Study of Stress-Strain State of Long Cracked Multi-Modulus Strip in Bending in Relation to Crack Formation in Tensile Zone of Concrete

Full Text

1. Введение Конструкционные материалы в процессе эксплуатации испытывают различные нагрузки, вызывающие сжимающие или растягивающие напряжения. Выбор структуры материала зависит от условий эксплуатации элемента сооружения или конструкции, а также от вида нагрузки и сопротивляемости материала в том или ином направлении. Считается, что в некоторых задачах для описания напряженно-деформированного состояния твердого тела может оказаться недостаточно линейного представления Гука. Практика показывает, что во многих случаях различная сопротивляемость конструкционных материалов сжимающим и растягивающим напряжениям зависит даже не от анизотропии свойств конструкции вдоль осей главных напряжений, а скорее от микроповреждений и неоднородностей, расположенных случайно по всему объему материала. Естественно предположить, что наличие микродефектов может сказаться не лучшим образом на «работоспособности» материала, а зачастую приводит его к разрушению раньше предназначенного срока. Все сказанное в полной мере относится к старейшему и, пожалуй, наиболее сложному композиционному материалу - бетону. Разномодульная теория упругости берет свое начало с работ [1-4], относящихся к концу 60-х годов прошлого столетия и спровоцировавших ряд публикаций [5-21], продолжающихся до настоящего времени. В [5; 12] считается, что определяющие соотношения основаны на обобщении клас- сического упругого потенциала, характеризующего зависимость свойств материала от вида напряженного состояния. В этом случае в качестве параметра, характеризующего вид напряженного состояния, предлагается взять отношение среднего напряжения к интенсивности напряжений. Монография [6] посвящена построению обобщенных классических теорий тонкостенных тел, таких как пластины и оболочки, при некоторых предложенных авторам соотношениях упругости для разномодульных тел. Автор отмечает, что для уточнения предложенных теорий и построения корректных механических моделей разномодульных материалов требуются новые экспериментальные исследования. В [7; 8] рассматривается поведение тел из разномодульного материала с позиций теории возмущений. Подобным образом свойства линейных физических соотношений разномодульного материала исследуются в [9]. В [10] предложена конструктивная теория для поперечно-изотропных бимодульных материалов с классом стационарных волновых решений. Работы [11-15] посвящены разработке определяющих соотношений разномодульной теории упругости. Статья [16] посвящена решению задачи определения температурных напряжений в балке. В [17] предложен метод эквивалентного сечения, который используется для преобразования бимодулярной криволинейной балки в классическую с особенным модулем; упрощенное решение для изгибных напряжений определено путем изменения параметров, относящихся к характеристикам сечения. Для получения явного выражения нейтрального слоя используется метод возмущений. После нахождения положения нейтрального слоя метод функции напряжения используется для получения решения для напряжений и перемещений при выполнении граничных условий и условий непрерывности. На основе решения упругости рассматривается задача начальных напряжений в бимодулярном многосвязном теле. Сравнение двух решений