Using Solid Superelements for Nonlinear Analysis of Slab-and-Beam Structures in the PRINS Software

Full Text

1. Введение Предпосылки для расчета железобетонных конструкций в нелинейной постановке обусловлены развитием компьютерных технологий, с одной стороны, и развитием численных методов строительной механики, в первую очередь метода конечных элементов [1-4], - с другой. При этом нелинейное деформирование бетона с учетом реальных упругопластических свойств в условиях объемного напряженного состояния исследовалось учеными на протяжении XX века[2] [5-9]. Очевидно, что современные методы расчеты железобетонных конструкций должны разрабатываться на основании численных методов строительной механики с учетом нелинейных эффектов, присущих бетону и арматуре и установленных экспериментальным путем. При выполнении нелинейных расчетов важной задачей является корректное вычисление усилий и напряжений, возникающих в бетоне и арматуре. При использовании одномерных стержневых конечных элементов балочного (рамного) типа для моделирования колонн или балок, в силу особенностей построения этих элементов, значения усилий в бетоне и арматуре, равно как и прочность конструкции, не могут быть точно определены. Один из путей решения этой задачи видится в использовании для моделирования тела колонн (и/или балок) конечных элементов сплошной среды (тип solid). С одной стороны, применение элементов сплошной среды ведет к неоправданному увеличению числа неизвестных расчетной схемы и количеству разрешающих уравнений, что требует дополнительных вычислительных ресурсов для решения задач большой размерности. С другой стороны, для моделирования арматуры, располагаемой в теле конструкции, обычно используются одномерные стержневые конечные элементы, заключенные в узлах элементов сплошной среды. Для учета всех особенностей расположения арматуры в теле бетона (длины, шага, защитного слоя и т.д.) от расчетчика требуются значительные временные затраты для построения корректной модели армированной конструкции. Для устранения указанных недостатков авторами предлагается объемный суперэлемент, предназначенный для моделирования железобетонных колонн (и/или балок). Данный конечный элемент построен на основе объемной теории упругости и пластичности. Суперэлемент вдоль оси разбивается на определенное количество слоев, а в пределах слоя составляется из объемных элементов и включает в себя возможность автоматического задания параметров армирования и генерации арматурных стержней. Тем самым для пользователя исключается необходимость ручного построения арматурных стержней в теле бетонной конструкции, что существенным образом упрощает процесс создания расчетных моделей реальных конструкций. 2. Метод Предлагается методика физически и геометрически нелинейного статического расчета железобетонных плитно-балочных конструкций с использованием разработанных ранее профессором В.П. Агаповым многослойных конечных элементов [10]. Методика заключается в следующем. Решение задачи с помощью вычислительной программы (решателя), исключая формирование блока исходных данных и визуализацию результатов, делится на два этапа: составление разрешающего уравнения и его решение. Авторы статьи для нелинейного статического расчета используют уравнение равновесия, полученное в работе [11] и имеющее вид , (1) где , и - матрицы жесткости нулевого, первого и второго порядков; - матрицa начальных напряжений; и - векторы приращений узловых перемещений и нагрузок соответственно. Формулы для вычисления всех приведенных выше матриц представлены в [11]. Особенностью предлагаемого алгоритма является использование для моделирования плитно-балочных конструкций конечных элементов, основанных на трехмерной теории упругости и пластичности. Для моделирования колонн и балок используется суперэлемент, составленный из объемных шестигранных конечных элементов (бетон) и одномерных стержневых элементов (арматура) (рис. 1), а для моделирования плит - многослойный элемент пластинки/оболочки (рис. 2), особенности построения которого рассмотрены в работе [12]. Арматура в плите представляется слоем эквивалентной толщины