Оценка выбора модели метода конечных элементов для расчета балок на основе распределения касательных напряжений

Полный текст

1. Введение В соответствии с современными требованиями российского законодательства выполнение проектных работ1, в случае необходимости проведения их экспертизы, должно выполняться в виде цифровой информационной модели2. Прочностной анализ строительных конструкций выполняется на ЭВМ в программных комплексах, основанных на методе конечных элементов (МКЭ). С математической точки зрения, МКЭ точным методом расчета не является [1-6]. Существует множество численных исследований для изучения поведения железобетонных балок при силовых, температурных воздействиях; балок с повреждениями; балок, усиленных внешним армированием; балок с новыми видами арматуры. В работе [7] авторами произведена оценка остаточной несущей способности железобетонных балок после пожара при помощи программного комплекса ABAQUS методом конечных элементов, была построена термодинамическая модель железобетонных балок с тремя сторонами, подвергающихся воздействию огня. Модель была подтверждена результатами испытаний на огнестойкость, расхождение между результатами эксперимента и расчета составило 10-18 %. Исследование [8] посвящено анализу железобетонных балок, усиленных композитами из армированного волокнами полимера (углепластика и стеклопластика), на устойчивость к изгибающим и сдвигающим нагрузкам. Анализ был проведен с помощью метода конечных элементов и программного обеспечения ABAQUS, которое широко используется для моделирования экспериментальных условий в численных исследованиях. Работа [9] посвящена нелинейному моделированию конечных элементов для прогнозирования прочности железобетонных балок с трещинами (поврежденных балок) и балок, усиленных композитами. Смоделировано испытание на изгиб семи железобетонных балок в программе конечных элементов для проверки стратегий моделирования путем сравнения структурной реакции балок. Точность моделирования в среднем составила 18,5 %. В исследовании [10] представлен подход к моделированию методом конечных элементов для проверки поведения поврежденных железобетонных балок, усиленных волокнистыми композитами, при воздействии нагрузки. Наличие трещин в поврежденных железобетонных балках было включено в модель в качестве геометрических объектов. Были проведены параметрические исследования, и для различных уровней повреждений были предложены адекватные значения ширины, высоты и интервала трещин. Для моделирования поведения бетона и эпоксидной смолы были использованы модель поврежденной пластичности бетона и модель отделения от бетона. Для численного анализа применялся программный пакет ABAQUS. Авторы [11] представили результат нелинейного исследования методом конечных элементов для повышения прочности на сдвиг железобетонных Т-образных балок с помощью альтернативной диагональной поперечной арматуры. В [12] трехмерная (3D) нелинейная конечно-элементная модель внешнего соединения балок и колонн проверяется, а затем используется для изучения пластичности соединения балок и колонн. В работе [13] предложена модель для анализа повреждений бетона. В ходе исследования [14] оценивалось поведение железобетонных балок, усиленных пластинами из углеродного волокна, при изгибе с использованием четырeх трехмерных нелинейных конечноэлементных моделей, разработанных в программном обеспечении ABAQUS. Прогнозирование поведения на сдвиг железобетонной балки, усиленной поперечным внешним преднапряжением, выполнено авторами исследования [15] с помощью метода конечных элементов. Результаты, полученные методом конечных элементов, отличаются от результатов испытаний в среднем на 8-10 %. Результаты рассмотренных исследований [7-15] показывают, что на точность моделирования влияют такие параметры, как плотность сетки, угол расширения и модель поведения бетона (энергия разрушения бетона), а также подчеркивают необходимость усовершенствования моделей МКЭ. С целью доказательства правильности полученного решения необходимо выполнять верификационные расчеты3,5оценивать сходимость результата, выполнять инженерную оценку полученного решения [16-17]. 