показывает, что упрощенное решение очень хорошо согласуется с упругим. Кроме того, также обсуждаются учет касательного напряжения и применение метода эквивалентного сечения в железобетонных криволинейных балках. Результаты показывают, что бимодулярность материалов оказывает определенное влияние на изгибные свойства бимодульной изогнутой балки. В [18] проведен анализ вязкости разрушения двухфазной стали с использованием метода предельной работы разрушения. В [19] на основе классической гипотезы Кирхгофа предложена упрощенная механическая модель, пригодная для решения задач для бимодульных тонких пластин малого прогиба. В [20] представлены результаты численного счета для бимодульной круглой платины. В некоторых работах основная проблема разномодульных задач сводится к обобщению классического упругого потенциала, содержащего две константы (сдвиговой и объемный модули) на среды, разносопротивляющиеся растяжению и сжатию. В экспериментальных работах тем или иным способом разыскиваются модули упругости в сжатой и растянутой зоне тела. Например, в [21] рассмотрена и численно с помощью метода конечных элементов просчитана модель нелинейной упругости, основанная на использовании параметра трехосности для описания вида напряженного состояния материала. Отмечается, что экспериментальные исследования деформирования слоистых композиционных материалов часто показывают сложную зависимость жесткостных и прочностных характеристик от типа нагружения. Утверждается, что учесть подобные эффекты в прикладных расчетах возможно лишь с использованием моделей нелинейной упругости. Трудности, с которыми столкнулись авторы упомянутых работ, заключаются в отсутствии решений теории упругости, с одной стороны, достаточно простых, с другой стороны, свободных от каких-либо априорных гипотез. В настоящей работе на основе непротиворечивого решения уравнений линейной теории упругости [22; 23] для длинной упругой двухслойной полосы из разномодульного материала без какихлибо априорных допущений и предположений об искомых неизвестных находятся все неизвестные задачи и формула для нейтральной линии, разделяющей участки сжатия и растяжения. Решения представляются асимптотическими рядами по малому параметру и вследствие этого являются сходящимися в силу теоремы Банаха о неподвижной точке. 2. Произвольно нагруженная по длинным сторонам двухслойная разномодульная полоса Длинная прямоугольная полоса рассматривается в прямоугольной системе координат х*, z* (рис. 1), так что 0≤ ≤x* l, -h ≤ ≤z* h. Рис. 1. Полоса из разномодульного материала, представленная как двухслойная полоса И с т о ч н и к: выполнено Е.М. Зверяевым Figure 1. A strip of multi-modulus material presented as a two-layer strip S o u r c e: made by E.M. Zveryaev Длинные стороны полосы z* =±h несут произвольную нагрузку, короткие стороны полосы могут быть так или иначе закреплены или тоже нагружены. Известные уравнения плоской задачи теории упругости ; ∂x ∂z ∂z ∂x E ; E ∗ ∂w∗ ∂x , ε =z ∂z∗ , ∂z ∂x , описывающие напряженно-деформированное состояние такой полосы в безразмерных координатах x = x* / l , z = z* / ,h перемещениях u =u* / h, w= w* / h вдоль осей х*, z* соответственно и нормальных σ = σx *x / Eh* , σ = σz *z / Eh* и касательных τ = τ* / Eh* напряжениях (размерные перемещения и напря- жения отмечены звездочкой) принимают вид ∂σz + ετ =′ 0, ∂τ + εσx′ = 0; ∂z ∂z ; ε =z ∂w , ε = εx u′, γ = ∂u + εw′ . (1) ∂z ∂z Здесь E - безразмерный модуль упругости, определенный формулой E∗ = E z E( ) h*, где Eh*- некоторое значение модуля Юнга или какое-либо другое подходящее по размерности и смыслу значение; E( )z - безразмерная заданная по слоям функция, которая может быть разрывной, так же как и ее первая производная; ν = ν( )z - коэффициент Пуассона, считающиеся для анизотропного или композитного материала функциями координат; ε εx, z - безразмерные по определению продольная и поперечная деформации; γ - сдвиг, также по определению безразмерная величина. Штрихом обозначена операция дифференцирования по безразмерному аргументу x, и введено обозначение для малого параметра ε= h l . Более того, в общем случае коэффициенты E и ν могут также зависеть от продольной координаты x. Примем, что нижний слой при -1≤ ≤z z1, 0≤ ≤x 1 имеет жесткость E1 и коэффициент Пуассона ν1, верхний слой при z1 ≤ ≤z 1, 0 ≤ ≤x 1 имеет жесткость E2 и коэффициент Пуассона ν2. Для простоты записи с тем, чтобы выделить основную идею работы, заключающейся в исследовании разномодульности трещиноватой среды, примем E1, E2, ν не зависящими от координат x и z . Расположив уравнения системы (1) в определенной последовательности и задав в качестве известных величин начального приближения некоторые w( )0 = w x0( ) и τ( )0 = τ0( )x , можно свести вычисления к методу последовательных приближений в соответствии со следующей схемой: ∂∂u( )0 = -εw0′ + 2 1( + ν) τ0 ( )0 u( )0 ′; z E σx( )0 = εE x( )0 +νσz( )0 , εz( )0 =-νεx( )0 +1-νE 2 σz( )0 ; ∂∂wz( )1 = εz( )0 , ∂τ∂z( )1 = -εσx( )0 ′ , ∂σ∂zz( )1 = -ετ( )1 ′ , ∂∂uz( )1 = -εw( )1 ′ + E τ 1 и т.д. Здесь и далее нижним индексом в скобках обозначен номер приближения и штрихом - операция дифференцирования по координате x. В силу независимости величин начального приближения от z все неизвестные вычисляются в результате интегрирования по z : u( )0 = -εw z0′ + τ0 0z 2 1( E+ ν)dz u+ 0; εx( )0 = -ε2w z0′′ + ετ0′ 0z 2 1( E+ ν)dz + εu0′; σz( )0 = -ετ0′z + σz0; σx( )0 = - εE w z2 0′′ + ετ0′ E 0z 2 1( E+ ν)dz -νz + E uε 0′ + νσz0 ; εz( )0 = νε2w z0′′ - ετ0′ ν 0z 2 1( E+ ν)dz + 1- νE 2 z - νεu0′ + 1- νE 2 σz0 ; w( )1 = ε2w0′′ 0z νzdz - ετ0′ 0z 1- νE 2 zdz + 0 0z νz 2 1( E+ ν)dzdz + σz0 0z 1-νE 2 dz -εu0′ 0z νdz w+ 0 ; τ( )1 = ε3w0′′′ 0z Ezdz -ε τ2 0′′ 0z E0z 2 1( E+ ν)dzdz - ν 0z zdz -ε2u0′′ 0z Edz -εσz0′ 0z νdz + τ0 ; σz( )1 = -ε4w0′′′′ 0 0z z Ezdzdz + ε τ3 0′′′ 0 0z z E0z 2 1( E+ ν)dzdzdz - 0 0z z νzdzdz + z z z z +ε3u0′′′ Edzdz + ε σ2 z0′′ νdzdz -ετ0′z + σz0; 0 0 0 0 u( )1 = -εw z0′ + τ0 0z 2 1( E+ ν)dz u+ 0 -ε3w0′′′ 0 0z z νzdzdzε +3 2 1( E+ ν) 0 0z z Ezdzdz + +ε τ2 0′′ 0 0z z 1-νE 2 zdzdz + 0 0 0z z νz 2 1( E+ ν)dzdzdz - 2 1( E+ ν) 0 0z z E0z 2 1( E+ ν)dzdzdz - 0 0z z νzdzdz + +ε2u0′′ 0 0z z νdzdz - 2 1( E+ ν) 0 0z z Edzdz -εσz0′ 2 1( E+ ν) 0 0z z νdzdz + 0 0z z 1-νE 2 dzdz . (2) Последнее выражение из (2) показывает, что к полученным величинам нулевого приближения из первой формулы для u( )0 в первой итерации к одноименным добавляются члены, имеющие относительный множитель ε2, то есть к w0′ добавляется ε3w0′′, к τ0 добавляется ε τ2 0 и к u0 добавляется ε2u0. Коэффициенты при этих добавочных членах в силу выбора единиц измерения при формировании безразмерных величин имеют порядок ε0. Поэтому добавочные величины, если они не являются быстро меняющимися, т.