Determination of Optimal Cylindrical Shells in the Form of Second-Order Surfaces

Full Text

1. Введение До настоящего времени самые востребованные тонкие оболочки - это цилиндрические, конические оболочки и оболочки вращения [1]. Историю изучения, развития и успешное применение цилиндрических оболочек в строительстве во всем мире можно отследить по обширной технической литературе. Для строительства разнообразных зданий и сооружений цилиндрической формы применяются различные материалы, такие как металл, кирпичная кладка и железобетон. Поиск математических методов анализа с целью возведения цилиндрических оболочек начал проводиться начиная с 1920-х гг., в особенности в Германии [2]. В 1928 г. в Германии во Франкфурте-наМайне было возведено здание рынка с покрытием, состоящим из параллельно совмещенных полуцилиндров, являющееся ярким примером экспрессионистской архитектуры того времени [3]. Испанский архитектор и инженер Эдуардо Торроха (Eduardo Torroja) также использовал цилиндрические оболочки в его проектах [4]. Архитектурно выразительные цилиндрические своды из кирпичной кладки, разработанные уругвайским инженером Эладио Диесте (Eladio Dieste), объединившим свойства железобетона и кирпича, построены по всей Южной Америке [5; 6]. Статья [7] знакомит с архитектурными достижениями Колумбии XX в. начиная с 1946 г., рассматриваются несколько зданий с железобетонными цилиндрическими покрытиями, часть из которых эксплуатируются до сих пор. В 1951 г. испанский инженер Феликс Кандела (Félix Candela) рассчитал и изготовил свою первую длинную цилиндрическую оболочку для крыши Альмасена (Almacén) в Пизе [8]. В соответствии с запросами практики были разработаны различные аналитические, полуаналитические и численные методы расчета тонкостенных и толстых, одно- и многослойных оболочек из физически линейных и нелинейных конструкционных материалов. Были составлены соответствующие вычислительные компьютерные программы, облегчающие работу проектировщиков. Представлены разнообразные критерии оптимальности для проектируемых тонких оболочек. Цилиндрические оболочки проектируют и строят обычно в форме действительных алгебраических цилиндрических поверхностей второго порядка (эллиптическая, круговая, гиперболическая и параболическая цилиндрические поверхности). В [9] собрана и проанализирована информация о поведении цилиндрических оболочечных конструкций при различных условиях нагружения и работы в машиностроительной промышленности. Имеется много сравнительных расчетов на прочность, устойчивость и колебания цилиндрических оболочек, очерченных по алгебраическим поверхностям второго порядка, но все расчеты проводились для тонких оболочек одного типа [10; 11]. В [12] рассматривается развитие теории устойчивости цилиндрических оболочек, дается обзор текущего состояния и тенденций для дальнейших исследований цилиндрической оболочки, широко используемой в реальном машиностроении. В [13] для металлических цилиндрических корпусов при воздействии взрывоопасной нагрузки предложен инновационный критерий разрушения, учитывающий влияние времени. В [14] представлено исследование с использованием численного моделирования тонкостенного цилиндрического резервуара при различных взрывных нагрузках, учитывающее уровень внутренней жидкости и толщину стенок. В [15], применяя теорию оболочек с деформацией сдвига третьего порядка Редди, приведены численные результаты, показывающие влияние геометрических параметров, свойств материала, дефектов, температуры, видов нагрузок на нелинейную реакцию системы на изгиб и последующую деформацию цилиндрических оболочек. В [16] рассматривается возможность получения оптимальной конструкции металлической цилиндрической оболочки при комбинированном внешнем нагружении, используя многоцелевой критерий оптимальности, удовлетворяющий условию максимально допустимой осевой и кольцевой прочности при минимальной массе закрепленных цилиндров. Целью исследования [17] является изучение влияния свойств материала и конструктивных параметров на изгиб цилиндрических тонкостенных оболочек под действием внешнего гидростатического давления и определение оптимальных характеристик для возможности дальнейшего проектирования. В [18] проведен численный анализ собственных колебаний цилиндрической оболочки с различным поперечным сечением и показано, что несущая способность круглой цилиндрической оболочки намного выше, чем у прямоугольной цилиндрической оболочки. Цель исследования - c помощью программного комплекса [19] на базе метода конечных элементов [20] определить параметры напряженно-деформированного состояния двух эллиптических, круговой, гиперболической и параболической цилиндрических тонких оболочек, имеющих одинаковые габаритные (пролет и стрелу подъема) размеры, постоянные толщины и физико-механические характеристики конструкционного материала оболочек, подверженных действию одинаковой статической внешней нагрузки. Сравнивая полученные результаты расчетов, можно сделать выводы о выборе оптимальной цилиндрической оболочки в форме алгебраической поверхности 2-го порядка, а также сопоставить полученные результаты в цилиндрической оболочке с параболической образующей кривой с выводами ученого В.В. Новожилова [21]. 2. Методы Будем рассматривать тонкостенные оболочки, представленные на рис. 1-5, с размерами в плане - d×L, шириной d = 2 с, с = 5 м, длиной L = 10 м, высотой h = 4 м, толщиной 8 см, находящиеся под действием собственного веса конструкций при условии шарнирно-неподвижного опирания в основании со следующими характеристиками материала оболочек: модуль упругости Еb = 30018,6 МПа, коэффициент Пуассона ν = 0,2. ¡ Параболическая цилиндрическая оболочка (рис. 1) Образующая парабола / Generating parabola y=ax2 ; a = h2 = 0,16 c Рис. 1. Параболическая цилиндрическая оболочка И с т о ч н и к: выполнено В.Н. Ивановым Figure 1. Parabolic cylindrical shell S o u r c e: made by V.N. Ivanov ¡ Эллиптическая цилиндрическая оболочка (рис. 2) Образующая полуэллипс / Generating half-ellipse х = аcosu, y = bsinu, а = с = 5, b = h = 4 Рис. 2. Эллиптическая цилиндрическая оболочка И с т о ч н и к: выполнено В.Н. Ивановым Figure 2. Elliptical cylindrical shell S o u r c e: made by V.N. Ivanov ¡ Эллиптическая цилиндрическая с сектором полуэллипса (рис. 3). Форма усеченного эллипса определяется тремя параметрами а, и, u0. Один из параметров задается, два других определяются в соответствии с параметрами с, h. Принимаем параметр u0 = π/6. Образующая сектор полуэллипса / Generating half-ellipse sector x=acosu ; y=bsinu ; a = c = 5,77 ; b = h =8 cosu0 1-sinu0 Рис. 3. Эллиптическая цилиндрическая оболочка с сектором полуэллипса И с т о ч н и к: выполнено В.Н. Ивановым Figure 3. Elliptic cylindrical shell with a half-ellipse sector S o u r c e: made by V.N. Ivanov ¡ Цилиндрическая поверхность с сектором окружности (рис. 4) Образующая окружность / Generating circle x=acosu ; y=asinu ; x2 + y2 =a2; c2 +(a-h)2 =a2 ; c2 -2ah+h2 =0; a = c2 + h2 =5,125; 2h c o u0 = arccos = 0,221=12,7 a Рис. 4. Цилиндрическая поверхность с сектором окружности И с т о ч н и к: выполнено В.Н. Ивановым Figure 4. Cylindric surface with a circle sector S o u r c e: made by V.N. Ivanov ¡ Гиперболическая цилиндрическая поверхность (рис. 5) Образующая гипербола / Generating hyperbola x=achu ; y =bshu ; a+h=achu0 ; a = h ; u0 = 1; a = 7,36;b = c = 4,26 chu0 -1 shu0 Рис. 5. Гиперболическая цилиндрическая поверхность И с т о ч н и к: выполнено В.Н. Ивановым Figure 5. Hyperbolic cylindrical surface S o u r c e: made by V.N. Ivanov Анализ напряженно-деформированного состояния оболочек (рис. 1-5) выполняется с помощью программы SCAD на базе метода конечных элементов в перемещениях. Для каждой оболочки была создана конечно-элементная математическая модель с разбиением на четырехугольные конечные элементы (КЭ) по криволинейным координатным линиям поверхности в направлении вдоль образующей - криволинейная координатная линия u и вдоль направляющей - v. Количество конечных элементов в расчетной схеме оболочки на рис. 1 - 1240, на рис. 2 - 2400, на рис. 3 - 1760, на рис. 4 - 1880, на рис. 5 - 3200. 