Systems of Approximating Functions when Using Variational Methods for Calculating Thin-Walled Building Structures

Full Text

1. Введение Вариационные методы Ритца и Б.Г. Галеркина (полуаналитические методы) находят большое применение при расчетах тонкостенных строительных конструкций (балка, плита, оболочка) [1-4]. Приближенное решение для этих методов берется в виде суммы произведений неизвестных числовых параметров и известных аппроксимирующих функций. Аппроксимирующие функции должны удовлетворять главным краевым условиям. Естественные краевые условия при решении задачи будут удовлетворяться автоматически. Однако если аппроксимирующие функции удовлетворяют еще и естественным краевым условиям, то процесс сходимости приближенного решения к точному убыстряется. По сравнению с методом конечных элементов (МКЭ) применение вариационных методов позволяет для определения функций перемещений получать систему алгебраических уравнений, порядок которой сравнительно мал. А иногда для получения достаточной точности достаточно в разложении искомых функций по аппроксимирующим функциям брать всего один член. Условие полноты систем аппроксимирующих функций гарантирует сходимость приближенного решения к точному, поэтому применение вариационных методов может быть использовано для обоснования точности решений, полученных МКЭ. Наиболее часто в качестве аппроксимирующих функций используют тригонометрические функции [5-8]. Они обладают хорошей наглядностью, но для непериодических решений обладают худшей сходимостью, чем алгебраические функции. Описанию различных аппроксимирующих функций посвящено несколько публикаций. Самый полный перечень аппроксимирующих функций, удовлетворяющих самым разнообразным краевым условиям, дается в работе В.З. Власова [9]. В 40-50-х гг. прошлого столетия большую популярность при расчете тонкостенных строительных конструкций получили вариационные методы: метод Б.Г. Галеркина, метод Власова - Канторовича, метод Ритца. Первоначально для цилиндрических и призматических оболочек В.З. Власов на основе применения функций поперечных колебаний балок разработал аппроксимирующие функции для различных видов граничных условий. Общий аналитический метод решения краевых задач по теории цилиндрических оболочек открытого профиля основан на применении к интегрированию дифференциальных уравнений оболочки в частных производных фундаментальных функций поперечных колебаний балки. Эти функции в методе В.З. Власова определяются по граничным условиям, заданным на поперечных криволинейных краях оболочки и должны удовлетворять однородному дифференциальному уравнению ∂4X 0, где λ =n Rmn , l и однородным граничным условием, заданным на краях α = 0 и α = α1 = 1/R. О.Д. Ониашвили распространил применение вариационного метода на класс пологих оболочек двоякой кривизны, что дает возможность приближенного решения статических и динамических задач при произвольных граничных условиях, заданных на контуре [10]. Рассматривались уравнения в смешанной форме. Искомые функция напряжений в срединной поверхности оболочки Φ(x, y) и функция прогиба W(x, y) О.