ряда / Number of terms in series 1 0,007919 0,084566 0,056979 0,474617 0 0 3 0,007727 0,081338 0,050424 0,431638 0 0 5 0,007724 0,081201 0,04998 0,426736 0 0 7 0,007724 0,081201 0,049894 0,425309 0 0 9 0,007724 0,081201 0,049894 0,424711 0 0 И с т о ч н и к: выполнено Д.А. Сурниным / S o u r c e: made by D.A. Surnin Значения, приведенные в табл. 3, необходимо умножить: для на для на для на для на Результаты расчета табл. 3 полностью совпадают с данными, приведенными в работе [25]. Анализ результатов выполненных расчетов показал, что при расчетах ортотропной прямоугольной пластинки по полученным формулам при действии полосовой нормально приложенной нагрузки получается более быстрая сходимость решений и значительно уменьшается вычислительная работа по сравнению с ранее применяемыми методами. Проделав аналогичные операции, можно получить решения и при других вариантах граничных условий. 4. Заключение В ходе проведенного исследования следует отметить следующее: 1. На основе операционного исчисления, связанного с преобразованием Лапласа, впервые получены в общем виде точные аналитические решения для ортотропной прямоугольной пластинки при действии полосовой нормально приложенной нагрузки. 2. Практический расчет пластин с использованием полученных решений не вызывает затруднений, так как расчет сводится к вычислению гиперболо-тригонометрических функций при малых значениях аргумента, при больших значениях аргумента формулы упрощаются и расчет сводится к вычислению показательных и тригонометрических функций. 3. Представленные результаты показывают, что при расчетах ортотропной прямоугольной пластинки по полученным формулам при действии полосовой нормально приложенной нагрузки получается более быстрая сходимость решений и значительно уменьшается вычислительная работа по сравнению с ранее применяемыми методами. 4. Полученные аналитические выражения позволяют рассчитать ортотропную прямоугольную пластинку при любом положении полосовой нагрузки и при различных размерах участка нагружения, а также при действии локальных и сосредоточенных нагрузок. 5. Предложенный подход может быть использован при расчете ортотропных прямоугольных пластинок и при других вариантах граничных условий. 6. Результаты работы могут быть использованы инженерами, аспирантами и студентами.

About the authors

Kamil F. Shagivaleev

Saratov State Technical University named after Yu.A. Gagarin

Email: kfshag@yandex.ru
ORCID iD: 0009-0001-6962-9355
SPIN-code: 9726-5456

Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Building Materials, Structures and Technologies

77 Politechnicheskaya St, Saratov, 410054, Russian Federation

Dmitry A. Surnin

Saratov State Technical University named after Yu.A. Gagarin

Email: dasurnin98@mail.ru
ORCID iD: 0009-0005-5373-8804
SPIN-code: 9654-2120

Postgraduate student of the Department of Transport Construction

77 Politechnicheskaya St, Saratov, 410054, Russian Federation

Elena K. Surnina

Saratov State Technical University named after Yu.A. Gagarin

Author for correspondence.
Email: eksurnina@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-2500-1256
SPIN-code: 5584-2282

Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Transport Construction

77 Politechnicheskaya St, Saratov, 410054, Russian Federation

References

Supplementary files