е. не увеличиваются в ε-1 раз при дифференцировании, будут O(ε2) и могут быть отброшены. 3. Выполнение граничных условий на длинных сторонах полосы На лицевых поверхностях полосы z∗ = ±h должны удовлетворяться граничные условия, соответствующие условиям нагружения. В безразмерном виде эти условия записываются так: σ =z Z+( )x , τ = X x+( ) при z =1; σ =z Z-( )x , τ = X x-( ) при z = -1, (3) где безразмерные нагрузки получены путем деления размерных на жесткость Eh . Условия (3) будем удовлетворять величинами первого приближения из общих решений (2) в предположении, что они с достаточной точностью аппроксимируют искомые величины. Полученная таким образом система уравнений ε3w0′′′ 10 Ezdz -ε τ2 0′′ 10 E0z 2 1( E+ ν)dzdz - ν 01 zdz -ε2u0′′ 01 Edz -εσz0′ 01 νdz + τ =0 X+ , ε3w0′′′- 01Ezdz -ε τ2 0′′ - 01E0z 2 1( E+ ν)dzdz - - 01νzdz -ε2u0′′- 01Edz -εσz0′- 01νdz + τ =0 X- , -ε4w0′′′′ 10 0z Ezdzdz+ετ3 0′′′ 10 0z E0z 2 1( E+ν)dzdzdz- ν 10 0z zdzdz + 1 z 1 z +ε3u0′′′ Edzdz + ε σ2 z0′′ νdzdz -ετ0′ + σz0 = Z+, 0 0 0 0 - -ε4w0′′′′ 0 01 z Ezdzdz+ετ3 0′′′ - 0 01 z E0z 2 1( E+ν)dzdzdz- ν- 0 01 z zdzdz + -1 z -1 z +ε3u0′′′ Edzdz + ε σ2 z0′′ νdzdz + ετ0′ + σz0 = Z- (4) 0 0 0 0 может быть разрешена относительно основных неизвестных τ0( )x , σz0( )x , w x0( ), u x0( ) после вычисления в общем случае шестнадцати интегральных коэффициентов: 1 Ezdz 0 -1 Ezdz 0 1 z Ezdzdz 0 0 -1 z Ezdzdz 0 0 1 z 2 1( +ν) 1 0 E0 E dzdz- ν 0 zdz -1 z ( +ν) -1 2 1 0 E0 E dzdz- ν 0 zdz 1 z z 2 1( +ν) 1 z 0 0 E0 E dzdzdz- ν 0 0 zdzdz -1 z z ( +ν) -1 z 2 1 0 0 E0 E dzdzdz- ν 0 0 zdzdz 1 Edz 0 -1 Edz 0 1 z Edzdz 0 0 -1 z Edzdz 0 0 1 νdz 0 -1 νdz 0 1 z νdzdz 0 0 -1 z νdzdz 0 0 от заданных функций E z( ) и ν( )z . Примем (рис. 1), что нижний слой при -1≤ ≤z z1, 0≤ ≤x 1 имеет жесткость E1, верхний слой при z1 ≤ ≤z 1, 0≤ ≤x 1 имеет жесткость E2; E1 и E2 -- константы. Положим для сокращения вычислений и изложения ν = const во всей полосе. Вычислим входящие в уравнения интегральные коэффициенты (5) при искомых неизвестных w0 , u0, τ0 и σz0 - при z ≥0 10 = (E1 - E2 ) z12 2 1 , 01 E 0z 2 1( E+ ν)dzdz - ν 10 2+ ν2 Ezdz 2 + E 2 zdz = , 1 1 Edz =(E1 - E2 )z1 + E2 , νdz = ν ; 0 0 - при z ≤0 - 1Ezdz = 1 E1 , - 1E z 2 1( + ν)dzdz - - 1νzdz = 2+ ν , - 1Edz = -E1 , - 1νdz = -ν ; 0 2 0 0 E 0 2 0 0 - при z ≥0 10 0z ( 1 2) z12 z13 2 1 10 0z 0z 2 1( + ν) - 0 01z νzdzdz = 2+ ν6 , Ezdzdz = E - E 2 - 3 + E 6 , E E dzdzdz 10 0z Edzdz = 12(E1 - E2 )(2- z1 )z1 + E2 12 , 10 0z νdzdz = ν; - при z ≤0 -0 01 z = -1 E1 , - 0 01 z E 0z 2 1( E+ ν)dzdzdz - - 0 01 z 2+ ν6 Ezdzdz 6 νzdzdz = - , -1 z -1 z 0 0 E1dzdz = 12 E1 , 0 0 νdzdz = ν и подставим их в уравнения (4) ε3w0′′′ (E1 - E2) z12 + E2 1 -ε τ2 0′′ 2 +ν-ε2u0′′ (E1 - E2)z1 + E2 -νεσ +τ =z0′ 0 X+ ; 2 2 2 ε3w0′′′E1 1 - ε τ2 0′′ 2 + ν + ε2u E0′′ 1 + νεσz0′ + τ =0 X- ; 2 2 -ε4w0′′′′ (E1 - E2) z12 - z13 + E2 1 + ε τ3 0′′′ 2+ ν + 2 3 6 6 +ε3u0′′′ 12(E1 - E2)(2- z1)z1 + E2 12 + νε σ2 z0′′ 12 -ετ0′ + σz0 = Z+; ε4w0′′′′E1 1 - ε τ3 0′′′ 2 + ν + ε3u E0′′′ 1 1 + νε σ2 z0′′ 1 + ετ0′ + σz0 = Z- . 6 6 2 2 Складывая и вычитая попарно первые два и последние два уравнения и поменяв порядок записи уравнений, получим ε3w0′′′ (E1 - E2) z12 +(E1 + E2)1 - +ν ε τ -ε(2 ) 2 0′′ 2u0′′(E1 - E2)(z1 + + τ =1) 2 0 X+ + X- , 2 2 -ε4w0′′′′ (E1 - E2 ) z12 - z13 +(E1 + E2 )1 + ε τ3 0′′′ 2+ ν + 2 3 6 3 +ε3u0′′′ 1(E1 - E2)(2z1 - z12 -1 2) - ετ0′ = Z+ - Z- , 2 ε3w0′′′(E1 - E2) z12 - -ε1 2u0′′ (E1 - E2)z1 -(E1 - E2) - νεσ =2 z0′ X+ - X-, 2 2 -ε4w0′′′′ (E1 - E2) z12 - z13 - 1 + ε3u0′′′ 1 (E1 - E2)(2 - z z1) 1 + E1 + E2 + νε σ2 z0′′ + σ2 z0 = Z+ + Z- . 