Д. Ониашвили были представлены в виде сумм произведения неизвестных числовых параметров и двух известных функций, одна из которых зависит от переменной x, а вторая зависит от y. И для задания этих функций использовались линейные комбинации фундаментальных функций поперечных колебаний балки, заведомо удовлетворяющих заданным граничным условиям, причем не только главным граничным условиям, но и естественным. Напомним, что эту методику О.Д. Ониашвили предлагал в 1949 г. Эта методика решения вариационных задач с успехом применяется и сейчас, только ужесточились требования, предъявляемые к аппроксимирующим функциям. Они должны удовлетворять еще и условиям полноты в рассматриваемом энергетическом пространстве. Это условие гарантирует сходимость приближенного решения к точному. Под вариационным методом в работе О.Д. Ониашвили понимается применение метода Б.Г. Галеркина к уравнениям в смешанной форме. Для разных форм закрепления краев оболочки выписываются фундаментальные функции (системы функций). Так как принимается Φ(x y, ) = Amnϕmn ; m n W x y( , ) = Bmnwmn , m n и, кроме того, ϕmn = Xn ( )x Ym ( )y ; wmn = χn ( )x Ψm ( )y , то для различных видов закрепления краев оболочки находятся функции Xn ( )x Y, m ( )y ,χn ( )x ,Ψm ( )y из комбинаций фундаментальных функций Zn ( )α = c1sin(λ α +n ) c2 cos(λ α +n ) c sh3 (λ α +n ) c ch4 (λ αn ); Zm ( )β = C1sin(μ βm ) + C2 cos(μ βm ) + C sh3 (μ βm ) + C ch4 (μ βm ). Эти функции являются соответственными решениями дифференциальных уравнений ZnIV ( )α =α4nZn ( )α ; ZmIV ( )β = μm4 Zm ( )β . В этих уравнениях αn и μm - некоторые параметры, связанные в задаче о колебаниях балки с частотой собственных колебаний. Произвольные постоянные c и C определяются из условий опирания концов простой балки. С начала 60-х годов прошлого столетия появились более четкие требования к аппроксимирующим функциям. Они должны удовлетворять главным краевым условиям, любая их последовательность должна быть линейно независимой, и они должны быть полны в рассматриваемом энергетическом пространстве. Последнее требование обеспечивает сходимость приближенного решения к точному. К работам этого направления можно отнести работы С.Г. Михлина [11], Н.И. Ахиезера [12], И.К. Даугавета [13] и др. Построению аппроксимирующих функций посвящено несколько публикаций (Г.Р. Коперник и В.В. Петров [14], В.Н. Филатов [15], В.П. Ильин и В.В. Карпов [16], П.А. Бакусов и А.А. Семенов [17] и др.). В данной работе будет показано, к каким ошибкам может привести использование в качестве аппроксимирующих функций, удовлетворяющих краевым условиям, но не обладающих условием полноты. Основой же данной публикации являются составленные из многочленов Лежандра аппроксимирующие функции для различных краевых условий, удовлетворяющих всем требованиям, предъявляемым к ним. 2. Теория и методы 2.1. Погрешность, к которой приводит использование аппроксимирующих функций, удовлетворяющих краевым условиям, но не обладающих условием полноты Тригонометрические функции, используемые в строительной механике в качестве аппроксимирующих функций, обладают хорошей наглядностью, но могут не удовлетворять условиям полноты. В качестве примера рассмотрим расчет балки длиной 4 м, жестко закрепленной на концах и находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки q. Уравнение равновесия такой балки примет вид EJW IV - q = 0. (1) Известно точное решение задачи W x( )= q (x4 -8x3 +16x2 ). 