3. Результаты и обсуждение На рис. 6-10 представлены результаты расчета рассматриваемых тонких оболочек. Анализ полученных результатов напряженно-деформированного состояния пяти исследуемых оболочек (рис. 1-5) показывает, что в них при действии нагрузки типа собственного веса возникают в основном сжимающие напряжения с локальными растягивающими напряжениями в эллиптической цилиндрической оболочке (рис. 7), круговой цилиндрической оболочке (рис. 9) и гиперболической цилиндрической оболочке (рис. 10) вдоль образующей кривой. Вдоль направляющей оболочек возникают как сжимающие, так и растягивающие нормальные напряжения с увеличением числовых значений сжимающих напряжений в нижних частях оболочек в зонах опор. 3.1. Параболическая цилиндрическая оболочка Вдоль координатной линии u при действии заданного типа нагрузки в параболической цилиндрической оболочке (рис. 6) числовые значения напряжений σ(Nu) при сжатии - от -3,63 до -28,26 т/м2. Напряжения σ(Nu), т/м2 / Stress σ(Nu), t/m2 Напряжения σ(Nv), т/м2 / Stress σ(Nv), t/m2 Изгибающий момент Mu, т·м/м / Bending moment Mu, t·m/m Изгибающий момент Mv, т·м/м / Bending moment Mv, t·m/m Общая деформированная схема / The general deformed scheme Деформации в поперечном направлении / Deformation in the transverse direction Рис. 6. Параболическая цилиндрическая оболочка И с т о ч н и к: выполнено О.О. Алёшиной Figure 6. Parabolic cylindrical shell S o u r c e: made by O.O. Aleshina Вдоль координатной линии v числовые значения напряжений при растяжении от 0,79 до 0,00 т/м2, при сжатии от 0,00 до -5,38 т/м2 с локализацией в опорных зонах. Перемещения в верхней зоне оболочки по вертикали около 1 мм. 3.2. Эллиптическая цилиндрическая оболочка Вдоль координатной линии u при действии заданного типа нагрузки в эллиптической цилиндрической оболочке (рис. 7) числовые значения напряжений σ(Nu) при сжатии от 0,00 до -38,30 т/м2, при растяжении от 26,89 до 0,00 т/м2, с локализацией максимальных растягивающих и сжимающих напряжений в краевых консольных зонах оболочки. Вдоль координатной линии v числовые значения напряжений при растяжении от 1,70 до 0,00 т/м2, при сжатии от 0,00 до -4,00 т/м2 с локализацией в опорных зонах. Перемещения в верхней зоне оболочки по вертикали около 11 мм. Напряжения σ (Nu), т/м2 / Напряжения σ (Nv), т/м2 / Stress σ (Nu), t/m2 Stress σ(Nv), t/m2 Изгибающий момент Mu, т·м/м / Изгибающий момент Mv, т·м/м / Bending moment Mu, t·m/m Bending moment Mv, t·m/m Общая деформированная схема / Деформации в поперечном направлении / The general deformed scheme Deformation in the transverse direction Рис. 7. Эллиптическая цилиндрическая оболочка И с т о ч н и к: выполнено О.О. Алёшиной Figure 7. Elliptic cylindrical shell S o u r c e: made by O.O. Aleshina 3.3. Эллиптическая цилиндрическая с сектором полуэллипса Вдоль координатной линии u при действии собственного веса конструкции в цилиндрической оболочке с полуэллипсом в поперечном сечении (рис. 8) числовые значения напряжений σ(Nu) при сжатии от -5,41 до -21,19 т/м2 с локализацией максимальных напряжений в опорных зонах оболочки. Вдоль координатной линии v числовые значения напряжений при растяжении от 0,42 до 0,00 т/м2, при сжатии от 0,00 до -3,85 т/м2 с локализацией в опорных зонах. Перемещения в верхней зоне оболочки по вертикали около 1,7 мм. Напряжения σ(Nu), т/м2 / Stress σ(Nu), t/m2 Напряжения σ(Nv), т/м2 / Stress σ(Nv), t/m2 Изгибающий момент Mu, т·м/м / Bending moment Mu, t·m/m Изгибающий момент Mv, т·м/м / Bending moment Mv, t·m/m Общая деформированная схема / The general deformed scheme Деформации в поперечном направлении / Deformation in the transverse direction Рис. 8. Эллиптическая цилиндрическая с сектором полуэллипса И с т о ч н и к: выполнено О.О. Алёшиной Figure 8. Elliptic cylindrical with a half-ellipse sector S o u r c e: made by O.O. Aleshina Напряжения σ(Nu), т/м2 / Stress σ(Nu), t/m2 Напряжения σ(Nv), т/м2 / Stress σ(Nv), t/m2 Изгибающий момент Mu, т·м/м / Bending moment Mu, t·m/m Изгибающий момент Mv, т·м/м / Bending moment Mv, t·m/m Общая деформированная схема / The general deformed scheme Деформации в поперечном направлении / Deformation in the transverse direction Рис. 9. Цилиндрическая поверхность с сектором окружности И с т о ч н и к: выполнено О.