Estimation of the Influence of Surface Soil Layers on the Parameters of Maximum Reaction Spectra

Full Text

1. Введение В современных нормативных документах разных стран исходное сейсмическое воздействие задается в виде движения «свободного поля» скального или достаточно жесткого грунта [1; 2]. Этому движению соответствуют сглаженные спектры максимальных реакций (спектры ответов), достаточно консервативные для учета неопределенностей возможных будущих сейсмических воздействий. При построении спектров ответов учитывается влияние местных грунтовых условий на форму и параметры расчетных спектров. Как правило, мягкие поверхностные слои грунта изменяют спектральный состав [3], при этом увеличиваются амплитуды и продолжительность колебаний грунта (рис. 1). Для учета этого усиления грунты подразделятся на категории в зависимости от скоростей распространения поперечных волн и для каждой категории определяются поправочные коэффициенты. Рекомендуется: «При учете местных грунтовых условия строительной площадке обычно учитывают материал глубиной до нескольких сотен футов (обычно) - 30 м - более или менее распространенное значение»1. Рис. 1. Усиление колебаний в поверхностных слоях грунта И с т о ч н и к: выполнено Ш.А. Хуссейн Figure 1. Amplification of vibrations in surface soil layers S o u r c e: made by Sh.A. Hussein В частности, в европейских нормах по расчету сооружений на сейсмостойкость EN 1998-1: 200412 грунты подразделяются на следующие типы: A, B, C, D, E, S1 и S2. Одна из основных характеристик грунта - это скорость распространения поперечной волны - волны сдвига. Грунты типа S1 или S2 - это отложения, состоящие или содержащие слой не менее 10 м из мягких глин со скоростями распространения поперечных волн менее 100 м/с. Для каждого типа грунта при построении расчетных спектров реакций задаются поправочные коэффициенты. Рис. 2. Расчетный спектр реакций NEHRP 1998 и спектры реакций Loma Prieta на участках с глубокими мягкими слоями грунтов Figure 2. Calculated spectrum of reactions NEHRP 1998 and spectra of Loma Prieta reactions in areas with deep soft soil layers И с т о ч н и к / S o u r c e: ICC IBC (2003): International Building Code. 2003. URL: ttps://archive.org/details/gov.law.icc.ibc.2003/ page/ n93/ mode/2up (accessed: 12.08.2024) Средняя скорость поперечной волны vs,30 должна быть вычислена в соответствии с выражением vs,30 = 30 , (1) h i=1, N vi где hi и νi означают толщину (в метрах) и скорость распространения поперечной волны (с уровнем деформаций сдвига 10-5 или меньше) для i-й формации или слоя при общем количестве слоев N. Для площадок с грунтовыми условиями, характеризующимися наличием одного или обоих типов грунта S1 или S2, рекомендуется выполнять специальные дополнительные исследования для определения параметров сейсмических воздействий. При землетрясении Loma Prieta 1989 г. спектры колебаний в районах с мощными мягкими слоями грунтов существенно превысили существующие в то время расчетные спектры (рис. 2), что побудило ввести категорию грунтов F, для которых требуется специальный анализ вместо упрощенного, учитывающего 30-метровую толщу. 21EN 1998-1. Eurocode 8: Design of structures for earthquake resistance. 2004. URL: https://www.phd.eng.br/wp-content/ uploads/2015/02/en.1998.1.2004.pdf (accessed: 12.08.2024). 2. Исходные уравнения и обоснованные упрощения Дифференциальные уравнения движения сплошной среды имеют следующий вид [4]: λδi j (uk,k ) + μ(ui j, + u j i, ) - σi j = 0; (2) σi j i, -ρu&&j = - f j; i j k, , =1, 2,3, (3) где λ и μ - параметры Лямэ; ρ - плотность материала среды; δi j - символ Кронекера δi j =1 при i = j, δi j = 0 при i ≠ j. По повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Продифференцировав выражение (2) xi и подставляя полученные выражения для напряжений в уравнения (3), получим уравнения теории упругости в перемещениях: μu j ii, + λ +μ( )ui jj, -ρu&&j = - f j i j, =1, 2,3. (4) Так как расстояния от источников землетрясений до строительной площадки велики (порядка десяти и сотни километров) [5] сейсмические