24EJ Используя метод Б.Г. Галеркина, найдем приближенное решение уравнения (1) при краевых условиях W ( )0 =W ′( )0 = 0; W ( )4 =W ′( )4 = 0. (2) Аппроксимирующие функции возьмем в виде (4- x)2 x2+i; i = 0,1, 2,.... Такая система функций, как описана в работе С.Г. Михлина [11], является полной в рассматриваемом пространстве. Возьмем первое приближение W x( ) =W1(4- x)2 x2. В соответствии с методом Б.Г. Галеркина для определения W1 имеем уравнение 04 24W1 - EJq (16x2 -8x3 + x4)dx = 0, q откуда W1 = . 24EJ Следовательно, W x( ) = q (x4 -8x3 +16x2), (3) 24EJ что совпадает с точным решением W ( )0 =W ( )4 = 0; W ( )2 = 0,666⋅ q . EJ Найдем вторую производную W(x), которая выражает изгибающий момент в балке и является важной характеристикой ее НДС: W′′( )x = q (12x2 - 48x + 72 .) (4) 24EJ Теперь W′′( )0 =W′′( )4 = 3⋅ q , W′′( )2 = q . (5) EJ EJ В строительной механике для расчета плит и оболочек часто используются в качестве аппроксимирующих функций тригонометрические функции. Так, при жестко закрепленных концах при x = 0, x = 4 используются функции (2i -1)πx 2 sin . 4 Эти аппроксимирующие функции не обладают условием полноты, но удовлетворяют краевым условиям (2). W x( ) =W1sin2 . 4 В этом случае приближенное решение будет иметь вид W x( ) = q 644 sin2 π4x. EJ π Здесь W ( )0 =W ( )4 = 0; W ( )2 = 0,657⋅ q , EJ что близко к точному решению. Найдем вторую производную от полученного решения: (6) W′′( )x = EJq π82 cos 24πx. Теперь (7) W′′( )0 =W′′( )4 = 0,81⋅ q ; W′′( )2 = -0,81⋅ q , (8) Возьмем первое приближение πx EJ EJ что существенно отличается от точного решения. Таким образом, применение тригонометрических функций, не обладающих условиями полноты, при расчете строительных конструкций вариационными методами, при кажущейся высокой точности в значениях перемещений, в моментах может привести к существенным ошибкам. 2.2. Аппроксимирующие функции, составленные из многочленов Лежандра Как уже говорилось ранее, полнота системы аппроксимирующих функций гарантирует сходимость приближенного решения, полученного вариационными методами Ритца или Б.Г. Галеркина, к точному решению. Полнота системы функций {sin π ηj }, j =1,2,... доказана в работе Н.И. Ахиезера [12], системы функций {ω η η( ) j-[4]}; j =1,2,... в работе Л.В. Канторовича и В.И. Крылова [18], системы функций 2 j +1η (η-t P) j (2t -1)dt , j =1,2,... , (9) 0 где Pj ( )η - многочлены Лежандра, в работе С.Г. Михлина [11]. В работе Н.К. Даугавета [13] показано, что аппроксимация многочленами непериодических функций дает более быструю сходимость по сравнению с тригонометрической аппроксимацией. Сконструируем системы аппроксимирующих функций из алгебраических многочленов для некоторых видов граничных условий. Наиболее удобными для этой цели являются многочлены Лежандра [19; 21], образующие на отрезке [-1, 1] полную систему функций. В [21] описаны многочлены Лежандра, заданные на отрезке [0, 1] и образующие на нем полную систему функций. В работе Д.С. Кузнецова1 приводятся многочлены Лежандра Pn ( )x , заданные на отрезке [-1, 1] и равные 1 или -1 на концах отрезка. Эти полиномы определяются формулой Родрига Pn ( )x = n1 dnn (x2 -1)n . 