Optimization of Section Parameters of Finite Stiffness Cable Under Transverse Impact

Full Text

1. Введение Выявление оптимальных параметров профиля элемента с расчетной моделью в виде нити конечной жесткости, работающей при совместном действии растяжения и изгиба, вызванных поперечным ударом, - задача в достаточной мере сложная наряду с отдельными задачами о поиске оптимальных характеристик сечений изгибаемых элементов и элементов, подверженных осевому растяжению. Решение данной задачи обусловлено многими факторами, такими как величина, характер и место приложения нагрузки [1-3]. Например, изгибающий момент, возникающий в нити конечной жесткости, при помощи которого определяется составляющая нормальных напряжений от изгиба, сам по себе зависит не только от величины, характера и места приложения нагрузки, но также и от горизонтальной составляющей продольного усилия, прогиба и первоначальной равновесной формы рассматриваемого элемента [4-5]. Все это вызвано геометрической нелинейностью и связано с тем, что расчет изгибно-жестких нитей ведется по деформированной схеме [6]. В качестве параметров профиля нити конечной жесткости, влияющих на решение задачи оптимального проектирования, выступают по меньшей мере три величины: площадь, момент сопротивления и момент инерции сечения, поскольку все три входят в условия прочности и совместности деформаций [7]. Проектирование и подбор поперечных профилей разного типа конструкций в машиностроении и строительстве с учетом конструктивных, технологических требований и условий унификации, является задачей, широко отраженной в научной литературе [8-16]. Однако при компоновке сечений применительно к частному виду стержневых элементов с расчетной моделью, представляющей собой нить конечной жесткости и испытывающей поперечную кратковременную динамическую нагрузку, подобная постановка задачи отсутствует. В таком случае сформулируем цель исследования следующим образом: разработать метод отыскания оптимальных параметров кольцевого профиля изгибно-жесткой нити, работающей по восприятию динамической нагрузки, в свою очередь характеризующейся массой и скоростью тела в первоначальный момент поперечного удара. В рамках достижения поставленной цели необходимо решить ряд задач. 1. Рассмотреть некоторые общие зависимости, позволяющие разработать метод, являющийся целью данного исследования. 2. Провести верификацию разработанного метода. 3. Выявить влияние отдельного параметра кольцевого профиля на массогабаритные характеристики, а также поведение изгибно-жесткой нити под действием кратковременной динамической нагрузки. Объект исследования - несущие элементы большепролетных висячих покрытий общественных зданий и инженерных сооружений, а также основные силовые элементы, обеспечивающие общую прочность специальных защитных сооружений, для которых расчетной моделью является нить, способная воспринимать часть возникающего при поперечном ударе изгибающего момента [17; 18]. В качестве предмета исследования выступает метод, дающий возможность достичь поставленной цели. 2. Метод Для решения поставленных задач рассмотрен в общем виде плоский упругий стержневой элемент, представлявший собой нить конечной жесткости пролетом l, закрепленную на опорах A и B с упругой податливостью u, расположенных под углом β к горизонтальной поверхности. Первоначальная стрела провеса f0 в середине пролета вызвана действием собственного веса [19]. Изгибно-жесткая нить на расстоянии xb от опоры A испытывала поперечный удар телом шириной b, массой m и имевшим скорость движения υ в первоначальный момент соударения [20]. Расчетная модель представлена на рис. 1. Рис. 1. Расчетная модель нити конечной жесткости И с т о ч н и к: выполнено Д.