35ГОСТ Р 57700.10-2018. Численное моделирование физических процессов. Определение напряженно-деформиро- ванного состояния. Верификация и валидация численных моделей сложных элементов конструкций в упругой области. Москва : Стандартинформ, 2018. К контролю качества проектирования установлены минимальные требования4,6отмечается необходимость выполнения проверки того, что использованы адекватные расчетные модели, а сами расчеты проведены с необходимой точностью. Возникает вопрос о допустимых отклонениях данных, полученных при верификационных вычислениях. За основу можно взять предложение работы [18, с. 134]. При проведении поверочных расчетов конструкций в различных программных комплексах разница между полученными результатами не должна превышать 5 %. Как правило, в зонах несущих строительных конструкций с минимальными запасами, так называемых критических зонах, возникает сложное напряженно-деформированное состояние. Исследование таких мест при помощи метода конечных элементов требует особого подхода с изучением разброса напряжений в смежных элементах узла звезды конечных элементов5.7В критических зонах конструкций необходимо подробно изучать распределение как нормальных, так и касательных напряжений. Одним из примеров критической зоны можно назвать опорный участок безбалочного монолитного железобетонного перекрытия, работающий на продавливание и воспринимающий значительный опорный изгибающий момент. Эти места опасны как по нормальным, так и по касательным напряжениям. Например, по причине неработоспособности опорных зон плоских перекрытий 16 июля 2009 года в г. Коломна после заливки бетона перекрытия второго этажа произошло обрушение перекрытия первого этажа строящегося здания Межрайонного регистрационно-экзаменационного отдела Государственной инспекции безопасности дорожного движения (МРЭО ГИБДД) на ул. Митяево (рис. 1, 2), а в городе Сергиев Посад 4 января 2018 г. колонны сечением 400×400 мм из сборного железобетона проткнули плоское монолитное железобетонное покрытие толщиной 300 мм подземной автостоянки жилого комплекса по ул. Фестивальной (рис. 3, 4). Объект готовился к вводу в эксплуатацию. Обе аварии характеризуются хрупким разрушением опорных зон перекрытий с дальнейшим прогрессирующим обрушением несущих конструкций. Примеры подобных аварий имеются как в России, так и за рубежом [19]. Рис. 1. Обрушение строящегося здания МРЭО ГИБДД в г. Коломна, ул. Митяево И с т о ч н и к: выполнено М.В. Мозголовым, Г.Э. Окольниковой Figure 1. Collapse of the road police driver licencing office building under construction in Kolomna, Mityaevo street S o u r c e: made by M.V. Mozgolov, G.E. Okolnikova Рис. 2. Обрушение строящегося здания МРЭО ГИБДД в г. Коломна, ул. Митяево. Опорный узел перекрытия первого этажа И с т о ч н и к: выполнено М.В. Мозголовым, Г.Э. Окольниковой Figure 2. Collapse of the road police driver licencing office building under construction in Kolomna, Mityaevo Street. Support joint of the first floor slab S o u r c e: made by M.V. Mozgolov, G.E. Okolnikova 46ГОСТ 27751-2014 Надежность строительных конструкций и оснований. Основные положения. Москва : Стандартинформ, 2015. 57ГОСТ Р 57700.10-2018. Численное моделирование физических процессов. Определение напряженно-деформиро- ванного состояния. Верификация и валидация численных моделей сложных элементов конструкций в упругой области. Москва : Стандартинформ, 2018. Рис. 4. Обрушение покрытия подземной парковки Рис. 3. Обрушение покрытия подземной парковки в г. Сергиев Посад, ул. Фестивальная. Опорный узел в г. Сергиев Посад, ул. Фестивальная монолитного покрытия и сборной железобетонной колонны И с т о ч н и к: выполнено М.