2 n dx! Также многочлены Лежандра в качестве аппроксимирующих функций используются в работах [22-27]. Г. Корн и Т. Корн приводят рекуррентную формулу2 для определения ортогональных многочленов Лежандра Pn+1( )x = xPn ( )x + xn2+-11⋅ dPdxn ( )x . (10) Эти многочлены заданы на отрезке [-1, 1] и на концах отрезка принимают значения 1 или -1. Эти многочлены образуют на отрезке [-1, 1] полную систему функций. Вот некоторые из них: P0 =1; P x1( ) = x; P x2( ) = 1(4x2 -1); P x3( ) = 2x3 - x; P x4( ) = 1(16x4 -12x2 +1); 3 5 P x5( ) = (16x5 -16x3 +3x); P x6( ) = x6 - x4 + x2 - . 3 3 6 3 32 32 Будем рассматривать смещенные многочлены Лежандра (11) Pn ( )x = Pn+1( )x - Pn-1( )x ; n =1,2,... . Эти многочлены будут равны нулю при x = -1 и x =1. Получим некоторые из них: P x2( ) = 1(4x2 - 4); P x3( ) = 2x3 - 2x; P x4( ) = 1 (48x4 -56x2 +8); 3 15 (12) P x5( ) = 1(16x5 - 22x3 + 6x); P x6( ) = 16 11 x6 - 44 x4 +187 x2 - 11 . (13) 1 16 11 7 23 1 3 3 6 15 160 160 Перейдем от отрезка [-1, 1] к отрезку [0, 1], сделав замену ξ = x +1 или x = 2ξ -1. Теперь мно- 2 гочлены примут вид P 4 2 1 4 1 ; P 2 8 12 4 8 2 3 1 ; P 24 48 29 5 ; P 64 160 138 47 5 ; . (14) 3 6 6 30 15 40 3⋅ 32 15⋅ На рис. 1 приведены графики этих многочленов. 2 Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). Москва : Наука, 1973. 832 с. Рис. 1. Смещенные многочлены Лежандра И с т о ч н и к: выполнено В.В. Карповым Figure 1. Shifted Legendre Polynomials S o u r c e: made by V.V. Karpov Эти многочлены при ξ = 0 и ξ =1 равны нулю. От отрезка [0, 1] можно перейти к отрезку [0, a], если сделать замену ξ = y; 0 ≤ y ≤ a. a Например: P2( )ξ = 163 ξ ξ -( 1) = 163 a ay y -1 = 316a2 y y( - a); P3( )ξ = ξ ξ - ξ+ =8 (2 2 3 1) 8 y 2 ay22 -3ay + =1 a83 y(2y2 -3ya + a2); a 32 4 ξ3 + 29ξ2 -5ξ = 32 y4 P4 ( )ξ = 15(24ξ -48 ) 15 24 a4 -48 ay33 + 29 ay22 -5 ay = = 324 (24y4 - 48y a3 + 29y a2 2 -5ya3). 15a Многочлены (14), заданные на отрезке [0, 1] и равные нулю на концах этого отрезка, могут быть использованы для аппроксимации перемещений U ( )ξ и V ( )ξ , если край конструкции закреплен жестко или шарнирно-неподвижно, а для аппроксимации прогиба W ( )ξ из них необходимо также сконструировать аппроксимирующие функции, удовлетворяющие заданным краевым условиям. Теперь из многочленов (14) получим аппроксимирующие функции, удовлетворяющие условиям W ( )0 = 0; W ′( )0 = 0; W ′′( )1 = 0; W ′′′( )1 = 0. (15) Эти условия означают, что при ξ = 0 край жестко закреплен, а при ξ =1 - свободен. Рассмотрим P2( )ξ = ξ ξ( -1 .) Эта функция удовлетворяет условию W ′′′( )1 = 0, но и W ′′′( )0 = 0, а это не требуется, поэтому примем W1′′′2 ( )ξ = (ξ -1 .) Проинтегрируем это соотношение: W1′′2 ( )ξ =16 ξ22 -ξ+C1 . 3 Используя условие W1′′2 ( )1 = 0, найдем C1 =1/ 2. Далее W1′2 ( )ξ =16 ξ63 - ξ22 + 12ξ+C2 . 3 Используя условие W1′2 ( )0 = 0, найдем C2 = 0. Далее получим ξ =16 ξ4 W12 ( ) 24 - ξ63 + ξ42 +C3 . 3 Используя условие W12 ( )0 = 0, найдем C3 = 0. Следовательно, ξ = 16 ξ4 W12 ( ) 24 - ξ63 + ξ42 . 3 Поступая аналогичным способом, и используя многочлены (14), далее получаем W13 ( )ξ = 4 ξ5 -ξ4 + 4ξ3 + 2ξ2; 15 3 3 W14 ( )ξ = 32 1 ξ6 - 4ξ5 + 29ξ4 - 5ξ3 + 1 ξ2 ; 15 5 5 24 6 4 W15 ( )ξ = 8 32 ξ7 - 8 ξ6 + 23ξ5 - 47 ξ4 + 5ξ3 - 3 ξ2 ; 3 105 6 10 24 6 20 W16 ( )ξ = 16 22 ξ8 -16 11⋅⋅ ξ7 +15 301474⋅ ξ6 -15 15748⋅ ξ5 + 80 121771⋅ ξ4 - 48 377⋅ ξ3 + 80 211⋅ ξ2 . 