О. Алёшиной Figure 9. Cylindric surface with a circle sector S o u r c e: made by O.O. Aleshina 3.4. Цилиндрическая поверхность с сектором окружности Вдоль координатной линии u при действии собственного веса конструкции в цилиндрической оболочке с окружностью в поперечном сечении (рис. 9) числовые значения напряжений σ(Nu) при сжатии от 0,00 до -26,02 т/м2 с локализацией максимальных напряжений в опорных и консольных краевых зонах оболочки, при растяжении от 8,20 до 0,00 т/м2 с концентрацией в консольных краевых зонах нижней части оболочки. Вдоль координатной линии v числовые значения напряжений при растяжении от 0,95 до 0,00 т/м2, при сжатии от 0,00 до -3,94 т/м2 с локализацией в опорных зонах. Перемещения в верхней зоне оболочки по вертикали около 5,2 мм. 3.5. Гиперболическая цилиндрическая оболочка Вдоль координатной линии u при действии собственного веса конструкции в гиперболической цилиндрической оболочке (рис. 10) числовые значения напряжений σ(Nu) при сжатии от 0,00 до -31,88 т/м2 с локализацией максимальных напряжений в консольных краевых зонах нижней части оболочки, при растяжении от 8,21 до 0,00 т/м2 с концентрацией в консольных краевых зонах верхней части оболочки. Вдоль координатной линии v числовые значения напряжений при растяжении от 1,04 до 0,00 т/м2, при сжатии от 0,00 до -5,46 т/м2 с локализацией в опорных зонах. Перемещения в верхней зоне оболочки по вертикали около 2,1 мм. Напряжения σ(Nu), т/м2 / Stress σ(Nu), t/m2 Напряжения σ(Nv), т/м2 / Stress σ(Nv), t/m2 Изгибающий момент Mu, т·м/м / Bending moment Mu, t·m/m Изгибающий момент Mv, т·м/м / Bending moment Mv, t·m/m Общая деформированная схема / The general deformed scheme Деформации в поперечном направлении / Deformation in the transverse direction Рис. 10. Гиперболическая цилиндрическая оболочка И с т о ч н и к: выполнено О.О. Алёшиной Figure 10. Hyperbolic cylindrical shell S o u r c e: made by O.O. Aleshina Впервые проведен сравнительный расчет пяти тонких оболочек на действие статической нагрузки типа собственного веса. Все типы оболочек имеют одинаковые габаритные размеры: размеры в плане, высоту и толщину оболочки. Установлено следующее: 1. Наименьшие (максимальные) тангенциальные напряжения возникают в эллипсоидальной оболочке с неполным полуэллипсом. 2. Наименьшие (максимальные) изгибные и суммарные напряжения возникают в параболической цилиндрической оболочке. 3. Суммарные (максимальные) напряжения в эллипсоидальной оболочке с неполным полуэллипсом превышают напряжения в параболической оболочке на 25 %. 4. Изгибные и суммарные (максимальные) напряжения в других типах оболочек значительно превышают аналогичные значения в параболической цилиндрической оболочке. 4. Заключение В результате проведенного исследования следует отметить следующее. 1. Определены параметры образующих кривых цилиндрических оболочек, обеспечивающих заданные габариты оболочки. 2. Проведены расчеты цилиндрических оболочек с пятью типами образующих кривых на действие собственного веса оболочки. 3. Показано, что в цилиндрической оболочке с параболической образующей кривой возникают наименьшие (максимальные) напряжения, что подтверждает выводы ученого В.В. Новожилова. 4. В строительных конструкциях также могут использоваться эллипсоидальные цилиндрические оболочки с неполным полуэллипсом. 5. В цилиндрических оболочках с полным полуэллипсом возникают значительные опорные нормальные к поверхности реакции, что приводит к увеличению изгибающих моментов.

About the authors

Vyacheslav N. Ivanov

RUDN University

Email: i.v.ivn@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-4023-156X
SPIN-code: 3110-9909

Doctor of Technical Sciences, Professor of the Department of Construction Technology and Structural Materials, Engineering Academy

6 Miklukho-Maklaya St, Moscow, 117198, Russian Federation

Olga O. Aleshina

RUDN University

Author for correspondence.
Email: xiaofeng@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-8832-6790
SPIN-code: 8550-4986

Candidate of Technical Sciences, Assistant of the Department of Construction Technology and Structural Materials, Engineering Academy

6 Miklukho-Maklaya St, Moscow, 117198, Russian Federation

Evgeny A. Larionov

RUDN University

Email: evgenylarionov39@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-4906-5919

Doctor of Technical Sciences, Professor of the Department of Construction Technology and Structural Materials, Engineering Academy

6 Miklukho-Maklaya St, Moscow, 117198, Russian Federation

References

Supplementary files