2 3 6 2 Примем в соответствии с описанием метода SVPB [22] τ = τ + τ0 0s 0q в первой паре уравнений, где τ0s -- медленно меняющаяся функция; τ0q -- быстро меняющаяся функция. (Медленно меняющейся функцией называется такая функция, применение к которой оператора ∂ ∂x не меняет ее асимптотического порядка по ɛ. Быстро меняющейся функцией называется такая, применение к которой оператора ε∂ ∂x также не меняет ее асимптотического порядка по ɛ.) ε3w0′′′ 12 (E1 - E z2) 12 + (E1 + E2) - (2 + ν ε) 2 (τ0s′′ + τ0q′′) - -ε2u0′′ (E1 - E2 )z1 + E1 + E2 + 2(τ + τ0s 0q ) = X+ + X- , -ε4w0′′′′ (E1 - E2 ) z12 - z13 +(E1 + E2 )1 + 2+ ν ε3 (τ0s′′′ + τ0q′′′) + 2 3 6 3 +ε3u0′′′ 1(E1 - E2 )(2z1 - z12 -1 2) - ε τ( 0s′ + τ0q′) = Z+ - Z- 2 , и запишем их раздельно для быстро меняющихся (2+ν ετ - ετ =) 3 0q′′′ 6 0q′ 0 , (5) - +ν ετ + τ =(2 ) 2 0q′′ 2 0q 0, отмеченных верхним индексом q, и медленно меняющихся неизвестных (6) ε3w0s′′′ (E1 - E2) z12 + (E1 + E2)1 - ε2u0s′′ (E1 - E z2) 1 + E1 + E2 + 2τ =0s X+ + X-, 2 2 (7) -ε4w0s′′′′ (E1 - E2 ) z12 - z13 +(E1 + E2 )1 + ε3u0s′′′ 1(E1 - E2)(2z1 - z12 -1 2) - ετ0s′ = Z+ - Z- , 2 3 6 2 (8) ε3w0s′′′ 1(E1 - E2)(z12 -1) - ε2u0s′′ (E1 - E z2) 1 + (E1 + E2) - νεσ2 sz0′ = X+ - X- , 2 (9) -ε4w0s′′′′ (E1 - E2) z12 - z13 - 1 + +ε3u0s′′′ (E1 - E2 )(2 - z1 )z1 + (E1 + E2 ) + σ2 sz0 = Z+ + Z-, (10) 2 3 6 отмеченных верхним индексом s. Уравнения (5) и (6) несовместны, так как не могут одновременно обращаться в ноль для одной и той же функции τ0q . Ниже при выполнении условий на коротких сторонах в п. 4 будет предложено разрешение этой ситуации. Продифференцируем первое уравнение по x и умножим на ɛ. Затем исключим τ0s′ из первых двух. Получим уравнение, связывающее w0s с u0s : ε4w0s′′′′ 13 (E1 - E2)z13 -(E1 + E2) + ε3u0s′′′ 12(E1 - E2)(z1 - z12 -1)-(E1 + E2) = = Z+ - Z- -ε(X+′ + X-′). (11) Из уравнения (10) замечаем, что σsz0 ~ ε4 . Поэтому эту величину можно отбросить как малую порядка ε2 в уравнении (9): ε3w0s′′′ 1(E1 - E2 )(z12 -1) - ε2u0s′′ (E1 - E2 )z1 + (E1 + E2 ) = X+ - X- . (12) 2 Из системы уравнений (11), (12) находим разрешающее уравнение для w0s : ε4Cw0s′′′′ = Z+ - Z- -ε(X+′ + X-′)+ ε (E1 - (EX2)+′z1-+X(-E′1)+ E2) 12(E1 - E2)(z1 - z12 -1) -(E1 + E2) . (13) Здесь введено обозначение C = (Z+ - Z-) + ε(X+′ + X-′) + ε + - (E1 - E2 ) 2z1 - 1 - -(E1 + E2 ) . D 2 2 И разрешающее уравнение для функции u0s (14) ε3u0s′′′ = ε4w0s′′′′ 1 (E1 - E(2 )1 2 ) (z12 -1) - ε ( 1 (X2 )+′ 1- X(-′1) 2 ) , 2 (E1 - E2 )z1 + E + E E - E z + E + E выраженную через функцию w0s . Уравнения (13) и (15) могут быть легко проинтегрированы. Величины τ0s и σsz0 при известных w0s′′′ и u0s′′ находятся из уравнений (7) и (8): (15) 2τ =0s X+ + X- - ε3w0s′′′ (E1 - E2 ) z212 + (E1 + E2 )12 + ε2u0s′′ (E1 - E2 )z1 + E1 + E2 ; (16) 2σsz0 = Z+ + Z- + ε4w0s′′′′ (E1 - E2 ) z12 - z13 - 1 - ε3u0s′′′ (E1 - E2 )(2 - z1 )z1 + (E1 + E2 ) . (17) (X - X )′ z 2 1 2 3 6 4. Нейтральная линия в полосе из разномодульного материала Рассмотрим случай изгиба полосы нагрузкой X+ = X- = Z- = 0, Z+ =-p. Для простоты примем p =const . Уравнения (13) и (15) принимают вид ε4w0s′′′′ = p , ε3u0s′′′=ε4w0s′′′′1 (E E1 - 2) (z12 -1) . (18) C 2 (E E z1 - 2) 1 +(E E1 + 2) Нейтральная линия должна удовлетворять условию отсутствия продольной деформации εx( )0 , определенной второй формулой в списке (2): -ε2w z0′′ + ετ0′ z 2 1( + ν)dz + εu0′ = 0. (19) 0 E Из формул (13), (15)-(17) следуют оценки w0s ~ ε-4 p , u0s ~ ε-3 p , τ0s ~ ε3w0s′′′ или τ0s ~ ε-1 p , σsz0 ~ p. (20) Следовательно, средний член в уравнении (19), соответствующий касательному напряжению, может быть отброшен как малая величина O(ε2) , и уравнение нейтральной линии будет выглядеть так: -ε2w z0′′ + εu0′ = 0. (21) Таким образом, задача нахождения нейтральной линии в полосе сводится к решению уравнений (18) при заданных условиях на коротких сторонах полосы. Примем их соответствующими условиям свободного опирания полосы и балки (рис. 2). Рис. 2. Напряжения на коротких сторонах полосы, которые должны быть обращены в ноль при свободном опирании И с т о ч н и к: выполнено Е.М. Зверяевым Figure 2. Stresses on the short sides of the strip, which must be zero when freely supported S o u r c e: made by E.M. Zveryaev При x = 0; 1 напряжения σ =τ=x 0. Кроме того, вертикальное перемещение полосы на концах должно отсутствовать. С помощью формул (2) запишем эти условия в развернутом виде: 2 0′′ 0z νzdz - ετ0′ 0z 1- νE 2 zdz + 0z ν 0z 2 1( E+ ν) dzdz + σz0 0z 1- νE 2 dz - εu0′ 0z νdz + w0 x=0;1 = 0 ; ε w { - εE 2w0s′′ + ε τ( 0s′ + τ0q′)(2 + ν) z + E uε 0′ + νσz0}x=0;1 = 0; (22) 3 0s′′′ z Ezdz - ε2 (τ0s′′ + τ0q′′)(2 + ν) z2 - ε2u0s′′ z Edz - νεσsz0′z + τ0 ε w = 0. (23) 0 2 0 x=0;1 На основании асимптотических оценок (20) можно в условиях (22) отбросить величины O(ε2) по сравнению с главными: {w0}x=0;1 = 0 , { - εE 2w0s′′ + ετ0q′ (2 + ν) z + E uε 0s′}x = 0 =0;1 и потребовать обращения в ноль коэффициентов при каждой степени z во втором условии из (22) на краях x = 0; 1: w0 = 0, u0s′ = 0; (24) - εE w2 0s′′+ετ0q′(2+ν =) 0. (25) Вычислим интегралы в выражении (23) и с помощью соотношения (6) и оценки (20) для τ0s ~ ε-1 p приведем к виду: τ( )1 = 12 E1ε3w0′′′ - τ0q z2 -ε2u E z0′′ 1 - νεσz0′z + τ =0 0 при 0 < <z z1; τ( )1 = 12 E2ε3w0′′′ - τ0q (z2 - z12) - ε2u E0′′ 2(z - z1) -νεσz0′(z - z1) + τ =0 0 при z1 < <z 1; τ( )1 = 12 E1ε3w0′′′ - τ0q z2 + ε2u E z0′′ 1 + νσz0′z + τ =0 0 при - < <1 z 0. (26) Очевидно, что здесь τ0q является решением уравнения (6). Уравнение (5) может быть записано так: U = +ν ετ - ετ - ετ(2 ) 3 0q′′′ 2 0q′ 4 0q′. То есть первые два члена при выполнении уравнения (6) обращаются в ноль, а оставшийся член - ετ4 0q′ дает реакцию в опоре. Приравнивая в условиях (26) коэффициенты при каждой степени z и разности степеней (z z- 1), получим условия на на краях x = 0; 1. Первые условия в скобках служат для определения функции краевого эффекта τ = τ0q 0q ( )x : 1 E1ε3w0′′′ - τ =0q 0 при 0 < <z z1; 2 1 E2ε3w0′′′ - τ =0q 0 при z1 < <z 1; 2 1 E1ε3w0′′′ - τ =0q 0 при - < <1 z 0. (27) 2 Несмотря на то, что функция τ = τ0q 0q ( )x в этих условиях определяется как разрывная, в формулах (27) τ( )1 непрерывна по координате z . Величина τ0q из условия совместности уравнений (25) и (27) должна быть O( )ε3 . На основании этой оценки условие (25) после отбрасывания ετ0q′ ~ ε2 p приобретает вид w0s′′ = 0. (28) Это условие вместе с первым условием из (24) совпадает с классическими условиями свободного опирания балки на концах x = 0; 1. Теперь уравнения (18) могут быть проинтегрированы при условиях (28) и (24) для первого уравнения и условии (24) для второго. Получаем решение для w0s , u0s w0s = ε-4 p (x4 - 2x3 + x) u0s = εw0s′ ( 1 E2 )1 -1 E2( 1 2 ) (z12 -1). 