В. Мозголовым, И с т о ч н и к: выполнено М.В. Мозголовым, Г.Э. Окольниковой Г.Э. Окольниковой Figure 4. Collapse of the underground parking roof Figure 3. Collapse of the underground parking roof in Sergiev Posad, Festivalnaya Street. Support joint in Sergiev Posad, Festivalnaya Street of the cast-in-situ roof and precast reinforced concrete column S o u r c e: made by M.V. Mozgolov, G.E. Okolnikova S o u r c e: made by M.V. Mozgolov, G.E. Okolnikova 2. Материалы и методы Расчет конструкций по МКЭ, основанному на методе перемещений, вначале предполагает определение перемещений узлов конечных элементов, по которым путем дифференцирования получается поле напряжений [5]. Ошибки вычисления перемещений по МКЭ являются неизбежными, это приводит к более грубой ошибке в моментах, и еще более грубой ошибке в поперечных силах [5]. Известно, что чем мельче сетка конечно-элементного разбиения, тем точнее результат по перемещениям и изгибающим моментам. Как правило, он сходится для различных типов конечных элементов. Что касается поперечной силы, такой вывод сделать нельзя (табл. 2.8-1, 2.8-2 [6]). Данная работа является продолжением изучения правильности моделирования балочных конструкций из объемных конечных элементов решения простран- Рис. 5. Напряжения, действующие по граням конечного элемента [8] И с т о ч н и к: выполнено М.В. Мозголовым, Г.Э. Окольниковой Figure 5. Stresses acting along the edges of a finite element [8] S o u r c e: made by M.V. Mozgolov, G.E. Okolnikova ственной задачи теории упругости [20]. Для оценки моделей ранее рассматривались перемещения узлов консольной балки и нормальные напряжения. По полученным данным был сделан вывод, что все конечно-элементные модели дают хороший результат. В данной работе численный эксперимент выполняется на четырех твердотельных моделях консольной балки № 1-4, созданных на основании схем, представленных в пособии [6], и одной «эталонной» модели, предложенной авторами [22], изучается сходимость касательных напряжений τxz, (рис. 5), возникающих от действия поперечной силы Qz = 8 Т. Правильность решения можно оценить при помощи эталонного значения, полученного экспериментальным или аналитическим способами [1-6; 21]. Таким образом, чтобы сделать вывод о сходимости распределения касательных напряжений по сечениям компьютерных моделей, необходимо вычислить их значения по правилам сопротивления материалов. Для квадратного поперечного сечения это можно сделать по формуле Д.И. Жу- равского (1855 г.): Q Sz ⋅ yотс τ = , (1) xz I by ⋅ где τxz - сдвигающее напряжение; Qz - поперечная сила вдоль оси Z; Syотс - статический момент отсеченной части поперечного сечения относительно оси Y; Iy - момент инерции поперечного сечения относительно оси Y; b - ширина поперечного сечения. В нашем случае наибольшие касательные напряжения возникают в середине сечения: maxxz = 3Qz = 3 8⋅ = 48 Т2 , (2) τ 2bh 2 0⋅ ,5⋅0,5 м где h - высота поперечного сечения. Минимальные касательные напряжения возникают на верхней и нижней гранях элемента по причине равенства нулю статического момента отсеченной части поперечного сечения: τminxz = 0. (3) 3. Результаты и обсуждение Для изучения правильности распределения касательных напряжений в компьютерных моделях на полях напряжений τxz «обесцвечиваем» минимальные и максимальные теоретические значения τxz = 0 Т/м2 и τxz = 48 Т/м2 (рис. 6, 8, 10, 12). «Обесцвеченные» зоны показаны черным цветом. Модели представлены таким образом, чтобы посмотреть напряжения внутри конструкции. Изучить сходимость решения по поперечной силе можно, умножая усредненное значение касательных напряжений (рис. 7, 9, 11, 13), действующее по высоте балки, на площадь ее поперечного сечения: Qz =τсредxz .bh. (4) Результаты расчетов представлены в таблице. Рис. 6. Модель № 1. Черным цветом показаны зоны с касательными напряжениями τxz = 0 Т/м2 и τxz = 48 Т/м2 И с т о ч н и к: выполнено М.