волны можно считать плоскими, что существенно упрощает дифференциальные уравнения. Ввиду того, что время прихода продольных и поперечных волн отличается, воздействия продольных и поперечных волн можно рассматривать независимо (рис. 3). Волны, генерируемые в источнике, распространяются во всех направлениях, проходя сквозь слои грунта, отражаются, преломляются и трансформируются. Согласно закону Снелла [6], путь распространения становится почти вертикальным при достижении поверхности земли (рис. 4). Поэтому будем рассматривать волны, падающие вертикально на горизонтальные слои. Рис. 3. Типичная сейсмограмма, фиксирующая продольные (Р-волны), поперечные (S-волны) и поверхностные (Surface) волны И с т о ч н и к: выполнено Ш.А. Хуссейн Figure 3. Typical seismogram recording longitudinal (P-waves), transverse (S-waves) and surface waves S o u r c e: made by Sh.A. Hussein Рис. 4. Траектория распространения сейсмических волн от источника до поверхности И с т о ч н и к: выполнено Ш.А. Хуссейн Figure 4. Trajectory of seismic wave from the source to the surface S o u r c e: made by Sh.A. Hussein Обозначим вертикальную координату x1 = x и горизонтальную х2 = у. При таких обоснованных предположениях вместо системы уравнений (4) можно использовать уравнение ∂2uy ∂2uy μ ∂x2 = ρ ∂t2 (5) для описания распространения поперечных волн сдвига и уравнение (λ + μ2 )∂∂2xu2x = ρ ∂∂2tu2x (6) для описания распространения продольных волн. В дальнейшем будут рассматриваться только поперечные волны, поэтому для обозначения поперечных перемещений будет использоваться обозначение u без индексов. Таким образом, u - горизонтальное перемещение частиц грунта, х - локальная вертикальная координата с началом координат на верхней границе верхнего слоя: μ ∂∂2u2 = ρ ∂∂2tu2 . (7) x При оценке параметров волн, распространяющихся в грунтах, необходимо учитывать демпфирование [7; 8]. Как показывают многочисленные исследование, рассеяние энергии при динамическом нагружении грунтов хорошо описывается частотно независимым гистерезисным демпфированием [9-11]. Коэффициент демпфирования, определяющий внутреннее трение при циклических нагружениях, зависит от отношения рассеянной энергии к потенциальной энергии (рис. 5): Ер ξ = , (8) 2πЕп где Ер - энергия, рассеянная за один цикл; Еп - потенциальная энергия, соответствующая амплитуде деформации за тот же цикл; ξ - относительный коэффициент демпфирования. Рис. 5. Схема для определения демпфирования (петля гистерезиса) И с т о ч н и к: выполнено Ш.А. Хуссейн Figure 5. Schematic for damping determination (Hysteresis Loop) S o u r c e: made by Sh.A. Hussein 3. Дифференциальное уравнение колебаний верхнего слоя грунта и полупространства в обобщенных функциях Для дальнейшего анализа воспользуемся методом решения задач теории упругости, основанным на свойствах изображений Фурье финитных функций, предложенным Е.Н. Курбацким в 1995 г. [12]. Определение: Финитными функциями называются функции, тождественно равные нулю вне ограниченного интервала. 3.1. Уравнение для верхнего слоя Для получения финитной функции U x t( , ) на интервале (0; h) умножим функцию u x t( , ) на функцию, равную единице при 0 ≤ x ≤ h и равную нулю вне этого интервала, которую можно представить в виде разности двух ступенчатых функций Хэвисайда: U x t( , )=u x t( , ) θ -θ -( )x (x h) . (9) Финитная функция U x t( , )совпадает с функцией u x t( , ) на интервале 0 ≤ x ≤ hи тождественно равна нулю вне этого интервала. Дважды продифференцировав произведение (9) по пространственной координате, получим ∂2 ∂2 + δ - -u h t( , ) (δ′ x - h) + u' 0,( t) ( )δ x -u h t'( , ) (δ x - h). (10) Используя выражение (10), представим уравнение колебаний верхнего слоя грунта в виде финитной на интервале (0; h) функции ω ω - iβω1 u%1 (0,ω +) μ11 τ%1 (0,ω +) iβω1 u h%1 ( ,ω)eiβ1h -μ11 τ%1 (h,ω)eiβ1h = 0; ω β1 u%1 (0,ω +) μ11 τ%1 (0,ω -) iβω1 u h%1 ( ,ω)e-iβω1h -μ11 τ%1 (h,ω)e-iβω1h = 0. (14) i Приведем уравнения к более удобному виду, умножив все члены уравнений на модуль сдвига и разделив на (iω): ωω -ρβ1 1 1u% (0,ω +) τ%1 