3 63 15 7 Аппроксимирующие функции, удовлетворяющие условиям (15), приведены на рис. 2, а. Используя многочлены (14), получим аппроксимирующие функции для W ( )ξ , удовлетворяющие краевым условиям при ξ= 0 и ξ=1: Wn ( )0 =Wn′′( )0 = 0; Wn ( )1 =Wn′′( )1 = 0. (16) Эти краевые условия соответствуют шарнирно-неподвижному закреплению краев. Примем W2′′1 ( )ξ = 16(ξ2 - ξ). 3 Проинтегрируем это соотношение два раза W2′1 ( )ξ = 16 ξ33 - ξ22 +C1 ; 3 W21 ( )ξ = 16 12ξ4 - ξ63 +C1ξ+C2 . 3 Из условия W21 ( )0 = 0 находим C2 =0, из условия W21 ( )1 = 0 находим C1 =1/12. Следовательно, W21 ( ) 12 - ξ63 +12ξ . ξ = 16 ξ4 3 Поступая аналогичным способом, используя многочлены (14), далее получаем W22 ( )ξ =8 ξ5 - ξ4 + ξ3 - ξ ; 10 4 6 60 W23 ( )ξ = 1532 4 5 ξ6 -12ξ55 + 2912ξ4 -5ξ63 + 601 ξ ; W24 ( )ξ = 8 32 ξ -7 16ξ36 + 6910ξ5 - 4712ξ4 + 56ξ +3 C1ξ +C2 . 3 21 Аппроксимирующие функции, удовлетворяющие условию (16), приведены на рис. 2, б. а б Рис. 2. Аппроксимирующие функции: а - при жестком (левый край) и свободном (правый край) закреплении; б - при шарнирно-неподвижном закреплении И с т о ч н и к: выполнено В.В. Карповым Figure 2. Approximating functions: а - with fixed support (left edge) and free end (right edge); б - with pinned supports S o u r c e: made by V.V. Karpov Используя многочлены (14), получим аппроксимирующие функции для W(ξ), удовлетворяющие условиям W ( )0 =W ′( )0 = 0; W ( )1 =W ′′( )1 = 0, (17) то есть при ξ = 0 край жестко защемлен, а при ξ = 1 закреплен шарнирно-неподвижно. Примем W P AP A При этом условие W31′′ ( )1 = 0 выполняется. Проинтегрируем W31′′ ( )ξ два раза: W31′ ( )ξ = 16 ξ22 -ξ + 8A 23ξ -3 32ξ +ξ +2 C1; 3 W31 ( )ξ = 16 ξ63 - ξ22 +8A 122 ξ -4 63ξ +3 ξ22 +C1ξ+C2. 3 Из условия W ′( )0 = 0 находим C1 = 0, а из условия W ( )0 = 0 находим C2 = 0. Используя условие W ( )1 = 0 , находим A: 16 1 - 1 +8A 1 - 1 + 1 = 0; 3 6 2 6 2 2 A = ; Окончательно получим W31( )ξ = (2ξ4 -5ξ3 + 3ξ2). Поступая аналогичным способом, используя многочлены (14), далее получаем W32( )ξ = 24ξ5 - 212ξ4 + 206ξ3 - 22ξ2 = 2 12ξ5 -106ξ4 +103ξ3 -11ξ2 ; 7 21 21 7 7 3 3 W 4 8 . 15 20 6 2 45 3 30 2 6 2 Аппроксимирующие функции, удовлетворяющие условиям (17), показаны на рис. 3, а. Если конструкция при ξ = 0 и ξ = 1 жестко закреплена, то есть аппроксимирующие функции должны удовлетворять условию W ( )0 =W ′( )0 = 0; W ( )1 =W ′( )1 = 0 , то, как было уже сказано ранее, в качестве аппроксимирующих функций, удовлетворяющих условиям полноты [11], можно принять Wi ( ) (ξ = 1-ξ)2 ⋅ξ2+i; i =0, 1, 2, а также используя многочлены (14) P 1 ; P 8 2 3 1 ; P 24 48 29 5 ; P 64 160 138 47 5 , получим выражения W41( )ξ = ξ2(ξ -1)2 ; W42( )ξ = ξ8 2(2ξ - ξ+2 3 1)2; W43( )ξ =(24ξ4 - 48ξ3 + 29ξ2 -5ξ)2 ; W44( )ξ =(64ξ5 -160ξ4 +138ξ3 - 47ξ2 + 5ξ)2. Вид этих аппроксимирующих функций показан на рис. 3, б. а б Рис. 3. Аппроксимирующие функции: а - при жестком (левый край) и шарнирно-неподвижном (правый край) закреплении; б - жестком закреплении И с т о ч н и к: выполнено В.