В. Мозголовым, Г.Э. Окольниковой Figure 6. Model No. 1. Zones with shear stresses τxz = 0 T/m2 and τxz = 48 T/m2 are shown in black S o u r c e: made by M.V. Mozgolov, G.E. Okolnikova Рис. 7. Модель № 1. Значения касательных напряжений τxz в центре конечных элементов, Т/м2 И с т о ч н и к: выполнено М.В. Мозголовым, Г.Э. Окольниковой Figure 7. Model No. 1. Values of shear stresses τxz in the center of finite elements, T/m2 S o u r c e: made by M.V. Mozgolov, G.E. Okolnikova Рис. 8. Модель № 2. Черным цветом показаны зоны с касательными напряжениями τxz = 0 Т/м2 и τxz = 48 Т/м2 И с т о ч н и к: выполнено М.В. Мозголовым, Г.Э. Окольниковой Figure 8. Model No. 2. Zones with shear stresses τxz = 0 T/m2 and τxz = 48 T/m2 are shown in black S o u r c e: made by M.V. Mozgolov, G.E. Okolnikova Рис. 9. Модель № 2. Значения касательных напряжений τxz в центре конечных элементов, Т/м2 И с т о ч н и к: выполнено М.В. Мозголовым, Г.Э. Окольниковой Figure 9. Model No. 2. Values of shear stresses τxz in the center of the finite elements, T/m2 Рис. 10. Модель № 3. Черным цветом показаны зоны с касательными напряжениями τxz = 0 Т/м2 и τxz = 48 Т/м2 И с т о ч н и к: выполнено М.В. Мозголовым, Г.Э. Окольниковой Figure 10. Model No. 3. Zones with shear stresses of τxz = 0 T/m2 and τxz = 48 T/m2 are shown in black S o u r c e: made by M.V. Mozgolov, G.E. Okolnikova Рис. 11. Модель № 3. Значения касательных напряжений τxz в центре конечных элементов, Т/м И с т о ч н и к: выполнено М.В. Мозголовым, Г.Э. Окольниковой Figure 11. Model No. 3. Values of shear stresses τxz in the center of the finite elements, T/m2 S o u r c e: made by M.V. Mozgolov, G.E. Okolnikova Рис. 12. Модель № 4. Черным цветом показаны зоны с касательными напряжениями τxz = 0 Т/м2 и τxz = 48 Т/м2 И с т о ч н и к: выполнено М.В. Мозголовым, Г.Э. Окольниковой Figure 12. Model No. 4. Zones with shear stresses of τxz = 0 T/m2 and τxz = 48 T/m2 are shown in black Рис. 13. Модель № 4. Значения касательных напряжений τxz в центре конечных элементов, Т/м И с т о ч н и к: выполнено М.В. Мозголовым, Г.Э. Окольниковой Figure 13. Model No. 4. Values of shear stresses τxz in the center of the finite elements, T/m2 S o u r c e: made by M.V. Mozgolov, G.E. Okolnikova Изучив поля касательных напряжений τxz, действующих в сечениях компьютерных моделей № 1-4, можно сделать вывод, что их распределение не соответствует теоретическим значениям, вычисленным по правилам сопротивления материалов. Создадим правильную, «эталонную» компьютерную модель [22]. Она будет состоять из густой сетки конечных элементов второго порядка кубической формы с размером ребра 50 мм (тип КЭ 37 библиотеки ВК SCAD++ версии 21 [6]). Поля касательных напряжений τxz в модели представлены на рис. 14. Значения касательных напряжений τxz в центре конечных элементов, расположенных в плоскостях XОZ и YОZ, представлены на рис. 15 и 16. Анализ данных свидетельствует о правильности распределения напряжений по сечениям конструкции. Отклонения от теоретических значений наблюдаются в местах действия сил - нагрузки и опорных реакций. Это объясняется проявлением особенностей, которые называют принципом Сен-Венана [5]. Под словом «эталонная» в работе подразумевается наиболее точная модель, сходимость решений в которой соответствует нормативным требованиям. Конечно, можно создать и еще более точную модель, например, уменьшив сетку конечно-элементного разбиения. В нашем случае размер конечного элемента равен 1/10 характерного размера поперечного сечения конструкции. Рис. 14. «Эталонная» модель. Черным цветом показаны зоны с касательными напряжениями τxz = 0 Т/м2 и τxz = 48 Т/м2 И с т о ч н и к: выполнено М.