А. Тарасовым Figure 1. Calculation model of a finite stiffness cable S o u r c e: made by D.A. Tarasov Для рассматриваемого элемента в виде кольцевого профиля каждый из вышеперечисленных параметров, влияющих на решение задачи оптимального проектирования, записывался в виде функции только от внутреннего диаметра: ; (1) ; (2) , (3) где d - внутренний диаметр, м; k - безразмерный коэффициент, равный , (4) где D - внешний диаметр, м. Линия первоначального равновесного состояния, вызванная действием собственного веса, описывалась квадратичной функцией [21]: , (5) где х - текущая абсцисса (0 ≤ x ≤ l), м. В результате поперечного удара в нити конечной жесткости возникали прогибы, которые с достаточной точностью описывались однопараметрической базисной функцией вида [22]: , (6) где C - весовой коэффициент. Наряду с прогибом в каждом поперечном сечении по длине рассматриваемого элемента возникала комбинация из продольной и поперечной силы, а также изгибающего момента [22] ; (7) ; (8) , (9) где q - нагрузка, эквивалентная силе инерции ударяющего тела, Н/м; Н - горизонтальная составляющая растягивающего продольного усилия, Н; QБ(q,x) - функция балочной поперечной силы, H; MБ(q,x) - функция балочного изгибающего момента, H·м. Заметим, что в параметры функций силовых факторов входили нагрузка, являвшаяся эквивалентом силы инерции ударяющего тела, и распор - горизонтальная составляющая растягивающего продольного усилия, поскольку данные величины принадлежали к числу неизвестных на момент решения задачи. Для создания возможности построить эпюры внутренних усилий определялись тригонометрические функции угла между касательной к линии, описывающей деформированное состояние изгибно-жесткой нити и осью абсцисс [22]: ; (10) . (11) Вместе с тем вычислялись функции балочной поперечной силы и балочного изгибающего момента [23; 24]: ; (12) , (13) где b - ширина зоны соударения, м; с - расстояние от центра зоны соударения до опоры B, м; xb - абсцисса центра зоны соударения, м. Нормальные напряжения, возникающие в наиболее удаленных от нейтральной оси волокнах сечений нити конечной жесткости, связывались с внутренними усилиями зависимостями: ; (14) . (15) В качестве целевой функции выступала потенциальная энергия деформации в рассматриваемом элементе [20; 25]: , (16) где E - модуль упругости материала, Па; i - безразмерный коэффициент, характеризующий форму поперечного сечения; G - модуль сдвига, Па. При этом накладывалось четыре ограничения. 1. Условие прочности [26]: , (17) где - значение функции нормальных напряжений в заданном сечении с абсциссой , Па; Ry - расчетное сопротивление материала, Па. 2. Условие неразрывности деформаций [27]: , (18) где L0 - длина до действия поперечного удара, м; - упругая деформация, м; - длина в деформированном состоянии, м. 3. Условие сохранения энергии: . (19) Предполагалось, что кинетическая энергия ударяющего тела полностью переходит в работу по изменению положения изгибно-жесткой нити [28]. 4. Условие ортогональности невязки к базисной функции [22]: . (20) Для раскрытия условия неразрывности деформаций (18) применялись уравнения для определения длины нити конечной жесткости до и после взаимодействия с ударяющим телом, а также выражение для определения величины упругой деформации: ; (21) ; (22) . (23) После того как постановка задачи оптимизации сформулирована, она решалась общеизвестным численным методом, а именно методом множителей Лагранжа. Затем по нижепредставленным выражениям определялись коэффициент динамичности и время соударения: ; (24) , (25) где g - ускорение свободного падения, м/с2. 3. Результаты и обсуждение Для верификации разработанного метода сопоставлялись данные, полученные в ходе вычислительного эксперимента, проведенного в программном комплексе ЛИРА версии 10.10 релиз 2.4, и результаты, рассчитанные с помощью предложенной процедуры численного моделирования. Программный комплекс ЛИРА - это многофункциональная система компьютерного моделирования, расчета, исследования и проектирования на все возможные виды статических нагрузок, температурных, деформационных и динамических воздействий объектов строительства, машиностроения, мостостроения, атомной энергетики, нефтедобывающей промышленности и многих других сфер, где актуальны методы строительной механики. Предоставляет возможность производить расчеты объектов с учетом физической, геометрической и конструктивной нелинейности. Позволяет исследовать общую устойчивость рассчитываемой модели, проверить