с однонаправленными свойствами. Как видно из рис. 1, суперэлемент колонны (или балки) разбивается вдоль оси на определенное количество слоев, а в пределах слоя составляется из объемных элементов. Все характеристики супер- элемента приводятся к узлам, лежащим в его торцевых сечениях. Узлы сетки на торцах суперэлемента и плиты в месте стыка должны совпадать. Это обеспечивает совместность перемещений и в то же время податливость в месте соединения плиты с колонной. a б Рис. 1. Суперэлемент железобетонной колонны: a - общий вид конечного элемента; б - расположение арматуры в поперечном сечении колонны И с т о ч н и к: выполнено В.П. Агаповым, А.С. Марковичем Figure 1. Superelement of reinforced concrete column: a - general view of the finite element; б - position of reinforcement in the cross section of the column S o u r c e: made by V.P. Agapov, A.S. Markovich Рис. 2. Составной четырехугольный конечный элемент пластинки/оболочки И с т о ч н и к: выполнено В.П. Агаповым, А.С. Марковичем Figure 2. Combined quadrilateral plate/shell finite element S o u r c e: made by V.P. Agapov, A.S. Markovich Так как способы вычисления матричных характеристик используемых конечных элементов подробно описаны в работах [10; 11], в данной статье они не рассматриваются. Отметим, однако, особенность вычисления матрицы жесткости нулевого порядка при учете физической нелинейности. В этом случае не удается получить аналитическое выражение для матрицы в явном виде, так как ее элементы зависят от изменяющихся на шаге нагружения свойств материала. Однако ее можно найти в численном виде в начале и конце шага. Если обозначить эти матрицы, как и соответственно, то матрицу можно приближенно найти как полусумму матриц и : . (2) Представим матрицу в виде . (3) С учетом (2) и (3) получаем . (4) Учитывая формулу (4), уравнение (1) принимает вид . (5) Перенесем слагаемые матрицы жесткости, зависящие от шаговых перемещений, в правую часть уравнения (5) и будем решать это уравнение итерационным методом: . (6) Итерации повторяются до достижения заданной точности. По окончании итераций находятся приращения напряжений по формуле , (7) где - упругопластическая матрица характеристик материалов. Полные значения перемещений и напряжений вычисляются по формулам: , . (8) При этом возможна коррекция напряжений в соответствии с заданной диаграммой напряжение - деформация. Поэтому при достижении сходимости по перемещениям в алгоритме, принятом в программе ПРИНС, осуществляются итерации равновесия по напряжениям с использованием формулы , (9) где - полный вектор узловой нагрузки, - вектор узловых сил, обусловленных внутренними напряжениями. 3. Результаты и обсуждение Для иллюстрации предложенной выше методики (см. уравнения (1)-(9)) решена задача по определению несущей способности двухэтажной железобетонной рамы при действии горизонтальной нагрузки. При таком воздействии основная нагрузка воспринимается колоннами, что дает возможность оценить влияние различных расчетных моделей колонн на окончательное напряженно-деформированное состояние конструкции. В связи с этим рассматривались две конечно-элементные схемы с различными способами моделирования колонн. В первой схеме колонны моделировались при помощи суперэлемента типа 46 (согласно спецификации конечных элементов в программе ПРИНС), а во второй схеме - стандартным балочным элементом типа 32. Плиты моделировались многослойным элементом пластинки/оболочки типа 26. Суперэлемент 46 позволяет учитывать как геометрическую, так и физическую нелинейности, тогда как в элементе 32 учитывается только геометрическая нелинейность. Расчетные схемы при использовании элементов 46 и 32 показаны на рис. 3, а и б соответственно. Отметим одну особенность расчетной схемы, приведенной на рис. 3, а. Суперэлементы колонн должны сопрягаться с плитой во всех узлах своих торцевых сечений. Это приводит к необходимости генерировать на плите густую сетку конечных элементов в местах стыков. Если распространять эту сетку на всю плиту, это может привести к ее неоправданной густоте, и, как следствие, к неоправданному увеличению числа степеней свободы конструкции. Чтобы избежать этого, в вычислительном комплексе ПРИНС разработан модуль, который автоматически генерирует сетку конечных элементов с переменным шагом в окрестности стыка, что и отражено на рис. 3, а. a б Рис. 3. Расчетные схемы рамы: a - с использованием для моделирования колонн суперэлементов; б - то же элементов балочного типа И с т о ч н и к: выполнено В.