24C 2 E - E z + E + E Подставив w0s′′ и u0s′ в уравнение нейтральной линии (21), получим довольно простое уравнение для определения координаты нейтральной линии z1: z12 - 2 E1 + E2 z1 + =1 0 . E2 - E1 Отсюда получаем подходящее значение координаты нейтральной линии (см. рис. 1) z1 = E12 + E21 - EE12 +-EE21 2 -1. E - E График координаты нейтральной линии z1 = z E1( 1) приведен на рис. 3. Принято Eh = E2 . На рис. 4 изображен элемент изогнутой полосы/балки со смещенной нейтральной линией FG вследствие разномодульности. На графике видно, что при смещенной вверх нейтральной линии в искривленном элементе полосы AMEC между нормалями к нейтральной линии AC и ME удлинение нижнего слоя CD намного больше укорочения верхнего слоя BA. Например, при E1 =0.1, когда модули жесткости слоев отличаются в 10 раз, удлинение нижнего волокна CD в 3 раза больше, чем укорочение верхнего волокна BA. При таких перемещениях в нижней части полосы/балки в трещиноватом нижнем слое возможно объединение мелких трещин в большие, изображенные на рис. 4 пунктирными линиями, и их раскрытие. Рис. 3. Зависимость координаты нейтральной линии Z1 от соотношения жесткостей слоев И с т о ч н и к: выполнено Е.М. Зверяевым Figure 3. Dependence of the coordinate of the neutral line Z1 on the ratio of the stiffness of the layers S o u r c e: made by E.M. Zveryaev Рис. 4. Появление поперечных трещин в растянутой зоне бетона И с т о ч н и к: выполнено Е.М. Зверяевым Figure 4. The appearance of transverse cracks in the stretched area of concrete S o u r c e: made by E.M. Zveryaev На рис. 5, заимствованном из [24], показаны результаты испытания опытных балок, где авторы отмечают: «…первые нормальные трещины при силовом воздействии появлялись во всех балках без исключения при нагрузке Ni = 7,5 ± 0,7 кН. На последующих этапах загружения появились новые нормальные трещины, дальнейший характер развития которых, как и уровень появления и развития наклонных трещин, находился в определенной зависимости от класса рабочей арматуры, процента стального армирования и вида композитной арматуры, наклеенной на растянутую грань балок». Рис. 5. Расположение трещин в железобетонной балке И с т о ч н и к: выполнено Д.Р. Маиляном, П.П. Польским, А. Михубом [24] Figure 5. The location of cracks in a reinforced concrete beam S o u r c e: made by D.R. Mailyan, P.P. Polskoy, A. Mihoub [24] То есть трещины типа изображенных на рис. 4 в разномодульной полосе появляются даже в усиленных арматурой балках. Верхний слой, где бетон подвержен сжатию из-за смещения нейтральной линии, довольно узкий, и, соответственно, смещение нейтральной линии вверх довольно велико. Заметим, что в настоящей статье не учтено безусловно имеющее место изменение модуля упругости в растянутой зоне от некоторой конечной величины до, скорее всего, нуля в нижней части балки. Для того чтобы объяснить появление наклонных трещин около опор, обратимся к рис. 6. На нем изображены классические эпюры моментов M и поперечных сил Qkl . Последняя изображается прямой линией, достигающей своего наибольшего значения на концах балки. Под ней изображена суммарная эпюра поперечных сил с поправкой от краевого эффекта, описываемого уравнением (6). Рис. 6. Уточненная эпюра поперечных сил в полосе по сравнению с балочной И с т о ч н и к: выполнено Е.