В. Мозголовым, Г.Э. Окольниковой Figure 14. The “reference” model. Zones with shear stresses τxz = 0 T/m2 and τxz = 48 T/m2 are shown in black of finite elements located in the XOZ plane, T/m2 S o u r c e : made by M.V. Mozgolov, G.E. Okolnikova Рис. 16. «Эталонная» модель. Значения касательных напряжений τxz в центре конечных элементов, расположенных в плоскости YОZ, Т/м2 И с т о ч н и к: выполнено М.В. Мозголовым, Г.Э. Окольниковой Figure 16. The “reference” model. Values of shear stresses τxz in the center of finite elements located in the YOZ plane, T/m2 S o u r c e: made by M.V. Mozgolov, G.E. Okolnikova Значения усредненных касательных напряжений τxz по сечениям компьютерных моделей и вычисленные по ним поперечные силы The values of the averaged shear stresses τxz in the cross sections of computer models and the shear forces calculated from them Модель № 1 / Model No. 1 Модель № 2 / Model No. 2 Модель № 3 / Model No. 3 Модель № 4 / Model No. 4 τxz Т/м2 / T/m2 Q Т / T τxz Т/м2 / T/m2 Q Т / T τxz Т/м2 / T/m2 Q Т / T τxz Т/м2 / T/m2 Q Т / T 32 8 21 5,25 40 10 33,5 8,375 32 8 44 11 - - - - 32 8 35 8,75 32 8 - - 32 8 32 8 - - - - 32 8 31 7,75 28 7 - - 32 8 31 7,75 - - 23 5,75 32 8 31 7,75 29 7,25 - - 32 8 31 7,75 - - - - 32 8 31 7,75 28 7 - - 32 8 31 7,75 - - 24,5 6,125 32 8 31 7,75 - - - - 32 8 31 7,75 28 7 - - 32 8 31 7,75 - - - - 32 8 31 7,75 29 7,25 - - 32 8 31 7,75 - - 25 6,25 32 8 31 7,75 28 7 - - 32 8 30 7,5 - - - - 32 8 29 7,25 29 7,25 - - 32 8 28 7 - - - - 32 8 3 0,75 14 3,5 19,5 4,875 И с т о ч н и к: выполнено М.В. Мозголовым, Г.Э. Окольниковой S o u r c e: made by M.V. Mozgolov, G.E. Okolnikova Из таблицы видно, что при вычислении поперечной силы по действующим касательным напряжениям точной моделью является модель № 1, а самой неточной - модель № 4. 4. Заключение В исследовании произведен численный эксперимент для консольной балки в программном комплексе SCAD++ версии 21 рассмотрены пять твердотельных моделей конечных элементов (модели № 1-4 и «эталонная» модель). Для всех моделей проанализирован характер распределения касательных напряжений и выполнена оценка сходимости решения по поперечной силе. В исследовании произведена оценка выбора модели метода конечных элементов для расчета балок на основе распределения касательных напряжений: 1. Распределение касательных напряжений от действия поперечной силы в сечениях компьютерных моделей № 1-4 не соответствует теоретическим значениям, вычисленным по правилам сопротивления материалов. 2. Для определения поперечной силы по действующим касательным напряжениям можно рекомендовать модель № 1. 3. Для изучения касательных напряжений при помощи твердотельных моделей модели рекомендуется создавать из кубических конечных элементов второго порядка с густой сеткой конечноэлементного разбиения.

Об авторах

Михаил Валентинович Мозголов

Коломенский институт (филиал) Московского политехнического университета

Email: mvmozgolov@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-7414-0469
SPIN-код: 3386-1518

кандидат технических наук, доцент кафедры строительного производства

Коломна, Россия

Галина Эриковна Окольникова

Российский университет дружбы народов; Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: okolnikova_ge@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-8143-4614
SPIN-код: 8731-8713

кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры технологий строительства и конструкционных материалов инженерной академии, Российский университет дружбы народов; доцент кафедры железобетонных и каменных конструкций, Московский государственный строительный университет

Москва, Россия

Список литературы

Дополнительные файлы