П. Агаповым, А.С. Марковичем Figure 3. Finite element model of the frame: a - using superelements for modeling columns; б - the same for beam-type elements S o u r c e: made by V.P. Agapov, A.S. Markovich В расчетах использовался бетон класса В25 и арматура класса А400. Размеры сечения колонн - 40×40 см при армировании стержнями диаметром 2 см по схеме, приведенной на рис. 1, б. Для бетона колонн использовалась физическая модель нелинейно-упругого деформирования при хрупком разрушении [13]. Для плит применялась упругопластическая модель c модифицированным критерием текучести Губера - Мизеса [14]. При этом использовалась нелинейная диаграмма деформирования бетона согласно европейским стандартам[3]. Для арматуры принималась диаграмма Прандтля. Ветровая (горизонтальная) нагрузка принималась по Своду правил, действующему на территории Российской Федерации СП 20.13330.2020[4] для четвертого ветрового района. Равнодействующая ветровой нагрузки прикладывалась в виде сосредоточенных сил в верхних сечениях колонн с наветренной стороны в направлении оси x. Расчет выполнялся шагово-итерационным методом до полного разрушения конструкции. Коэффициент к шаговой нагрузке принимался равным 0,1. Ниже приводятся некоторые из результатов расчета по программе ПРИНС и дается их подробный анализ. Так, на рис. 4 показаны деформации элементов рамы, соответствующие двум расчетным схемам. Отметим, что в предельном состоянии перемещения центральной точки плиты для рамы с колоннами балочного типа превышают более чем в 9 раз перемещения, отвечающие схеме, для моделирования колонн которой использовались суперэлементы (рис. 4). a б Рис. 4. Перемещения (м) центральной точки плиты на предпоследнем шаге нагружения: a - с использованием для моделирования колонн суперэлементов; б - то же элементов балочного типа И с т о ч н и к: выполнено В.П. Агаповым, А.С. Марковичем Figure 4. Displacement (m) of the central point of the slab at the penultimate loading step: a - using superelements for modeling columns; б - the same for beam-type elements S o u r c e: made by V.P. Agapov, A.S. Markovich Применение для моделирования колонн суперэлементной технологии позволяет корректно оценивать напряжения, возникающие в теле колонны (в бетоне) и арматурной стали. Так, для рассматриваемой рамы на рис. 5 приведены нормальные напряжения в бетоне и арматуре колонн среднего ряда. a б Рис. 5. Напряжения в суперэлементах (колоннах) среднего ряда: a - нормальные напряжения (кПа) в бетоне; б - нормальные напряжения (кПа) в арматуре И с т о ч н и к: выполнено В.П. Агаповым, А.С. Марковичем Figure 5. Stresses in the superelements (columns) of the middle row: a - normal stresses (kPa) in the concrete; б - normal stresses (kPa) in the reinforcement S o u r c e: made by V.P. Agapov, A.S. Markovich Трещинообразование на верхних и нижних поверхностях плит первого этажа в предельном состоянии для двух вариантов расчетных схем рамы показано на рис. 6 и 7 соответственно. Поля интенсивности напряжений , соответствующие трещинообразованию на верхних поверхностях плит (рис. 6), приведены на рис. 8. a б Рис. 6. Трещины на верхних поверхностях плит первого этажа: a - с использованием для моделирования колонн суперэлементов; б - то же элементов балочного типа И с т о ч н и к: выполнено В.П. Агаповым, А.С. Марковичем Figure 6. Cracks on the upper surfaces of the first floor slabs: a - using superelements for modeling columns; б - the same for beam-type elements S o u r c e: made by V.P. Agapov, A.S. Markovich a б Рис. 7. Трещины на нижних поверхностях плит первого этажа: a - с использованием для моделирования колонн суперэлементов; б - то же элементов балочного типа И с т о ч н и к: выполнено В.П. Агаповым, А.