0ω,ω +ρβ1 1 1u h% ( ,ω)eiβ1h -τ%1 iω,ω eiβ1h = 0; i ρβ1 1 1% (0,ω +) τ%1 i0ω,ω -ρβ1 1 1u h% ( ,ω)e β1 - %1 iω,ω e-iβω1h = 0. (15) -i ω h τ u При таком представлении уравнений в выражениях появляются акустические жесткости ρ β1 1 , от которых зависят параметры преломленных и отраженных волн. 3.2. Уравнение для полупространства Для получения дифференциального уравнения, описывающего колебания грунта для полупространства в виде функции, тождественно равной нулю при x < h, тогда x = h - координата границы верхнего слоя и полупространства, воспользуемся следующим выражением: ∂2 ∂2 , ' , . (16) Имеем , , . (17) Применив преобразование Фурье по времени ипространственной координате к уравнению (17): -u%%2 (ν ω, ) ν -2 ω2 = -( )iν u%2 (h,ω)ei hυ + μ12 τ%2 (h,ω)ei hυ . (18) Изображения Фурье функций перемещений определяются выражением %%2 (ν ω =-, ) - ν( )i u%2 (h,ω)ei hυ +μ12 τ%2 (h,ω)ei hυ . u (19) ν -2 ωβ222 Получим зависимость для касательных напряжений и перемещений на границе полупространства. Для этого приравняем числитель уравнения (19) к нулю при одном из корней знаменателя. Отметим, что при учете демпфирования (параметр β∗комплексный, β =∗ β(1+ iξ) корни знаменателя не лежат на действительной оси, а расположены в верхней и нижней полуплоскостях (рис. 6). Рис. 6. Схема расположения полюсов уравнения (19) на комплексной плоскости v И с т о ч н и к: выполнено Ш.А. Хуссейн Figure 6. Schematic of the location of the poles of equation (18) on the complex plane S o u r c e: made by Sh.A. Hussein Для тождественного равенства нулю функции перемещений u2 (x,ω) для упругого полупространства при х < h необходимо приравнять числитель выражения (19) нулю при v = - . При таком условии не будет полюса в верхней полуплоскости, поэтомуu2 (x,ω), определяемая интегралом по контуру CR, будет равна нулю. Из этого условия следует , , . (20) Подставляя выражение (20) в (15) и учитывая равенство напряжений и перемещений на границе сред, получим ω ω i h i h -ρ β1 1 1u% 0,ω + 1 +ρ β1 1 1u% (h,ω)e β1 +ρ β2 2u%2 (h,ω)e β1 = 0; ρ β1 1 1u% (0,ω +) τ%1((0ω,)ω) -ρ β1 1 1u% (h,ω)e-iβω1h +ρ β2 2u%2 (h,ω)e-iβω1h = 0. (21) i Полученные уравнения позволяют определить перемещения на границе раздела сред от нагрузки на верхней свободной поверхности и затем, используя теорему взаимности, определить перемещения свободной поверхности от нагрузки на границе раздела, которая задается падающей волной. Для решения системы уравнений (21) воспользуемся правилом Крамера, в котором решение системы уравнений определяется с использованием определителей: =. Определитель системы уравнений имеет следующий вид: i ω h i ω h -i h i h -ρ βρ β1 11 1 - ρ β ρ β1 11 1ee β1βω1 +ρ β-ρ β22 22eeβ-1iβω1 h ρ β1 1 e βω1 -e βω1 -ρ β2 2 e-iβω1h + eiβω1h . (22) D == ρ β1 1 -i h Определитель, полученный заменой элементов столбца неизвестных свободными членами: -ρ β1 1 - D1 == ρ β2 1 1 τ%1((0,)ω). (23) iω ρ β1 1 - В результате имеем u%2 (h,ω =) - τ2%1 (0,ω) . (24) i ω h -i ω h i ω h -i ω h (iω ρβ) 1 1 e β1 -e β1 +ρ β2 2 e β1 +e β1 3.3. Теорема взаимности Теорема взаимности, впервые сформулированная Бетти в 1872 г. и впоследствии доказанная Рэлеем в 1873 г. (см. [5]), широко используется в различных научных областях: в акустике, электротехнике, теории упругости. Существуют различные формы этого принципа, устанавливающего зависимость между источниками возмущений и реакциями на эти возмущения. А в нашем случае наиболее удобной считаем формулировку теоремы, изложенной в работах [13-15]: Если приложенная в некоторой точке Р ограниченной неоднородной анизотропной упругой среды сосредоточенная сила, имеющая направление и временную зависимость f(t), создает в некоторой другой точке Q смещение, компонента которого в направлении β равна u(t), то приложение той же самой силы f(t) в точке Q в направлении β вызовет смещение в точке Р, проекция которого на направление совпадает с u(t). В соответствии с этой теоремой выражение (24) перепишем в виде u%1 (0,ω =) ω - τ-i2ω%h2 ( h,ω) i ω h -i ω h . (25) i h (iω ρβ) 1 1 e β1 -e β1 +ρ β2 2 e β1 +e β1 Учитывая