прочность сечений элементов по различным теориям разрушений. В качестве объекта исследования выступала прямолинейная f0 = 0 м нить конечной жесткости, выполненная из стального профиля в виде кольца с отношением внутреннего к внешнему диаметру k = 0,6. Расчетное сопротивление материала Ry = 650 МПа. Конструкция закреплялась на шарнирно-неподвижных опорах u = 0 м/Н, расположенных в одной плоскости β = 0 град на расстоянии l = 6 м друг от друга. Поперечный удар осуществлялся посередине пролета xb = 3 м телом массой m = 3,5 т, движущимся со скоростью 5 км/ч. Ширина взаимодействия составляла b = 1 м. При заданных исходных данных в результате проведенного расчета методом, представленным в данной работе, определены внутренний d = 49,83 мм и внешний D = 83,06 мм диаметры кольцевого профиля. При этом моделирование велось исходя из того, что абсцисса максимально нагруженного сечения, где нормальные напряжения в крайних волокнах ограничивались расчетным сопротивлением материала, совпадала с серединой пролета объекта исследования. Наряду с этим определены значения времени соударения t = 0,077 c, а также равномерно-распределенной нагрузки q = 63,09 кН/м, являвшейся эквивалентом силы инерции, возникшей при поперечном ударе телом с заданной массой и скоростью движения. Вместе с тем построены эпюры максимальных, минимальных нормальных напряжений и прогибов, представленные соответственно на рис. 2, а, 3, а, и 4, а. В настоящее время решение обратных задач в динамической постановке с учетом геометрической нелинейности не реализовано в программных комплексах, в основу которых положен метод конечных элементов с прямым интегрированием уравнений движения по времени, и система автоматизированного проектирования и расчета ЛИРА тому не исключение. В связи с этим в указанном программном комплексе при моделировании ударного воздействия и геометрических характеристик сечения использовались значения, найденные на предыдущем этапе. Изгибно-жесткая нить задавалась 20 геометрически нелинейными конечными элементами стержня сильного изгиба - тип 309. Конечно-элементная модель в законченном виде представлена на рис. 5. В результате вычислительного эксперимента, проведенного в коммерческой системе компьютерного моделирования, построены эпюры максимальных и минимальных нормальных напряжений, а также полных линейных перемещений, отраженные соответственно на рис. 2, б, 3, б, и 4, б. Представленные распределения указанных величин по длине рассчитываемого элемента, возникшие при поперечном ударе, являлись экстремальными и соответствовали моменту времени t = 0,0768 c от начала соударения. Для дальнейшего формулирования выводов об истинности результатов, получаемых методом, представленным в данном исследовании, предельные значения параметров, характеризующих напряженно-деформированное состояние объекта исследования и в свою очередь принятых за основные критерии оценки, сведены в таблицу. В таблице более существенные расхождения в максимальных значениях нормальных напряжений вызваны тем, что в использованном для верификации программном комплексе динамическую нагрузку можно задать исключительно на узлы как функцию силы от времени. В связи с этим в месте приложения сосредоточенной нагрузки наблюдаются пиковые значения. МПа / MPa а Напряжение σ max (МПа) / Stress σ max (MPa) Главный вид / Main view ПК ЛИРА / PC LIRA б Рис. 2. Эпюра максимальных нормальных напряжений: а - предложенный метод; б - метод конечных элементов И с т о ч н и к: выполнено Д.А Тарасовым Figure 2. Plot of maximum normal stresses: а - proposed method; б - finite element method S o u r c e: made by D.A. Tarasov МПа / MPa а Напряжение σ min (МПа) / Stress σ min (MPa) Главный вид / Main view ПК ЛИРА / PC LIRA б Рис. 3. Эпюра минимальных нормальных напряжений: а - предложенный метод; б - метод конечных элементов И с т о ч н и к: выполнено Д.А. Тарасовым Figure 3. Plot of minimum normal stresses: а - proposed method; б - finite element method S o u r c e: made by D.A. Tarasov мм / mm а Перемещение, полное линейное / ЛСК) (мм) / Displacement, full linear / LCR, (mm) Главный вид / Main view ПК ЛИРА / PC LIRA б Рис. 4. Эпюра полных линейных перемещений: а - предложенный метод; б - метод конечных элементов И с т о ч н и к: выполнено Д.