М.Зверяевым Figure 6. Расположение трещин в железобетонной балке S o u r c e: made by E.M. Zveryaev Из эпюр следует, что в области опор моментные нормальные и касательные напряжения малы. Рассмотрим балку, не по теории балок принятую в сопротивлении материалов, а по теории упругости как длинную прямоугольную полосу на треугольных призмах-опорах. В этом случае надо выполнить граничные условия отсутствия нормальных и касательных напряжений на торцевых поверхностях полосы. Эта задача решена в [25]. Формула для поперечного напряжения σz: 3 z 1 κ σ =z p 4 z - 3 + - p ε exp - κε x + κε exp - κε (1- x) 34 z - z33 - 12 , 3 2 где κ =2 указывает на отсутствие напряжений в верхних углах полосы. Таким образом, в торцах полосы-балки около опор можно выделить мало напряженные области, идеализованные в виде треугольников ABC и DGM (рис. 7), при этом считать их квазижесткими телами, в которые закреплена средняя часть балки с проекцией в плоскости рисунка в виде трапеции CMDM. Рис. 7. Квазижесткое включение, образующееся в полосе при свободном опирании И с т о ч н и к: выполнено Е.М. Зверяевым Figure 7. Quasi-rigid inclusion forming in the strip with free support S o u r c e: made by E.M. Zveryaev 5. Заключение Задача нахождения напряженно-деформированного состояния полосы из разномодульного материала вопреки существующему мнению о существенной нелинейности может быть поставлена как линейная для двухслойной полосы. В ходе проведенного исследования получены следующие результаты. 1. В статье определены изгибная и продольная жесткость двухслойной полосы/балки. 2. Найдена определяющая положение нейтральной оси при изгибе простая формула. 3. Для разномодульного материала, такого как бетон, нейтральная линия при изгибе существенно сдвигается вверх в области сжатия, в результате чего на нижней растянутой грани возникают большие перемещения и создаются условия для раскрытия вертикальных трещин. 4. Объяснено появление наклонных трещин около опор. 5. Получены формулы для всех перемещений и напряжений задачи. 6. Построенное с помощью метода малого параметра решение учитывает все особенности исходной задачи теории упругости и является асимптотически сходящимся в силу теоремы Банаха о неподвижной точке. Для удобного использования предполагается в дальнейшем формулы переписать для новой системы координат: ось y = 0 совместить с нейтральной линией полосы/балки. Это упростит запись формул и вычисления по ним. Также приведенный анализ показывает, что надо провести в дальнейшем исследование трещинообразования для стремящегося к нулю в силу разрушения мостиков по краям трещин на нижней грани полосы модуля упругости. Также возможно рассмотрение трехслойной полосы с учетом арматуры и четырехслойной с учетом подкрепления полосы композиционными материалами.

About the authors

Evgeniy M. Zveryaev

RUDN University; Kucherenko Institute of Building Structures

Author for correspondence.
Email: zveriaev@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-8097-6684
SPIN-code: 4893-2337

DSc. In Engineering, Professor of the Department of Construction Technologies and Structural Materials, Academy of Engineering, RUDN University

Moscow, Russia

References

Supplementary files