зависимость между напряжениями иперемещениями (20), получим u%1 (0,ω =) i ω h -2iρ βω2h 2u%2 (h,ω ) i ω h -i ω h . (26) ρβ1 1 e β1 -e β1 +ρ β2 2 e β1 +e β1 Выражение для коэффициента, учитывающего влияние поверхностного слоя на параметры волн, падающих на границу раздела сред, определяется выражением K( )ω = u%1 ((0,ω)) = 2ρ β2 2 . (27) u%2 h,ω ρβ1 1 iβω1h -e-iβω1h +ρ β2 2 eiβω1h +e-iβω1h e Используя формулу Эйлера, заменим показательные функции тригонометрическими K( )ω = u%1(0,ω) = 2ρβ2 2 . (28) u%2(h,ω) ρβ2 2 cos ω h+iρβ1 1sin ω h+ β1 β1 Если в выражении (28) положить равными нулю члены, соответствующие отраженным от свободной поверхности волнам и не учитывать сдвиг во временив, выражение (28) превратится в хорошо известное уравнение Цеппритца, описывающее распространение волн через границу двух сред с разными акустическими свойствами: K = . (29) 4. Результаты 4.1. Зависимости коэффициентов усиления колебаний от параметров коренной породы, поверхностного слоя грунта и толщины слоя Приведем графики, характеризующие зависимости коэффициентов усиления колебаний от параметров коренной породы, поверхностного слоя грунта и толщины слоя. На рис. 7 представлены графики для грунтов со следующими характеристиками: - параметры нижнего слоя, коренной породы ρ =2 2000 кг/м3; β =2 800 м ; ξ = 0,05; сек - параметры верхнего слоя ρ1 =1600 кг/м3; β =1 200 м/с; ξ = 0,25. На рис. 8 представлены графики для грунтов со следующими характеристиками: - параметры нижнего слоя, коренной породы ρ =2 2000 кг/м3, β =2 800 м , ξ = 0,05; сек - параметры верхнего слоя ρ =1 1500 кг/м3, β =1 120 м/сек, ξ = 0,1 ;2 - параметры верхнего слоя ρ =1 1650 кг/м3, β =1 200 м/сек, ξ = 0,1 ;2 - параметры верхнего слоя ρ =1 1800 кг/м3, β =1 400 м/сек, ξ = 0,1 .2 Рис. 7. Графики коэффициентов передачи колебаний К для поверхностных слоев грунта толщинами 10, 30 и 50 м И с т о ч н и к: выполнено Ш.А. Хуссейн Figure 7. Graphs of vibration transmission coefficients K for surface layers of soil thicknesses of 10, 30 and 50 m S o u r c e: made by Sh.A. Hussein Рис. 8. Графики коэффициентов передачи колебаний К для поверхностных слоев грунта толщиной 30 м И с т о ч н и к: выполнено Ш.А. Хуссейн Figure 8. Graphs of vibration transmission coefficients K for surface layers of soil thicknesse 30 m S o u r c e: made by Sh.A. Hussein 4.2. Пример определения коэффициентов усиления колебаний грунта для условий Сирийской Арабской Республики В Сирийской Арабской Республике при разработке национальных норм в течение многих лет в качестве основы использовался Единый Строительный кодекс UBC. Позднее после появления в 2000 г. последней версии UBC используется Международный Строительный Кодекс IBC3.2 В соответствии с Международным строительным кодексом IBС вся территория страны разделена на регионы, в которых заданы максимальные ускорения на коренных породах. Максимальные ускорения определяются из условия 2 % с вероятностью непревышения в течение 50 лет. 32IBC, International Building Code Council, Washington, DC, 2015. URL: https://codes.iccsafe.org/content/IBC2015P4 (accessed: 12.08.2024). Для каждого региона, в соответствии с документом IBС, задаются два значения спектров максимальных ускорений в двух контрольных точках. Одно значение максимального расчетного ускорения для малых периодов SS и второе значение для периода, равное 1 секунде S1. Эти ускорения, приведенные на картах сейсмического районирования, соответствуют ускорениям на коренных породах, поэтому для учета локальных инженерно-геологических условий необходимо использовать поправочные коэффициенты. На рис. 9 представлены спектры максимальных ускорений, в которых используются расчетные спектры, определяемые выражениями SDs = 2 SMS и SD1 = 2 SM1 ; 3 3 SMS = F Sa S и SM1 = FV S1. (30) Рис. 9. Спектры максимальных реакций (ускорений) по нормам IBC Figure 9. Maximum reaction (acceleration) spectra according to IBC norms И с т о ч н и к / S o u r c e: IBC 2015. IBC, International Building Code Council, Washington, DC, 2015. URL: https://codes.iccsafe.org/content/IBC2015P4 (accessed: 12.08.2024) Отметим, что ܨ௔ - коэффициент, учитывающий усиление колебаний в области постоянных максимальных ускорений, а коэффициент ܨ௏ учитывает усиление колебаний в области постоянных максимальных скоростей на спектре, представленном на трехкоординатном спектре [16; 17]. Для границ этих областей приняты следующие обозначения: малый (short) период SS , период, равный 1 с S1 и продолжительный (long) период Sl. Определим по картам сейсмического районирования43район, в котором расположен город Алеппо, следующие параметры: Ss = 1,254 - максимальное ускорение для малых периодов; S1 = 0,363 - максимальное ускорение для периода, равного 1 с. В качестве примера построим спектр максимальных реакций для района Алеппо для строительной площадки с грунтовыми условиями категории «С» с мощностью поверхностного слоя 30 м. Используя графики, представленные на рис. 8, найдем коэффициенты, учитывающие локальные грунтовые условия и значения спектров реакций в контрольных точках: Fa = 1; FV = 1,5; SMS = F Sa S =1 1,254⋅ и SM1 = F SV 1 =1,5 0,363⋅ -0,5445. Так как функция спектра максимальных реакций на интервале ܶௌ ൑ܶ൑ܶଵ определяется выражением S = SM1 , значение малого периода TS определено следующим образом: T 4 3Syrian Arab Code for Reinforced Concrete +Accessories. URL: https://civteam.wordpress.com/2012/02/17/ (accessed: 12.08.2024). TS = SM1 = 0,5445 = 0,434сек. SMS 1,254 Длительный переходный период задается нормами, примем 8 сек. Значение спектра в контрольной точке Sl определяется выражениемS = SM1 . Для периодов T >Tl функция спектра макси- Tl мальных реакций имеет следующий вид: SM T1 l S = 2 . T Таким образом, получены все необходимые параметры для построения расчетного спектра максимальных реакций в ускорениях с учетом локальных инженерно-геологических условий. График спектра представлен на рис. 10. 0 S T = 8,0 Период, сек . / Period, sec. T T = 1,0 Рис. 10. Расчетный спектр максимальных реакций И с т о ч н и к: выполнено Е.Н. Курбацким, Е.А. Пестряковой, Ш.А. Хуссейн Figure 10. Spectrum of maximum reactions S o u r c e: made by E.N. Kurbatskiy, E.A. Pestriakova, Sh.A. Hussein 5. Заключение 1. Разработана методика, позволяющая учитывать влияние мягких слоев грунта на параметры спектров максимальных реакций. 2. В качестве исходных уравнений используются уравнения механики сплошных сред, современный аппарат обобщенных функций и преобразование Фурье. 3. Все математические преобразования выполняются на основании доказанных теорем, что позволяет получить аналитические выражения функций перемещений, скоростей, ускорений, спектры Фурье и спектры максимальных реакций на границах слоев и на любой глубине. 4. Получено выражение для коэффициентов усиления спектров максимальных реакций поверхностными слоями грунтов, позволяющее более точно оценивать локальные инженерно-геологические условия, учитывая резонансные усиления колебаний поверхности. 5. Приведен пример построения спектров максимальных реакций, учитывающий локальные инженерно-геологические условия для района Алеппо Арабской Сирийской Республики.

About the authors

Evgeny N. Kurbatskiy

Russian University of Transport (MIIT)

Author for correspondence.
Email: dynamic.miit@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-8593-0340
SPIN-code: 8993-9910

Doctor of Technical Sciences, Academician of the Russian Academy of Transport, professor of the Department of Bridges and Tunnels

15 Obraztsova St, GSP-4, Moscow, 127994, Russian Federation

Ekaterina A. Pestriakova

Russian University of Transport (MIIT)

Email: kate.pestriakova@gmail.com
ORCID iD: 0000-0003-3441-1011
SPIN-code: 6339-2821

Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of of the Department of Bridges and Tunnels

15 Obraztsova St, GSP-4, Moscow, 127994, Russian Federation

Shahd A. Hussein

Russian University of Transport (MIIT)

Email: shahdalrmish@yandex.ru
ORCID iD: 0009-0004-8106-9698

PhD student of the Department of Bridges and Tunnels

15 Obraztsova St, GSP-4, Moscow, 127994, Russian Federation

References

Supplementary files