А. Тарасовым Figure 4. Plot of total linear displacements: a - proposed method; б - finite element method S o u r c e: made by D.A. Tarasov Динамическая нагрузка (узловые силы). Отметка Z = 0 / Dynamic load (nodal forces) Mark Z =0 t:309; Кольцо / CHS (83.06х49.83) ГЛАВНЫЙ ВИД / MAIN VIEW ПК ЛИРА / PC LIRA Рис. 5. Конечно-элементная модель нити конечной жесткости И с т о ч н и к: выполнено Д.А. Тарасовым Figure 5. Finite element model of a cable of finite stiffness И с т о ч н и к: выполнено Д.А. Тарасовым Предельные значения нормальных напряжений и перемещений / Limit values of normal stresses and displacements Критерий оценки / Evaluation criteria Предложенный метод / The proposed method МКЭ / FEM Расхождение значений, % / Difference in values, % Максимальные нормальные напряжения, МПа / Maximum normal stresses, MPa 650/168,5 713/171 9,69/1,48 Минимальные нормальные напряжения, МПа / Minimum normal stresses, MPa - 313,4/168,5 - 371/171 18,53/1,48 Максимальные перемещения, мм / Maximum displacement, mm 108,2 116,2 7,39 И с т о ч н и к: выполнено Д.А. Тарасовым / S o u r c e: made by D.A. Tarasov С помощью предложенного подхода по решению задач оптимального проектирования проведено исследование влияния на площадь и геометрические характеристики сечения такого конструктивного параметра профиля, выполненного в виде кольца, как отношение внутреннего к внешнему диаметру. С этой целью для данного соотношения в диапазоне значений от 0 до 0,9 последовательно решен ряд задач с исходными данными, заданными на этапе верификации предложенного метода. Отметим, что при значении, равном нулю, указанного соотношения кольцо вырождается в круг, а при величине, стремящейся к единице, - в кольцевое сечение с бесконечно малой толщиной стенки. В связи с этим значения от 0,9 до 1,0 в исследовании не рассматривались, поскольку сечения с такими соотношениями внутреннего к внешнему диаметру являются тонкостенными и неконструктивными с точки зрения возможного появления местного смятия в местах приложения кратковременной динамической нагрузки. Анализ зависимостей, представленных на рис. 6, показывает, что с увеличением соотношения внутреннего к внешнему диаметру площадь поперечного сечения снижается и достигает своего минимума при k = 0,8. Внутренний и внешний диаметры, мм / Inner and outer diameters, mm Площадь, см2 / Area, cm2 Отношение внутрененнего к внешнему диаметру: Inner to outer diameter ratio: Рис. 6. График изменения геометрических характеристик сечения И с т о ч н и к: выполнено Д.А. Тарасовым Figure 6. Graph of changes in the geometric characteristics of the section S o u r c e: made by D.A. Tarasov Оценку несущей способности нити конечной жесткости вели в общем виде через коэффициент использования прочности сечения, причем раздельно для двух составляющих нормальных напряжений, вызванных соответственно осевым растяжением и изгибом. При этом сам коэффициент использования прочности являлся безразмерной относительной величиной, которая есть соотношение нормальных напряжений в сечении к расчетному сопротивлению материала. На рис. 7 представлены зависимости, из которых следует, что с увеличением соотношения внутреннего к внешнему диаметру влияние на несущую способность осевой силы растет, а изгибающего момента падает. Данный факт наблюдается вплоть до достижения значения k = 0,7. При этом поведение изгибно-жесткой нити под действием нагрузки все больше начинает походить на работу гибкой нити, способной сопротивляться исключительно растяжению. Однако по достижении значения k = 0,8 наблюдается резкий рост влияния изгибающего момента и такое же резкое падение значимости как силового фактора осевого растяжения. Своим поведением нить конечной жесткости становится похожей на однопролетную шарнирно закрепленную балку. Коэффициент использования прочности от растяжения / Tensile strength utilization factor Коэффициент использования прочности от изгиба / Bending strength utilization factor Отношение внутрененнего к внешнему диаметру: Inner to outer diameter ratio: Рис. 7. График изменения коэффициентов использования прочности сечения И с т о ч н и к: выполнено Д.