В. Карповым Figure 3. Approximating functions: а - with fixed (left edge) and pinned (right edge) supports; б - with fixed support S o u r c e: made by V.V. Karpov 3. Результаты и обсуждение Некоторые примеры использования аппроксимирующих функций, обладающих условием полноты Теперь проанализируем некоторые аппроксимирующие функции, составленные из многочленов Лежандра, которые образуют полную систему функций в рассматриваемом пространстве. Эти функции заданы на отрезке [0, 1], поэтому точное решение для балки при соответствующих формах закрепления концов будем находить для отрезка [0, 1]. Рассмотрим шарнирно-неподвижное закрепление на концах балки. Должны выполняться краевые условия W ( )0 =W ′′( )0 = 0; W ( )1 =W ′′( )1 = 0. (18) Общее решение уравнения IV - q = 0 (19) W EI будет иметь вид q x4 x3 x2 W x( ) = + C1 + C2 + C x C3 + 4. (20) EI 24 6 2 При этом q x3 x2 W x′( ) = + C1 + C x C2 + 3; EI 6 2 q x2 W′′( )x = + C x C1 + 2; (21) EI 2 W′′′( )x = q x + C1. EI Частное решение, удовлетворяющее краевым условиям (18), примет вид W x( ) = q x2 - x + 2x . (22) EI ⋅12 Аппроксимирующие функции для этого вида закрепления краев конструкции, составленные из многочленов Лежандра, будут иметь вид (первый член системы функций) ϕ1( )x = 3 6⋅ 2 - x3 + 2 . Примем W x( ) =W1 1ϕ ( )x и найдем решение уравнения (19). Значение W1 найдем из условия, откуда 1 16 x24 - x3 + 2x dx = 0. 0 3 616 12W - EIq 18 ⋅ 1 Таким образом, W1 = q 18. EI ⋅1216 Следовательно, (23) 16 x4 x W x EI ⋅12 2 x 2 , что совпадает с точным решением (22). Рассмотрим еще один вид закрепления краев конструкции (24) W ( )0 =W ′( )0 = 0; W ′′( )1 =W ′′′( )1 = 0. (25) ( ) = q x - + x В этом случае частное решение уравнения (19) при краевых условиях (25) примет вид q x4 x3 x2 W x( ) = 24 - 6 + 4 . (26) EI Первый член системы аппроксимирующих функций для этого вида закрепления краев конструкции, составленной из многочленов Лежандра, имеет вид 16 x4 x3 x2 ϕ1( )x = 24 - 6 + 4 . (27) 3 Примем W x( ) =W1 1ϕ ( )x и найдем решение уравнения (19). Значение W1 найдем из условия 10 16W1 - q 16 24x4 - x63 + x42 dx = 0. 3 EI 3 Отсюда W1 = q 3 . EI 16 Следовательно, q x4 x3 x2 W x = - + ( ) EI 24 6 4 . (28) Функция (28) совпадает с (26), то есть приближенное решение, найденное, когда аппроксимирующие функции составлены из многочленов Лежандра, совпадает с точным решением. 4. Заключение Представленные исследования показали, что нельзя использовать в качестве аппроксимирующих функции, удовлетворяющие заданным краевым условиям, но не удовлетворяющие условиям полноты. Возможно, такая аппроксимация дает хорошие результаты в перемещениях, но в моментах приводит к существенным погрешностям. 1. Для формирования аппроксимирующих функций наиболее удобными являются ортогональные многочлены Лежандра, для которых доказано выполнение условий полноты. 2. На основе смещенных многочленов Лежандра получены аппроксимирующие функции, удовлетворяющие всем требованиям, предъявляемым к ним.

About the authors

Vladimir V. Karpov

Saint Petersburg State University of Architecture and Civil Engineering

Author for correspondence.
Email: vvkarpov@lan.spbgasu.ru
ORCID iD: 0000-0001-7911-4067
SPIN-code: 7406-9199

Doctor of Technical Sciences, Professor of the Department of Information Systems and Technologies

4, 2-nd Krasnoarmeiskaja St, St.Petersburg, 190005, Russian Federation

References

Supplementary files