С. Марковичем Figure 7. Cracks on the lower surfaces of the first floor slabs: a - using superelements for modeling columns; б - the same for beam-type elements S o u r c e: made by V.P. Agapov, A.S. Markovich a б Рис. 8. Интенсивность напряжений (кПа) на верхних поверхностях плит первого этажа: a - с использованием для моделирования колонн суперэлементов, б - то же элементов балочного типа И с т о ч н и к: выполнено В.П. Агаповым, А.С. Марковичем Figure 8. Stress intensity (kPa) on the upper surfaces of the first floor slabs: a - using superelements for modeling columns, б - the same for beam-type elements S o u r c e: made by V.P. Agapov, A.S. Markovich Предельный параметр нагрузки (коэффициент запаса прочности) для первой расчетной схемы рамы, в которой колонны моделировались суперэлементом (см. рис. 3, а), равнялся 13,5. При этом для второй схемы с колоннами стандартного балочного типа (см. рис. 3, б) составил 34. Равновесные кривые «перемещение - параметр нагрузки», отвечающие указанным расчетным схемам, для центральной точки плиты приведены на рис. 9. a б Рис. 9. Равновесные кривые «перемещение - параметр нагрузки»: a - с использованием для моделирования колонн суперэлементов; б - то же для элементов балочного типа И с т о ч н и к: выполнено В.П. Агаповым, А.С. Марковичем Figure 9. “Displacement - load parameter” equilibrium curves: a - using superelements for modeling columns; б - the same for beam-type elements S o u r c e: made by V.P. Agapov, A.S. Markovich 4. Заключение Как видно из рис. 4-9, результаты расчета по двум схемам различаются. 1. Основное различие заключается в существенном расхождении в величине предельного параметра нагрузки (коэффициента запаса прочности). Так, для рамы (см. рис. 3, а), в которой колонны моделировались с использованием суперэлементов, он равен 13,5, а для рамы с колоннами стандартного балочного (см. рис. 3, б) - 34. Такое расхождение объясняется тем, что в элементе 46 учитывается как геометрическая, так и физическая нелинейности, а в элементе 32 - только геометрическая. Поэтому можно было ожидать, что в раме с элементами 32 предельная нагрузка будет определяться несущей способностью плит, а не колонн, что и подтвердилось расчетами. В то время как в схеме с элементами 46 предельная нагрузка в большей степени, определяется прочностью колонн. 2. Отметим также, что в элементе 46, в отличие от элемента 32, естественным образом учитываются искривление оси, деформации поперечного сдвига, депланация и изменение формы и размеров поперечных сечений. Кроме того, в суперэлементах типа 46 имеется возможность анализа напряжений как в бетоне колонн (см. рис. 5, а), так и в арматуре (см. рис. 5, б). Таким образом, расчетная схема с применением предложенных суперэлементов является более адекватной рассматриваемой конструкции. Тем самым предлагаемая методика расчета плитно-балочных систем позволяет существенным образом уточнить поведение конструкции в стадиях нагружения, предшествующих разрушению, исследовать действительное напряженно-деформированное состояние и более точно определять значение коэффициента запаса прочности.

About the authors

Vladimir P. Agapov

RUDN University

Email: agapovpb@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-1749-5797
SPIN-code: 2422-0104

Doctor of Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Construction Technology and Structural Materials, Academy of Engineering

6 Miklukho-Maklaya St, Moscow, 117198, Russian Federation

Alexey S. Markovich

RUDN University; Moscow State University of Civil Engineering (National Research University)

Author for correspondence.
Email: markovich-as@rudn.ru
ORCID iD: 0000-0003-3967-2114
SPIN-code: 9203-1434

Doctor of Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Construction Technology and Structural Materials, Academy of Engineering, RUDN University; Professor of the Department of Metal and Timber Structures, National Research Moscow State University of Civil Engineering

6 Miklukho-Maklaya St, Moscow, 117198, Russian Federation; 26 Yaroslavl Highway, Moscow, 129337, Russian Federation

References

Supplementary files