А. Тарасовым Figure 7. Graph of changes in the coefficients of utilization of section strength S o u r c e: made by D.A. Tarasov Наряду с несущей способностью одними из основных критериев, характеризующих работу рассматриваемого элемента по восприятию кратковременной динамической нагрузки, являются его деформативность и коэффициент динамичности. Оценку способности изгибно-жесткой нити сопротивляться внешнему воздействию, а также чувствительности к возникающим при этом деформациям вели с помощью относительного прогиба, измеряемого в процентах и равного отношению прогиба в максимально нагруженном сечении к длине пролета рассчитываемого элемента. В свою очередь коэффициент динамичности являлся критерием, показывающим, во сколько раз кратковременная динамическая нагрузка, вызванная поперечным ударом телом с заданной массой и скоростью движения, больше чем вес того же тела, приложенный в виде статической нагрузки. Из графиков, представленных на рис. 8, видно, что с увеличением соотношения внутреннего к внешнему диаметру кольца вплоть до значения k = 0,7 происходит рост относительного прогиба и пропорциональное снижение коэффициента динамичности. Данный результат вызван изменением жесткости в меньшую сторону и подтверждает тот факт, что рассматриваемый элемент все больше проявляет в своей работе по восприятию динамического воздействия признаки гибкой нити. Однако после достижения соотношения k = 0,8 наблюдается резкое изменение поведения изгибно-жесткой нити, обусловленное таким же резким ростом жесткости. При этом относительный прогиб снижается, а коэффициент динамичности растет. На данном этапе объект исследования под действием ударной нагрузки повторяет работу жесткого балочного элемента. Коэффициент динамичности / Dimamic coefficient Относительный прогиб, % / Relative deflection, % Отношение внутрененнего к внешнему диаметру: Inner to outer diameter ratio: Рис. 8. График изменения коэффициента динамичности и относительного прогиба И с т о ч н и к: выполнено Д.А. Тарасовым Figure 8. Graph of change in the dynamic coefficient and relative deflection S o u r c e: made by D.A. Tarasov 4. Заключение 1. Разработан метод, позволяющий ставить и решать задачи по поиску оптимальных параметров кольцевого профиля нити конечной жесткости, работающей по восприятию поперечного удара телом с заданной массой и скоростью в первоначальный момент взаимодействия. 2. Проведена верификация предложенной технологии моделирования задач оптимального проектирования. Выявленные расхождения в значениях принятых критериев оценки истинности получаемых результатов укладываются в допустимые погрешности решения инженерных задач. 3. С помощью разработанного метода проведены исследования и выявлено, что изгибно-жесткая нить, выполненная из стального профиля с поперечным сечением в виде кольца, с увеличением соотношения внутреннего к внешнему диаметру становится по характеру своей работы, подобна гибкой нити. Данное явление наблюдается до определенного значения указанного соотношения. Затем происходит резкое изменение в поведении, и нить конечной жесткости при действии поперечного удара приобретает черты работы шарнирно опертой однопролетной балки. Отметим, что указать точное значение соотношения внутреннего к внешнему диаметру кольца, когда поведение максимально подобно, а также меру этого подобия не представляется возможным. Данное обстоятельство обусловлено физико-механическими и геометрическими характеристиками изгибно-жесткой нити, а также характером и местом приложения нагрузки.

About the authors

Denis A. Tarasov

Penza State Technological University

Author for correspondence.
Email: tda82@list.ru
ORCID iD: 0000-0001-7685-0325
SPIN-code: 7690-5877

Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Automation and Control

1a/11, Baydukova proezd/Gagarina St, Penza, 440039, Russian Federation

References

Supplementary files